Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор 20
1.1. Обзор работ по рассеянию волн (не волноводные методы) 20
1.2. Обзор работ по рассеянию электромагнитных волн в нерегулярных
волноводах (волноводные методы) 26
Глава 2. Векторная теория трехмерного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума 51
2.1. Электродинамическая задача рассеяния направляемой волноводной моды в интегральном оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума (ЗВ-рассеяние) 51
2.2. Распространяющиеся моды излучения 65
2.3. Затухающие моды излучения 69
2.4. Поляризационные явления при векторном волноводном рассеянии лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях 75
2.5. Потери мощности направляемой моды при векторном волноводном рассеянии 77
2.6. Двухмерное приближение теории волноводного рассеяния при наличии шума (2В-рассеяние) 79
2.7. Погрешность двухмерного приближения теории волноводного рассеяния при наличии шума 81
Глава 3. Характеристики лазерного излучения, рассеянного в статистически нерегулярном интегрально-оптическом волноводе, прямая задача теории волноводного рассеяния лазерного излучения в отсутствие и при наличии шума 91
3.1. Характеристики лазерного излучения, рассеянного в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе. Постановка и решение прямой задачи рассеяния. Точные (не зашумленные) входные данные 91
3.2. Решение прямой задачи рассеяния при наличии случайного аддитивного шума (зашумленные входные данные) 120
Глава 4. Обратная линейная задача теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии и в отсутствие шума 131
4.1. Линейная обратная задача векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума (общий случай) 133
4.2. Линейная обратная задача теории рассеяния лазерного излучения в двухмерном нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии случайного шума. Общие вопросы 134
297
4.3. Решение линейной обратной задачи теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума 136
4.3.1. Интегральное и дифференциальное волноводное рассеяние 137
4.3.2. Восстановление функции спектральной плотности 140
4.3.3. Нахождение оценок параметров нерегулярностей 141
4.3.4. Нахождение оценки автокорреляционной функции 141
4.3.5. Уточнение оценок параметров нерегулярностей 142
4.3.6. Восстановление АКФ нерегулярностей методом классической регуляризации , 143
4.3.7. Улучшение оценок параметров нерегулярностей 143
4.3.8. Восстановление АКФ нерегулярностей методом квазиоптимальной регуляризации 143
4.3.9. Определение параметров нерегулярностей с высоким разрешением 144
4.4. Решение обратной задачи в случае интегрального волноводного рассеяния
при наличии шума (зашумленные входные данные) 144
4.5. Решение обратной задачи в случае дифференциального волноводного рассеяния при наличии шума 147
4.5.1. Применение классического метода регуляризации при решении обратной задачи в случае дифференциального волноводного рассеяния при наличии шума 148
4.5.2. Проблема ширины спектра нерегулярностей при решении обратной задачи (общий случай: входные данные при наличии или в отсутствие шума) Ї 51
4.5.3. Проблема наличия шума при решении обратной задачи. Методы
фильтрации (сглаживания) шума при решении обратных задач 152
4.5.4. Выбор метода сглаживания (фильтрации) шума при решении обратной задачи волноводного рассеяния. Построение алгоритма квазиоптимальной регуляризации 155
4.5.5. Проблемы эргодичности и стационарности при решении обратной задачи волноводного рассеяния 170
4.6. Проблема корректности решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума 174
4.6.1. Существование решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума 174
4.6.2. Единственность решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума 175
4.6.3. Устойчивость решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума 177
4.7. Некоторые оценки, следующие из решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума 180
4.7.1. Оценка минимальной погрешности решения обратной задачи волноводного рассеяния в классе финитных функций (зашумленные входные данные) 180
4.7.2. Оценка точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при неточно заданной информации (зашумлеиные данные) 181
4.7.3. Оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решение обратной задачи (зашумлеиные данные) 183
4.8. Обратная линейная задача теории волноводного рассеяния в отсутствие шума. Постановка линейной обратной задачи теории волноводного рассеяния в отсутствие шума. Проблема корректности решения обратной задачи в отсутствие шума 184
4.9. Решение обратной задачи теории волноводного рассеяния лазерного излучения при не зашумленньгх входных данных 186
4.9.1. Интегральное и дифференциальное волноводное рассеяние в отсутствие шума 188
4.9.2. Восстановление функции спектральной плотности (не зашумлеиные данные) 189
4.9.3. Нахождение оценок параметров нерегулярностей (не зашумлеиные данные) 190
4.9.4. Нахождение оценки автокорреляционной функции (не зашумлеиные данные) 190
4.9.5. Уточнение оценок параметров нерегулярностей (не зашумлеиные данные) ... ...202
4.9.6. Восстановление автокорреляционной функции нерегулярностей методом классической регуляризации (не зашумлеиные данные) 202
4.9.7. Улучшение оценок параметров нерегулярностей (не зашумлеиные данные) 202
4.9.8. Восстановление автокорреляционной функции нерегулярностей методом вазиоптимальной регуляризации (не зашумлеиные данные) 203
4.9.9. Определение параметров нерегулярностей с высоким разрешением (не зашумлеиные данные) 203
4.10. Проблема корректности решения обратной задачи теории волноводного рассеяния при не зашумленных входных данных 203
4.10.1. Доказательство существования решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в отсутствие шума 204
4.10.2. Доказательство единственности решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в отсутствие шума 206
4Л0.3. Проблема устойчивости решения обратной задачи волноводного рассеяния в отсутствие шума 207
4.11. Оценки, следующие из решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в отсутствие шума в классе целых функций 210
4.11.1. Оценка точности решения обратной задачи в классе финитных функций (не зашумлеиные входные данные) 211
4.11.2. Оценка точности решения обратной задачи при неточно заданной информации (не зашумлеиные входные данные) 212
4.11.3. Оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решения обратной задачи (не зашумленные данные) 216
4.11.4. Оценка максимально допустимого среднеквадратичного отклонения нерегулярностей от среднего значения в обратной задаче волиоводного рассеяния лазерного излучения (не зашумленные данные) 217
4.12. Математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие физической модели статистических стационарных нерегулярностей 217
4.13. Проблема сверхразрешения в теории волиоводного рассеяния света при
наличии высокого шума 221
Глава 5. Метод волиоводного рассеяния света. применения метода волиоводного рассеяния 224
5.1. Метод волиоводного рассеяния света 224
5.1.1. Алгоритм восстановления АКФ шероховатости поверхности при наличии шума 225
5.1.2. Алгоритм восстановления ФСП шероховатости в присутствии шума .226
5.1.3. Комплексный алгоритм восстановления АКФ шероховатости поверхности 227
5.1.4. Экспериментальная реализация метода волиоводного рассеяния света. Результаты измерений ; 228
5.1.5. Применение комплексного алгоритма для восстановления экспериментальной АКФ шероховатости подложки волновода 230
5.1.6. Восстановление АКФ шероховатости подложки волновода с использованием канонического ансамбля гауссовых функций 235
5.1.7. Определение геометрических параметров шероховатости поверхности кварцевой пластинки 237
5.1.8. Макет прибора для измерения статистических характеристик шероховатости оптической поверхности 239
5.1.9. Обсуждение результатов измерений 241
5.2. Оценка влияния нерегулярностей интегрально-оптического волновода на пороговые характеристики тонкопленочного лазера 244
5.3. Волноводная сверхразрешающая оптическая микроскопия 247
5.4. Бифуркационные явления в оптическом волноводе со статистическими нерегулярностями 261
5.5. Явление радуги в жидкостном оптическом волноводе со статистическими нерегулярностями 270
5.6. Выводы и заключение 274
Заключение 276
Литература
- Поляризационные явления при векторном волноводном рассеянии лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях
- Решение прямой задачи рассеяния при наличии случайного аддитивного шума (зашумленные входные данные)
- Решение линейной обратной задачи теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума
- Алгоритм восстановления ФСП шероховатости в присутствии шума
Введение к работе
Интенсивное развитие интегральной оптики и волноводной оптоэлектроники за последние 30 лет существенно продвинуло исследования рассеяния светового излучения в нерегулярных интегрально-оптических планарных волноводах (ПВ). Число различных книг, журнальных и других публикаций посвященных данной проблеме достаточно велико (по нашей оценке - несколько сотен).
