Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитический обзор основных методов исследования математических моделей, описывающих движение солитонов в жидкой среде 1 1
1.1 Прямые методы исследования математических моделей распространения солитонов 16
1.2 Метод обратной задачи рассеяния в применении к получению односолитонного решения вКдФ 29
Глава 2. Решение уравнения КдФ для трех солитонов, распространяющихся в среде с диссипацией 40
2.1 Решение уравнения вКдФ для трех солитонов методом обратной задачи рассеяния 40
2.1.1 Решение КдФ без учета вязкости 41
2.1.2 Решение КдФ с учетом вязкости 48
2.2 Решение уравнения вКдФ для трех солитонов методом Уизема 60
Глава 3. Нелинейные эффекты, возникающее при распространении солитонов в среде с диссипацией 64
3.1 Возникновение плато и осцилляции за солитонами 64
3.2 Образование стационарных пар триад солитонов 70
3.3 Оценка величины диссипативного члена в уравнении вКдФ 75 Выводы 83
Глава 4. Расчет и моделирование нелинейных эффектов на конкретных примерах 84
4.1 Сравнение математической модели с опытными данными Хаммарка и Сигура 84
4.2 Возникновение и начальные стадии распространения цунами 91
4.2.1 Физика распространения цунами 92
4.2.3 Использование математической модели для описания і возникновения и распространения цунами в Индийском Океане 26
декабря 2004 года 101
Выводы 111
Заключение 113
Список литературы 115
- Прямые методы исследования математических моделей распространения солитонов
- Решение уравнения вКдФ для трех солитонов методом обратной задачи рассеяния
- Возникновение плато и осцилляции за солитонами
- Сравнение математической модели с опытными данными Хаммарка и Сигура
Введение к работе
Исследования нелинейной динамики волновых процессов, происходя щих в природе, проводятся уже много десятков лет. Одним из первых обра тил внимание на эти явления Скотт Рассел, наблюдавший уединенную волну на воде, распространявшуюся без потери энергии на большое расстояние. С того момента прошло уже 170 лет и явления локализации волнового процесса были замечены практически во всех областях естественнонаучного исследо вания, вплоть до медицины и микробиологии. Как известно, после открытия ! Расселом уединенной волны прошло 60 лет, пока было дано первое матема- тическое описание данного явления Дидериком Иоханнесем Кортевегом и его учеником Густавом де Фризом.
Уединенная волна, вскоре, приобрела новое имя солитон - частицепо-добный. Это название волны получили после экспериментов по их взаимодействию. Как показывали эксперименты, характерные волны расходились после взаимодействия так, как будто произошел обмен импульсами между упругими частицами.
С развитием солитонной теории и разнообразностью явлений, где были выявлены схожие с гидродинамическим явлением локальные процессы, появилось множество уравнений, описывающих солитонные явления, а, как следствие, методы, позволяющие получить решения данных уравнений. Все больший интерес представлял поиск решения, описывающего совместное распространение двух и более солитонов. Первым, кто попытался найти мно-госолитонное решение, был Беклунд [44], потом N - солитонное решение было получено Хиротой [13]. Основываясь на достигнутом, был разработан метод обратной задачи рассеяния для нахождения решений солитонных уравнений [1].
5 На современном этапе развития моделирования солитонных процессов, как отмечается в [1], существуют проблемы построения решений для среды с t нелинейностью, необходимых для описания эффектов, возникающих при распространении солитонов в среде с диссипацией. При чем отсутствие теории, описывающей нелинейные эффекты в этих явлениях, порой заставляет исследователей придумывать «пути обхода» этих «загадочных» эффектов, возникающих при распространении волн: упрощения математических моделей [79], дифференцированного подхода к явлениям [73] и др. Встречаются и иные способы рассмотрения этих эффектов.
Даже такая краткая информация о современном состоянии исследова- ! ний в этой области говорит об отсутствии многосолитонных решений урав- нений, описывающих распространение солитонов в среде с диссипацией; отсутствии математических моделей природных явлений, где наблюдается локализация процессов, учитывающих диссипацию. Этим, подчеркивается актуальность настоящей работы.
Объектом исследования являются локализованные процессы - соли-тоны, распространяющиеся в среде с диссипацией.
