Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вспомогательные утверждения и теоремы 12
1.1 Римановы многообразия 12
1.2 Оператор Лапласа-Вельтрами 17
1.3 Некоторые вопросы функционального анализа и теории линейных операторов ...23
Глава 2. Вычисление первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Вельтрами на двумерной сфере с потенциалом из С2 28
2.1 Оценки числовых рядов 28
2.2 Оценка третьей поправки теории возмущений 45
2.3 Основные теоремы 59
Глава 3. Вычисление первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Вельтрами на двумерной сфере с потенциалом, удовлетворяющем условию Липшица 65
3.1 Оценка второй поправки теории возмущений 65
3.2 Оценка третьей поправки теории возмущений 75
3.3 Основные теоремы 83
3.4 Вычисление второй поправки теории возмущений 85
Заключение 88
Приложение 89
Литература 95
- Некоторые вопросы функционального анализа и теории линейных операторов
- Оценка третьей поправки теории возмущений
- Оценка третьей поправки теории возмущений
- Вычисление второй поправки теории возмущений
Введение к работе
Постановка задачи. Исследование спектральных свойств дифференциальных операторов с частными производными является одной из важнейших задач общей спектральной теории линейных операторов. Эта область обязана своим развитием конкретным задачам физики, химии, биологии и других естественных наук. Так при рассмотрении колебаний мембраны и трехмерных упругих тел мы приходим к простейшим задачам на собственные значения для многомерных дифференциальных операторов. Эти задачи возникают также в теории оболочек, гидродинамике и других разделах механики. Богатейшим источником задач спектральной теории является квантовая механика.
Следы операторов играют важную роль в различных разделах анализа, в вопросах приближенного вычисления собственных значений, при решении обратных задач спектрального анализа, их изучение представляет и самостоятельный интерес. Пусть
1 д , п д ч 1 д2 sinO дв дв sin29 дір2 - стандартный оператор Лапласа-Бельтрами на единичной двумерной сфере 52, действующий в гильбертовом пространстве Н = Li2{S2) функций, интегрируемых с квадратом по мере Хаара sinddipdd (ір, в - сферические координаты); Хп — п(п + 1), n = 0, оо, - собственные числа оператора Т, vn = 2n + 1 - кратность собственного числа An; Vn^, і = 0, 2n, - собственные функции оператора Г, которые образуют систему ортонормированных сферических функций. Обозначим через Р оператор умножения на измеримую по Лебегу функцию р : [0, 27г] х [0,7г] -> С, где С - множество комплексных чисел. Пусть /іП)і, і = 0,2n, - собственные числа оператора Т + Р, взятые с учетом алгебраической кратности, такие, что \И"п,г — п{п + 1)| < Const.
Диссертация посвящена получению формул регуляризованных следов для оператора Т + Р в случае негладкого потенциала. Рассмотрены случаи, когда функция р является дважды непрерывно дифференцируемой и когда она удовлетворяет условию Липшица по двум переменным. При этом основным вопросом является доказательство абсолютной сходимости ряда оо Г 2п "| Y, \ 23 ^ - (2п+х) (n+х)п \ п=0 Iг=0 J
В этом случае первый регуляризованный след уже нетрудно вычислить, если воспользоваться методом В.А. Садовничего, В.В. Дубровского, предложенным в [44].
Историография вопроса. Работы Г. Вейля и Э.Ч. Титчмарша явились причиной появления огромного количества работ, связанных с исследованием распределения собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром. Сформировались два основ- ных метода получения асимптотики спектра. Первый из них - вариационный принцип. Он был существенно развит М.Ш. Бирманом и его школой. Преимущество вариационного принципа в том, что он не столь чувствителен, как другие методы, к гладкости коэффициентов, границы области и т.п. С другой стороны, он не дает достаточно точных оценок в асимптотике собственных чисел. Второй метод называется резольвентным. Он связан с изучением резольвенты рассматриваемого оператора или другой функции от него с последующим использованием тауберовых теорем. С этим методом связаны наибольшие достижения последних лет в области спектральных асимптотик.
Обозначим через N(X) число (с учетом кратности) собственных значений оператора А, не превосходящих Л. Исследованию асимптотического поведения функции N(X) при |Л| —> оо посвящено большое количество работ. Г. Вейлем [95] был получен главный член N(X) ~ аХп1т без оценки остаточного члена. Здесь т - порядок оператора Л, п - размерность многообразия, на котором он действует. Им же была высказана гипотеза о существовании второго члена асимптотики N(X) (связанного с граничными условиями, если речь идет о многообразии с краем).
