Содержание к диссертации
Введение
1. Внешние дифференциальные формы и группы преобразований 28
1.1 Внешние дифференциальные формы 28
1.2 Локальная группа Ли 36
1.3 Локальная группа преобразований 42
1.4 Корепер и линейная связность на односвязном гладком многообразии 50
1.5 Интегрирование дифференциальных форм и комплекс де Рама 53
2. Симметрии внешних дифференциальных уравнений 59
2.1 Пространство к-струй и система уравнений в частных производных 59
2.2 Система внешних дифференциальных уравнений 63
2.3 Производные Ли и симметрии внешних дифференциальных уравнений 66
2.3.1 Производные Ли и метод В. Harrison и F. Estabrook 66
2.3.2 Соотношение симметрии квазилинейных систем СЕ первого порядка и Л(СЕ) 72
2.3.3 Соотношение симметрии для произвольных "полиномиальных" систем СЕ и Л(СЕ) 83
2.3.4 Определение производных Ли методом разложения в ряд по параметру преобразования 88
2.3.5 Использование мономов для вычисления производных Ли 91
2.4 Структурный метод определения симметрии внешних дифференциальных уравнений 94
3. Симметрии и дифференциальные связи 102
3.1 Уравнения структуры и инварианты Римана для систем уравнений гиперболического типа с двумя независимыми и двумя зависимыми переменными 104
3.1.1 Инварианты Римана 106
3.1.2 Присоединенные дифференциальные связи и уравнения структуры 109
3.1.3 Обобщенная функция тока 113
3.1.4 О связности, ассоциированной с корепером на гладком двумерном многообразии 114
3.2 Построение инвариантных связей 124
3.3 Инвариантные связи для динамических систем с параметрами 139
3.4 Инвариантные связи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с функциональным произволом 152
3.5 Однопараметрические решения вдоль векторных полей 160
3.5.1 Однопараметрические решения вдоль векторных полей и "восстановление граничных условий" 161
3.5.2 Однопараметрические решения вдоль векторных полей и произвольные граничные условия 172
4. Неклассические симметрии уравнений в частных производных 179
4.1 Неинвариантные симметрии уравнений в частных производных 180
4.2 Частные симметрии уравнений в частных производных 194
5. Внешние дифференциальные уравнения и законы сохранения 213
5.1 Законы сохранения системы внешних дифференциальных уравнений 214
5.2 Теорема Э.Нетер и законы сохранения невариационных систем уравнений 238
5.2.1 Теорема Э.Нетер и законы сохранения системы уравнений для характеристик законов сохранения 239
5.2.2 Теорема Э.Нетер и законы сохранения для квазиэйлеровой системы уравнений 249
6. Использование законов сохранения при решении задач пограничного слоя 262
6.1 Несжимаемый ламинарный пограничный слой на вращающемся цилиндре в поперечном потоке 262
6.2 Расчет тепломассообмена на поверхности проницаемой осесимметричной оболочки в турбулентном пограничном слое 270
Заключение 285
Библиография 289
- Корепер и линейная связность на односвязном гладком многообразии
- Соотношение симметрии квазилинейных систем СЕ первого порядка и Л(СЕ)
- Инвариантные связи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с функциональным произволом
- Теорема Э.Нетер и законы сохранения системы уравнений для характеристик законов сохранения
Введение к работе
Проблема изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных в настоящее время имеет различные направления. С одной стороны, эта проблема может рассматриваться в рамках анализа, где основным предметом исследований является определение решений уравнений при условии корректной постановки задач. С другой стороны, благодаря работам Софуса Ли взгляды на дифференциальные уравнения в частных производных стали развиваться в новых направлениях. Возникла так называемая "качественная" математика, предметом исследования которой являются те или иные характеристики или свойства объектов, связанных каким либо образом с системой уравнений. Предметом интересов стала и структура самих систем дифференциальных уравнений и всего того, что можно из них получить, в частности, с помощью таких операций, как дифференцирование и продолжение.
Отметим, что методы, направленные на проведение "качественных" исследований систем уравнений в частных производных (аналитические методы), по их конечной информативности в некотором смысле уступают тем методам, которые ориентированы на построение решений для конкретных задач. Речь идет прежде всего о сравненении с численными методами решения уравнений. Однако, аналитические методы исследования имеют и ряд преимуществ. К таким преимуществам относятся более широкие возможности для организации системного подхода к изучению явления или процесса (моделируемого дифференциальными уравнениями), возможность замены математической модели процесса более простой моделью (или математической моделью, представленной в специальной, удобной форме), в некоторых случаях возможность получения точных ("количественных") решений, и др. Как отмечается в [108] "численное решение позволяет получить конкретный ответ на конкретный вопрос, но не
дает представления о структуре решения. Поэтому интерес к выделению классов решений, зависящих от произвольных параметров и функций, возрос именно в связи с появлением большого численного материала расчетов, нуждающихся в интерпретации". Таким образом, данное направление математического моделирования (" качественные исследования") дополняет методы численного моделирования и часто является предварительным этапом задачи получения решений системы дифференциальных уравнений.
К наиболее известным и разработанным задачам, относящимся ко второму направлению, принадлежат задача исследования групп симметрии систем уравнений в частных производных и задача построения законов сохранения.
Само по себе понятие симметрии является одним из наиболее фундаментальных " качественных" свойств окружающего нас мира. По выражению В. Гильде [28] понятие симметрии играет "ведущую, хотя и не вполне осознанную роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни".
Применительно к дифференциальным уравнениям группа симметрии определяется как совокупность преобразований (удовлетворяющих определенным требованиям), и преобразующих решения этой системы в другие ее решения. В соответствии с этим требованием система дифференциальных уравнений является инвариантной относительно действия группы преобразований: в преобразованных переменных система имеет тот же вид, что и исходная.