Совершенствование и активное развитие теоретических и компьютерных методов исследования, быстрый технологический прогресс стимулировали интерес к разработке полной векторной теории волноводного рассеяния в нерегулярном волноводе. Решение этой задачи имеет первостепенное значение для развития нанотехиологий в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике. Трехмерный анализ рассеяния, в отличие от двухмерного, позволяет точнее определить среднеквадратичные параметры нерегулярностей и правильно рассчитать такой важный для устройств интегральной оптики параметр как затухание направляемой моды из-за рассеяния. Кроме того, трехмерное решение электродинамической задачи позволяет намного точнее учесть влияние нерегулярностей на предельные характеристики планарных лазеров. Учет векторного характера полей в ближней зоне позволит рассчитывать трехмерные диаграммы рассеяния в местах расположения субволновых топологических элементов интегрально-оптических структур, на их краях, на элементах связи и т.д. В связи с вышесказанным исследование векторного рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях интегрального планарного волновода является актуальной задачей, имеющей как фундаментальное, так и прикладное значение т.к. полная векторная теория трехмерного волиоводного рассеяния в интегрально-оптическом волноводе с произвольными нерегулярностями при наличии шума еще находится в стадии разработки.
Важно отметить, что в большинстве публикаций, как по однократному, так и по волноводному рассеянию света практически отсутствует постановка обратной задачи рассеяния (ОЗР) и обсуждение связанной с ней проблемы корректности, особенно при наличии шума. Исключение составляют некоторые публикации по классическим проблемам рассеяния, например, на телах различной формы, в которых определяется эффективное сечение рассеяния, поверхностный импеданс или профиль показателя преломления слабо неоднородной среды. А рассмотрение ОЗР, как правило, ограничено аддитивным шумом небольшой величины. Более того - обратная задача волноводного рассеяния, как при наличии, так и в отсутствие шума до сих пор не была решена.
В последние годы повысился интерес к разработке новых высокоточных оптических методов неразрушающего контроля и идентификации микрообъектов в лазерной и интегральной оптике, микро- и наноэлектронике, биологии, медицине, экологии, биофизике, биохимии и других наукоемких областях исследования. Это связано в первую очередь с высокой чувствительностью оптических методов, а также с возможностью оперативного неинвазивного исследования микроструктуры поверхности объектов различной природы. В связи с этим особую важность и актуальность приобрело решение задачи восстановления характеристик и определения геометрических размеров микрообъектов с превышением разрешения Аббе-Рэлея, т.е. со сверхразрешением. В более широком смысле под этой задачей следует понимать задачу существенного повышения разрешения. Эта проблема является фундаментальной как для интегральной оптики, волноводной оптоэлектроники, лазерной оптики, наноэлектроники и др., так и для медицины, биофизики, и других жизненно важных естественных наук. С этой точки зрения метод волноводного рассеяния, позволяющий решить задачу преодоления дифракционного предела, является, несомненно, актуальным и перспективным.
Актуальность темы диссертации определяется:
• активной разработкой в последнее десятилетие фундаментальной математической модели распространения электромагнитного излучения в различных трехмерных волноводах, а также - рассеяния электромагнитного излучения на трехмерных нерегулярностях различных типов волноводов: интегрально-оптических; диэлектрических; фотонных (например, волноводов на основе фотонных кристаллов); металлодиэлектрических и т.д.;
• разработкой векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях при наличии шума высокого уровня; • необходимостью компьютерного моделирования и последующего сравнительного анализа рассчитанных диаграмм рассеяния при различном отношении сигнал/шум и в том числе при уровне сигнал/шум 1;
• необходимостью исследования и решения проблемы корректности обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума;
• потребностью в разработке высокоточного оптического метода исследования, контроля и идентификации объектов с трехмерной субмикронной топологией в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике;
• практической значимостью полученных в диссертации математических и физических результатов для создания новых методов исследования и контроля микрообъектов, а также неоднородных сред и структур в лазерной и интегральной оптике, микро- и наиоэлектронике, биомедицине, материаловедении, физхимии и в ряде других наукоемких областей исследования.
Целью диссертационной работы является разработка фундаментальных основ явления волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума и применение математического моделирования для решения актуальной научной проблемы -разработки математической модели явления волноводного рассеяния при наличии шума. А также для: развития качественных и приближенных аналитических методов исследования математической модели явления волноводного рассеяния при наличии шума; комплексного исследования данной научной проблемы с применением технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента; разработки новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе математической модели.
Для достижения цели решены следующие задачи.
1. Разработана математическая модель векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях при наличии шума,
2. Получены приближенные аналитические выражения для векторных полей в ближней и в дальней зонах, а также для мощности рассеянного излучения в дальней зоне при наличии шума.
3. На основании полученных трехмерных формул с помощью компьютерного моделирования оценена погрешность двухмерного приближения теории волноводного рассеяния.
4. Разработана математическая модель интегрального и дифференциального волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума.
5. Разработан универсальный комплекс программ, с помощью которых методом численного моделирования рассчитаны диаграммы рассеяния лазерного излучения в дальней зоне для статистических нерегулярностей волноводов в плоскости падения при различных уровнях шума. Проведен анализ полученных диаграмм рассеяния.
6. Разработана теория приближенного решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при зашумленпых и не зашумленных входных данных.
7. Разработан высокоэффективный алгоритм нахождения приближенного численного решения обратной задачи волноводного рассеяния, который обладает устойчивостью к малым изменениям во входных данных.
8. Продемонстрированы принципиальные отличия в решениях обратной задачи волноводного рассеяния при использовании классического метода регуляризации и разработанного автором модифицированного метода квазиоптимальной регуляризации, особенно при радиусах корреляции (латеральных размерах) нерегулярностей сравнимых и меньше длины волны лазерного излучения.