Важным шагом на пути обоснования этой гипотезы явился следующий результат Л. Хёрмандера [82]: пусть А самосопряженный положительный эллиптический дифференциальный оператор на компактном многообразии
М без края. Тогда N{\) = а\п1т + 0{Х{п-1)/т) при Л —> +оо.
Стандартным инструментом исследования более тонкой структуры спектра является получение формул регуляризованных следов исследуемого оператора. Классическим регуляризованным следом порядка а оператора А называется соотношение вида J2(K-Ak(a)) = B(a), (0.0.1) где Xk - собственные числа оператора Д a G К, a Ak(oi) и В (а) - явно вычисляемые через характеристики оператора выражения. Первая формула такого вида для обыкновенных дифференциальных операторов была получена в 1953 году И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном [16], где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. К аналогичным результатам пришел в этом же году Л.А. Дикий [19], используя, правда несколько иные методы. Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы И.М. Гельфанда [15], М.Г. Гасымова и Б.М. Левитана [14], Р.Ф. Шевченко [67], А.Г. Костюченко [31], В.А. Садовничего [50] и многих других. Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов получены В.Б. Лидским и В.А. Садовничим [35]. Ими было установлено, что доказательство формул типа (0.0.1) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра, сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой.
Актуальность темы диссертации. Ситуация значительно осложняется при рассмотрении задач, порожденных дифференциальными операторами с частными производными. Это связано прежде всего со сложной структурой спектра. Так например, V. Guillemin [73] детально изучил спектр оператора — А + р на М, где М - симметрическое пространство с гладким потенциалом, и показал, в частности, что оценка Wi - hi\ = 0(1), i = l,Nk, получаемая методами теории возмущений, не может быть улучшена для вещественнозначной р ф const для всех М, за исключением сферы Sn. Здесь \kj - собственные числа оператора —A, a /і^ - собственные числа возмущенного оператора. Для Sn показано, что эта оценка может быть улучшена лишь для нечетных р (т.е. р(тх) = —р(х) для каждого х Є 5П, где т - антиподальное отображение) до \т - Awl = 0(р), i = l,Nk, и О можно заменить на о только для р = 0.
Таким образом, для асимптотического распределения собственных чисел оператора — А + р получены окончательные результаты. И поскольку, дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра по сути невозможно, необходимо перейти к исследованию более тонкой структуры спектра - получению формул регуляризованных следов. При этом даже для обыкновенных дифференциальных операторов, регуляризованные следы являются, вообще говоря, расходящимися, и возникает задача их суммирования.
Один из подходов - суммирование следов со скобками - был впервые реализован для обыкновенных дифференциальных операторов В.А. Садов-ничим, В.А. Любишкиным и М. Мартиновичем [52],[53]. Следующее существенное продвижение в этой проблеме было сделано В.А. Садовничим и В.В. Дубровским, в их работе [44] был рассмотрен оператор Лапласа-Бельтрами — А + р, возмущенный нечетным гладким вещественнозначным потенциалом р на двумерной единичной сфере S2. Позднее в работе тех же авторов [45] было предложено подробное доказательство формулы оо / 2fc \ .. р J2 Е ДЬ' - *(* + 1)(2* + 1) = "24^ / [Д(Р) + ЗР2]^- к=1 \»=о / g2
В работе [43] эта формула была уточнена, а В.Е. Подольским [86] были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметри- ческих пространствах. Из абстрактных результатов отметим полученные в диссертации В.В. Дубровского [20] формулы суммирования со скобками регуляризованных следов дискретных операторов, для собственных чисел которых имеет место асимптотика А& = 0(к1+є) при к —> +оо и є > 0.
Другой подход - суммирование по Абелю. В работе [37] В.А. Любишки-ным и В.Е. Подольским была предложена формула суммирования методом Абеля первых регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов порядка т > 0 на римановом многообразии размерности п. Существенным ограничением работы было условие т/п > 1, снятое для компактных симметрических пространств в работах [43] и [79]. Отметим, что суммирование методом Абеля впервые применялось В.Б. Лидским [34] в вопросах разложения по собственным функциям некоторых обыкновенных дифференциальных операторов.