Теория непрерывных групп преобразований создавалась С. Ли специально для изучения дифференциальных уравнений. Основной задачей исследования групп симметрии систем дифференциальных уравнений является задача построения алгебры Ли дифференциальных операторов (векторных полей). При этом исходная система уравнений должна являться
инвариантной относительно действия группы преобразований, соответствующей алгебре Ли дифференциальных операторов (которые называются также инфинитезимальными симметриями системы уравнений).
Обыкновенные дифференциальные уравнения были первым объектом приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям [156] (см. также [89]). Позднее Г. Биркгоф [12] привлек внимание к приложениям групп Ли к дифференциальным уравнениям механики жидкости.
Систематические исследования по приложению групп Ли для широкого круга физически важных задач были начаты Л.В. Овсянниковым [85] и его учениками [43]. Применительно к уравнениям механики жидкости и газа, эти работы продолжаются Л.В Овсянниковым и по настоящее время (см., например, [87], [88]). В аналитической механике теоретико - групповые методы были использованы еще в работах А. Пуанкаре и Н.Г. Че-таева. Одни из первых работ по исследованию групповых свойств систем уравнений механики жидкости и газа в нашей стране были выполнены Ю.Н. Павловским [93], В.В. Пухначевым [104], СВ. Хабировым [124] (в г. Казани В.Г. Павловым [26], [91], [92]).
Представления о современном состоянии и направлениях развития метода Ли - Овсянникова можно найти в работах [2],[43], [89]. Кроме того, краткое введение в современные методы группового анализа и сводка основных результатов по групповому анализу дифференциальных уравнений имеются в Руководстве по групповому анализу дифференциальных уравнений [140].
Отметим здесь, что наибольшая часть работ в этом направлении была выполнена с использованием точечных групп преобразований (т.е. групп преобразований, "изначально" действующих в пространстве зависимых и независимых переменных).
Важнейшим направлением развития теории непрерывных групп преобразований является направление связанное с понятием обобщенных (выс-
ших) симметрии. В теории контактных преобразований С. Ли включал производные зависимых переменных в пространство представления группы [154] (группа преобразований действует в пространстве зависимых, независимых переменных и производных зависимых переменных первого порядка). Он же поставил вопрос о существовании обобщений контактных преобразований высших порядков [155]. Позднее Бэклунд рассматривал преобразования, зависящие от производных зависимых переменых произвольного (конечного) порядка [131] (преобразования Ли - Бэклунда). Обобщение данного подхода привело к обобщенным преобразованиям, которые существенно нелокальны и не определяются значениями конечного числа производных от зависимых переменных. Преобразования данного типа появились в связи с открытием "вполне интегрируемых систем" и последующим развитием методов обратной теории рассеяния [1], [129].
Другое направление развития теории непрерывных групп преобразований, применительно к. дифференциальным уравнениям, - теория приближенных групп преобразований. Приближенные группы преобразований [6], [7], [8] были введены в рассмотрение Н.Х. Ибрагимовым, В.А. Байковым, Р.К. Газизовым по аналогии с понятием приближенного решения для систем уравнений, содержащих малый параметр є [81]. На основе аналога теоремы Ли для приближенных групп в [142], [143], [144] было развито инфинитезимальное описание приближенных одно-параметрических групп преобразований и выведены определяющие уравнения для построения приближенных симметрии уравнений с малым параметром.
Близкое к приближенному групповому анализу направление исследования дифференциальных уравнений с малым параметром рассматривалось также в работах В.И. Фущича и его коллег [121], [122], [123]. В этих работах под приближенной симметрией уравнения с малым параметром понималась точечная симметрия системы уравнений, полученной разложением зависимой переменной по малому параметру, с последующим рас-
щеплением исходного уравнения по степеням малого параметра.
Примеры группового анализа дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, имеются также в работах В.А. Чугунова и др. [116], [138].
Еще одна тенденция в развитии группового анализа - тенденция к абстракции и глобализации, охватившая большую часть современной теории групп. По выражению П. Олвера "приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, начатые Ли и Нетер, постепенно уходили во тьму, в то время как глобальная абстрактная переформулировка дифференциальной геометрии и теории групп Ли, за которую боролся Э. Кар-тан, занимала господствующее положение в математике" [89]. Наиболее полно данная тенденция проявилась в работах A.M. Виноградова и др. [20], [109] направленных на создание геометрической теории группового анализа систем уравнений в частных производных. В этих работах система уравнений в частных производных рассматривается как некоторая поверхность в пространстве струй (джетов) локальных сечений некоторого расслоенного пространства.
Геометрическая теория систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанная на использовании бурбаковского формализма, разработана Ю.Н. Павловским и изложена в работе [94].
Кроме того, благодаря работам Эли Картана, сформировался подход к изучению систем дифференциальных уравнений в частных производных путем приведения их к системам внешних дифференциальных уравнений. При использовании этого подхода исходная система уравнений заменяется системой, в которую в общем случае входят зависимые и независимые переменные, производные зависимых переменных, а также дифференциалы этих величин. Выражения, состоящие из слагаемых, в которые входят дифференциалы переменных всех видов, образуют т.н. внешние дифференциальные формы, которые умножаются специальным образом - с по-
мощью внешнего произведения и дифференцируются с помощью операции внешнего дифференцирования. Систематическое использование внешних дифференциальных форм и операции внешнего дифференцирования составляет основу дифференциально-геометрического метода исследования.
Впервые переход к системам внешних дифференциальных уравнений использовался для нахождения симметрии систем уравнений в частных производных, по-видимому, в начале 60-х годов в работах A.M. Васильева [18], [19] и К.П. Суровихина [113], [115] на примере некоторых систем уравнений механики жидкости и газа. В этих работах для нахождения симметрии использовался достаточно трудоемкий метод канонизации. Основной задачей здесь являлось представление системы внешних дифференциальных уравнений с помощью системы форм Пфаффа, удовлетворяющих уравнению Маурера-Картана (уравнению структуры). Данную методику проведения группового анализа условно можно назвать структурным методом.
