Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор работ по теории устойчивости математических моделей со случайными параметрами 12
1.1. Основные результаты по теории устойчивости вероятностных систем 12
1.2. Стохастические операторы 20
1.3. Марковские и полумарковские процессы 28
1.3.1. Классификация и определение марковских процессов 28
1.3.2. Полумарковский процесс с непрерывным временем 31
1.4. Вероятностные модели, описываемые системами линейных дифференциальных уравнений 40
1.5. Стохастическая устойчивость математических моделей систем 43
1.6. Методы исследования устойчивости динамических систем 47
1.6.1. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению 48
1.6.2. Метод функций Ляпунова 49
1.6.3. Метод моментных уравнений 57
1.7. Выводы по первой главе 54
ГЛАВА 2. Устойчивость вероятностных моделей, описываемых линейными системами с марковскими коэффициентами 57
2.1. Вывод моментных уравнений для математических моделей с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами 57
2.2. Исследование /^-устойчивости математических моделей 61
2.2.1. Понятие Ь2.-устойчивости 61
2.2.2. Построение функций Ляпунова для математических моделей нестационарных систем 63
2.2.3. Исследование Ь2-устойчивости математических моделей с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами 66
2.3. Выводы по второй главе 76
ГЛАВА 3. Устойчивость вероятностных моделей, описываемых линейными системами с полумарковскими коэффициентами 77
3.1. Моментные уравнения математических моделей с полумарковскими коэффициентами 77
3.1.1. Вывод уравнений для моментов первого и второго порядка для нестационарных моделей 77
3.1.2. Вывод моментных уравнений для математических моделей с кусочно-постоянными коэффициентами 88
3.2. Вывод уравнений для частных плотностей моделей, описываемых системой линейных стохастических дифференциальных уравнений 92
3.3. Исследование устойчивости математических моделей 97
3.2.1. Исследование Ь2-устойчивости моделей с помощью моментных уравнений 97
3.3.1. Построение функций Ляпунова для математических моделей, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений 103
3.3.2. Построение функций Ляпунова для математических моделей, описываемых системой стохастических дифференциальных уравнений 108
3.4. Выводы по третьей главе 115
ГЛАВА 4. Применение метода моментных уравнений для построения математических моделей 116
4.1. Демографические процессы 116
4.2. Математические модели динамики численности населения 118
4.3. Вероятностная модель народонаселения 122
4.3.1. Построение модели 122
4.3.2. Методика расчета модели 125
4.3.3. Моделирование динамик и численности населения мира 129
4.3.4. Сравнительная характеристика результатов моделирования 139
4.4. Вероятностная модель динамики развития фирмы 142
4.5. Выводы по четвертой главе 145
Заключение 146
Литература
- Марковские и полумарковские процессы
- Исследование /^-устойчивости математических моделей
- Вывод уравнений для моментов первого и второго порядка для нестационарных моделей
- Математические модели динамики численности населения
Введение к работе
В настоящее время все более широкое распространение получают вероятностные модели, которые в отличие от детерминированных более полно и точно отражают реальные процессы, происходящие в технике, природе и обществе. Описание этих моделей приводит либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, параметрами которых являются случайные функции времени, либо к стохастическим дифференциальным уравнениям. При реализации вероятностных моделей реальных процессов основное внимание обращается на их устойчивость, что привело к созданию соответствующего направления в теории устойчивости - стохастической теории устойчивости. Теоретические основы исследования устойчивости для систем дифференциальных уравнений со случайными параметрами были заложены А.Н. Колмогоровым в 1938 году.
В дальнейшем его подходы были развиты в работах Р.Л. Стратоновича, Дж.Е. Бертрана и Р.Е. Сарачека, Н.Н. Красовского, A.M. Тихонова, И.Я. Каца, Р.З. Хасьминского, А.В. Скорохода, К.Г. Валеева, О.Л. Кареловой, Г.Н. Милыптейна и других авторов.
Работы всех исследователей опираются либо на изучение уравнений типа уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и вероятностные свойства решений стохастических дифференциальных уравнений, либо на анализ моментных уравнений с последующим применением методов Ляпунова.