Еще можно указать на результаты А.Н. Боброва [6] - [11] по получению регуляризованных следов для псевдодифференциальных операторов, действующих на компактных многообразиях без края, и на результаты по получению формул следов для дифференциальных операторов в частных производных, связанные либо с исследованием ограниченных возмущений точно решаемых методом разделения переменных модельных задач [40], либо с особенностями геометрии рассматриваемых пространств (следы оператора Лапласа на фундаментальных областях дискретных групп преоб- разований в работах [24] и [63]).
Новизна полученных результатов. Однако, во всех вышеперечисленных работах существенным ограничением является то, что потенциал р является бесконечно дифференцируемой функцией. Целью диссертации является получение регуляризованных следов для оператора Лапласа на единичной двумерной сфере с негладким потенциалом. Были рассмотрены два случая негладкого потенциала - в первом случае потенциал р является дважды непрерывно дифференцируемой функцией; а во втором случае потенциал удовлетворяет неравенству Липшица по двум переменным. Для каждого случая были проанализированы поправки теории возмущений, доказана абсолютная сходимость ряда оо / 2к \ ^[^/xfci-fc(fe + l)(2fc + l)j к=0 \г=0 / и вычислены регуляризованные следы. При вычислении следов использовался подход В.А. Садовничего, В.В. Дубровского суммирование со скобками.
Методы исследования. В диссертации используются методы спектральной теории линейных операторов, функционального и комплексного анализа, а также теории возмущений.
Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме Введения, заключения, приложения и списка литературы состоит из трех глав, раз- битых на 10 параграфов.
Первая глава содержит вспомогательные понятия и утверждения. В первом параграфе рассматриваются римановы многообразия. Во втором - описывается оператор Лапласа-Бельтрами. В третьем параграфе приводятся вспомогательные утверждения из функционального анализа и спектральной теории линейных операторов.
Вторая глава посвящена вычислению первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере в случае дважды непрерывно дифференцируемого потенциала. В первом параграфе даны оценки некоторых числовых рядов, которые будут необходимы при анализе поправок теории возмущений. Во втором параграфе проанализирована третья поправка теории возмущений, которая используется при доказательстве основного результата. Третий параграф содержит основные результаты второй главы. Здесь доказана абсолютная сходимость следа и получена его формула. В четвертом параграфе описан численное исследование.
Третья глава посвящена вычислению первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере в случае, когда потенциал удовлетворяет условию Липшица. В первом параграфе исследуется вторая поправка теории возмущений. Во втором параграфе проанализирована третья поправка теории возмущений. В третьем параграфе содержатся основные результаты третьей главы. В нем доказана абсолютная сходимость следа и получена его формула.
Благодарности. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своим научным руководителям профессору Владимиру Васильевичу Дубровскому и доценту Сергею Ивановичу Кадченко за чуткое руководство и стимулирующие дискуссии. Автор так же выражает огромную благодарность заведующему кафедрой математического анализа Магнитогорского государственного университета Татьяне Константиновне Плышевской за помощь при выходе из возникавших затруднений. Кроме того, автор благодарен коллективу кафедры математического анализа Магнитогорского госуниверситета за конструктивную критику.
Некоторые вопросы функционального анализа и теории линейных операторов
Для уменьшения затухания применяется увеличение диаметра медной жилы проводника до 0,55 мм против типовых для витой пары категории 5 значений 0,51 -0,53 мм и использования изоляционных покрытий с уменьшенными диэлектрическими потерями, в частности, из вспененных материалов.
Работы по увеличению переходного затухания на ближнем конце соседней пары (параметр NEXT) ведутся в двух направлениях. Первое из них основано на сохранении структуры сердечника в процессе прокладки и эксплуатации за счет введения в состав кабельного сердечника дополнительного элемента, выполняющего функции его силовой основы. В качестве такого элемента может быть использован центральный пластиковый пруток (кабель типа 1711А фирмы Belden [48]) или полиэтиленовый профилированный элемент (сепаратор) типа СР (Central Crosstalk Cancellation) в форме четырехлучевой звезды в поперечном сечении (кабель LANMark концерна Alkatel и 7812Ф компании Belden). Последний дополнительно за счет укладки каждой пары в индивидуальный паз разносит их друг от друга, что сопровождается заметным увеличением переходного затухания на ближнем конце соседней пары (параметр NEXT) и, соответственно, разности уровней полезного сигнала и помехи (параметр ACR). Второе направление основано на поддержании высокой точности балансировки витых пар, то есть шага скрутки. В этой области известны следующие подходы. Компании Lucent Technologies и NEK/CDT используют тщательный контроль шага свивки проводников во время изготовления кабеля в сочетании с некоторым его уменьшением по сравнению с конструкциями категории 5. Компанией NEK/CDT дополнительно используется скрутка отдельных пар в сердечнике, что также способствует росту величины переходного затухания на ближнем конце соседней пары (параметр NEXT). Подход второго типа продвигает фирма Belden, которая применяет склейку проводников пары. Это гарантирует очень высокую стойкость кабеля к различного рода изгибам с малым радиусом, однако в определенной степени усложняет его разделку в оконечных розетках и на кроссовой панели. Из соображений сохранения структуры сердечника во время прокладки поставка кабелей рассматриваемого вида выполняется в основном на катушках.
