Содержание к диссертации
Введение 5
Глава 1. Краевые задачи для аналитических функций 11
1. Основные положения граничной теории аналитических функций... 11
п. 1. Теорема единственности 11
п.2. Граничные свойства аналитических функций 12
2. Краевые задачи для аналитических функций 15
п. 1. Краевая задача Римана 15
п.2. Задача Гильберта 17
3. Краевые задачи со сдвигом для аналитических функций 19
п. 1 Краевые задачи со сдвигом для кусочно-аналитической
функции 19
п.2. Задача типа Газемана для кусочно-аналитических функций 21
п.З. Задача Карлемана для аналитической в области функции. 22
п.4. Задача типа Карлемана 24
Выводы 1 главы 2
Глава 2. Краевые задачи для полианалитических функций.
Граничные свойства полианалитических функций 28
4. Основные понятия теории полианалитических функций 28
п.1. Основные определения 28
п.2. Основные задачи теории упругости, краевые задачи для
бианалитических функций 30
5. Основные краевые задачи для полианалитических функций 32
п.1. Постановка краевых задач для полианалитических функций.... 32
п.2. Задача типа Карлемана для бианалитических функций 35
п.З. Основные результаты теории краевых задач для
полианалитических функций 43
6. Теорема единственности для полианалитических функций 44
п. 1. Теорема единственности для бианалитической функции, за
данной на двух концентрических окружностях 44
п.2. Теорема единственности для полианалитических функций порядка п, заданных на п контурах, ограничивающих области с конформноотображающей функциями
а>л(4) = Л4(^ + в22+... + вД") (A = 1,2,...,11) 47
п.З. Теорема единственности для полианалитических функций порядка п, заданных на п контурах, ограничивающих области с конформноотображающими функциями
<$=ib(^+e+^2+».+«JH (к = \,2,...,п) 49
Выводы 2 главы 51
Глава 3. Основные краевые задачи для бианалитичееких функций и
их обобщений, заданные на двух контурах 52
7. Задачи Римана 52
п. 1. Задача Римана для бианалитичееких функций 52
п.2. Однородная задача Римана для бианалитичееких функций 58
п.З. Неоднородная задача Римана для бианалитичееких функций... 60
п. 4. Задача Римана для полианалитических функций порядка п .. 63
п. 5. Пример решения обратной задачи Римана для
бианалитичееких функций 64
8. Задача Газемана для бианалитичееких функций 67
п. 1. Постановка задачи Газемана для бианалитичееких функций... 67
п. 2. Задача Газемана для бианалитичееких функций по скачку 68
п.З. Решение задачи Газемана для бианалитичееких функций 70
п.4. Задача Газемана для полианалитических функций порядка п,
заданная на п концентрических окружностях 72
9. Задача типа Карлемана для бианалитичееких функций, заданных
на двух контурах 72
п. 1. Постановка задачи типа Карлемана для бианалитичееких
функций заданных на двух концентрических окружно стях 72
п.2. Задача типа Карлемана по скачку для бианалитической
функции, заданной на двух концентрических окружностях 75
п.З. Задача типа Карлемана для бианалитичееких функций,
заданных на двух концентрических окружностях 79
п.4. Задача типа Карлемана для бианалитичееких функций,
заданных на двух контурах, ограничивающих конечные
области Di и D2 80
п.5. Задача типа Карлемана для бианалитической функции,
заданной на двух контурах, ограничивающих две конечные
области Щ и 1>2 83
Выводы 3 главы 84
Глава 4. Математические модели основных задач теории упругости,
построенные на обратных краевых задач для 86
бианалитических функций
10. Решение задач теории упругости при помощи математической модели, основанной на краевой задаче типа Карлемана для
бианалитических функций 86
п. 1. Решение первой задачи теории упругости для кругового диска 86
п.2. Вторая основная задача теории упругости в случае, когда известна одна компонента смещений на двух
концентрических окружностях 90
п.З. Смешанная задача теории упругости на двух концентрических
окружностях 91
п.4. Первая основная задача теории упругости для эллиптических
областей : 94
11. О численной реализации решения краевых задач для
бианалитических функций, заданных на двух контурах 98
Выводы 4 главы 102
Общие выводы 103
Литература 104
Приложение 114
Введение к работе
Актуальность темы. Построение математических моделей сложных строительных и коммуникационных сооружений для расчёта неизвестных компонент напряжений и деформаций требует системного подхода. При этом для разработки математического аппарата приходится не только использовать хорошо известные математические теории, но и разрабатывать новые.
В теории упругости различают первую основную задачу - когда по известным напряжениям необходимо определить деформации и вторую основную задачу, в которой по известным компонентам деформации определяются компоненты напряжения. Кроме этих двух основных задач различают смешанные задачи, в которых может быть задано несколько компонент напряжения и смещения. На практике встречается ситуация, когда известных компонент напряжения и деформаций недостаточно для определения напряжённого состоянии упругого тела. В этом случае возникает вопрос нельзя ли сделать задачу теории упругости определённой, используя свойства контура. При этом придётся использовать краевые задачи особого вида, так называемые обратные краевые задачи.
Необходимо отметить, что впервые краевые задачи для аналитических и бианалитических функций были применены для решения задач теории упругости в работах Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили. Разработанные ими методы получили дальнейшее развитие в трудах М.А. Лаврентьева, Г.Н. Савина, Г.С. Лехницкого, А.Г. Угодчикова, А.И. Каландии, Ф.Д. Гахова и других отечественных и зарубежных учёных.
Также эффективным средством математического моделирования напряжённого состояния упругого тела являются системы сингулярных интегральных уравнений, равносильных краевым задачам для бианалитических функций. Исследование этих систем было проведено в основополагающих работах Н.П. Векуа, И.Н. Векуа, С.Г. Михлина и Д.И. Шермана, по имени которого стали называться такие системы сингулярных интегральных уравнений.
Дальнейшее развитие теории сингулярных уравнений Д.И. Шермана получило в работах С.А. Редкозубова, А.В. Юденкова.
В конце сороковых начале пятидесятых годов 20-го века Ф.Д. Гахов сформулировал ряд краевых задач для бианалитических функций, которые с одной стороны обобщали известные краевые задачи теории аналитических функций, с другой стороны явились математическими моделями основных задач теории упругости. Благодаря исследованиям Ф.Д. Гахова, М.П. Ганина, B.C. Рогожина, Э.М. Зверовича, К.М. Расулова, С.А. Редкозубова, А.В. Юденкова теория классических краевых задач для бианалитических функций получила достаточно полное развитие. Был получен общий метод решения основных краевых задач теории упругости изотропных и анизотропных тел в области гуковских деформаций. Математический аппарат, используемый для решения задач теории упругости в случае пластических деформаций достаточно полно изложен в работах А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева (см. [15] и приведённую там библиографию).
Использование краевых задач для бианалитических функций позволяет эффективно решать задачи статической теплопроводности и статической термоупругости, как это показано в работах Э.М. Карташова (см. [18]).
Всё вышесказанное относится к так называемым классическим краевым задачам теории функций комплексного переменного. В данных задачах искомая функция восстанавливается по краевым условиям, вид контура при этом играет второстепенную роль. Помимо классических краевых задач существуют обратные краевые задачи, в которых искомая функция восстанавливается в основном по контуру, на котором она задана.
К настоящему времени достаточно хорошо изучена обратная задача для аналитических функций. Решением этой задачи занимались такие специалисты, как Д.П. Рябушинский, В.В. Демченко, Н.И. Нужин, Ф.Д. Гахов.
