Математическое моделирование задач искажения магнитных полей статики и квазистатики электромагнетизма методом поверхностных интегральных уравнений теории потенциала Чегис, Инна Александровна

Введение к работе

Актуальность темы. В настоящее время поверхностные интегральные уравнения составили фундамент современной теории акустического и электромагнитного рассеяния (дифракции), о чем убедительно свидетельствует монография D-Колтона и R.Kpecca "Методы интегральных уравнений в теории рассеяния" '.

Классические результаты решения краевых задач для уравнения Лапласа, полученные сведением их к поверхностным интегральным уравнениям ², ³ были перенесены сначала на случай скалярного уравнения Гельмгольца⁴,⁵, а затем на решение внутренних и внешних краевых задач для векторного уравнения Гельмгольца и уравнений Максвелла. Все это составило основу современной теории электромагнитного рассеяния. Подробная библиография по этой тематике имеется в '.

В данной работе рассматривается другой важный класс задач прикладного электромагнетизма, задач, касающихся искажения внешнего магнитного поля Щ(х,і) при помещении в него проводящего тела V» В этих задачах решающую роль играют условия сопряжения электромагнитных полей на границе раздела сред, а также предположения об асимптотическом поведении решений уравнений Максвелла на бесконечности. В отличие от хорошо известных краевых задан для уравнений Максвелла (см.,например, ') этот весьма широкий класс задач прикладного магнетизма естественно назвать задачами с условиями сопряжения для уравнений Максвелла.

В настоящее время задачи этого класса решаются методом конечных элементов как существенно 3-мерные и во всём пространстве. Совместное совершенствование компьютерных технологий, алгоритмов и методов программирования позволяет расширять круг задач, поддающихся такому численному решению и в результате компьютерные расчеты магнитных полей оформились в мощную ветвь компьютерной индустрии, объединяющей коллективы научных работников и инженеров по

¹ Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. Москва.: Мир, 1987, 311 с.

''Ляпунов A.M. Sur certaines questions qui se rattachent aux probleme de Dirichlet. Собрание сочинении, Москва, 1954, Т. 1.

^эГюнтер Н.М. Теория потенциала и ео применение к основным задачам математической физики. М.-Л.: Гостехиздат, 1953, -116 с.

⁴Векуа И.Н. Метагармонические функции. //Труды Тбилисского Математического ин-та. 1943,12, с. 105-174.

'Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 2в0 с.

М>С НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

всему миру. Многочисленные международные конференции по этой тематике такие, как COMPUMAG, CEFC, ISEM и многие другие, существующие десятки лет, свидетельствуют о большой практической значимости этих задач и о постоянных поисках новых решений (см., например,⁶,⁷,⁸).

В нашей стране многоплановое изучение свойств решений уравнений Максвелла проводилось рядом крупных учёных школы академика А.Н.Тихонова (см., например,', ¹⁰, ", ¹², ¹³ и др., а также ¹⁴, ¹⁵ и др.).

В конце 80-х годов появился новый Т'— метод для нахождения электрического векторного потенциала в области V через интегро- дифференциальное уравнение по области V и ее границе, т.е. была сделана попытка решить задачу распределения вихревых токов как внутреннюю задачу и это обстоятельство, как отмечают сами авторы, является главным преимуществом, предлагаемого ими метода, ^1б.

Таким образом, актуальной проблемой в решении задач с условиями сопряжения на границе ограниченной области V, которые решаются в настоящее время, в основном, методом конечных элементов во всём пространстве, является получение алгоритмов сведения этих задач к задачам с краевыми условиями на границе области V, а такие задачи, как известно, сводятся к поверхностным интегральным уравнениям теории потенциала.

Постановки задач.

Введем обозначения. Пусть V область в R³ и V— дополнение к V,

Roger D., Eastham J. A formulation for low frequency eddy current solutions. //IEEE Trans, on Magnetics. 1983,19, N56, pp. 2443-2448.

⁷Biddlecombe C, Heighway E., Simlrin J._f Trowbndge С Method for eddy current computations in three dimentions.//IEEETrans, on Magnetics. 1982, 18, №2, pp. 492-497.

"Biro O., Preis K. Finite element analysis of 3-d Eddy Currents. //IEEE Trans, on Magnetics, 1990. 26, №2, pp. 418-423.

*Ильинский A.C., Кравцов В В., Свешников АГ. Математические модели электодинамики. М.:Высшая школа, 1991,223 с.