Определенный выигрыш по величине суммарного переходного затухания на ближнем конце всех пар (параметр PS-NEXT) обеспечивается за счет разноса отдельных витых пар друг от друга. Это достигается отказом от традиционной круглой внешней оболочки и применением оболочки с близкой к овальной формой поперечного сечения (так называемый плоский кабель). Примерами конструкций такого вида являются кабели MediaTwist компании Belden и 9C6R4 компании Siemon [39,40,48].
Структурные возвратные потери минимизируются ужесточением допусков на возможные флуктуации диаметра жилы, а также эксцентриситет жилы и изоляционной оболочки (до ±1 % против типовых ±3 % для конструкций категории 5).
Дальнейшее увеличение рабочих частот горизонтальных кабелей обычных СКС без индивидуальной подборки параметров отдельных пар с возможностью их использования для сетей передачи данных (то есть по критерию разности уровней полезного сигнала и помехи (параметр ACR) равен 10 дБ) по мнению многих специалистов при современном уровне техники возможно только на экранированных конструкциях.
Применение экранированных кабелей S/STP позволяет существенно увеличить верхнюю граничную частоту. Так многие кабельные заводы серийно выпускают кабели указанного вида, характеристики которых нормируются на частотах вплоть до 1,0 и даже до 1,2 ГГц. Основной областью их применения считаются системы SOHO, передача сигналов приложений класса F и построение обсуждаемых сейчас главным образом в академических кругах систем категории 8.
Массовое применение кабелей рассматриваемого класса сдерживается двумя факторами: отсутствием официальных стандартов, нормирующих параметры линий связи.на чаотах свыше 100 МГц; отсутствием высококачественных широко распространенных высокочастотных разъемов, что не позволяет в полной мере использовать потенциальную пропускную способность кабеля как среды передачи сигнала (более подробно об этой проблеме ниже); существенно более жесткие требования к технологии производства вызывают заметный рост стоимости продукта (примерно на 30 процентов для кабелей UTP с граничной частотой 350 МГц) по сравнению со стандартным кабелем категории 5.
Жесткие требования по помехозащищенности и стабильности временных параметров витых пар, входящих в состав СКС категорий 5 и 6, требуют для их анализа развития методов оценки целостности сигнала.
К высокоскоростным сетевым устройствам в данном случае отнесем сетевые интерфейсы ЛВС со скоростью передачи 100 и 1000 Мбит/с. По сравнению с низкоскоро стньгми аналогами они имеют две основные особенности: широкое применение процедур параллельной передачи информационного потока по нескольким витым парам одновременно; использование многоуровневого кодирования. При этом в каждом конкретном случае применение этих принципов для реализации интерфейса имеет свои особенности.
В качестве интерфейса с наиболее жесткими требованиями рассмотрим интерфейс 1000BaseX,
Сеть со скоростью передачи данных в 1 Гбят/с по четырем неэкранированным витым парам — Gigabit Ethernet I000Base должна работать в полнодуплексном режиме по каналу длиной 100 м с вероятностью ошибки не более 10 10. Для обеспечения возможности передачи информационного потока со скоростью 1000 Мбит/с по электрическим трактам СКС категорий 5 и 6 при разработке сетевых интерфейсов 1000Base использован следующий комплекс мероприятий: для передачи задействованы все четыре пары одновременно, причем передача по каждой паре ведется сразу в двух направлениях; в состав приемопередатчиков введены дополнительные узлы минимизации определенных видов помеховых составляющих; использован специальный алгоритм синхронизации сетевых интерфейсов; применено пятиуровневое кодирование РАМ-5.