Исследования автора показывают, что, рассматривая взаимодействия солитонов в среде с диссипацией, удается получить ответы на вопросы [ 1 ] о нелинейных эффектах взаимодействия и последующего распространения волн такого типа. Кроме того, как показано автором, рассматривая решения, описывающие распространение одного и двух солитонов, невозможно про следить механизм их взаимодействия. В настоящем исследовании рассмотре ны модели для трех волн солитонного типа, открывающие новые возможно сти исследования этих проблем. | Предмет исследования распространение и взаимодействие трех соли- тонов в среде с диссипацией; нелинейные эффекты, возникающие при распространении триады солитонов в среде с диссипацией.
Целью данного исследования является построение и исследование математической модели распространения и взаимодействия солитонов в среде с диссипацией.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие частные задачи: провести анализ особенностей нелинейной трехчастичной задачи; на основе обзора методов для решения уравнения Кортевега де Фриза (далее КдФ), описывающего распространение солитонов в жидкости, выбрать оптимальный теоретический подход для моделирования трехсолитонного взаимодействия; построить математическую модель распространения волн типа КдФ в среде с диссипацией; найти трехсолитонное решение возмущенного уравнения КдФ (далее вКдФ); в рамках найденных решений вКдФ рассмотреть нелинейные эффекты, возникающие при распространении и взаимодействии солитонов в среде с диссипацией; провести сопоставление результатов, полученных при математическом моделировании, с опытными данными [3]; адаптировать полученную модель для рассмотрения волн цунами и с ее помощью провести анализ данных распространения цунами после землетрясения 26 декабря 2004 года в Индийском Океане около острова Суматра.
Научная новизна результатов исследований заключается в следующем.
Построена трехсолитонная математическая модель распространения солитонов, учитывающая диссипативные свойства среды, которая позволяет раскрыть природу и дать обоснование нелинейных эффектов при распространении и взаимодействии волн солитонного типа, показать их согласованность с экспериментальными данными и реальными явлениями.
Найдено трехсолитонное решение уравнения вКдФ с помощью метода обратной задачи рассеяния (далее МОЗР). В рамках найденных решений
7 вКдФ рассмотрены нелинейные эффекты, возникающие при распространении и взаимодействии солитонов в среде с диссипацией.
Проведено сравнение с опытными данными распространения солитонов, полученными Хаммарком и Сигуром [3].
Построенная математическая модель адаптирована для описания распространения группы волн цунами, описываемых уравнениями вКдФ, Полученная математическая модель апробирована для анализа данных распространения цунами в Индийском Океане.
Практическое значение, определяется тем, что:
Полученные автором трехсолитонные решения и выражения для оценки параметров среды, в которой распространяются солитоны, могут быть использованы как основа для моделирования взаимодействий волн такого типа.
Построенные автором модели могут служить основой анализа распространения и взаимодействия солитонов в среде с диссипацией.
Предложенные автором модели, могут быть использованы для прогнозирования динамики совместного распространения волн цунами.
Исследование носит теоретический характер, в его основе лежат современные аналитические методы построения и исследования нелинейных математических моделей; методы дифференциального и интегрального исчисления, функционального анализа, линейной алгебры.
Достоверность результатов данного исследования обеспечивается надежностью используемых методов, положительными результатами сопоставления построенных математических моделей с реальными природными явлениями [5] и экспериментами [3], [4].
На защиту выносятся следующие положения:
Модель распространения и взаимодействия трех солитонов в вязкой среде.
Решение возмущенного уравнения Кортевега де Фриза для случая распространения трех солитонов в вязкой среде; выражения для оценки пара-
8 метров вязкости среды, определяющих появление нелинейных эффектов при взаимодействии трех солитонов. » 3. Математическое описание нелинейных эффектов распространения и взаимодействия волн в экспериментах Хаммарка и Сигура [3]. 4. Модель распространения волн цунами с учетом диссипативных свойств среды и оценка относительного распространения передних волн цунами, порожденного землетрясением около острова Суматра 26 декабря 2004 года, с учетом вязкости среды.
По теме диссертации имеется 12 публикаций. Результаты исследований были доложены на:
Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные і проблемы современной физики» (г. Ставрополь, 2002 г.);
47-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (г. Ставрополь, 2002 г.);
48-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (г. Ставрополь, 2003 г.);
49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (г. Ставрополь, 2004 г.).
51-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (г. Ставрополь, 2006 г.).
Седьмом Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2-8 мая 2006 г.).