9. Показана возможность достижения сверхразрешения при решении обратной задачи волноводного рассеяния, как при точных, так и неточных входных данных. Продемонстрировано сверхразрешение по радиусам корреляции нерегулярностей при уровне шума сравнимом с уровнем сигнала.
10. Получены практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи.
11. Установлены математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие заданной физической модели нерегулярностей.
12. Продемонстрировано применение разработанного в настоящей диссертации метода волноводного рассеяния света, основанного на корректном решении обратной задачи волноводного рассеяния, для восстановления экспериментальной автокорреляционной функции статистической стационарной шероховатости поверхности по данным рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптическом волноводе.
Методы исследования
Для решения поставленных в диссертации задач применялись в основном метод математического моделирования и теоретический метод исследования (опирающиеся на: математический анализ; приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений; теорию возмущений; метод связанных мод; метод функций Грина и метод Фурье; теорию случайных функций; теорию функций комплексного переменного; методы решения некорректных задач и методы теории целых функций), а также различные методы численного анализа разработанных математических моделей. В экспериментах использовался в основном волноводный метод рассеяния лазерного излучения.
Научная новизна диссертации
В работе разработан комплексный метод математического моделирования в теории рассеяния лазерного излучения в нерегулярных волноводах при наличии и в отсутствие шума. Метод позволяет проверять адекватность математических моделей явления волноводного рассеяния на основе экспериментальных данных, полученных в ближней и дальней зонах излучения. В рамках проведенных исследований впервые получены следующие результаты.
1. Разработана математическая модель векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения в несимметричном интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума.
2. На основании разработанной трехмерной теории с помощью численного моделирования оценена погрешность двухмерного приближения и область его применимости при изменении радиуса корреляции нерегулярностей в широком диапазоне, включая радиус корреляции порядка длины волны излучения.
3. Предложена методология расчета диаграмм волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума. Выполнен расчет диаграмм рассеяния лазерного излучения в плоскости падения для ряда интегрально-оптических волноводов при различных уровнях шума.
4. Разработаны фундаментальные основы обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии и в отсутствие шума.
5. Разработан высокоэффективный алгоритм нахождения приближенного решения обратной задачи волноводного рассеяния, который обладает устойчивостью к малым изменениям во входных данных при наличии и в отсутствие шума.
6. Показана возможность достижения сверх разрешения при решении обратной задачи волноводного рассеяния, как при точных, так и неточных входных данных. Компьютерным моделированием продемонстрировано достижение сверх разрешения по радиусам корреляции нерегулярностей при уровне шума сравнимом с уровнем сигнала.
7. Получены некоторые практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума, В частности получены: оценка точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при неточно заданной информации и оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решения обратной задачи при наличии и в отсутствие шума.
8. На основании теории приближенного корректного решения обратной задачи волноводного рассеяния разработана универсальная математическая модель и комплексный алгоритм, позволяющий с помощью квазиоптимальной регуляризации восстановить с высоким разрешением автокорреляционную функцию и определить со сверхразрешением параметры волноводных нерегулярностей.
9, С учетом трехмерного характера рассеяния получена численная оценка предельной пороговой мощности накачки для кольцевого тоикоплеиочного лазера на красителе и для тонкопленочного лазера на красителе сраспределенной обратной связью.
10. Экспериментально обнаружено явление волноводной радуги. На основаниикачественной модели явления сделаны приближенные численные оценки: добротности сфероидальных колебаний и величины поверхностного натяжения капли, находящейся в жидком волноводном слое.
Практическая значимость
Проведенное аналитическое исследование построенной математической модели явления волноводного рассеяния позволило впервые разработать фундаментальные основы корректного решения обратной задачи волноводного рассеяния. Это имеет важнейшее практическое значение для целого ряда отраслей науки и техники, в которых требуется контролировать как влияние статистических характеристик и параметров нерегулярностей объектов на их диаграммы рассеяния, так и определять с высокой точность, в том числе со сверхразрешением, характеристики и параметры нерегулярностей объектов по данным рассеяния. Этим в частности определяется практическая значимость полученных в диссертации результатов,
Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике, как в фундаментальных, так и в прикладных исследованиях явления рассеяния лазерного излучения на нерегулярностях структуры интегрально-оптических волноводов и устройств волноводной оптоэлектроники, создаваемых на их основе. Например, полученные в диссертации результаты могут быть использованы для:
- восстановления с высоким разрешением автокорреляционной функции и определения со сверхразрешением параметров соответствующих нерегулярностей; - оптимизации параметров нерегулярных интегрально-оптических волноводов и оптических интегральных схем, создаваемых на их основе, в частности по такому критически важному параметру как коэффициент затухания волноводной моды.
Разработанные в диссертации математические модели интегрального и дифференциального волноводного рассеяния могут быть использованы для разработки высокоэффективных алгоритмов расчета различных характеристик и параметров рассеяния, как в известных волноводных структурах, так и в новых перспективных волноводах (на основе фотонных сред и др.), а также -синтезировать новые волноводные устройства с заранее заданными, например, минимизированными параметрами излучения (под данным углом, в заданную моду, на данной длине волны и др.).
Методы исследования и алгоритмы, разработанные в диссертации, могут быть использованы в фундаментальных и прикладных исследованиях в таких научных областях как физика микронеоднородных сред, физика поверхностных электромагнитных волн, интерферометрия, дифрактометрия, спектрофотометрия, эллипсометрия, микроскопия, волноводная акустика, биомедицина, физхимия тонких пленок и межфазных поверхностей, экология и в ряде других областей.
Представленные в диссертации результаты были частично использованы в ряде НИР выполнявшихся Российским университетом дружбы народов и ИОФ им. A.M. Прохорова РАН.
Основные научные положения, выносимые за защиту:
1, Аналитическое решение электродинамической задачи рассеяния направляемой волноводной моды в интегрально-оптическом волноводе, содержащем произвольные трехмерные нерегулярности, при наличии шума методом связанных мод с помощью теории возмущений и метода функций Грина.
2. Построение математической модели, позволяющей проводить оценку погрешности двухмерного приближения и области его применимости при изменении радиуса корреляции волноводных нерегулярностей в широком диапазоне. 3. Расчет диаграмм рассеяния в дальней зоне в интегрально-оптических волноводах при изменении параметров нерегулярностей в широком диапазоне значений методом компьютерного моделирования.
4. Разработка теории обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии и в отсутствие шума.
5. Разработка алгоритма нахождения приближенного решения обратной задачи волноводного рассеяния, обладающего устойчивостью к малым изменениям во входных данных.
6. Достижение сверхразрешения при решении обратной задачи волноводного рассеяния, как при точных, так и неточных входных данных, в том числе при различных уровнях и видах шума.
7. Практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума.
8. Математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие решению обратной задачи в отсутствие шума для заданной модели статистических стационарных нерегулярностей.
9. Разработка метода волноводного рассеяния света, позволяющего восстановить с высоким разрешением автокорреляционную функцию и определить со сверхразрешением параметры соответствующих волноводных нерегулярностей.
