Введение к работе
Актуальность темы. При исследовании задач теории дифракции и распространения электромагнитных волн в качестве основы математических моделей наиболее часто используются краевые задачи для уравнения Гельмгольца или систем таких уравнений в бесконечных областях.
Разработано большое количество методов решения спектральных задач теории диэлектрических волноводов, приспособленных для областей специальной формы: различные модификации метода частичных областей, лучевой'метод, метод нормальных волн и асимптотические методы. Для расчета волноводов с произвольным контуром поперечного сечения применялся метод согласования в копечпом числе точек, метод конечных разностей и вариационные методы.
Наиболее эффективные и универсальные алгоритмы решения краевых задач теории дифракции в бесконечных областях основаны на переходе к граничным интегральным уравнениям. В частности, метод интегральных уравнений широко применялся в работах Ю.В. Шестопалова, А.С. Ильинского, Ю.Г. Смирнова и др. при теоретическом исследовании и численном решении задач о собственных волнах щелевых и полосковых линий, в работах Eyges L., Gianino Р., Б.В. Захарова, Х.Л. Икрамова, А.Н. Сивова, А.В. Малова, В.В. Солодухова, А.А. Чурилина -для расчета цилиндрических диэлектрических волноводов. Теоретического обоснования метода интегральных уравнений для расчета диэлектрических волноводов, по-видимому, до сих пор
проведено не было.
С точки зрения экономии вычислительных ресурсов наиболее эффективными являются интегральные уравнения, основанные на применении потенциалов простого слоя. Этот подход использовался, например, в работах В.В. Дробницы, В.А. Цецохо, СИ. Смагина, А.Г. Ярового при решении задач дифракции электромагнитных волн на проницаемых включениях в плоскослоистой среде, в работах В.II Шестопалова А.Е. Поединчука, Ю.А. Тучкина - при решении спектральных задач волнового рассеяния на незамкнутых экранах, А.С. Ильинского, Ю.Г. Смирнова - при решении задач дифракции электромагнитных волн на проводящих тонких экранах.
Настоящая диссертация посвящена применению метода потенциалов простого слоя для численного решения задач о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов, находящихся в однородной или плоскослоистой среде.
Цель работы состоит в разработке и теоретическом исследовании численных методов решения спектральных задач теории диэлектрических волноводов, основанных на использовании потенциалов простого слоя.
Методы исследования. Используются методы теории потенциалов, теории нелинейных спектральных задач, развитой в работах И.II. Гохберга, М.Г. Крейна, теории дискретной сходимости Г.М. Вайникко, О.О. Карма.
Научная новизна. На основе метода потенциалов простого слоя получешд нелинейные спектральные задачи для систем
сингулярных интегральных уравнений, эквивалентные исходным спектральным задачам для уравнения Гельмгольца, исследованы вопросы локализации и дискретности спектра. Разработаны и исследованы проекционные методы численного решения нелинейных спектральных задач для соответствующих систем сингулярных иптегральных уравнений.
Практическая значимость. Методы, разработанные в диссертации, могут быть использованы для численного решения конкретных спектральных задач теории диэлектрических волноводов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции, посвященной 100-летию Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.), Международной научной конференции АМСА-95 (Новосибирск, 1995 г.), Международной научной конференции, посвященной 90-летию Ф.Л. Гахова (Минск, 1996 г.), Международной научной конференции, посвященной 175-летию П.Л. Чебышева (Москва, 1996 г.), 51-ой научной сессии, посвященной дню радио (Москва, 1996 г.), Второй Казанской летней школе-копферепции "Алгебра и анализ" (Казань, 1997 г.), 7-м Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Феодосия, 1997 г.), на отчетных конференциях Казанского государственною университета 1992 - 1996 гг., на семи-паре "Вычислительная электродинамика" Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (руководители - А.Г. Свешников, А.С. Ильинский), на семинаре кафедры вычи-
слительной математики Казанского государственного университета (руководитель - А.Д. Ляшко), на семинаре "Математические модели интегральной оптики" кафедры прикладной математики Казанского государственного университета (руководитель - Н.Б. Плещинский).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 95 наименований. Общий объем работы - 107 страниц.