Тезисы докладов включены в материалы: XVII Международной конференции «Математические методы в техни ке и технологиях» (г. Кострома, 2004 г.); і Всероссийской научной конференции студентов физиков - 9, (г. Крас- ноярск, 2003);
Всероссийской научной конференции «Ломоносов-2003» (г. Москва, 2003);
9 Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 111 наименований. Работа изложена на 124 листах машинописного текста, содержит 14 рисунков.
В первой главе проанализированы известные методы получения много- солитонных решений для невозмущенного уравнения КдФ, а именно, метод Дарбу [21], метод Хироты [13], преобразование Беклунда [44], а также и ме тод ОЗР с помощью которого получено односолитонное решение в среде с » диссипацией [44]. Выявлены положительные стороны существующих мето- дов и определены условия их применимости. С точки зрения цели исследования рассмотрен модернизированный метод обратной задачи рассеяния применительно к возмущенному уравнению КдФ [44]. Сконструирован алгоритм получения решения уравнения вКдФ, применимого к поставленным задачам описания распространения и взаимодействия солитонов в среде с диссипацией.
Во второй главе рассмотрены два метода получения трехсолитонных решений для волн распространяющихся в среде с диссипацией и без нее, а именно: МОЗР и метод Уизема. Получены математические модели, описывающие процессы распространения трех солитонов в среде с диссипацией и без. Проведено сравнение результатов.
В третьей главе исследуются методы математического моделирования нелинейных эффектов, возникающих при распространении и взаимодействии солитонов в среде с диссипацией. Проведено математическое исследование возникновения плато и осцилляции за солитонами, образования стационарных пар, триад солитонов. С помощью прямого метода теории возмущений дана оценка величины диссипативного члена в уравнении вКдФ при наблюдении эффекта объединения волн.
10 В четвертой главе проведено сравнение построенной математической модели с эмпирическими данными. Вначале проведено сравнение с опытны- ї ми данными, полученными Хаммарком и Сигуром [79]. Показано, что волны, где проявился эффект сближения или сращивания волн, провзаимодейство-вали друг с другом. Доказательство основано на предложенной теории и найденных решениях для вКдФ, подтверждаемых эмпирическими данными [79], [73], [109]. Далее, построена математическая модель распространения и взаимодействия волн цунами. Проведена оценка возможности наличия исследуемых эффектов у волн цунами.
Автор выражает благодарность научному руководителю кандидату фи- » зико-математических наук Виталию Стилиановичу Игропуло за постановку задачи и обсуждение результатов работы,
Прямые методы исследования математических моделей распространения солитонов
Одним из прямых методов построения солитонных решений уравнений КдФ, Синус-Гордон и др., является метод Хироты [1]. Этим методом получено много значительных результатов в теории уравнений, имеющих солитонные решения. Следует отметить, что прямые методы практически всегда подходят для уравнений, интегрируемых при помощи МОЗР, а иногда даже в тех случаях, когда соответствующие задачи рассеяния неизвестны. На практике такие методы часто давали толчок к поиску соответствующих задач рассеяния. Рассматриваемый прямой метод включает в себя следующие этапы:Также из анимационного представления видно, что «импульс» от мало » го солитона передается моментально «к левой границе» большего солитона (особенно это заметно если два малых солитона близки по амплитудам, то есть по массам Рис.1), «не успев» провзаимодействовать со вторым, немного превосходящем его по амплитуде солитоном. Ранее, до проведенного нами исследования, можно было считать [13], что солитоны взаимодействуя друг с другом либо проходят друг через друга без каких либо изменений, либо в процессе взаимодействия меняются местами. Теперь, по нашему убеждению, такая формулировка не приемлема, так как из анимационной модели ясно видно, что солитоны меняются местами путем передачи «импульса» от одного к другому. Механизм этой передачи пока изучить не удалось. Также, можно сказать, что при анализе двухсоли-тонного взаимодействия этих явлений выявить не возможно.
Анализ волновых сдвигов трех солитонного решения, при условии, что все три волны двигаются в положительном направлении оси Ох показывает, что два больших солитона идущих первоначально перед малым (если волны сравнимы по амплитудам) после взаимодействия с ним и между собой (взаимодействие происходит одновременно) сдвигаются в положительную сторону от направления движения. А малый (как уже сказано, сдвиги пропорциональны массам) смещается в отрицательную сторону. Если малый солитон не сравним по массе с двумя большими, то происходит сдвиг первого и второго солитона в отрицательную сторону, а третий, в положительную, Полученные трехсолитонные решения могут быть использованы для рассмотрения взаимодействий солитонов в среде без диссипации [VIII], где они дают хороший результат. Отметим, что в рамках данного метода невозможно решение возмущенного КдФ уравнения.