10. Демонстрация эффективности разработанных методов и алгоритмов при обработке экспериментальных данных волноводного рассеяния лазерного излучения.
Достоверность полученных результатов
Достоверность разработанной теории, построенных математических моделей и полученных теоретических результатов обусловлена последовательностью и строгостью применения выбранных физико-математических методов анализа поставленных задач, а также обоснованностью сделанных при их решении физических и математических предположений. Численные результаты, полученные как автором диссертации, так и другими исследователями в соответствии с двухмерной теорией волноводного рассеяния, следуют из результатов настоящей работы как частный случай. Сравнение параметров нерегулярностей, определенных в соответствии с разработанным в настоящей диссертации методом волноводного рассеяния, с данными независимых измерений (растровый сканирующий электронный микроскоп и др.) показало, что они находятся в хорошем соответствии.
Личный вклад автора
Автору принадлежит выбор научного направления, постановка задач, организация и выполнение теоретических и экспериментальных исследований, а также - численных расчетов методом компьютерного моделирования, получение всех основных результатов и их физическая интерпретация. Вклад автора настоящей диссертации в работы с соавторами заключается в: полноценном участии в разработке теоретических моделей, развитии математического формализма, создании алгоритмов и комплексов компьютерных программ, проведении численных расчетов и экспериментов, определении места предлагаемых автором моделей в спектре современных теорий.
Результаты работы также докладывались: на научных семинарах ряда других кафедр и подразделений Российского университета дружбы народов (РУДН), на ряде конференций Научно-учебного центра физико-химических методов исследований РУДН, на научном семинаре НПО «Оптика», а также на заседаниях секции «Интегральная оптоэлектроника» Московского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С. Попова.
По теме диссертации автором опубликовано 82 печатных работы, из которых: 28 статьи в рецензируемых научных журналах, включая 25 статей в научных журналах, входящих в установленный ВАК перечень периодических научных и научно-технических изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук; 10 - труды Международных конференций, 15 -статьи в сборниках научных трудов; 4 - авторские свидетельства на изобретения и 1 - проспект экспоната ВДНХ. Основные публикации приведены в списке литературы в конце диссертации. Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, и списка цитируемой литературы. Диссертация содержит 300 страниц текста, в том числе 52 рисунка и список литературы из 281 наименования.
Краткое содержание диссертации
Во введении обоснован выбор направления исследований, показана актуальность решаемых в диссертации задач, сформулированы цели и задачи исследований, отмечена научная новизна и практическая значимость полученных результатов, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации и приведено краткое содержание работы.
В первой главе дан обзор работ по рассеянию волн в неоднородных средах (не волноводные методы), а также - обзор работ по рассеянию электромагнитных волн в нерегулярных интегрально-оптических волноводах (волноводные методы). Дана краткая классификация оптических методов исследования объектов. Особое внимание уделено сравнению известных моделей рассеяния. Отмечено, что в практических приложениях обычно используются два метода, следующие из теории: 1) метод зеркальной составляющей и 2) метод диффузной составляющей. Эти методы имеют особенно много разных модификаций и широко описаны в научной литературе (в англоязычной литературе известны в основном метод полного интегрального рассеяния и метод дифференциального рассеяния). Затем рассмотрено достаточно большое число работ, посвященных различным аспектам явления волноводного рассеяния. При этом особо подчеркнуто, что в большинстве работ по рассеянию света в волноводах вопросы корректности обратной задачи волноводного рассеяния практически не затрагиваются, а те работы, где этот вопрос упоминается, не исследуют его с точки зрения решения некорректных задач математической физики.
Во второй главе рассмотрено рассеяние лазерного излучения волноводной моды в интегрально-оптическом волноводе, содержащем произвольные трехмерные нерегулярности, при наличии случайного шума. Методом связанных мод с помощью теории возмущений и метода функций Грина аналитически решена векторная трехмерная электродинамическая задача о рассеянии направляемой волноводноЙ моды в интегрально-оптическом волноводе при наличии случайного шума. Приведены полученные приближенные векторные трехмерные формулы для полей излучения в ближней и дальней зонах, а также выражение для мощности потерь на излучение в дальней зоне. Отмечена важность учета шума и поляризационных явлений при векторном анализе задачи волноводного рассеяния. Показано, что можно упростить трехмерные уравнения, описывающие процесс волноводного рассеяния, если пренебречь рассмотрением возникающих при рассеянии поляризационных эффектов. В конце главы дана численная оценка погрешности двухмерного приближения теории волноводного рассеяния и область его применимости при изменении радиуса корреляции нерегулярностей в широком диапазоне, включая радиус корреляции порядка длины волны излучения.
В третьей главе рассмотрены характеристики лазерного излучения, рассеянного в статистически нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума. Даны определения интегральным и дифференциальным характеристикам лазерного излучения, рассеянного в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе. Сформулирована и решена прямая задача волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума. Для четной ТЕ0-мода излучения в дальней зоне приведено приближенное выражение для электрической составляющей поля рассеянного на трехмерных нерегулярностях симметричного оптического волновода, полученное с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа-Гельмгольца, и проведен его анализ.
Приведены полученные в результате компьютерного моделирования ненормированные диаграммы рассеяния (ДР) в дальней зоне для заданных значений коэффициента фазового замедления волновода в отсутствие шума. Дан анализ динамики диаграмм рассеяния лазерного излучения в рассматриваемом нерегулярном волноводе при изменении эффективного показателя преломления.
Далее рассмотрена прямая задача рассеяния при наличии случайного аддитивного шума. Представлены полученные ненормированные диаграммы рассеяния в дальней зоне при различных уровнях шума. Охарактеризована их динамика при изменении отношения сигнал/шум SNR. В конце главы приведены рисунки реализаций случайного «белого» шумового действительного процесса и графики автокорреляционной функции и функции спектральной плотности. Приведены также формулы, по которым вычислялись оценки автокорреляционной функции и функции спектральной плотности для реализаций случайного «белого» шумового действительного процесса, заданного в области существования наблюдаемых мод излучения.
Характеристики лазерного излучения рассеянного в волноводе, изученные в данной главе диссертации, позволяют получить важную априорную информацию о поведении решения прямой задачи рассеяния при вариации тех или иных параметров, как нерегулярностей, так и исследуемой структуры, а также уровня и вида шума.
В четвертой главе разработаны основы теории обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии и в отсутствие шума. Последовательно дано решение обратной задачи теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума. Последовательность решения задачи проиллюстрирована с помощью схемы, построенной на основании разработанной автором настоящей диссертации математической модели интегрального и дифференциального волноводного рассеяния. Особое внимание уделено комплексному алгоритму квазиоптимальной регуляризации, позволяющему найти приближенное корректное решение обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии высокого шума, в том числе сравнимого с уровнем сигнала. Затем показано, что решение поставленной обратной задачи при наличии шума существует, единственно и устойчиво, т.е. корректно. В заключение даны некоторые практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии шума. В частности получены: оценка точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при неточно заданной информации и оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решения обратной задачи при наличии шума.