^I "Тихонов А.Н., Ильинский А. С, Свешников АГ. Математические модели излучаюших систем. //Сб.
Вычисл.методы и программирирование.Изд-во МГУ, 1980, вып.32, с. 82-108.

^II Тихонов А,Н. К математическому обоснованию электромагнитного зондирования.// ЖВМ и МФ,
1Э65.Т.5, №3,с.545-547.

^|2Прилепко А.И., Орловский Д.Г Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики 3//Дифференциальные уравнения, 1987, т.23, №8, с. 1343-1353.

¹³Худак НЖ О локальной структуре одного класса решений однородной системы уравнений Максвелла. // ДАН СССР, 1985, т.282, № 1, с. 61-65.

¹⁴Дякин В.В., Раевский В.Я. К исследованию системы интегродифференциальных уравнений электродинамики с постоянными параметрами сред. // ЖВМ и МФ, 2001, т.41, №9, с. 1416-1421.

¹⁵Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и связь, 1998, 160 с.

^leMiya К., Ha&hizume Н. Application of T-method to A.C.Problem based on Boundary Element Method. //IEEE Trans, on Maenetics, 1988, 24, № 1, pp. 134-137.

V\ = R³ \ V. Относительно области V предполагаем, что она односвязна и ограничена, а поверхность 5 = dV принадлежит классу гладкости С²

Будем полагать, что магнитная проницаемость в области V постоянна и равна /і, что токами смещения по сравнению с токами проводимости можно пренебречь (см., например, ¹⁸ раздел "квазистационарное электромагнитное поле") и что электрические свойства области V можно характеризовать проводимостью а. В области Vj будем считать, что магнитная проницаемость также постоянна и равна ц\ ф /х, а о\ — 0.

Система уравнений Максвелла для квазистационарного поля , в случае гармонической зависимости от времени (как е~'^ші) электрических и магнитных полей, может быть записана в виде:

rotf(x) = k²H(x), rotH(x) = J(x), к² = гшца, xeV; (1)

rot Ei(x) = klHi(x), rotH\(x) = 0, &² = ішщ, x Є V_u (2)

где J(x) = crE(x), igV,- вихревой ток.

На границе S раздела сред должны быть выполнены следующие условия сопряжения электрических и магнитных полей (см., например, ⁵):

n(n,H)s = i*i(n,Hi)_s, (3)

[ft, H]_s = [п, Яі]₅, (4)

(ft, J)s = 0, (5)

u #i(e) - 0 при |x| -+ 00. (6)

Определение 1. Задачей А назовём решение системы (1), (2) при условиях(3)-(5) и (6).

Определение 1*. Задачей А* назовём решение системы (1), (2) при условиях(3)-(5) и (6*), где условие (6*) означает, что:

Яі(х) -> Н₀ = Const ф 0 при |i| -+ со, (6*)

В работах [1,3-6] задача А распределения вихревых токов решалась при дополнительном предположении, что магнитное поле в среде V и соответствующий вихревой ток связаны условием, отражающим закон Био-Савара:

¹⁷Эти ограничения на область V и ее границу 5 будут считаться выполненными далее всюду в данной работе.

"Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.Электродинамика сплошных сред (теоретическая физика Т. 8). Москва.: Наука, 1982, 620 с.

H(x) = Но(х) + J \.){х), У,Ф₀(х, у)) &V_U, х Є V, (7)

где Фо(х, у) — l/Anr_XIJ— фундаментальное решение уравнения Лапласа.

В монографии ¹⁸ имеются формулы точного решения задачи А* для шара V_a и внешнего поля Но = Const ф 0.

Стоит отметить различие в интерпретации условий на бесконечности (6) и (6*). В первом случае источники, порождающие внешнее поле Ho(x)e~^lu,t расположены в конечной части пространства К³, а во втором случае тело V помещается в неограниченный соленоид.

В режиме статики хорошо известной задачей искажения внешнего поля Hq(x) при внесении в него проводящего тела V, является задача нахождения размагничивающего поля H,t(x), х R³\S, и тесно связанная с ней задача распределения намагниченности М(х), х Є V.

Определение 2. Задачей В назовем задачу нахождения размагничивающего поля Hd(x), гармонического в областях V , Vi, непрерывного вплоть до границы S = dV, и такого, что для полей

H(x) = H₀(x) + H_d(x),x&V, (8)

Hi(x) = Я₀(х) + H_d{x), х Є V_u (9)

выполнено условие сопряжения (3) на границе раздела сред.