Наличие высоких скоростей передачи информации диктует очень жесткие требования к синхронизации интерфейсов 1000Base. Для ее обеспечения они всегда функционируют в режиме Master-Slave. Перед началом работы с использованием расширенного механизма Autonegotiation определяется соотношение приоритетов связываемых устройств. По результатам сравнения интерфейс с более высоким приоритетом (как правило, в его роли выступает коммутирующий концентратор) берет на себя функции мастер-устройства системы синхронизации, подстраивая под частоту своего тактового генератора работу передатчика на дальнем конце. В тех случаях, когда приоритеты связываемых устройств одинаковы, вопрос о выборе мастер-устройства решается жребием.
Входной поток данных со скоростью 1 Гбит/с распределяется равномерно по всем четырем парам, то есть по каждой из них данные передаются со скоростью 250 Мбит/с. Для обеспечения возможности двунаправленной передачи в схеме интерфейса устанавливаются развязывающие устройства (дифференциальная система). Конечная эффективность его функционирования приводит к тому, что в приемник наряду с сигналом от передатчика с дальнего конца поступает также сигнал передатчика ближнего конца (эхо-сигнал), который является помехой. Для минимизации его вредного воздействия ослабленный в определенное число раз передаваемый сигнал, обработанный в аналоговом и цифровом фильтрах (цифровой сигнальный процессор) просто вычитается из смеси входных сигналов приемника. Величина ослабления вычисляется в процессе настройки канала связи перед началом работы.
Оценка третьей поправки теории возмущений
В экранированной витой паре, котлорая рекомендована для применения в высоких категориях СКС, экран локализует электрическое поле, что представляет дополнительную шунтирующую емкость между каждым проводом и экраном. Для дифференциальной моды передачи (полезная информация) результатом является увеличенная распределенная емкость С. Это приводит к уменьшению волнового сопротивления и увеличению задержки распространения сигнала. Дополнительная диэлектрическая изоляция между экраном и изолированной неэкранированной витой парой UTP также увеличивает распределенную проводимость G, которая представляет диэлектрические потери.
Отметим, что экран не влияет на магнитное поле. При дифференциальной моде распространения, экран не несет никакого тока (если бы не ток помех синфазной моды, который является результатом разбаланса линии передачи).
Параметры для STP такие же, как и для UTP, если бы не увеличенная емкость и проводимость. Сопротивление по постоянному току Rdc, и сопротивление скин-слоя R , также изменяются из-за эффекта близости экрана.
Для уменьшения взаимного влияния между цепями при производстве симметричных кабелей применяют согласование шагов скрутки цепей и групп и экранирование цепей. Кроме того, при монтаже кабельных линий проводят операции (симметрирование цепей), позволяющие увеличить помехозащищённость цепей:
Скрутка кабельных цепей и групп, осуществленная с соответствующими шагами скрутки, позволяет значительно уменьшить взаимное влияние между цепями. Это основной способ увеличения помехозащищенности цепей.
Вследствие электромагнитного влияния цепи 1—2, в которой протекает влияющий ток /,, в цепи 3—4 будут наводиться токи помех (/3 и /4). Так как провод 3 ближе расположен к влияющей цепи, то очевидно, что ток помех в нем будет больше, чем в проводе 4, т. е. 73 /4. Поэтому в цепи 3—4 будет наблюдаться результирующий ток помех, равный ІП=І3-І4.
Если вторая цепь скручена в середине, то в проводе 3 будет наводиться токпомех /j+/3)aB проводе 4 — ток I4 + Т4 (со штрихом показаны токи помех от тока 7, в проводах 3 и 4 на участке /,). Результирующий ток помех в цепи 3—4 равен:
Чем чаще будут меняться местами провода 3 и 4 по отношению к цепи 1—2, т. е. чем меньше длина /, тем эффект уменьшения влияния за счет скрещивания проводов сильнее. При больших участках / надо учитывать затухание токов в пределах этого участка. Поэтому полная компенсация токов не будет наблюдаться. Скрутка кабельных цепей аналогична указанному скрещиванию, причем перемена мест проводов цепи происходит не в одной точке, а равномерно по длине кабеля.
Если обе рассматриваемые цепи скрестить в одной точке или скрутить с одинаковыми шагами, то эффект скрещивания пропадает. Поэтому цепи симметричных кабелей скручивают с различными, взаимно согласованными, шагами скрутки, которые подбирают таким образом, чтобы они не совпадали у соседних цепей.