Далее сформулирована обратная задача теории волноводного рассеяния лазерного излучения в отсутствие шума. Приведены результаты восстановления автокорреляционной функции и функции спектральной плотности по методу классической регуляризации. Продемонстрировано, что среднеквадратичная ошибка восстановления заданной автокорреляционной функции может быть около 200-300%. Как следствие, определяемые параметры нерегулярностей могут служить в данном случае только некоторой достаточно грубой оценкой искомых значений. Сравнение этих результатов с результатами полученными методом модифицированной квазиоптимальной регуляризации позволяет утверждать, что нашим методом можно получить приближенное корректное решение поставленной ОЗР при наличии шума с относительной среднеквадратичной ошибкой восстановления заданной автокорреляционной функции не более 30%. При этом погрешность восстановления автокорреляционной функции методом квазиоптимальной регуляризации снижена примерно в 8-10 раз (с 200-300% до 22-28%), а точность определения соответствующего радиуса корреляции - в 40 раз! Как пример приведены рисунки с графиками, полученными в результате расчетов на компьютере. Затем доказано, что решение поставленной обратной задачи в отсутствие шума существует, единственно и устойчиво. В заключение даны некоторые практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи волноводного рассеяния в отсутствие шума.
Таким образом, применение разработанного автором метода приближенного корректного решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума высокого уровня позволяет существенно снизить погрешность решения поставленной обратной задачи; в частности показано, что форма восстанавливаемой автокорреляционной функции все более приближается к форме функции, заданной в прямой задаче. Установлены математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие заданной физической модели статистических стационарных нерегулярностей.
В заключение этой главы отмечены некоторые возможные пути дальнейшего повышения точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии высокого случайного шума.
В пятой главе: представлен метод волноводного рассеяния света; сделана оценка влияния нерегулярностей планарного оптического волновода на пороговые характеристики тонкопленочного лазера; рассмотрена волноводная оптическая микроскопия; проведен анализ бифуркационных явлений в нерегулярном оптическом волноводе; описано явление волноводной радуги в жидкостном оптическом волноводе.
В этой главе подробно изложены: комплексный алгоритм восстановления автокорреляционной функции нерегулярностей при наличии шума и алгоритм восстановления автокорреляционной функции с использованием канонического ансамбля гауссовых функций. Для случая комплексного метода решения получено выражение, позволяющее восстанавливать автокорреляционную функцию и определять параметры нерегулярностей со сверхразрешением. Сравнение полученных волноводным методом параметров с параметрами, определенными независимыми методами исследования (оптическая и растровая электронная микроскопия, контактная профилометрия, дифференциальная гетеродинная сканирующая лазерная микроскопия), показало, что они находятся в хорошем соответствии. Новизна полученных решений, разработанного на их основе волноводного метода измерения и устройств для его реализации подтверждена четырьмя авторскими свидетельствами на изобретение.
Далее выполнен учет влияния нерегулярностей планарного оптического волновода на пороговые характеристики тонкопленочного лазера на красителе и тонкопленочного лазера на красителе с распределенной обратной связью.
Затем в пятой главе описан метод когерентной волноводной оптической микроскопии, который основан на использовании явления волноводного «освещения» исследуемого объекта, находящегося в волноводной слое, лазерным излучением направляемой волноводной моды. Изучены основные характеристики волноводного оптического микроскопа и описана динамика их изменения.
При анализе бифуркационных явлений в нерегулярном оптическом волноводе процесс рассеяния направляемой моды рассмотрен как процесс постепенного перехода динамической системы из состояния упорядоченности в состояние хаоса. Анализ перехода нерегулярного оптического волновода из состояния упорядоченности в состояние хаоса проведен качественно с помощью диаграммы волновых чисел, совмещенной с зависимостью коэффициента затухания волноводных мод от коэффициента фазового замедления (управляющий параметр). В конце пятой главы описано обнаруженное экспериментально явление волноводной радуги. Даны оценки: добротности сфероидальных колебаний и величины поверхностного натяжения капли, находящейся в жидком волноводе.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Автор благодарен академику Прохорову A.M. и приносит благодарность участникам руководимого им семинара отдела колебаний ИОФ РАН за интерес к проблемам статистической теории фильтрации шумов в когерентной оптике и доброжелательное обсуждение доклада. Автор приносит благодарность академику Бункину Ф.В. и участникам руководимого им семинара НЦВИ ИОФ РАН за интерес к работе. Автор также благодарен члену-корреспонденту РАН Пустовойту В.И. и участникам руководимого им семинара НТЦ УП РАН за интерес к диссертации и полезные рекомендации. Автор искренне благодарен профессорам Жидкову Е.ЇЇ. и Севастьянову Л.А. и участникам руководимого ими семинара лаборатории вычислительной физики РУДН за постоянное внимание к моей работе и дружескую поддержку. Автор благодарен профессору Золотову Е.М. и сотрудникам лаборатории оптики поверхности ИОФ РАН за интерес к работе и поддержку. Автор признателен профессору Шевченко В.В. за просмотр предварительной рукописи диссертации, полезные рекомендации и доброжелательные замечания. Автор благодарен также профессору Гордееву А.Н. и участникам руководимого им семинара кафедры общей физики РУДН за проявленный интерес к работе, постоянное внимание и поддержку.
Автор выражает также искреннюю признательность преподавателям и сотрудникам факультета физико-математических и естественных наук и других подразделений РУДН, а также - участникам совместных научных конференций и семинаров НИИ РЛ МГТУ им Н.Э. Баумана, МНТОРЭС им. А.С. Попова, МГТУ им Н.Э. Баумана, МАТИ-РГТУ им К.Э. Циолковского, МИФИ, МИЭТ-ТУ, НПО «Оптика», ЦНИИС, НПО «Астрофизика», МГУ им М.В. Ломоносова, НИИ «Полюс», ИРЭ РАН, ОИЯИ, ВГУ, МФТИ и ряда других вузов, институтов и организаций, проявившим интерес к моим исследованиям.
Поляризационные явления при векторном волноводном рассеянии лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях
Для учета в полученном приближенном решении рассмотренной электродинамической задачи распространения света (2.1), (2.2) в планарном оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями деполяризационной составляющей необходимо принять во внимание (в первом приближении) в выражении для источника в уравнениях (2.2) и (2.3) аддитивное слагаемое [V ЕДх,j ,z)j TVE{ ,_} ,г) /е0Л .3 Учет всех составляющих дсполяризационного члена не позволяет получить сравнительно простых выражений типа (2.26), хотя и дает возможность полнее учесть роль поляризационных явлений при векторном волноводном рассеянии. В рамках первого приближения теории возмущений вполне достаточно учета только этого деполяризационного слагаемого.