Определение 3. Задачей С назовем задачу нахождения распределения намагниченности М(х), х Є V, такого поля, которое компенсирует в области V внешнее поле Но{х) с помощью оператора электромагнитостатики:

Щ(х) = 4ttV f(M, У_уФ₀(х, у)) dV_s, xeV. (10)

Целью настоящей работы является изучение свойств решений задач А, В, С, выявление связей этих задач с известными краевыми задачами для уравнений Максвелла и гармонических функций и получение на этом пути поверхностных интегральных уравнений для их решения.

Научная новизна заключается в следующем:

1) предложен новый метод решения задач А, В, С, который сводит их к решению поверхностных интегральных уравнений теории потенциала;

1. в рамках нового метода неизвестное электромагнитное поле не отыскивается во всем 3-х мерном пространстве, а находится плотность потенциала поля на замкнутой ограниченной поверхности с помощью решения двумерного интегрального уравнения. При таком подходе, во-первых, размерность носителей информации понижается на единицу и, во-вторых, исчезает бесконечная протяженность этих носителей. Оба указанных обстоятельства самым существенным образом позволяют упростить алгоритмы численного решения всех трех сформулированных выше задач А, В, С ;

2. для обоснования предложенного метода решения задачи. А доказана теорема (теорема 2.3.1) [5,6] о расщеплении уравнения (1) на уравнения, действующие в двух ортогональных подпространствах Вейля ¹⁹, ²⁰. Теорема 2.3.1 позволила с одной стороны свести задачу А к краевой задаче для системы уравнений Максвелла и с другой стороны способствовала выяснению механизма действия условий сопряжения (3), (4);

3. доказаны теоремы (теоремы 3.2.1 и 3.3.1), указывающие точные условия существования и единственности решения системы уравнений Максвелла для задачи А в пространстве функций определенной гладкости [1|;

4. построен алгоритм численного решения задач В, С, основанный на решении внутренней задачи Неймана с помощью потенциала простого слоя [2]. Для отыскания плотности потенциала простого слоя предложен алгоритм, опирающийся на теорему об однозначной разрешимости пары уравнений Фредгольма второго рода в гильбертовом пространстве 2(6), S = dV, в случае, когда число Рисса задачи равно единице (теорема 5.2.1) [26];

5. Обоснование алгоритма решения задачи А* в случае произвольной геометрии области V потребовло введения нового понятия сопряжения гармонических полей (см. (24)) на границе раздела сред и доказательства теоремы 1.6.1 об общих спектральных свойствах трех известных интегральных операторов: оператора электромагнитостатики

L(M) = vJ(M, V_yt>_Q(x,y)) dV_y, (11)

интегральных операторов граничных задач Неймана

"Вейль Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала. Избр. тр. (Матем. и теор. физ.). Москва.: Наука, 1984,510 с

"Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функции квад-ратичносуммируемых по данной области и операторах векторного анализа. //Тр. МИЛН СССР. М., I960, Т. 59, с. 5-36.

(K'₀g){_X)=2jg(y)^₀(x_!y)dS_l„ x Є S, (12)

и Максвелла при к =0

(Л/₀с)(г) = 2 y[«(s), rot_x{c{y)Mx> У))) dS_y, x&S (13)

[3] (см. также', стр. 72 и 74).

Теорема 1.6.1 содержит в себе в качестве частного случая известный ранее результат об общих спектральных свойствах операторов (11) и (12), полученный в работе²¹.

Достоверность и обоснованность результатов исследований подтверждаются:

1. надежностью применяемого в работе и апробированного ранее, в работах других авторов, математического аппарата (ортогонального разложения Вейля, спектральных свойств операторов граничных задач, классических теорем о предельных значениях потенциалов, различных свойств интегральных уравнений и др.),

2. результатами, полученными другими авторами ²¹, которые следуют как частный случай из теоремы 1.6.1,

3. результатами применения построенных численных алгоритмов для расчета плотности магнитного заряда (нормальной компоненты намаг-ниченнсти), которые согласуются с известными экспериментальными данными²²,

4. результатами теоретического и экспериметального характера других авторов по расчетам размагничивающих факторов эллипсоидов²³. Эти результаты являются частными случаями применеия предложенного в диссертации алгоритма решения задачи С для эллипсоида и поля Hq(x) = Но, направленного вдоль одной из осей симметрии этого эллипсоида.

Практическая значимость. Представленная работа, имея теоретический характер, посвящена математическому моделированию электромагнитных полей и обоснованию алгоритмов решения практически

²¹Дякин В.В., Раевский В.Я. Исследование одного уравнения электрофизики. //ЖВМ и МФ. 1990, 30, №2, с. 291-297.