Экранирование кабельных цепей — одно из эффективных способов их защиты от взаимных и внешних влияний. Принцип экранирования заключается в том, что влияющие и подверженные влиянию цепи разделяются металлической прослойкой, которая обычно имеет цилиндрическую форму.
При низких частотах защита цепей экранами производится по принципу электростатического или магнитостатического экранирования.
Электростатическое экранирование состоит в том, что заземленная замкнутая металлическая оболочка окружает защищенную цепь. При этом заряды наводятся внешним электростатическим полем не на проводах цепи, а в указанной оболочке. При надежном заземлении они стекают на землю, и электрического влияния на защищаемую цепь не наблюдается.
Магнитостатическое экранирование заключается в том, что магнитные силовые линии мешающего магнитного поля замыкаются в основном в толще замкнутого металлического экрана, выполненного из ферромагнитного материала {/л »1). Этим осуществляется защита цепи от воздействия внешнего магнитного поля.
Указанные способы экранирования эффективны только при электростатических или магнитостатических мешающих полях, а также лри низкочастотных электромагнитных полях.
При увеличении частоты принцип электромагнитного экранирования состоит в том, что при распространении мешающего электромагнитного поля происходит значительное его ослабление за счет отражения от границы экрана и уменьшения энергии из-за тепловых потерь в толще экрана. Поэтому иа провода экранированной цепи действует электромагнитное поле, значительно ослабленное (W3) по сравнению с первоначальным (W). Величины отраженной энергии соответственно на границах 1 и 2 обозначены W0] и W02. Уменьшение энергии из-за потерь в толще экрана обозначим Wn
Оценка третьей поправки теории возмущений
Идеология системы Mathematica базируется на двух, казалось бы, взаимно исключающих друг друга положениях: решение большинства математических задач в системе может производиться в диалоговом режиме без традиционного программирования; входной язык общения системы является одним из самых мощных языков функционального программирования, ориентированных на решение различных задач (в том числе математических).
Mathematica - типичная система программирования с проблемно-ориентированным языком программирования сверхвысокого уровня. Его можно отнести к классу интерпретаторов. Как известно, языки такого типа последовательно анализируют (интерпретируют) каждое выражение и тут же исполняют его. Таким образом, работа с системой происходит явно в диалоговом режиме - пользователь задает системе задание, а она тут же выполняет его, Mathematica содержит достаточный набор управляющих структур для создания условных выражений, ветвления в программах, циклов и т. д.
Для решения математических задач система содержит огромное число готовых шаблонов. Однако с помощью пакетов расширения (Add-ons) имеется возможность постоянно получать новые примеры, подстраивая возможности системы под запросы любого ее пользователя. К идеологии системы Mathematica надо отнести и комплексную визуализацию всех этапов вычислений, начиная с легко понятного и естественного ввода текстов и формул и заканчивая наглядным выводом результатов в разнообразных формах представления. Особое место при этом играет полная визуализация результатов вычислений, включающая в себя построение огромного числа графиков самого различного вида, в том числе средства анимации изображений и синтеза звуков. Численные расчеты
В инженерных приложениях символьные вычисления занимают достаточно скромное место. Гораздо важнее проведение численных и графических расчетов. Одна из важнейших особенностей пакета Mathematica, заключается в том, что вычисления с целыми и рациональными числами всегда проводятся абсолютно точно, сколько бы цифр ни содержалось в результате или в промежуточных вычислениях.
Различают два вида вещественных чисел: числа с машинной разрядностью и числа с произвольной разрядностью. На большинстве персональных компьютеров машинная разрядность равна 16, Она присвоена в качестве значения системной константе SMachinePrecision. Машинная разрядность используется при вычислениях по умолчанию. Вместе с тем, Mathematica позволяет проводить численные расчеты, используя любую разрядность. Более того, численные алгоритмы пакета Mathematica стремятся поддерживать в процессе вычислений заданное пользователем в исходных данных число верных цифр, хотя это по ряду причин не всегда удается. Контроль пользователем разрядности, равно как и других характеристик численных алгоритмов позволяет проводить численные расчеты с очень большой точностью. Рассмотрим несколько команд.
Команда NSolve предназначена для нахождения приближенных численных решений полиномиальных уравнений и систем уравнений. Она имеет два обязательно указываемых аргумента: систему уравнений и неизвестные, относительно которых решается система, и один опциональный аргумент, указывающий разрядность вычислений.