Опуская математические выкладки, запишем сразу конечное векторное выражение для поля излучения вне волновода (распространяющиеся моды излучения), рассеянного на трехмерных нерегулярностях Пл + V2 +ю -Ко -ко -р ( _\Т? ( v _\ -Lyll -га -и -с позволяющее проводить исследование поляризацизационных явлений в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе. С учетом проведенного выше анализа вида полученной функции Грина, очевидно, что полученное выражение для рассеянного поля (2.26) описывает векторное волноводное рассеяние. При исследовании индикатрис векторного волноводного рассеяния на статистических нерегулярностях требуется априорно знать (или задать) вид функции спектральной плотности или автокорреляционной функции нерегулярностей, а также оптические параметры поверхности и учитывать состояние поляризации падающего и рассеянного излучения. При этом усложняется анализ данных углового рассеяния в прямой задаче рассеяния и особенно - в обратной. Напомним, что в скалярной теории рассеяния единственным серьезным ограничением является малость среднеквадратичной высоты неровностей по сравнению с длиной волны падающего излучения.
Аналогично получаем векторное трехмерное выражение для поля затухающих мод излучения: -Ка +и E(W)= - \ dy jdx 1&1[р(0у\у-у]Уехр(-0,\у-у\)]х -Ly 7 -со - - я +[v{Ee x z ) + E№(x\zO]-/A [e x O + ( ,,z,)]][Ve( ,» , ,)/%]}) хехр(-іД )ехр(-і ) , (2.27) Уравнения (2.26) и (2.27) позволяют провести строгий анализ поляризационных явлений в интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями в присутствие шума, как в дальней, так и в ближней зонах. Для получения точного значения, например, поля излучения в дальней зоне необходимо численно определить значение соответствующего интеграла из общего выражения (2.16) с учетом деполяризации. Приближенное аналитическое выражение поля излучения в дальней зоне можно найти, например, методом стационарной фазы. Мы не проводили подробный компьютерный анализ поляризационных явлений ввиду понятной (хотя и достаточно трудоемкой) процедуры его выполнения. Однако заметим, что теоретический анализ этих уравнений действительно продемонстрировал появление у рассеянного поля кроме компоненты с исходной, например ТЕ-поляризацией, составляющих определяющих ТМ-поляризацию. Поэтому мы можем при определенных условиях говорить о квази-ТЕ и квази-ТМ модах, избегая рассмотрения возникающих в волноводе гибридных мод, имеющих шесть компонент поля, а не три, как ТЕ и ТМ-моды [107]. Напомним, что для гибридных мод не выполняется условие дЕ/ду = 0, т.е. существуют вариации полей в этом направлении. Поэтому при использовании выражения для рассеянного поля в виде (2.26) или (2.27) необходимо оценивать величину эффекта деполяризации как для корректного применения трехмерного анализа электродинамической задачи рассеяния в нерегулярном волноводе с помощью ТЕ и ТМ мод, так и для учета возможного межмодового преобразования ТЕ t ТМ.
Теперь можно найти полную мощность, переносимую всеми ТЕ-модами нерегулярного несимметричного волновода вдоль оси z в виде [85, 87, 97,199]: РУ=Р и \C(v,fi)\2+Z \\q{fi,Pr)Up ЙІ=1 о (2.28) где Р - мощность, переносимая модой по волноводу вдоль оси z через единицу его ширины (по оси у). С учетом выражений (2.12), (2.14) для полученных коэффициентов разложения выражение (2.28) принимает вид: РЪ=Р I А а 2+/,« : + P1E;(X ,Z )K( Z,)+ -LJ 2 -» -о +E№(X ,z )] + [v.[E0y(xU ) + E№(x ,z )]-/Ay[ (xU,) + ( 2 )]] к 2 +» II ш=1 о ,2—2 М2 +» +и An ./.z ) +SP J Jdx fexp -/?) 1 1): -i /Z -") -и E ,v(3:Ul){[E0j(x ,z,) + E0,r(x ,z )] + X - А dfe j dp (2.29)
Выражение (2.29) учитывает поляризационные явления в волноводе. Видно, что в (2.29) достаточно четко выделяется аддитивная составляющая мощности шумов. Это обстоятельство позволяет гибко использовать данную модель шума, являющегося эффективной суммой шумов разной природы приведенных к плоскости волновода, при рассмотрении прямой и обратной задач векторной теории волноводного рассеяния света при наличии шума
Решение прямой задачи рассеяния при наличии случайного аддитивного шума (зашумленные входные данные)
При использовании точечного фотоприемника зашумленная диаграмма рассеяния Рф, y)w (измеренная в плоскостях xz, ху, yz и др.) может быть представлена в дальней зоне (здесь в диаграмме рассеяния восстановлена шумовая составляющая (w{p,yfj .Pw{p.y ) E x z) )в виде [70-73, 80-85]: + (w(B у)) (АГ)),=Ч, Ф(АГИАГ)И } у " (3-8) где W0, у) - интенсивность статистического (например, не синусоидального) аддитивного или мультипликативного действительного шума, заданного в области измерения диаграммы рассеяния (вопрос о природе шума в экспериментах рассмотрен в 5-й главе диссертации; см. также работу [80]). Полагается, что диаграмма рассеяния измеряется «мгновенно» в фиксированные моменты времени (например, с помощью линейки фотодиодов), а затем используется среднее по ансамблю. Поэтом} зависимость шума от t не учитывается. Первое слагаемое в правой части уравнения (3.8) является диаграммой рассеяния при уровне SNR 102 [61, 69]. Диаграмма рассеяния (оптический образ объекта) записывается в виде дискретного цифрового набора значений интенсивности отклика в 3-10 -3-Ю3 точках отсчета. При необходимости переход от В к углу рассеяния в (см, диаграмму волновых чисел Д р на рис. 2.2) осуществляется в соответствии с равенством В = кщсо$9 где щ - показатель преломления среды, в которой производится измерение. Рассматривались известные в физике функции спектральной плотности тестовой статистической стационарной шероховатости поверхности подложки ПВ: гауссова, экспоненциальная (лоренцевский спектр), типа «белого» шума и ограниченного (прямоугольного) низкочастотного спектра. Спектры - гауссов, лоренцевский, типа «белого» шума и ограниченный (прямоугольный) - задавались в следующем виде [23,41]: -ехр -(/?0-/?)V/2 L 2а2 -і) [(А-/О 2 -2 + Г ті (3.9 а) (3.9 б) И = 4/гсг kl (3.9 в) яагг (3.9 г) где Д = к? - модуль продольной составляющей волноводной моды (см. диаграмму волновых чисел на рис. 2.2). Соответствующие им АКФ В(и) имеют вид гауссовой, экспоненциальной, дельта функции типа 3(и) и функции типа sinx/x:
В формулах (3.11) и (3,12); АР - это рассеянная на нерегулярном участке мощность излучения; Р0 - мощность падающей волноводной моды; heff - эффективная толщина волновода, heff = h + ( - Д2) 1/2 -ь(Д,2 -Д2)"1 2; K22j3 = k2rf2 э - 2 это поперечные постоянные распространения мод излучения в различных средах, образующих волновод; П]2,з - показатели преломления покровного слоя (воздуха), волноводного слоя и подложки соответственно; (p\t 2. з - это фазовые сдвиги на различных границах волновода [97, 102, 103]. Полагается, что рассеяние на неоднородиостях показателя преломления (включая под поверхностные дефекты) много меньше рассеяния на неровной (-ых) границе (-ах) раздела сред волновода. Кросскорреляциоииыми связями между неровными границами во втором случае также пренебрегаем.