Позднее, в работе В.К. Harrison, F.B. Estabrook [146] также использовался переход к системам внешних дифференциальных уравнений для отыскания симметрии систем дифференциальных уравнений в частных производных произвольного класса. Для нахождения инфинитезимальных симметрии в [146] использовались производные Ли внешних дифференциальных форм. Так же как и в методе Л.В. Овсянникова, задача отыскания симметрии сводится в [146] к задаче получения и решения системы определяющих уравнений. Поэтому метод отыскания симметрии [146] в определенном смысле можно считать аналогом метода Л.В. Овсянникова.
Все перечисленные выше направления касаются различных подходов к методам и формулировкам понятия симметрии систем дифференциальных уравнений. Что касается использования симметрии, то здесь также существуют различные подходы.
В случае обыкновенных дифференциальных уравнений наличие одно-
параметрической группы симметрии позволяет понизить порядок уравнения на единицу [89]. Кроме того, наличие симметрии у системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет определять первые интегралы системы [94], [127]. Возможно также использование симметрии для решения задачи декомпозиции системы обыкновенных дифференциальных уравнений [94].
Симметрии и дифференциально-геометрический подход использовались в работе [38] по редукции нелинейных управляемых динамических систем (приведение исходных систем к более простому виду). Вопросы редукции обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривались также в [39], [40] на основе теории дискретных групп преобразований.
Для уравнений в частных производных одно из направлений исполь-звания симметрии - построение новых решений системы уравнений в частных производных по уже известным ее решениям (размножение решений) . При этом группа симметрии позволяет классифицировать множество всех решений системы (два решения считаются эквивалентными, если они связаны одним из преобразований группы). Возможна также классификация с помощью симметрии систем дифференциальных уравнений в зависимости от произвольных параметров или функций, входящих в систему.
Другое направление касается собственно построения решений системы уравнений. Найденные в результате проведения группового анализа симметрии системы уравнений в частных производных используются для понижения размерности пространства независимых переменных при построении так называемых инвариантных и частично-инвариантных решений [86], [89]. А именно, в результате исследования групповых свойств системы уравнений определяется система инвариантов группы (полная или неполная). После этого исходная система уравнений сводится к так называемой фактор-системе, которая имеет меньшую размерность про-
странства независимых переменных. В частности, таким образом можно получать автомодельные решения систем уравнений в частных производных. Возможен и другой подход к использованию инвариантов группы
- уменьшение размерности пространства зависимых переменных. Подоб
ным образом, например, получаются решения типа простых волн [86].
Недостаток данного подхода к использованию симметрии - ограничения
по постановке граничных условий для которых могут быть получены ре
шения исходной системы уравнений.
Групповые методы используются при решении задачи о точной линеаризации нелинейных уравнений в частных производных. Такая возможность рассматривалась в [12], [85] и более полно в [43].
Еще одно известное направление использования симметрии - построение законов сохранения для систем уравнений определенного класса. Под законом сохранения понимается запись уравнений, входящих в исходную систему, в специальной форме - в виде дивергенции некоторого вектора.
Наиболее известная методика построения законов сохранения для систем уравнений в частных производных опирается на первую теорему Э. Не-тер. Теорема Э. Нетер позволяет определять законы сохранения для так называемых вариационных систем уравнений в частных производных, т.е. для таких систем, которые могут быть получены как уравнения Эйлера
- Лагранжа для некоторого функционала. При этом сама процедура по
строения законов сохранения использует симметрии системы. Достоинст
вом данного подхода к построению законов сохранения является тот факт,
что наиболее трудоемкая часть метода заключается в проведении группо
вого анализа системы исходной уравнений - то есть основана на исполь
зовании хорошо известного и разработанного алгоритма. К недостаткам
метода можно отнести то ограничение, что исходная система уравнений
должна быть вариационной.
Н.Х. Ибрагимов [42] дал новое доказательство теоремы Э. Нетер на
языке теории непрерывных групп преобразований. Им же были построены законы сохранения для уравнений из различных областей физики. К.Г. Гараевым построена [21], [22] модифицированная теория инвариантных задач, позволяющая конструировать законы сохранения и первые интегралы для оптимизационных задач в различных областях естествознания (в частности, при решении задачи оптимизации управления ламинарным пограничным слоем сжимаемого газа). Кроме того, в [22] приводится обобщение теоремы Э. Нетер на основе теории L* инвариантности.
Отметим здесь, что задача построения законов сохранения систем уравнений в частных производных может быть сформулирована на языке внешних дифференциальных форм. Впервые этот подход использовался, по - видимому, A.M. Васильевым в начале 60-х годов. Методика, разработанная A.M. Васильевым, позволяет определять законы сохранения для систем уравнений произвольного класса на основе отыскания характеристик законов сохранения (некоторой вектор-функции, на которую умножаются уравнения исходной системы). Недостаток этой методики, изложенной в работах [10], [11], [18], заключается в том, что для определения характеристик законов сохранения необходимо провести исследование на совместность некоторой системы уравнений Пфаффа и затем построить ее аналитическое решение, что в общем является достаточно трудоемкой задачей.
Оригинальная методика построения законов сохранения для уравнений в частных производных (на основе перехода к внешним дифференциальным уравнениям) была предложена в [162].
