Введение к работе
Актуальность темы Качественная теория дифференциаль-. пых уравнений, и, в частности, теория устойчивости движения, основы которой заложены в конце XIX века А.М.Ляпуновым и А.Пуанкаре, находит широкое применение в различных областях науки и техники.
Среди методов, используемых при исследовании качественных и асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений, широко используются первый и второй методы Ляпунова.
Метод преобразований Ляпунова относится к первому методу Ляпунова. Основополагающие результаты здесь получены Н.П.Еругиным, В.А.Якубовичем, Б.Ф.Быловым, Р.Э.Виноградом, Ю.С. Богдановым и др. 11а основе этого метода были решены многие важные прикладные задачи. Это особенно важно, если иметь в виду, что численных методов вычисления характеристических показателей не существует. В классической теории рассматривались лишь линейные преобразования Ляпунова. В работах Е.В.Воскресенского введено понятие нелинейного ляпуповско-го преобразования. Использование нелинейных преобразований Ляпунова позволяет существенно расширить область применения методов, использующих приводимость. На этой основе были получены новые классы нелинейных дифференциальных уравнений с устойчивым состоянием равповесия. В первую очередь это относится к устойчивости состояния равновесия нелинейных механических систем.
С появлением понятия нелинейного преобразования Ляпунова возникла задача построения новых классов приводимых нелинейных дифференциальных уравнений. Решсшіе этой задачи далеко от завертепия, и в связи с апгм задача получения необходимых и достаточных условий приводимости нелинейных дифференциальных систем представляется актуальной.
Цель работы. Прикладные задачи механики, теории колебаний нуждаются в новых методах исследования асимптотических свойств и устойчивости решений. Классические методы не всегда способны давать решения подобных задач. Поэтому на основе
приводимости в классе недкпейньгх дифференциальных уравнений предварительно необходимо решить следующие задачи:
1. Получение новых необходимых и достаточных условий
приводимости нелинейных систем дифференциальных уравнений к
нелинейным системам общего вида и к системе с нулевой правой
частью.
-
Получение необходимых и достаточных условий приводимости нелинейной дифференциальной системы к системе с блочно-треугольпой и, в частности, с диагональной правой частью.
-
Получение достаточных условий локальной приводимости нелинейных дифференциальных систем к линейным системам с постоянной матрицей.
-
Исследование притяжения нулевым решением и существования О-кривых с помощью локальной приводимости дифференциальных уравнений.
-
Исследование ограниченности решений с помощью преобразований Ляпунова.
-
Исследование устойчивости тривиального решения с помощью приводимости и локальной приводимости.
-
Получение новых условий асимптотической эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений.
-
Исследование приводимости уравнения Шредингера.
9. Исследование приводимости уравнений колебательных
процессов.
Общая методика исследования основана па применении критерия приводимости нелинейных дифференциальных уравнений и метода функций Ляпунова. Устойчивость нулевого решения, ограниченность решений и существование О-кривых исследуются с помощью инвариантов рассматриваемых преобразований.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.
-
Получены новые необходимые и достаточные условия приводимости нелинейных систем дифференциальных уравнений к нелинейным системам и к системе с нулевой правой частью.
-
Получено необходимое условие приводимости нелинейной
дифференциальной системы к системе с блочно-треуголыюй правой частью. Получен критерий приводимости нелинейной системы дифференциальных уравнений к диагональному виду.
-
Получено достаточное условие локальной приводимости нелинейной системы дифференциальных уравнений к линейной системе с постоянной матрицей.
-
Получены условия существования О-кривых дифференциальной системы и условия, при которых нулевое решение является притягивающим.
-
Получено условие равномерной ограниченности решений нелинейной дифференциальной системы.
-
Получены условия устойчивости нулевого решения нелинейной системы дифференциальных уравнений.
-
Получены новые условия асимптотической эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений.
-
Получены новые условия приводимости уравнения Шре-дингера.
-
Получены условия приводимости уравнений колебательных процессов.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический и прикладной характер. Полученные результаты могут быть использованы в математической физике, теории колебаний, асимптотическом интегрировании дифференциальных уравнений, исследовании устойчивости движения нелинейных механических систем и др.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на II и III международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения'' (Саранск, 1996, 1998 гг.), на седьмой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1997 г.), на седьмой четаевской конференции (Казань, 1997 г.), на конференции молодых ученых (Саранск, 1997 г.), на научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В.Воскресенского (Саранск, 1997, 1998 г.г.), на паучном-исследовательскои семинаре по качествеппой теории
дифференциальных уравнений РГПУ под руководством профессора М.Т.Терехина (Рязань, 1998 г.).
Публикации. Основные результаты отражены в 8 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка обозначений и библиографического списка. Общий объем диссертации 113 страниц. Библиографический список содержит 104 наименования.