Наиболее разработанной является теория систем с «белыми шумами» и марковскими процессами. Теория устойчивости математических моделей, представляющих собой системы дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковских процессов, является менее изученной. Поэтому рассмотрение и исследование математических моделей с полумарковскими коэффициентами является актуальным.
В работе К.Г. Валеева, О.Л. Кареловой, В.И. Горелова [26] введено понятие / -устойчивости линейных систем со случайными параметрами. Исследование / -устойчивости позволяет обоснованно применять уравнения для первых начальных моментов при построении математических моделей систем.
Диссертационная работа продолжает исследования применения моментных уравнений и приложения введенного понятия / .устойчивости к моделированию различных процессов со случайными параметрами.
Марковские и полумарковские процессы
В диссертационной работе рассматриваются математические модели со случайными коэффициентами, которые зависят от марковских или полумарковских процессов. В этом разделе приведены основные характеристики и свойства этих случайных процессов.
Данный раздел излагается в соответствии с работами В.И.Тихонова, М.А. Миронова [102], К.Г. Валеева, О.Л. Кареловой, В.И. Горелова [26], И.И. Гихмана, А.В. Скорохода [41], Е.Б. Дынкина [45].
В рассматриваемых в работе моделях, возмущения, оказываемые на систему, определяются случайными процессами. Приведем основные понятия и определения случайного процесса вообще и марковского в частности.
Рассмотрим случайную величину или случайный процесс, зависящий лишь от одного параметра (дли определенности - времени і). Пусть время t изменяется на отрезке [0,Г], т. е. ґ є [0,Г]. Тогда какое-либо значение х является возможным значением (или состоянием) случайного процесса X (t), если на отрезке [0,7j имеется такое время t, что вероятность Р{х -h X(t) х + h] О для любого h О .
В зависимости от того, непрерывное или дискретное множество значений принимают случайная величина X {і) и ее параметр t различают следующие основные виды случайных процессов [102].
1. Дискретная случайная последовательность (дискретный процесс с дискретным временем). В данном случае время пробегает дискретный ряд значений tQ,tx,t2,...,tNvum уп, п = 0,Nj И случайная величина X\tn)=Xn может принимать лишь дискретное множество значений х0,х1,х2,...,хк или Ъ к, k = \,Kj. Множества значений \tn\ и \хк\ могут быть конечными или бесконечными; в последнем случае N — о, К — оо.
2. Непрерывнозначная случайная последовательность (непрерывный процесс с дискретным временем). Такой процесс отличается от процесса первого вида лишь тем, что теперь случайная величина X\tn), п = 0, N, может принимать континуум значений.
3. Дискретный (разрывный) случайный процесс (дискретный процесс с непрерывным временем). В этом случае X\t) принимает дискретные значения yxk, к = \,К\, а время t - континуум значений: e[0,7j, где Т — длина временного интервала, на котором задан процесс X\t).
4. Непрерывнозначиый случайный процесс. В данном случае X\t) принимает значения из некоторого непрерывного пространства и аргумент t изменяется также непрерывно, причем траектории процесса не имеют больших вертикальных скачков.
5. Дискретно-непрерывный процесс. В этом случае при непрерывном изменении времени t случайный процесс X\t) в некоторые моменты времени имеет скачки (дискретные или непрерывные), а на интервалах времени между скачками ведет себя как непрерывнозначиый случайный процесс.
Помимо перечисленных пяти видов случайных процессов, возможны более сложные, смешанные виды случайных процессов.
Наряду со скалярным (одномерным) процессом X\t) на практике приходится рассматривать совокупный или векторный процесс X\t), состоящий из компонент Xl(t\...Xi(t\...XM(t). В этом случае процесс X(t) называют также многомерным (мерности М или М-мерным) и обозначают X\t)= (А Д ), і: = 1, Mj. В общем случае компоненты X\t) могут относиться к разным видам случайных процессов, перечисленных выше.
В соответствии с основными свойствами различают следующие виды случайных процессов: нормальный (гауссовский), пуассоновский, винеровский, марковский и др. Определим понятие марковского случайного процесса, необходимого для дальнейших исследований.