²²Кринчик Г.С, Чепурова Е.Е., Шаматов У.Н., Раев В.К., Андреев А.К. Исследование распределения намагниченности в малых ферромагнитных элементах.//ФТТ, 1976, 18, № 12, с. 3581-3584.

"Муратов Р.З. Потенциалы эллипсоида. М.: Атомиздат, 1976, 200 с.

важных задач А, В, С.

Изучению различных аспектов решения задач А, В, С отводится видное место на всех международных конференциях по компьютерным расчетам магнитных полей COMPUMAG, CEFC, ISEM и др.. В настоящее время задачи А,В решаются, в основном, методом конечных элементов как существенно 3-х мерные задачи во всем пространстве. Предлагаемые автором алгоритмы открывают иные возможности для математического и численного моделирования устройств, содержащих проводящие элементы, которые влияют на внешнее магнитное поле или специально его преобразуют. К таким устройствам относятся, например, магнитные линзы, всевозможные датчики, в частности датчики, обнаруживающие скрытые дефекты и т.д..

Задача С является типичным примером некорректно поставленной задачи. Известно, что приближенное решение таких задач выделилось в самостоятельную ветвь вычислительной математики после основополагающих результатов А.Н. Тихонова, В.К.Иванова, М.М. Лаврентьева. Существенное развитие методы решения некорректных задач получили в работах А.Б. Бакушинского, А.С.Ильинского, А.И. Прилепко, АГ. Свешникова, АГ. Яголы, и др. авторов. Задача С могла бы решаться одним из методов, разработанных в этой области вычислительной математики, однако, специфика оператора (11), использование спектральных свойств этого оператора на подпространствах Вейля позволили свести решение задачи С к решению такого же интегрального уравнения (см. (17), (18)), как и в случае задачи В и использовать, следовательно, тот же численный алгоритм.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Об общих спектральных свойствах оператора электромагнитостатики (11) и интегральных операторов граничных задаче Неймана (12) и Максвелла (к = 0) (13) (Теорема 1.6.1).

2. О расщеплении системы уравнений Максвелла (1) для задачи А распределения вихревого тока J(x, і), принадлежащего гёльдерову пространству векторных полей

1{х) Є C\V) Л C-^a(V) и rot J{x), div J(x) Є C-^a(V), (14)

на уравнения, действующие в подпространствах Вейля ²⁰ , и о представлении граничных значений ротора вихревого тока через плотности гармонических потенциалов простого и двойного слоя (Теорема 2.3.1).

3. О представлении решения системы интегральных уравнений с

гиперсингулярным ядром для плотностей гармонических потенциалов простого и двойного слоя (Теорема 2.5.1).

4. О точных формулах для граничных значений ротора вихревого тока через известный гармонический потенциал внешнего поля (Теорема 2.6.1).

5. Об интегральном представлении тока J(x) в области V через векторный потенциал вида

А(х) = j' a{y)_k{x,y)dS_y, (15)

где Фк(^х< у) — фундаментальное решение векторного уравнения Гельм-гольца

<Ы^г>у) = e^ikr'\ к² = гица, Irak > О

4жг_ху

и а(х) — касательное векторное поле на 5 = dV, являющееся решением интегрального уравнения внешней краевой задачи для уравнений Максвелла:

а(х)+ 2 j[n(x),rot_xa{y)$_k(x,y)]dS_v = 2с(х), х Є S, (16) s где с(х) известное касательное поле на S (Теорема 3.1.1). Отметим, что уравнение внутренней краевой задачи для уравнений Максвелла имеет вид:

а{х)-2 j{n{x),rot_xa{y)$_k{x,y)]dS_y = -2c{x), х Є 5, (16*)

6. О существовании и единственности решения задачи А в гельде-ровом пространстве вектор-функций (14).

7. О представлении размагничивающего поля Hd(x), х Є R³ \ S, (задача В) в виде градиента гармонического потенциала простого слоя с плотностью <р, удовлетворяющей интегральному уравнению

_V{x) + {К'₀<р){х) = 2_Э(х), д(х) = 1/47г(Я₀(х),п(х)), х Є S (17)

где оператор Kq определен в (12), а <р{х) ортогональна единице на поверхности S (теорема 4.2.1).