Позднее была разработана методика построения законов сохранения для систем уравнений в частных производных произвольного класса на основе теории спектральных последовательностей и использовании комплекса де Рама [109]. Согласно [109], задача отыскания законов сохранения сводится к задаче отыскания некторой вектор-функции, которая называ-
ется производящей функцией закона сохранения. Несколько более простое изложение этой методики приводится в [89], где производящие вектор - функции называются характеристиками законов сохранения. При этом производящие функции (или характеристики законов сохранения) определяются из решения линейной системы уравнений в частных производных первого порядка. Если производящая функция найдена, то можно утверждать, что закон сохранения существует (по крайней мере, локально) и его можно найти с помощью подходящего оператора гомотопии [89]. Справедливость этого утверждения определяется леммой Пуанкаре. Поскольку дифференциальные формы используются и при доказательстве леммы Пуанкаре и при построении оператора гомотопии, то можно считать, что использование метода внешних дифференциальных форм является совершенно естественным в задаче отыскания законов сохранения. Поэтому вполне естественной является и формулировка задачи отыскания законов сохранения на языке метода внешних дифференциальных форм.
Необходимо отметить, что приведенный здесь обзор работ является не полным, особенно в части применения симметрии в качественной теории дифференциальных уравнений. При составлении данного обзора упоминались, в основном, работы близкие по тематике к проблемам, затрагиваемым в диссертационной работе.
Основные проблемы, рассматриваемые в диссертационной работе, можно классифицировать по следующим направлениям.
I. Расширение возможностей использования классических (точечных)
симметрии для построения решений уравнений в частных производных.
Построение новых (неклассических) видов точечных симметрии, для расширения класса объектов (систем дифференциальных уравнений), допускающих теоретико-групповые методы исследования.
Построение и использование законов сохранения для невариационных систем уравнений в частных производных.
IV. Развитие метода внешних дифференциальных форм применительно к задачам отыскания симметрии и построения законов сохранения систем дифференциальных уравнений.
Первые два направления существенным образом опираются на геометрическую трактровку понятия инвариантно- групповых решений, к которым относятся инвариантные, частично- инвариантные и дифференциально-инвариантные решения. С геометрической точки зрения технику построения инвариантно- групповых решений можно трактовать как присоединение к исходной системе дополнительных уравнений (поверхностей) инвариантного характера. При таком подходе, в отличие от метода дифференциальных связей, присоединяемые уравнения (одно или несколько) используют априорную информацию о системе, полученную на основе группового анализа. В работе геометрическая трактовка инвариантно- групповых решений на основе присоединения инвариантных связей используется как при решении задачи расширения области использования классических (в смысле Л.В. Овсянникова) симметрии, так и при построении и использовании неклассических симметрии.
Раширение возможностей использования классических симметрии может быть связано с различными аспектами. В частности, одним из возможных направлений использования симметрии может являться уменьшение количества присоединяемых инвариантных связей (минимум - одна связь). При таком подходе исходная система переопределяется в "минимальной степени", что потенциально увеличивает произвол в решении, но одновременно повышает трудоемкость построения решений (частично данную проблему снимает использование компьютерных пакетов символьных вычислений). Здесь же возможна и переформулировка самого понятия инвариантной связи либо за счет расширения класса присоединяемых уравнений (поверхностей более общего характера), либо за счет включения в пространство представления группы новых объектов (например,
параметров системы).
Разработка неклассических симметрии может быть связана с изменением самого понятия инвариантности системы уравнений. Речь здесь может идти, в частности, о обобщении понятия инвариантности за счет за счет ослабления требования преобразования любого решения исходной системы уравнений снова в решение данной системы.
Вторым существенным аспектом работы является использование метода внешних диффернциальных форм. Использование метода внешних дифференциальных форм в работе связано не только с упоминавшейся выше тенденцией абстрактизации и глобализации в современной теории группового анализа. В своей работе В.К. Harrison ( [148]) следующим образом определяет преимущества использования метода внешних дифференциальных форм для изучения уравнений в частных производных.
Метод прост в применении.
Метод имеет "геометрическую природу". Это позволяет использовать метод внешних дифференциальных форм в различных задачах (отыскание классических и обобщенных симметрии, законов сохранения и т.д.).
Метод дает возможность "менять местами" зависимые и независимые переменные (как в преобразованиях годографа).
Метод хорошо адаптируется для проведения символьных вычислений на компьютере.
Справедливость данных утверждений по поводу преимуществ метода внешних дифференциальных форм достаточно очевидна за исключением, быть может первого пункта. В частности, это касается преимуществ использования метода внешних дифференциальных форм в задаче отыскания симметрии дифференциальных уравнений перед классическим методом Л.В. Овсянникова. В своей статье В.К. Harrison не приводит обоснований, определяющих технические особенности метода внешних дифференциальных форм с точки зрения облегчения задачи отыскания симметрии.
Возможно именно это обстоятельство, в совокупности с необходимостью изучения "языка" и техники метода внешних дифференциальных форм, и явилось причиной не достаточно широкого применения метода в прикладных исследованиях. В частности, в 97 г. В. Harrison [148] отмечает, что предложенный им (совместно с F. Estabrook) подход к проведению группового анализа дифференциальных уравнений с использованием метода внешних дифференциальных форм не получил широкого распространения и остался практически не известным широкому кругу специалистов, работающих в области группового анализа уравнений. Отметим здесь следующий ряд работ, в которых рассматривались различные аспекты использования метода внешних дифференциальных форм [134], [135], [136], [147], [149], [160].
Некоторые возможности метода внешних дифференциальных форм, определяющие преимущества вычислительного характера в задаче отыскания симметрии (по сравнению с классическим методом), можно выявить при анализе следующего простого примера.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида
! = /(«,*),
где f(t, х) - некоторая гладкая функция. Пусть инфинитезимальная образующая симметрии определяется векторным полем вида
* = ^ + ?>cV где (t,x),rj(t,x) - некоторые гладкие функции. В рассматриваемое уравнение входят зависимая, независимая переменная и производная зависимой переменной. Под действием группы преобразований происходит преобразование всех этих переменных. Поэтому для того, чтобы, в соответствии с классической методикой Л.В.Овсянникова, определить точечные симметрии рассматриваемого уравнения, необходимо использовать продолженное
векторное поле
Здесь (, х,р) - некоторая функция.
