Введение к работе
Актуальность работы. На современном этапе развития автомобильной, авиационной техники, строительных технологий одной из важнейших проблем становится оценка надежности сложных механизмов и конструкций.
Для решения этой проблемы, безусловно, необходим комплексный подход, использующий различные методы, в том числе и методы математического моделирования.
Следует отметить фундаментальные работы В.В. Болотина, в которых изучается устойчивость упругих систем, а таюке методы решения важных практических задач теории упругой устойчивости; работы Д.Д. Ивлева, которые имеют фундаментальный характер для всей механики деформируемого твердого тела (большой вклад им был внесен в математическую теорию пластичности).
В то же время при моделировании упругого состояния систем тел, находящихся под воздействием случайных факторов, достаточно ограниченно применялся хорошо развитый аппарат краевых задач для аналитических функций и их обобщений. Это связано с тем, что традиционно в краевых задачах полагается, что коэффициенты, входящие в граничные условия, - это детермшшровапные функции, принадлежащие пространству функций Гёльдера.
В работах B.C. Рогожина, М.П. Ганина, И.А; Соколова были рассмотрены краевые задачи для бианалитических функций в случае контуров, представляющих собой окружность. В работах С.А. Редкозубова, А.В. Юденкова были предложены общие алгоритмы решения краевых задач для бианалитических функций, основанные на теории интегральных сингулярных уравнений, конформных отображений, получены эффективные методы
- -ev>
решения задач теории упругости для изотропных и анизотропных тел, для контактных задач.
Напомним, что ещё в 1909 году Г.В. Колосов положил начало серьезному применению теории функций комплексного переменного (ТФКП) к плоской задаче теории упругости. В частности, им бьшо обнаружено, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости изотропного тела могут служить краевые задачи для бианалитических функций, т.е. функции вида (Po(z) + Щі(?), где (p0(z) и cpi(z) - аналитические функции.
В дальнейшем теория краевых задач для бианалитических функций и их обобщений (а также их применение) развивалась в работах Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова, В.П. Векуа, Г.Н. Савина, Э.М. Карташова, М.Б. Балка, С.Г. Михлина, Л.Д. Ландау, А.И. Каландия, Д.И. Шермана, Г.Ф. Манджавидзе, 3. Пресдорфа и других отечественных и зарубежных математиков.
К настоящему времени теория краевых задач для бианалитических функций и их обобщений в основном построена на классических математических моделях. В общепринятых моделях полагается, что нагрузки, действующие на тело, и форма тела описываются детерминированными функциями, принадлежащими пространству функций Гёльдера. В то же время на практике эти характеристики могут являться случайными функциями.
Поэтому на данный момент актуальной научной задачей является расширение пространства функций, на которых рассматриваются краевые задачи, с целью построения более общей математической модели, учитывающей случайный характер нагрузок и форму тела.
Цель работы состоит в создании общего алгоритма решения краевых задач для бианалитических функций и их обобщений на пространстве случайных функций, сходящихся в среднем квадратическом, и применении полученных результатов для построения математических моделей
напряженного состояния тела с учетом случайного характера нагрузок и формы контура.
Основная пдея работы заключается в том, чтобы при построении математической модели напряженного состояния упругого тела использовать краевые задачи, заданные на специальном пространстве случайных функций, сходящихся в среднем квадратическом.
Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались методы ТФКП, математической теории упругости, теории интегральных уравнений, теории случайных функций, методы математического моделирования.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
Определены основные операторы и исследованы их свойства на пространстве случайпых функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом;
Получены эффективные решения основных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений на пространстве случайных функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом;
Предложена" математическая модель основных задач теории упругости, учитывающая случайный характер нагрузок и форму тела;
Исследована математическая модель на разрешимость и устойчивость.
Достоверность и обоснованность результатов подтверждаются
строгостью проводимых математических обоснований при формулировании и доказательстве основных положений, результатами численных расчетов, проведенных на задачах теории упругости однородного тела. Новизна работы состоит в следующем:
Было расширено пространство функций Гёльдера на пространство
случайных функций и определены для нового пространства основные
операторы, необходимые для решения краевых задач;-
На новом пространстве функций поставлены и исследованы краевые задачи для бианалитических функций (задача Римана, Гильберта и типа Карлемана) и их обобщения;
Проведено исследование краевых задач для бианалитических функций на устойчивость;
Изучены математические модели основных задач теории упругости с учетом влияния случайных факторов.
Научное и практическое значение работы состоит в том, что расширен класс функций Гёльдера на класс случайных функций; на новом классе функций исследованы краевые задачи для случайных аналитических функций, которые позволяют решать важные практические задачи теории упругости, а также разрабатывать новые эффективные численные методы их решения.
Реализация результатов исследования. Результаты работы используются для проведения специальных курсов на кафедрах механизации, информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская ГСХА», при проведении факультативных занятий со студентами филиала ГОУ «Московский государственный индустриальный университет» в г. Рославле Смоленской области, а также рекомендованы для использования при проведении НИОКР на 2009-2015 годы конструкторской службой ЗАО «Рославльский автоагрегатный завод» АМО ЗИЛ для совершенствования качества технической подготовки освоения новых изделий.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на IX Всероссийском симпозиуме по'прикладной и промышленной математике (2008, Весенняя сессия, Кисловодск), а также докладывались на кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия», кафедре общематематических и естественнонаучных дисциплин филиала ГОУ «Московский государственный индустриальный университет» в г. Рославле Смоленской области, на кафедре высшей математики ГОУ ВПО «Московский государственный горный университет».
Публикации. Основные положения диссертации отражены в 5 научных работах.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения; содержит список литературы из 102 наименований и 3 иллюстрации.