Кроме рассмотренного метода Хироты, для построения явных решений солитонных уравнений имеется еще один прямой метод [44], связанный с теорией специальных нелинейных преобразований, отображающих класс решений исходного уравнения в себя. Эти преобразования, как правило, со i держат дополнительные произвольные постоянные, так что на каждом шаге получаются новые решения. При этом можно начинать с какого-нибудь тривиального, например, нулевого решения, и получить за N шагов Лг - соли-тонное решение.
Эта теория преобразований связывает решения в более поздние моменты их эволюции. Беклундом были получены такие преобразования для уравнения sin-Gordon, которое давно использовалось в дифференциальной геометрии. Доказательство того, что другие солитонные уравнения также имеют преобразования Беклунда, было получено сравнительно недавно, после того как Уолквист и Эстабрук получили преобразование Беклунда для уравнения КдФ.
Решение уравнения вКдФ для трех солитонов методом обратной задачи рассеяния
Прежде чем приступить к решению уравнения вКдФ, описывающего распространение солитонов в среде с диссипацией, необходимо найти фундаментальные решения при наличии трех связанных состояний, а также коэффициенты отражения и прохождения. Все эти компоненты решения можно получить, решая уравнение КдФ без учета вязкости с помощью МОЗР, учитывая специальную адиабатическую теорию возмущений для решений вКдФ, изложенную в 1.3.
Известно, что коэффициенты прохождения и отражения - это коэффициенты при преобразовании фундаментальных решений нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) одного в другое. А так как уравнение КдФ, решения которого есть потенциалы, оставляющие неизменными собственные значения НУШ, его можно использовать как условие, которое нужно наложить на потенциал чтобы спектральный параметр к2 оставался постоянным при изменении параметра t. В [44] Дж. Лем показал, что зависимость u(x,t) от времени определяется уравнением
Также, два фундаментальных решения уравнения Шредингера (2.2) могут быть записаны в виде
Здесь параметрическая зависимость от времени, возникающая из-за потенциала u(x,t), указана явно. Функции /J и f2 можно записать как линейные комбинации друг друга, В частности, функции j\ и f2 связаны соотношением
Кроме того, можно показать, что потенциал в уравнении Шредингера, и AL{x,x \t) связаны соотношением
Известно также [44], что нормировочные постоянные выражаются из коэффициентов отражения-прохождения следующим образом:где точка означает дифференцирование по к, а не по t. Согласно (2.6), изменение во времени и становится известным, как только определена функция AL(x,x ,t). Функции AL[x,y,t) и Qflx + y-j) связаны интегральным уравнением (2.7). Но изменение во времени функции QL(x + y\t) содержится только в коэффициентах рассеяния с21, с„ и mL, связанных с коэффициентами отражения и прохождения. Если мы найдем изменение во времени этих величин, то изменение во времени u{x,i) и, таким образом, решение уравнения КдФ, будет определено, по крайней мере, в принципе. Покажем, что зависимость коэффициентов рассеяния от времени дается линейными уравнениями (2.2) и (2.3). Для этого нужно рассмотреть уравнения в области тех значений х, для которых u(x,t) 0. В этой области уравнение (2.3) сводится к
Конечно, это дает зависимость от времени только для отраженных и прошедших волн, но преимущество метода обратной задачи рассеяния е том, что информация о коэффициентах отражения и прохождения (и об их аналитических, продолжениях в верхнюю полуплоскость) достаточна для определения самого пот.енциала рассеяния. [44]
Возникновение плато и осцилляции за солитонами
Пусть возмущенная форма уравнения КдФ в безразмерных переменных имеет вид: где х = х -1 отвечает положению солитона, a t только времени.
Будем рассматривать жидкость с заданной вязкостью. Для уточнения вида правой части уравнения вКдФ введем параметр Г [44], равный произведению 0 сг«1 и у 0, где у коэффициент, линейно зависящий от безразмерного кинематического коэффициента вязкости жидкости [112]. Опираясь на результаты [6], можно получить [112], что Г = ту = GKV , где коэффициент пропорциональности к= -, а безразмерный кинематический коэффициент вязкости жидкости v = — =. Здесь v - кинематический коэффициент вязкости, а высота солитона, h - глубина жидкости, g - ускорение свободного падения, а и 8 представляют собой дисперсию и нелинейность соответственно. Тогда значение R(us), применительно к данным условиям среды, примет вид: где us трехсолитонное решение уравнения вКдФ.