Перейдем теперь от исходного уравнения к внешнему дифференциальному уравнению. В данном случае оно будет иметь вид
dx = f(t,x)dt.
Поскольку производная зависимой величины формально не входит в данную запись, то инфинитезимальные симметрии рссматриваемого уравнения полностью определяются векторным полем X а не продолженным векторным полем X.
Аналогичное положение имеется в целом для квазилинейных систем уравнений как обыкновенных, так и в частных производных. Для данного класса уравнений формально нет необходимости использовать продолженные векторные поля для отыскания симметрии. Это не означает, что переход к системе внешних дифференциальных уравнений позволяет полностью избежать той вычислительной работы, которая необходима для построения продолженного векторного поля, поскольку в результате получается та же самая система определяющих уравнений, что и в классическом методе Л.В. Овсянникова. Однако, сама процедура вычисления симметрии становится более " естественной", поскольку действие группы точечных симметрии изначально определяется на пространстве зависимых и независимых переменных. Преобразования же производных зависимых переменных целиком определены преобразованиями зависимых и независимых переменных.
Тем не менее, снижения вычислительных затрат в процедуре построения определяющих уравнений для определения симметрии систем дифференциальных уравнений в частных производных (а также для систем обыкновенных дифференциальных уравнений) можно ожидать по следую-
щей причине. В выражение для функции , определяющей продолженное векторное поле X, входят производные зависимых величин. Наличие этих производных определяет технику расщепления условий инвариантности системы уравнений. Однако, каждая процедура продолжения векторного поля X повышает нелинейность условий инвариантности по производным зависимых переменных. Поэтому в результате увеличивается число условий расщепления и число уравнений в системе определяющих уравнений (не все из которых являются линейно независимыми). Следовательно, переход к системе внешних дифференциальных уравнений потенциально должен приводить к уменьшению числа условий расщепления в процедуре построения определяющих уравнений.
Что касается задачи построения законов сохранения систем уравнений в частных производных, то здесь о "естественности" применения метода внешних дифференциальных форм уже говорилось выше.
Как известно, для того, чтобы закон сохранения существовал во всей области определения уравнения, необходимо, чтобы область определения уравнения была односвязной. Данное условие является необходимым и достаточным когда характеристики законов сохранения являются гладкими функциями.
Заметим, однако, что существуют уравнения для которых характеристики законов сохранения не являются гладкими функциями. В этом случае лемма Пуанкаре непосредственно не применима (как и оператор го-мотопии). Кроме того, вопрос о существовании закона сохранения осложняется еще и тем, что не известна конфигурация подпространства, определяемого интегральным многообразием системы при заданных краевых условиях (характеристики закона сохранения могут быть гладкими функциями во всей области определения при одних краевых условиях и не быть гладкими при других). Учет данного обстоятельства приводит к необходимости корректировки определения закона сохранения с целью учета
краевых условий к исходной системе уравнений.
Отметим также, что метод отыскания законов сохранения, разрабатываемый в данной работе, также, как и другие методы, ориентированные на отыскание законов сохранения для систем уравнений произвольного типа (Olver, М.В. Виноградов и др.), ни коим образом не опираются на существование симметрии у исследуемых систем уравнений. Напротив, метод отыскания законов сохранения, в основе которого лежит теорема Э. Нетер, объединяет эти две задачи и позволяет строить законы сохранения по известным симметриям системы. При этом хорошо известно, что эта методика имеет довольно существенное ограничение. А именно, исходная система уравнений должна получаться из вариационного принципа. То есть исходная система должна получаться как уравнения Эйлера-Лагранжа для некоторого функционала. Анализ показывает однако, что данное ограничение можно несколько ослабить, если рассматривать "ква-зиэйлеровые" системы уравнений. По данным термином понимаются системы, каждое уравнение которых можно представить в виде суммы двух выражений. Одно из выражений является "эйлеровым" и получается как уравнение Эйлера - Лагранжа для некоторого функционала. Второе выражение определяется некоторой произвольной функцией. При определенных условиях законы сохранения " квазиэйлеровых" систем можно получать на основе алгоритма, аналогичного алгоритму, построенному с помощью теоремы Э. Нетер.
Работа состоит из настоящего введения и последующих шести глав. Содержание работы распределятся по главам следующим образом.
Корепер и линейная связность на односвязном гладком многообразии
Глава 4 посвящена использованию неклассических точечных симметрии. Под этим термином понимаются точечные симметрии систем уравнений в частных производных, которые не получаются с помощью классического метода Ли-Овсянникова. В разделе 4.1 рассматриваются неинвариантные симметрии уравнений в частных производных с параметром. Введены понятия отсекающего и востанавливающего преобразований. Сформулированы условия существования точной и приближенной неинвариантных симметрии и алгоритм использования неинвариантных симметрии для построения точных и приближенных решений системы уравнений в частных производных на базе решения некоторой более про стой системы. В разделе 4.2 введено понятие частных симметрии уравнений в частных производных, которые рассматриваются как преобразования, для которых условие инвариантности выполняется не для любого интегрального многообразия исходной системы, а для некоторого подпространства пространства интегральных многообразий. Так же, как и классические симметрии, частные симметрии используются для построения точных решений исходной системы уравнений.
К основным результатам Главы 4 относятся теоремы 17-20 предложение 19, алгоритмы отыскания и использования неинвариантных и частных симметрии. В качестве примеров рассматривались простейшее неоднородное волновое уравнение, уравнения одномерного нестационарного течения жидкости, неоднородное уравнение теплопроводности.