8. О представлении поля намагниченности Л/(і) (задача С) в облас
ти К в виде градиента потенциала простого слоя с плотностью у>і(^ж)>
удовлетворяющей интегральному уравнению

_Vl(x) + {КУрд{х) = 2ф), (18)

где v?i(x) ортогональна единице на поверхности S и свободный член уравнения (18) является решением уравнения (17) (Теорема 4.3.1).

9. Алгоритм численного решения уравнения (17) в подпространстве
функций ортогональных единице на поверхности 5 (теорема 5.3.1).

Апробация и публикации. По тематике данной работы было сделано в общей сложности более 50 докладов.

Результаты диссертации регулярно докладывались на семинаре по вычислительным методам математической физики под руководством проф. АГ. Свешникова, проф. АС. Ильинского (физический факультет МГУ);

ряд докладов был сделан на семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных под руководством проф. В.П. Михайлова и др. (Математический институт РАН им. В.АСтеклова),

на семинаре под руководством проф. АИ. Прилепко (механико- математический факультет МГУ),

на семинаре под руководством акад. РАН, проф. В.А Ильина, чл.-корр. РАН, проф. АВ. Бицадзе, акад.РАН, проф. Е.И. Моисеева, проф. ААДезина (ВМК МГУ) (мой последний доклад на этом семинаре был сделан в марте 2003 года),

на семинаре под руководством проф.АБ.Бакушинского, проф.А.В.Тихо-нравова, проф. АГ. Яголы (Научно-исследовательский Вычислительный Центр МГУ) и др., а также на международных конференциях:

на VII Международной конференции COMPUMAG по компьютерным расчетам электромагнитных полей (Токио, Япония, 1989 г.),

на III Международном TEAM Workshop (Сорренто, Италия, 1991 г.),

on I Japan-CIS Joint Seminar on Electromagnetomechanics in Structures (Токио, Япония, 1992 г.),

на IV Международном симпозиуме ISEM по нелинейным явлениям в электромагнитных полях (Нагойя, Япония, 1992 г.),

on X International Symposium on Theoretical Electrical Engineering (Magdeburg, Germany, 1999),

на Международной конференции посвященной, 100-летию со дня рождения акад. М.А Лаврентьева (Киев, 2000г.),

on International Petrovskii Centenery Conference (Moscow, 2001),

First SIAM-EMS Conference "Applied Mathematics in our Changing World" (Berlin, Germany, 2001),

на V International Congress on Mathematicical Modeling VTCMM (Dubna, Russia, 2002),

on 3 Japanese-Mediterranean Workshop on Applied Electromagnetic Engineering ... (Athens, Greece, 2003) и др..

Результаты диссертационной работы докладывались регулярно, начиная с 1982 г., на конференциях, проводимых в рамках Воронежских зимних (весенних) математических школ, организованных проф. С.Г. Крейном и проводимых в настоящее время проф. Ю.В. Покорным.

Основное содержание диссертации изложено в 30 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата. Роль соавторов заключалась в разработке программ для компьютерных расчетов, получении численных результатов, а также в постановке и проведении экспериментов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, заключения, приложений и списка цитируемой литературы, содержащего 86 наименований. Полный объем диссертации 174 страницы.

Похожие диссертации на Математическое моделирование задач искажения магнитных полей статики и квазистатики электромагнетизма методом поверхностных интегральных уравнений теории потенциала

Математическое моделирование пороговых эффектов в триггерных динамических системах методами качественной теории дифференциальных уравненийСлепков Владимир Анатольевич

Математические модели на основе теории парных интегральных уравнений и метода дискретных особенностей в задачах электродинамикиСидельников, Геннадий Леонидович

Теория и приложения методов приводимости нелинейных дифференциальных уравненийПашуткин, Дмитрий Витальевич

Применение методов операторных уравнений в математических моделях экономических процессов и теории приближенийБостанова Фатима Ахмедовна

Теория и вычислительные методы для проблемы частичного назначения спектра и собственных векторов в динамических системах, определяемых матричными уравнениями второго порядка или уравнениями в частных производных Саркисян Даниил Рафаэлевич

Теория и приложения демографических потенциаловЭдиев Далхат Мурадинович

Метод потенциалов простого слоя для спектральных задач теории диэлектрических волноводовКарчевский, Евгений Михайлович

Моделирование адиабатических потенциалов пятичленных циклических и полициклических соединенийСмирнов, Александр Петрович

Моделирование адиабатических потенциалов циклических и полициклических соединенийДжалмухамбетова Елена Азатуллаевна

Математическое моделирование инновационного потенциала организации на основе гибридных экспертных системТишков, Олег Иванович