Определение. Случайный процесс X\t) называется марковским, если для любых п моментов времени tx,t2,...,tn из отрезка [О,Г] условная функция распределения «последнего» значения X\tn) при фиксированных значениях X\tx), (/2),... (/ ) зависит только от х(/иЧ), т. е. при заданных значениях х1,х2,...,хп справедливо соотношение где через Р обозначена вероятность события, указанного в фигурных скобках.
В соответствии с приведенной классификацией применительно к случайным марковским процессам различают марковские цепи, марковские последовательности, марковские процессы с конечным и бесконечным числом состояний, дискретно-непрерывные и смешанные марковские процессы. Характер временных реализаций первых четырех основных видов марковских процессов показан в таблице 1 [102].
Исследование /^-устойчивости математических моделей
Приведем определения и условия -устойчивости решений систем с марковскими коэффициентами, изложенные в соответствии с содержанием монографии К.Г. Валеева, О.Л. Кареловой, В.И. Горелова [26].
Рассмотрим математическую модель, описываемую системой линейных дифференциальных уравнений с нестационарными случайными марковскими коэффициентами p- = A(t,g(t))X(t),(t7 0), (2.19) at где g{t) - марковский конечнозначный случайный процесс, принимающий значения вх,...,вп с вероятностями Pj(t) = P\;(t) = 0j\, (j = \,...,п) удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений dp, (t) JL — = I ajs {t)Ps (0, U = 1,...,/1) (2.20) at s=i Предполагается, что коэффициенты системы уравнений (2.20) непрерывны, ограничены при t 0 ЧА ) 0 (J ), ass{t) Q, 2 ,(0-0.
Определение. Нулевое решение системы линейных дифференциальных уравнений (2.19) называется Ь2-устойчивым, если для любого случайного решения X(t) системы (2.19) с ограниченным начальным значением Х(0) \\2) сходится несобственный интеграл СО I = j( \X(t)\\2)dt. (2.21) о Для детерминированных дифференциальных уравнений Т -устойчивость не равносильна устойчивости по Ляпунову, но именно / -устойчивость легко определяется с помощью функций Ляпунова.
Аналогичный вывод оказывается справедливым для линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Лемма 2.6. Для того, чтобы нулевое решение системы дифференциальных уравнений (2.19) было Ь2-устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы сходился матричный несобственный интеграл со D = JD(t)dt,D(t) = (x(t)X (t)). (2.22) о Доказательство аналогично доказательству леммы 2.2. Введем положительно определенную квадратичную форму w(t,X,g(t)) = X B(t,g(t))X, (2.23) удовлетворяющую условиям Хх \\X\\ w{t,X,g{t)) X1 Х2, {Хх 0) (2.24)
Очевидна справедливость следующей леммы. Лемма 2.7. Пусть квадратичная форма (2.23) удовлетворяет условию (2.98). Для того чтобы нулевое решение системы (2.23) было Ь2-устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы при ограниченном значении Х(0)2\ сходился несобственный интеграл u = \{w(t,X,g(t)))dt (2.25) о Введем обозначения wa(t,X) - wa{t,X,ea), Ba(t) - В(і,ва) ( = 1,...,л) (2.26) Условия (2.24) равносильны условиям XXE Bs(t) A2E, Xx X 2 ws(t,X) A2 \\ X \\2 {Xx 0, s = 1,...,n, t 0), (2.27) что и доказывает справедливость леммы 2.7. Леммы 2.6 и 2.7 дают необходимые и достаточные условия -устойчивости решений системы (2.19).
Для нахождения необходимых и достаточных условий / -устойчивости решений системы (2.19) воспользуемся аппаратом стохастических функций Ляпунова [26].