Из полученных в результате компьютерного моделирования для ФСП в виде (3.9) ниже приведены только наиболее характерные ненормированные диаграммы рассеяния волноводных мод ТЕ0 и ТЕ і в плоскости падения для гауссовой ФСП шероховатости исследуемой поверхности симметричного ПВ с п\ - щ - Ї.46 при различных уровнях шума. На рис. 3.16-3.19 показаны диаграммы рассеяния суммы мод ТЕ0 и ТЕ) в дальней зоне в диапазоне наблюдаемых мод излучения подложки и подложко-покровных мод излучения для следующих значений у: кривая 1 - 1.475, кривая 2 - 1,525, кривая 3 - 1,555, кривая 4 - 1.570 (им соответствует толщина волновода: h = А/5, Д/2, X, ЗЯ/2). Уровень отношения сигнала к шуму SNR 10 и 1 (для рис, 3.17).
Для объемных неоднородностей гауссова ФСП имеет аналогичное (3,9) выражение с той разницей, что вместо среднеквадратичной высоты эффективных неровностей а стоит среднеквадратичное отклонение показателя преломления волноводного (Дя2) слоя от среднего значения п2, а вместо интервала корреляции поверхностных неровностей г - интервал корреляции неоднородностей показателя преломления г, v (характерных объемных неоднородностей).
Использование нормального распределения (3.6), (3.9 а) при модельном анализе закономерно, т.к. в силу центральной предельной теоремы большинство реальных случайных процессов в физике, оптике и т.д. являются гауссовыми. Для неоднородностей волноводного слоя диаграммы рассеяния подобны приведенным на рис. 3.16 - рис. 3.19, но имеют менее изрезанный характер по краям в области излучательных мод подложки волновода.
Для сравнения ДР при разном уровне SNR на рис. 3.17 даны диаграммы рассеяния для параметров шероховатости т=5 нм, г = 30 нм при SNR 1. На рис. 3.18 и 3.19 приведены диаграммы при (7 = 5 ими SNR- 10 для г = 60 нм (-2/10) иг = 0.3 мкм ( 2/2) соответственно. Динамика зашумленных диаграмм рассеяния при изменении у хорошо видна из рис, 3.16 - рис. 3.19 и вполне соответствует динамике ДР без шума (см. предыдущий подраздел).
Однако анализ диаграмм рассеяния при SNR 1 (рис. 3.17) показывает, что когда уровень шума сравним с уровнем сигнала, практически невозможно использовать зрительное сравнение как теоретических ДР друг с другом (например, при разном у), так и экспериментальных диаграмм рассеяния с расчетными для их априорной идентификации, например, для выбора наиболее подходящего у для решения ОЗР.
На рис. 3.20 и рис. 3.21 как пример приведены две нормированные реализации случайного «белого» шумового действительного процесса W(fit у\ заданного в области существования наблюдаемых мод излучения Д є (-кщ, кщ). На рис. 3.20 число точек по /? взято меньше, чем на рис. 3.16 - 3.19 и на рис. 3.21. Значения действительного процесса Wifi, у) распределялись с помощью генератора случайных чисел равномерно между 0 и заданным уровнем шума. ФСП данного шума, как видно из рис. 3.23, является равномерной во всей области задания [7, 80, 94, 240]. С учетом конечной точности счета на компьютере и ограниченного интервала задания шумового процесса, график автокорреляционной функции шума имеет вид, близкий к функции sinx/x (см. рис. 3,22), а не к дельта функции. При этом спектральная плотность имеет вид прямоугольного низкочастотного спектра [7], т.е. ее форма близка к ожидаемому виду (см. рис. 3.23).
Решение линейной обратной задачи теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума
Исследование двухмерной обратной задачи волноводного рассеяния проведем для простого симметричного волновода. Запишем выражение для интегральной интенсивности рассеянного света в общем виде [81, 93, 234]: AF \( b(P\y)F(p\r))dpi = (Pw) (4.1)
В уравнении (4.1): А - это линейный интегральный оператор с ядром Ф(/? , у). действующий из линейного метрического пространства G в метрическое пространство Я; F(J$t у) - функция спектральной плотности статистических нерегулярностей, т.е. функция относительно которой решается обратная задача; {Р) - рассеянная в волноводе мощность; (Pw) = (Р) + (W ); W - это интенсивность статистического (например, не гармонического) аддитивного или мультипликативного действительного шума, заданного в области измерения диаграммы рассеяния. Ядро Ф - это волноводный оптический фактор (некоторая характерная оптическая передаточная функция волновода).
Линейность задачи понимается в смысле линейной зависимости (?) от F(fi\y) в (4.1). При измерении диаграммы рассеяния точечным фотодетектором произведение функций Ф(/7 , у) и F{fi\ у) фактически является диаграммой рассеяния Р(р, у). Анализ уравнения (4.1) показывает: а) решение обратной задачи в виде F = A i(P\ может не существовать, например, если А не существует (не выполняется первое требование корректности), где А - оператор обратный к А; б) даже если такое решение задачи F существует, оно может не обладать свойством устойчивости, поскольку зачастую оператор А 1 не является непрерывным (не выполняется третье требование корректности).
Следовательно, поставленная линейная обратная задача волноводного рассеяния в этих случаях не является корректной по Адамару. Если все же оператор А существует, но нет устойчивости решения, то это делает обычно невозможной физическую интерпретацию результатов измерений, поскольку условие устойчивости является следствием физической детерминированности поставленной задачи волноводиого рассеяния лазерного излучения. Заметим, что выполнение этого условия являлось необходимым при компьютерном моделировании решения обратной задачи волноводиого рассеяния при неточных входных данных.
Таким образом, возникают две основные проблемы. Что понимать под решением поставленной обратной задачи волноводиого рассеяния? Как построить такой алгоритм нахождения приближенного решения задачи, который обладает устойчивостью к малым изменениям во входных данных, например, в диаграмме рассеяния, по которой восстанавливается функция спектральной плотности и/или автокорреляционная функция нерегулярностей (являющаяся Фурье-преобразованием ФСП). Решение первой проблемы позволяет удовлетворить первому требованию корректности (существование решения). Для решения второй проблемы, как правило, используется дополнительная информация об искомом решении [11, 234]. Эта дополнительная информация должна отражать сущность рассматриваемого физического явления - в нашем случае - явления волноводиого рассеяния лазерного излучения. Такая информация имеет количественный (например, погрешность измерения) или качественный (например, гладкость, монотонность, неотрицательность решения и др.) характер. Эта дополнительная информация должна быть учтена при построении математической модели решения обратной задачи. В обоих случаях с математической точки зрения фактически появляется возможность сузить класс возможных решений обратной задачи.