В Главе 5 рассматриваются вопросы построения законов сохранения для систем уравнений, которые не получаются из вариационного принципа. В разделе 5.1 дается понятие понятие закона сохранения с не гладкими характеристиками закона сохранения для произвольных систем уравнений (в том числе невариационного типа). Дается также определение частично-дивергентной формы записи исходной системы уравнений и характеристик частично-дивергентной формы записи. Далее задача отыскания законов сохранения сформулирована в терминологии комплекса де Рама. Необходимые условия существования законов сохранения (и частично-дивергентной формы записи) определяются условиями существования аналитических решений для системы уравнений в частных производных первого порядка (система уравнений для характеристик законов сохранения). Введено понятие неподвижной точки для 1-формы на контуре, определенном на двумерном многообразии. Понятие неподвижной точки используется для определения необходимых условий (в виде алгебраического критерия) существования законов сохранения в неодносвязной области определения закона сохранения. Область существования законов сохранения (достаточные условия) определяются на основе модифицированной леммы Пуанкаре. В разделе 5.2 рассматривается возможность применения теоремы Э.Нетер для построения законов сохранения невариационных систем уравнений. В разделе 5.2.1 используется понятие первого интеграла закона сохранения и указывается на связь задачи определения характеристик законов сохранения с некоторой обобщенной вариационной задачей Майера по управлению исходной системой уравнений в частных производных. В разделе 5.2.2 вводится понятие невариационной системы уравнений с эйлеровой частью ("квазиэйлерова система"). Рассмотрен принцип вариации функционала с фиксированной (не варьируемой) областью интегрирования и определены условия его инвариантности. Установлена связь вариационных симметрии функционала с фиксированной областью интегрирования с задачей отыскания законов сохранения квазиэйлеровой системы дифференциальных уравнений (аналог теоремы Э. Нетер). Далее вводится понятие инфинитезимальной вариационной симметрии квазиэйлеровой системы уравнений и устанавливается соответствие между симметриями и законами сохранения квазиэйлеровых систем дифференциальных уравнений.
К основным результатам Главы 5 относятся теоремы 21-24,27. В качестве примеров рассматривались уравнения Лапласа, одномерного нестационарного течения газа, сжимаемого турбулентного пограничного слоя, ламинарного пограничного слоя на плоской пластине, уравнение Эмдена-Фаулера. Две самостоятельные краевые, задачи, иллюстрирующие возможности использования законов сохранения, вынесены в Главу 6.
В Главе б рассматриваются две задачи из теории пограничного слоя. В разделе 6.1 рассматривается задача интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя на вращающемся цилиндре в поперечном потоке несжимаемой жидкости. Математическая модель несжимаемого ламинарного пограничного слоя на вращающемся цилиндре состоит из двух уравнений, одно из которых (уравнение неразрывности) записано в дивергентной форме. Учет этого обстоятельства позволяет модифицировать одну из известных в гидродинамике задач по расчету поперечного обтекания цилиндра. В разделе 6.2 рассматривается задача рассчета тепломассообмена на поверхности проницаемой осесимметричной оболочки в турбулентном пограничном слое. По технологии решения этой задачи выделяется дивергентная и источниковая части, т.е. используется частично-дивергентная форма записи исходной системы уравнений.
Соотношение симметрии квазилинейных систем СЕ первого порядка и Л(СЕ)
В определенном смысле метод В. Harrison и F. Estabrook с использованием производных Ли является аналогом метода Л.В. Овсянникова, но исходный объект заменяется системой внешних дифференциальных уравнений.
Метод В. Harrison и F. Estabrook использовался в работах нескольких авторов [134], [139], [146], [147], [148], однако практика его использования на много уступает практике использования классического метода Л.В. Овсянникова. Об этом говорится в работе [148]. Возможно это объясняется тем, что в литературе отсутствует сравнительный анализ процесса получения определяющих уравнений с помощью классического метода Л.В. Овсянникова и метода В. Harrison, F. Estabrook.
К основным достоинствам метода В. Harrison относит простоту использования, возможность адаптации для компьютерных вычислений. При этом В. Harrison не дает формулировки критериев с помощью которых можно судить о преимуществах метода.
Метод получения определяющих уравнений, основанный на использовании производных Ли и языка геометрической теории дифференциальных уравнений A.M. Виноградова, использовался в работах [57], [59], [151], [153]. В этих же работах отражены различные аспекты использования и развития метода.
Выше отмечалось, что системы СЕ и Л(СЕ) это различные объекты, определенные в разных пространствах (соответственно, в Jk(7r) и в AnJk(7r)). Поэтому в данном разделе рассмотрим вопрос о соотношении симметрии систем СЕ и Л(СЕ). Сначала рассмотрим случай, когда исходная система (2.1) есть система квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Соответственно, функции Fs, определяющие запись исходной системы уравнений, примут вид:
Замечание 2. Система Л(Е), в отличие от Е, определена не на пространстве »71(7г), а на пространстве Е.
Данное замечание иллюстрирует одну из особенностей перехода от системы Е к системе Л(Е) [151]. А именно при переходе к Л(Е) происходит "уменьшение на единицу степеней" полиномов, определяющих Л(Е) по сравнению с Е. В частности, исходные уравнения рассматриваемой системы Е линейны по переменным р\, а уравнения Л(Е) не содержат р\.
Формальное отсутствие производных в выражениях для Л(Е) не означает, что система Л(Е) стала алгебраической, поскольку в выражения для Л(Е) входят внешние произведения дифференциалов. Кроме того, система Л(Е) является недоопределенной: из нее не ясно какие переменные являются независимыми, а какие зависимыми. Для получения системы внешних дифференциальных уравнений, эквивалентной СЕ, необходимо присоединить к (2.29) систему соотношений (2.27) или (2.28), а также (2.4) (ввести распределение Картана в J1 )). Однако, ниже будет показано, что для отыскания симметрии системы уравнений рассматриваемого класса можно "обойтись" системой Л(Е) вместо Л(СЕ) что упрощает задачу.
Отметим также, что для доопределения Л(Е) можно ввести в некоторых случаях "обратное" распределение Картана, поменяв местами зависимые и независимые переменные (преобразования годографа) [148].
