Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, использованием криогенных жидкостей в технике, а также проблемами изучения и охраны окружающей среды и рядом других задач значительно возрос интерес к изучению волновых движений различных неоднородных жидкостей. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем.
Отметим, что проблема влияния вихревых полей на динамику твердого тела известна достаточно давно. С ней приходится все время сталкиваться в динамике полета самолетов, вертолетов и других летательных аппаратов, движущихся в атмосфере, в динамике ракет носителей и космических аппаратов с жидкостно-реактивными двигателями, имеющих демпфирующие устройства и другие конструктивные элементы внутри топливных баков. Аналогичные проблемы возникают при решении задач, связанных с ориентацией и стабилизацией искусственных спутников и космических аппаратов.
Для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с динамикой вращающихся жидкостей, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными, нелинейными, многопараметрическими, и для их полного исследования эффективны лишь численные методы. Однако в ряде случаев первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых линейных моделей и аналитических методов их исследования. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам.
В настоящей работе проведено исследование этого класса задач, в котором наряду с диссипативными эффектами учитывается также влияние кинетической энергии вихревых движений жидкости. При этом динамика объектов, для которых вихревые поля могут играть доминирующую роль, описывается
на основе единой феноменологической модели нестационарных вихревых движений жидкости.
Соответствующие математические модели, описывающие движение рассматриваемых объектов, представляют собой системы сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, допускающие эффективное исследование современными аналитическими и численными методами. Такого рода феноменологические модели позволяют, не зная деталей распределения вихрей, получить информацию о поведении системы в целом и выявить ряд новых тонких динамических эффектов.
Таким образом, актуальной научной проблемой диссертации является разработка новых математических моделей для изучения динамики вращающихся твердых тел с жидким наполнением.
Такими научными проблемами являются задачи устойчивости вращающихся объектов, содержащих как идеальную, так и вязкую жидкость, а также задачи оптимального управления подобными системами.
Изложенные проблемы сформулировали следующую цель диссертации.
Цель и задачи исследования
Целью настоящей работы является разработка методов решения задач динамики вращающегося твердого тела, содержащего жидкость, а также исследование модельных задач оптимального управления подобными динамическими системами.
Достижение поставленной цели потребовало разработки эффективных математических моделей, описывающих динамику вращательного движения твердого тела с жидкостью.
На основе предложенных моделей поставлена и решена задача об устойчивости невозмущенного движения тела с жидкостью и получены ограничения на конфигурацию системы, обеспечивающие выполнение необходимых условий устойчивости.
Для постановки задач оптимального управления движением рассматриваемых систем потребовалось осуществить преобразование исходных соотно-
шений и, в частности, получить эквивалентные системы дифференциальных уравнений.
На основе описанных выше результатов поставлены некоторые задачи оптимального управления объектами с запасами жидкости, в том числе - задача управления в условиях неопределенности, когда начальные состояния в системе управления неизвестны заранее, а доступная информация ограничивается заданием допустимых областей изменения соответствующих величин. Решения поставленных задач получены с использованием аппарата оптимального управления, основанного на принципе максимума Л. С. Понтрягина, и методов теории управления в условиях неопределенности на основе формализма А. Б. Куржанского.
Для проведения вычислительных экспериментов и расчетов потребовалось разработать комплекс программ на основе современных технологий математического моделирования.
Объект и предмет исследования
Объектами исследования являются уравнения динамики вращающегося твердого тела, содержащего жидкость, и нелинейные уравнения Навье - Стокса, описывающие поведение жидкости в полости вращающегося твердого тела.
Предметом исследования являются математические модели и вычислительные методы решения уравнений динамики вращающегося твердого тела с жидкостью, и математические модели задач устойчивости и оптимального управления изучаемыми динамическими системами.
Методы исследования
В работе применяются методы классической математической физики, такие как разделение переменных, решение задач на собственные значения, методы теории функции комплексного переменного, методы теории возмущения и асимптотические методы.
При решении задачи Коїли для линеаризованной системы уравнений Навье - Стокса в случае возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с полостью, содержащей жидкость, применен метод Галеркина,
с помощью которого временная составляющая решения отделяется от пространственных координат. Вспомогательная гидродинамическая задача решена методом разделения переменных.
Для случая вязкого заполнения учет вязкости производится методом пограничного слоя, а выражения для обобщенных диссипативных сил получаются, следуя процедуре Л. Д. Ландау. Решение полученных систем интегро-дифференциальных уравнений проводится методом преобразования Лапласа.
При решении задачи устойчивости свободного вращения тела с жидкостью для характеристического уравнения системы применяется критерий А. М. Ляпунова устойчивости линейных систем. Методом возмущений получены поправки в случае заполнения полости вязкой жидкостью.
Для решения задач оптимального управления используется принцип максимума Л. С. Понтрягина. Применены необходимые условия оптимальности А. Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности. Для построения численных решений задач оптимального управления с геометрическими ограничениями используется метод последовательных приближений Крылова - Черноусько.
Вычисления и визуализация результатов расчетов проводились в среде MATLAB, а также в среде Borland Delphi. Текст наиболее важных алгоритмов вынесен в приложения и является важной частью диссертации.
Научная новизна
Научная новизна исследования заключается в том, что работа содержит решение актуальных проблем моделирования вращающихся твердотельных объектов с жидким наполнением. Предложены эффективные модели рассматриваемых динамических процессов. Разработаны алгоритмы и программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов и расчетов с использованием существующих методов математического моделирования. В рамках предложенного подхода представлены аналитические и численные решения задач устойчивости и оптимального управления вращательным движением твердого тела с полостью, содержащей жидкость.
Практическая ценность
Разработанные модели и методы решения динамических задач вращающихся твердых тел с жидким наполнением, а также численные методы для решения задач оптимального управления, могут быть использованы при изучении динамики движущихся в атмосфере летательных аппаратов, космических аппаратов с запасами жидкого топлива, которые закручиваются на орбите вокруг некоторой оси, для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей. Эти результаты также применимы при проектировании быстровращающихся роторов, центрифуг, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью.
Апробация результатов
Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко (г. Абрау-Дюрсо, 2008 г.).
Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения» (г. Москва, 2005 - 2009 гг.).
Научные семинары кафедры «Прикладная математика» «МАТИ»-РГТУ им. К. Э. Циолковского (2005 - 2009 гг.).
Научный семинар факультета математического моделирования Технологического Университета г. Мюнхен - TUM (г. Мюнхен, Германия, 15 ноября 2007 г.).
IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2007 г.).
Эти результаты также используются в курсе лекций по дисциплине «Дополнительные главы математического анализа» на кафедре прикладной математики «МАТИ» - РГТУ им. К. Э. Циолковского.
Публикации основных результатов
По теме диссертации опубликовано 10 работ. Список работ представлен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 135 наименований. Общий объем диссертации - 133 страницы, включая 34 рисунка, 1 таблицу и 1 приложение.