Численные решения более общих уравнений находит функция FindRoot, использующая алгоритм Ньютона-Рафсона или метод хорд.
Командой, применяемой для нахождения приближенных значений определенных интегралов, является NIntegrate.
В самом общем виде команда NIntegrate находит интеграл, вычисляя предварительно подинтегральную функцию в некоторой последовательности точек. Если выясняется, что в некоторой области происходит быстрое изменение подинтегральной функции, то в этой области появляются дополнительные точки вычисления. Опции MinRecursion и MaxRecursion определяют минимальное и максимальное число таких предварительных оценок. Первая опция установлена по умолчанию на 0, а вторая на 6. Увеличение значений этих опций позволяет вычислить интеграл с большей точностью, но за большее время.
Значение наглядных образов в инженерном творчестве трудно переоценить. Графики и рисунки - прекрасное средство для лучшего понимания особенностей поведения объекта, которое часто остается скрытым в формульном и тем более в численном представлении. Возможность получить немедленно графическое представление численного решения позволяет легко и просто интерпретировать численные результаты и корректировать вычисления или параметры, содержащиеся в задаче.
Графики в системе Matliematica являются графическими объектами, которые создаются (возвращаются) соответствующими графическими функциями. Графическая команда Plot позволяет чертить один или сразу несколько графиков функций от одной переменной. Для функций от двух переменных аналогичную роль играет команда Plot3D.
В силу ряда причин языки программирования разрабатывались так, чтобы максимально облегчить компьютеру задачи компилирования и вычисления. В самом деле, если ресурсы памяти и быстродействия компьютера ограничены, как это было в не столь отдаленное время, то программисту приходится тратить массу времени и усилий в заботе об их эффективном использовании, Первые процедурные языки: Бэйсик, Фортран, Паскаль и др. — позволяют программисту успешно справляться с описанными задачами. Несмотря на значительное увеличение компьютерных ресурсов и самого парка компьютеров, тысячи и тысячи программ пишутся во всем мире на процедурных языках. Однако использование процедурных языков требует особых навыков, трудолюбия и определенного стиля мышления.
Вычисление второй поправки теории возмущений
Из приведенного соотношения следует, что для восстановления сигнала на приемном конце вполне достаточно первой гармоники исходной сигнальной последовательности. Отсюда получаем важный практический вывод о том, что скорость передачи цифровой информации по одной витой паре в одном направлении может вдвое превышать тактовую частоту. Это, неочевидное на первый взгляд, положение следует из того факта, что два перепада импульса цифрового сигнала (или отсчета, по терминологии теоремы Котельникова), необходимые для полного восстановления его формы, присутствуют на половине длительности тактового интервала. При этом вторая половина используется просто как защитный интервал и служит для отделения одного импульса от другого. Таким образом, теоретически для восстановления сигнала на приемной стороне верхняя граничная частота канала связи должна составлять не менее половины скорости модуляции цифрового сигнала. При верхней граничной частоте фильтра, близкой к /»= іг/2, корректная работа декодера становится принципиально невозможной. При уменьшении /ъ ниже fi наряду с «завалом» переднего фронта и спада импульсов начинается также заметное уменьшение их амплитуды. Это приводит к уменьшению отношения сигнал/шум и к падению помехоустойчивости. Для устранения этого нежелательного эффекта на практике расширяют полосу пропускания трактов систем связи на витых парах максимум в два раза относительно теоретического минимума.
Одной из проблем, возникающих при передаче сигналов по высокоскоростным цифровым каналам связи, является необходимость обеспечения синхронной побитной работы передатчика и приемника (или тактовой синхронизации). Она необходима для правильного определения приемником момента времени, в который он должен производить стробирование входного сигнала и декодирование полученной информации. В зависимости от принципа реализации различают асинхронную и синхронную тактовую синхронизацию, которая может быть реализована различными методами.
В асинхронных системах тактовые генераторы приемника и передатчика работают примерно на одинаковых частотах, однако функционируют полностью независимо друг от друга, а синхронизация обеспечивается за счет введения дополнительных импульсов.
В группу синхронных методов тактовой синхронизации входят: синхронизация по выделенному каналу; предопределенные синхропоследовательности; самосинхронизация.