Поскольку для точечных симметрии векторное поле X однозначно определяется полем Ли X , то достаточно показать, что всякая симметрия системы СЕ является симметрией системы Л(СЕ) и наоборот. где pSj, Jj - некоторые функции. Поскольку формы wi и векторное поле X определены на пространстве расслоения Е, то , а? = О и, .следовательно, (2.35) выполнено. Пусть теперь X - инфинитезимальная симметрия Л(Е), т.е. имеет место (2.35). Определим векторное поле X так, что оно является полем Ли (сохраняет распределение Картана). Покажем, что (2.34) также имеет место. С учетом (2.36), имеем Таким образом, для данного класса уравнений алгебра Ли группы преобразований системы СЕ совпадает с алгеброй Ли системы Л(СЕ), а точнее системы Л(Е). При этом инфинитезимальными симметриями Л(Е) являются векторные поля, касательные не к пространству расслоения J1 ), а, к базе этого расслоения Е. Как известно, необходимость построения и применения продолженных векторных полей (продолженных операторов) является одним из факторов, определяющих трудоемкость процедуры получения системы определяющих уравнений для определения базиса алгебры Ли. Формально при решении задачи отыскания симметрии Л(Е), соответствующих квазилинейным системам уравнений первого порядка, отсутствует необходимость строить продолженное векторное поле X . Исходя из того, что системы определяющих уравнений для определения алгебры симметрии Л(Е) и СЕ получаются одинаковыми, можно предположить, что из процедуры получения определяющих уравнений для определения симметрии Л(Е) не исключаются полностью те "вычислительные затраты", которые связаны с использованием продолженных векторных полей. Однако сама "технология" вычисления точечных симметрии Л(Е) выглядит более естественной, поскольку точечные симметрии определяются как преобразования пространства зависимых и независимых переменных Е (а не J1 )) и этим преобразованиям соответствуют векторные поля также определенные на Е (а не на Jl(it)). Кроме того, ниже показывается, что трудоемкость процесса получения системы определяющих уравнений для определения алгебры симметрии Л(Е) действительно меньше (в силу свойств внешнего произведения), по сравнению с аналогичным процессом для СЕ.
Инвариантные связи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с функциональным произволом
В разделе 3.1 рассматривалась задача определения связей между зависимыми переменными системы (инвариантов Римана) уравнений гиперболического типа в частных производных вдоль для интегральных многообразий системы специального вида: вдоль характеристик системы. При этом симметрии исходной системы уравнений использовались "косвенным" образом: система внешних дифференциальных уравнений записывалась в виде внешнего произведения набора 1-форм, удовлетворяющих уравнению структуры (это позволило упростить анализ продолженной системы уравнений).
В данном разделе рассматривается задача построения связей между зависимыми переменными для интегральных многообразий более общего вида. Рассматриваются связи как голономного характера (не содержащие производных зависимых переменных), так и дифференциальные связи. Для построения связей используются симметрии системы.
Рассмотрим систему СЕ С Jk{n) уравнений в частных производных вида (2.1),(2.4). Пространство интегральных многообразий системы СЕ обозначим как Ucz- Рассмотрим также некоторую функцию фг(х,и,ра) и некоторое подпространство Uz С Ucs Определение 8. Будем называть выражение дифференциальной связью порядка г к между переменными системы уравнений СЕ на подпространстве интегральных многообразий Uz.
(Для простоты будем также использовать сокращенное название "дифференциальная связь"). Отметим, что данное определение (за небольшим отличием) соответствует определению дифференциальной связи работы [108]. Терминология работы [108] (с некоторой модификацией) используется и далее в данном разделе.
Дадим еще одно определение, соответствующее частному случаю дифференциальной связи (3.38), когда в функцию ф не входят производные зависимых переменных (порядок связи г = 0).
Определение 9. Будем называть выражение голономной связью между зависимыми (а в общем случае и независимыми) переменными системы уравнений СЕ на подпространстве интегральных многообразий Uz. (Для простоты будем также использовать сокращенное название " голономная связь").
В общем случае к системе уравнений СЕ может быть присоединена не одна, а несколько дифференциальных связей (в качестве ф используется вектор-функция) [108]. Однако, каждое дополнительное соотношение вида (3.38) (или (3.39)) налагает дополнительные ограничения на подпространство Uz. Поэтому далее рассматриваются дифференциальные связи вида (3.38), поскольку использование их "минимальным образом" ограничивает пространство UCY,- В случае присоединения более чем одной дифференциальной связи, анализ системы DCE принципиально ничем не отличается от анализа системы DCE с одной присоединенной связью.
Согласно определению, не требуется, чтобы функция ф и х Рс) определяла связь (3.38) на всем пространстве UQT, (как это имело место, в частности, при определении первого интеграла для систем обыкновенных дифференциальных уравнений). Это означает, что при отыскании дифференциальной связи необходимо определить кроме самой функции фг(и,х,ра) еще и подпространство Uz, для которого выполняется соотношение (3.38). Подпространство Uz определяются в результате исследования на совместность переопределенной системы СЕ, включающей в себя исходную систему (2.1), (2.4) и соотношение (3.38).
Система уравнений Z)CE является совместной, если многообразие Uz не является пустым. Таким образом, необходимо определить конкретный вид функции фг{х и ра) и подпространство Uz для этой функции.
Для того, чтобы присоединенная к системе СЕ дифференциальная (или голономная) связь не была противоречивой, желательно выбрать дифференциальную связь исходя из какой-либо информации о системе. Будем использовать симметрии системы для построения дифференциальных связей.