Используем результаты и формулы для солитона в идеальной жидкости, приведенные в первой главе, для решения задачи распространения солитона в среде со слабой диссипацией, обусловленной наличием вязкости. Будем рассматривать движение солитонов слева направо, Тогда уравнение вКдФ примет вид: полученного в первой главе (1.59), х = \dzR{u )sec/z2z для слу чая дискретного спектра, получено основное соотношение [112], накладываемое на амплитуду каждого солитона, распространяющегося в вязкой среде с заданными параметрами:
При этом, изменение производной Zi указывает на то, что со временем скорость и амплитуда солитона уменьшается. После интегрирования последнего соотношения по времени t находим
Так как % пропорционально как амплитуде а, так и обратной ширине солитона, определена скорость, с которой солитон расплывается и затухает с ростом времени. Поскольку подынтегральное выражение в (1.61) - является нечетной функцией на симметричном относительно нуля интервале, то интеграл равен нулю, а следовательно
Интегрирование данного соотношения дает
Решения для дискретного спектра, не дают возможности провести исследования задней образующей грани солитона. Для этого проведем исследования непрерывного спектра для солитона, распространяющегося в вязкой среде, когда sR - -fus. Уравнение (1.77) при этом примет вид: Данный интеграл удобнее представить в виде суммы трех интегралов и вычислим их, используя [40]
Сравнение математической модели с опытными данными Хаммарка и Сигура
Эксперимент осуществлялся в бассейне из оргстекла, длиной 31,6 м, глубиной 61 см и шириной 39,4 см. Как схематично изображено на рис. 4.1 волнопродуктор состоит из прямоугольного поршня и устройства управления. Поршень в экспериментах, которые будут обсуждаться, имел длину 61 см и ширину 39,4 см. Вертикальное движение поршня задавалось для каждого эксперимента индивидуально.
Во время эксперимента в нескольких точках вдоль бассейна были проведены измерения при помощи датчиков с параллельными проволочными сопротивлениями. В первой серии экспериментов (1974 г.) глубина жидкости h равнялась 5 см, измерения проводились при (х-б)//? = 0,20,120и400. Во второй серии (1978 г.) h =10 см, волны измерялись
Волновые профили, полученные экспериментально [79].
На рис. 2 изображены волновые профили, генерируемые простым приподниманием поршня. Движение поршня было достаточно быстрым для того, чтобы форма волны при (x-b)/h-0 соответствовала форме поршня (благодаря наличию стенки у левого края поршня длина волны, измеряемая в точке (x-b)/h = Q, равнялась удвоенной длине поршня, а высота - половине его смещения). Рис. 2. включает в себя случаи (a) (x b)/h-0; (b) (x-b)/h = 20i{c){x-b)th = m;(d)(x-b)/h = 4Q0 [79].
На коротких временах, согласно описанию этих опытов у Абловица М,, Сигура X. [1], движение должно осуществляться путем параллельного переноса со скоростью yjgh. Волна, измеренная при (x-b)/h = 20, приближенно соответствует этому описанию; ее форма в основном та же, что у волны в точке (x b)/h = 0. Солитоны, возникающие на следующем временном масштабе, можно видеть на рис. 2, с и d. В этом же обзоре [1] решена задача на собственные значения для оператора Шрёдингера с измеренной при (x b)/h-0 волной. В качестве потенциала приводит к трем собственным значениям, соответствующим трем солитонам. Это отвечает трем положительным волнам, наблюдаемым в точках Согласно теории, изложенной в [1], для простого КдФ волны на таком расстоянии должны разойтись. То, что этого в эксперименте не наблюдается, свидетельствует, по-видимому, о влиянии вязкости, как предполагают авторы [1].
Заметим, что на рис. 2 (с), (d) уровень поверхности воды осциллятор-ных волн является положительным. Вследствие этого солитоны медленно те-ряют энергию, однако полная масса волновых образований значительно не изменяется. Поэтому, когда масса "вытесняется" из солитона, она образует "полку", располагающуюся сзади него, которая увеличивает средний уровень воды, что, по-видимому, является аналогом "полки" - плато, обсуждавшейся нами в 3.1.