В первом случае - до компактного множества [11, 88, 234]. Во втором -множество возможных приближенных решений (класс допустимых функций) часто не является компактным, а, кроме того, изменения правой части уравнения (4.1) при не точных входных данных (особенно при высоком уровне шума) могут выводить ее значения за пределы множества, на котором правая часть определена. Такие задачи называются существенно некорректными. Тихонов (1963) разработал новый подход к решению таких задач, основанный на понятии регуляризирующего оператора. В обоих случаях удается сделать поставленную некорректную обратную задачу волноводиого рассеяния устойчивой к малым изменениям во входных данных - в диаграмме рассеяния измеренной в дальней зоне [88, 93].
Сравнение диаграмм рассеяния проводится обычно в среднеквадратичной метрике или в равномерном смысле [71, 80-83, 93]. В первом случае под приближенным «решением» некорректной обратной задачи волноводного рассеяния понимается некоторая ФСП или АКФ, восстановленная из данных рассеяния в дальней зоне, наиболее близкая в среднеквадратичном смысле к заданной функции и устойчивая к малому изменению входных данных (например, изменениям интенсивности диаграммы рассеяния). Во втором случае оценка близости восстановленной функции к заданной проводится в так называемой «поточечной» топологии, когда стремятся добиться полного совпадения заданной и восстановленной в обратной задаче функций в каждой точке независимой переменной (J3 - для ФСП или и для АКФ). Заметим, что ошибка восстановления в «поточечной» топологии может доходить до 100-200%, т.к. полное «восстановление» возможно только в отсутствие шума и в ограниченном интервале изменения радиуса корреляции нерегулярностей. Анализ явления волноводного рассеяния в статистически нерегулярном оптическом волноводе позволяет воспользоваться обоими подходами к решению обратной задачи. Следует подчеркнуть, что решение обратной задачи теории волноводного рассеяния света имеет как фундаментальный, так и прикладной интерес, особенно с точки зрения развития векторной теории волноводного рассеяния в статистически нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума.
Алгоритм восстановления ФСП шероховатости в присутствии шума
В частности, при нахождении членов ряда Тейлора (4.57), где коэффициенты разложения Fm = Fifis) = P(J3S, у)-ФАф5і y) w вычисляются в точке Д. внутри диапазона (-Дз, +/). Необходимо оценить влияние ошибки измерения P(fix,y) па точность вычисления значений аппроксимирующего ряда (4.57) F{fis + АД,х) ПРИ заданных значениях N и АД. В частности, определить, как далеко можно аналитически продолжить ряд (4.57) за пределы диапазона (-Дз, +Дз), т.е. за пределы диапазона наблюдаемых мод излучения.
В предыдущем подразделе (см. рис. 4.13 и комментарий к нему) установлено, что можно аналитически продолжить ряд (4.57) за пределы диапазона (-Д3, +Д3), по крайней мере, на интервал вдвое превышающий заданный. Как следует из компьютерных расчетов в отсутствие шума, при величине АД равной примерно двойному диапазону наблюдаемых мод рассеяния ошибка определения коэффициента ,Р(Д, +АД,х) может доходить до 100-200%, что существенно ниже, чем в случае зашумленных данных.
Погрешность аналитического продолжения аппроксимирующего ряда (4.57) F{ps +АД, ) за пределы диапазона наблюдаемых мод излучения в отсутствие шума может быть понижена с помощью разработанного нами метода квазиоптимальной регуляризации решения обратной задачи волноводного рассеяния [59-61, 63, 88].
Оценка максимально допустимого среднеквадратичного отклонения нерегулярностей от среднего значения в обратной задаче єолноеодного рассеяния лазерного излучения (не зашумленные данные)
Оценка максимально допустимого среднеквадратичного отклонения нерегулярностей от среднего значения (в частности, среднеквадратичной высоты неровностей границ раздела сред волновода) может быть получена в теории вояноводного рассеяния лазерного излучения различными способами. Мы используем для этой цели в отличие от использованного нами ранее соотношения неопределенностей Гейзенберга при анализе проблемы Аббе-Рэлея и определении допустимых значений геометрических параметров нерегулярностей [50], условие компактности (4.74) допустимого пространства решений.
Положим в выражении (4.74) для определенности о = атж у функции F„ (/?,/).
Затем рассчитаем значение оптической передаточной функции для симметричного интегрально-оптического волновода, аналогичного рассмотренному, например, в работах [61, 80, 81, 88]. Максимально допустимое значение коэффициента затухания направляемой моды ограничено сверху величиной 10"1 (использовано первое приближение теории возмущений). Тогда в диапазоне значений радиуса корреляции нерегулярностей г X среднеквадратичная высота неровностей границ раздела (например, шероховатостей подложки ПВ) будет ограничена значением: а 1000 А, Оценка, получаемая из анализа возможности регистрации минимально допустимой длины трека волноводной моды, дает максимально допустимую величину а 500 А.
Математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие физической модели статистических стационарных нерегулярностей
Теперь можно привести некоторые общетеоретические рассуждения модельного характера, следующие из полученного решения обратной задачи теории волноводного рассеяния лазерного излучения при точных входных данных в классе целых функций, позволяющие описать математические свойства полученного решения на всей действительной оси постоянных распространения /7 е(-со,+«э).
По условию задачи (см. подраздел 4.9) физическая модель рассматриваемого явления (здесь это - нерегулярность волновода) сводится к следующим признакам (характеристикам): 1) рассматривается чисто статистическая нерегулярность; 2) процесс стационарен (исследуемая нерегулярность является стационарной изотропной, в общем случае - это трехмерный случайный изотропный непрерывный процесс [4, 7, 10]); 3) процесс эргодичен; 4) нерегулярность задана на конечном отрезке.
Как следствие, действительная функция спектральной плотности таких нерегулярностей будет обладать следующими математическими свойствами [88]: 1) непрерывность в силу непрерывности определяющих ее функций в (4.56); 2) ограниченность (существуют некоторые максимум и минимум ФСП на заданном отрезке оси ft в силу непрерывности ФСП); 3) расположение целиком выше оси действительных постоянных распространения /ї в силу положительной определенности величин определяющих ФСП в (4.56); 4) симметричность (осевая) распределения F(J5,y) относительно оси ординат с абсциссой /? - /?0 (латеральный вектор решетки в непрерывном спектре нерегулярностей К = 0) в силу случайности и стационарности процесса; 5) четность в силу стационарности процесса; 6) асимптотическое убывание от максимального значения распределения при /? - /50 с ростом /? (или К) в силу чисто случайного характера нерегулярностей (т.к. в таком спектре существуют гармонические решегки с различными К, то среди них всегда есть решетки с К - 0 и К- вд, т.е. решетки с периодами Л - со и Л - 0 соответственно; из этого следует, что при А.р -» « статистическая зависимость между и и (и + г) будет ослабевать, так что Л(0)й_ 0 - max, а Л(« )я-хо - 0); 7) усредненный характер распределения (в силу свойств интегрального преобразования Фурье); 8) отсутствие в распределении дельта подобных выбросов, обусловленных бесконечно протяженными регулярными решетками (следствие ограниченности области нерегулярности и чисто случайного характера нерегулярностей);