Пусть векторное поле X является инфинитезимальной симметрией системы (2.1),(2.4). Определим функцию фг(х,и,ра) (или семейство функций) из условия
Используем далее функцию фг(х, и,ро), удовлетворяющую (3.40), для нахождения дифференциальной связи. Для этого определим семейство "инвариантных" поверхностей SrD в пространстве Jk(7r) из условия касания этих поверхностей векторным полем X . Это семейство поверхностей можно определить выражением
Если соотношение (3.41) будет иметь место для некоторой функции фг(х, и,рс удовлетворяющей условию (3.40), и некоторого подпространства Uz интегральных многообразий системы СЕ, то, согласно определениям 1 или 2, функция фг х и -рсг) определяет дифференциальную связь (совместную с системой СЕ). Отметим, что для голономных связей (г = 0) выражение (3.40) примет вид В этом случае отыскание голономных связей (3.39) эквивалентно отысканию частично-инвариантных решений [86], поскольку присоединение голономной связи эквивалентно использованию неполной системы инвариантов для случая, когда используется всего лишь один инвариант. На возможности такого подхода к построению частично-инвариантных решений указывается в работе [86]. Однако в [86] на вид функций ф${х,и) накладывались дополнительные ограничения. А именно, при построении частично-инвариантного (относительно действия группы С) решения исходная система уравнений СЕ представляется в виде объединения двух систем: некоторой пассивной системы Р (условия совместности которой выполняются тождественно в силу уравнений самой системы) и некоторой фактор-системы СЕ/Н, гарантирующей свойство пассивности системы Р. При этом использовалось условие, что пассивная система Р содержит такую подсистему первого порядка, что ее уравнения вместе с уравнениями СЕ/Я можно разрешить относительно первых производных р\ всех искомых функций и привести к виду
Теорема Э.Нетер и законы сохранения системы уравнений для характеристик законов сохранения
Рассмотрим теперь частный случай системы дифференциальных уравнений (2.1), (2.4) - систему обыкновенных дифференциальных уравнений. А именно, рассмотрим гладкую динамическую систему вида где t Є Т С R - время, х Є М С Rn - n-мерный вектор фазовых координат системы, а Є Аа С Rm - m-мерный вектор параметров системы, /г(, ж, а) - некоторые гладкие функции. Так как полагаем, что параметры системы a j (j = 1,...,m) не зависят от времени и фазовых координат, то присоединим к системе (3.62) соотношения
Выше отмечалось, что знание симметрии системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет упростить задачу интегрирования системы. В частности, в работах [38], [95] симметрии системы обыкновенных дифференциальных уравнений использовались для решения задачи редукции системы - приведения исходной системы к более простому виду. В настоящее время в рамках этой проблемы сформировалось направление - геометрическая теория декомпозиции, формализованная в рамках теории структур Бурбаки [95].
В работах [94], [127] симметрии системы обыкновенных дифференциальных уравнений использовались для построения первых интегралов системы. Первый интеграл можно рассматривать как некоторое голономное уравнение связи между зависимыми переменными системами. Знание такой связи для системы уравнений позволяет понизить ее размерность на единицу.
В данном разделе при отыскании симметрии системы будем считать, что под действием группы преобразований G преобразуются не только время и фазовые координаты системы, но и параметры, входящие в систему [68]. Таким образом, здесь включаем параметры системы в пространство представления группы G.
Параметры системы включались в пространство представления группы, допускаемой системой, в работах различных авторов. Например, в работе [94] постоянные параметры системы рассматривались как частный вид управления динамической системой. В работе [15] преобразование параметров системы использовалось для проведения оценки чувствительности вектора наблюдения динамической системы к изменениям вектора параметров системы. Рассмотрим возможность использования расширения пространства пред ставлення группы, допускаемой системой (за счет параметров системы), в задаче построения голономных связей между зависимыми переменными системы.
Введем тотальное пространство расслоения Е = Т х М х Аа с базой Т и решения системы (3.62),(3.63) будем определять как сечения х : Т — Е, а : Г —У Е. Таким образом, пространство Jl(ir) в данном случае будет определяться не только независимой переменной и фазовыми координатами системы (3.62), но и параметрами системы.
Напомним, что первым интегралом для системы обыкновенных диф-ференциалных уравнений (3.62) называется выражение где с - произвольная константа. При этом полная производная функции (f)(t, х) по времени равна нулю на интегральных многообразиях системы уравнений (3.62). Знание первого интеграла для системы уравнений позволяет понизить ее размерность на единицу.
Присоединение соотношений (3.63) к исходной системе уравнений формально делает параметры а системы (3.62) некоторыми переменными, "равноправными" с другими переменными системы. Кроме того, параметры могут входить в выражение для первого интеграла вследствие условий совместности уравнений динамической системы при использовании первого интеграла. Поэтому в общем случае будем включать параметры в определение первого интеграла системы. Заметим здесь, что условие постоянства параметров (3.63) записано аналогично работе [94] (в "сжатом" виде) и далее полагается, что производные параметров системы по фазовым координатам равны нулю.
Определение 12. Будем называть выражение первым интегралом системы уравнений с параметрами СЕ, если &о Є R - произвольная величина (не зависящая от t,x,a) и производная от (f)(t,x,a) по времени равна нулю на всем пространстве Ucs Как показывают примеры в некоторых случаях система СЕ может допускать выражение вида (3.64) не с произвольной, а с некоторой фиксированной величиной &о. Поэтому дадим еще одно определение.
Определение 13. Будем называть выражение частной голономной связью между зависимыми переменными системы уравнений СЕ если производная / (, ж, а) по времени равна нулю на некотором подпространстве интегральных многообразий Uz С UCT, Использование частной голономной связи также, как и использование первого интеграла позволяет уменьшить размерность системы, но налагает ограничения на пространство интегральных многообразий системы (3.62). Эти ограничения проявляются в том, что при использовании частной голономной связи значение одной из зависимых переменных в начальный момент времени to не может быть назначено произвольным образом (как для первого интеграла), а выражается через начальные значения других переменных.