Синхронизация па выделенному каналу заключается в использовании передатчиком и приемником одного общего тактового генератора с передачей его синхросигналов по выделенному параллельному каналу. Это способ широко применяется в каналах связи небольшой протяженности, например в различных вариантах синхронного интерфейса RS-232. Однако для большинства высокоскоростных систем связи, работающих по каналам СКС, использование для синхронизации соседних витых пар оказывается экономически нецелесообразным. Кроме того, на длинных линиях могут возникнуть дополнительные технические трудности, связанные с ненулевой разностью задержек прохождения кабельного тракта информационным и синхронизирующим сигналами (skew).
Предопределенные синхропоследовательности (синхрокомбишщии) периодически вставляются в сигнал на передающем конце между посылками данных. Устройство выделения тактовой частоты приемника настроено на прием такой синхропоследовательности и использует результат ее обработки для постоянной подстройки своего внутреннего тактового генератора. Этот метод чрезвычайно эффективен в смысле использования полосы пропускания канала связи, однако требует достаточно сложных схем выделения синхрокомбинации из непрерывного потока данных с их последующей обработкой и не обеспечивает высокой скорости вхождения в синхронизм, очень важной для большинства типов сетевой аппаратуры ЛВС. Он широко применяется в цифровых системах телефонной связи и другого оборудования, которое устанавливается на сетях связи общего пользования.
Метод самосинхронизации также основан на применении двух разных тактовых генераторов в передатчике и в приемнике, однако не предусматривает выделения отдельных сигналов для их синхронизации. Основная идея его реализации заключается в том, чтобы придать такой вид самому линейному сигналу, который позволяет приемнику постоянно подстраивать частоту своего тактового генератора под частоту сигнала, компенсируя тем самым взаимный дрейф частот синхросигналов. Для этого алгоритм формирования линейного кода выбирается таким образом, чтобы сигнал в линии имел частые достаточно регулярные смены состояния между логическими 0 и 1. Данные переходы являются тем управляющим воздействием, которое осуществляет подстройку частоты тактового генератора приемника. Получившие широкое распространение в ЛВС коды, реализующие рассматриваемый принцип, называются самосинхронизирующими. В отличие от старт-стопного механизма такой способ обеспечения синхронизации не требует наличия защитного интервала между отдельными блоками данных, что позволяет более эффективно использовать пропускную способность канала связи. От метода предопределенных синхропоследовательностей рассматриваемый метод выгодно отличается высокой скоростью вхождения в синхронизм приемника и передатчика.
Кабели на основе витых пар с медными проводниками являются основной средой передачи сигналов в СКС для передачи электрических сигналов (исключая волоконно-оптические линии). Любой рассматриваемый кабель содержит одну или несколько скрученных с различными шагами витых пар проводов и по действующей классификации относится к симметричным. Кроме витых пар он может иметь несколько дополнительных защитных, экранирующих и технологических элементов, которые образуют сердечник. Каждый провод снабжается изоляцией из сплошного или вспененного диэлектрика. Использование последнего несколько снижает удельную массу кабеля и значительно улучшает его частотные свойства, однако приводит к удорожанию готового изделия. На сердечник накладывается защитная оболочка в виде шланга, в большей или меньшей степени предохраняющая витые пары от внешних воздействий и сохраняющая структуру сердечника во время прокладки и эксплуатации. Наличие общей внешней защитной оболочки сердечника является основанием для отнесения рассматриваемой конструкции к классу кабелей. Все прочие электротехнические изделия, также предназначенные для передачи электрических информационных сигналов, в дальнейшем считаются проводами. В зависимости от основной области применения и, соответственно, конструкции, кабельные изделия для СКС на основе витых пар подразделяются на четыре основных вида: горизонтальный кабель; магистральный кабель; кабель для шнуров; провод для перемычек.
На основе кабелей рассматриваемого класса могут быть реализованы все три подсистемы СКС, хотя на внешних магистралях их применение для высокоскоростных приложений класса D затруднено ввиду достаточно жестких физических ограничений на максимальную длину сегмента. На основании этого большинство электрических кабелей предназначены для применения внутри здания. Имеется также ограниченная номенклатура кабелей на основе витых пар, которые могут прокладываться между зданиями. Из-за упомянутого ограничения длины тракта передачи сигналов приложений класса D такие конструкции не получили широкого распространения для поддержки работы ЛВС, однако в массовом масштабе применяются для передачи сигналов низкоскоростного сетевого оборудования, например, УАТС.