Пусть w(t,X,g(t)) - квадратичная форма, удовлетворяющая условиям (2.24). Определим основные стохастические функции Ляпунова по формулам ии X) = \ (wit, X(t\ g(t)) I X(t) = X, g(t) = 6s)dt (2.28) t Если будут найдены основные стохастические функции Ляпунова vs (t, X), то можно найти значение функционала и (2.25) по формуле и= lfjus(0,X)fs(0,X)dX (2.29) f s=l Аналогично будет справедлива более общая формула со п \(w(T,X(T\g(T)))dT = \ (0,ХЩ0,ХЖ (2.30)
Где fs(t,X) (s = \,...,n) - частные плотности распределения системы случайных величин (X(t),g(t)). Отметим, что функции vs(t,X) (s = \,...,n) зависят лишь от вида функций ws(t,X) (s = 1,...,п) и от значений марковского случайного процесса д{т) (т t) и не зависят от вероятностного распределения системы случайных величин (X(t), g{t)).
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения Aa(t) = A(t,ea) ( = 1,...,/1) (2.31) Поскольку функции vs(t,X) являются квадратичными формами от X, то полагаем vs(ttX) = X Cs(t)X ( = 1,...,/1) (2.32) и отыскание функций us(t,X) (s = 1,...,ri) сводится к отысканию матриц Cs{t){s = l,.,n).
Вывод уравнений для моментов первого и второго порядка для нестационарных моделей
Для получения моментных уравнений первого и второго порядка необходимо получить уравнения, описывающие частные плотности распределения математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.
Рассмотрим математические модели, описываемые системами линейных дифференциальных уравнений Р- = А(і,д(і))Х(і), (3.1) at где g{t) - полумарковский конечнозначный процесс, принимающий конечное число состояний вг,...,вп. Предполагаем, что полумарковский случайный процесс g(t) определяется интенсивностями qsk(t) (s,k = \,...,n) (1.39). Пусть g(t) имеет скачки в моменты времени t0,t1,t2-- {t0=Q tx t2 ...).
Исследуем понятие полумарковской функции a(t,g(t)), которая определена следующим образом. Задается п различных детерминированных функций akit) (к = \,...,п), заданных при t 0. Если g(t -0) = вк, g(t-+O) = 0s (s,k = \,...,n) то при t- t t-+1 функция a(t,g(t)) принимает вид a(t,g(t)) = aa(tj). (3.2)
Использование полумарковских функций облегчает использование понятия стохастического оператора. Фактически, полумарковская функция a(t,g(t)) является оператором от полумарковского процесса git), так как задание лишь значений t и gif) не определяют значение полумарковской функции ait, git)). Требуется также задание функции as (t) при t О и задание значения скачка t, который предшествует моменту времени t.
Система уравнений (3.1) распадается на п систем дифференциальных уравнений, соответствующих различным реализациям случайного процесса git) dXkit) = Akit)Xkit) (k = l...,n;t 0). (3.3) dt
Для вывода общих формул предполагаем, что для систем (3.3) известны фундаментальные матрицы решений Nk(t), определяющие решение систем (3.3) Xkit) = Nkit)XkiO), NkiO) = E ( = 1,...,/1). (3.4) Если git -0) = вк и git + 0) = вs, то при t -+1 система уравнений (3.1) принимает вид d - = As{tJ)X{t). (3.5) Будем также предполагать, что в момент t скачка процесса git) решение системы уравнений (3.1) имеет скачок, определяемый векторным уравнением X(tJ+0) = CskX(tj-0), detQ 0 (s,k = \,...,n). (3.6) Пусть случайный процесс (X(t), "(0) имеет плотность распределения Ді,Х,д) = ±/к(і,ХЩд-вк), (3.7) к=і где 5{д) - дельта-функция Дирака. Выведем систему уравнений для частных плотностей fk(t,X) (к = 1,...,п). Используем вектор частных плотностей вероятностей F(t,X) = (3.8) и рассмотрим последовательность векторов F(t-,X) (7 = 0,1,2,...), где t -моменты скачков полумарковского процесса g{t). В моменты скачков t (7 = 0,1,2,...) вся предыстория случайного процесса (X(t),g(t)) "забывается", т.е. не влияет на поведение решений системы (3.1) при t t . Поэтому существует стохастический оператор L(t) є S$ п L такой, что F(tJ+t) = L(t)F(tj) (7 = 0,1,2,...;ґ 0). (3.9) Поскольку все моменты скачков t (7 = 0,1,2,...) равновероятны, то для простоты изложения, в качестве начального момента времени возьмем t0 = 0 . Система уравнений (3.9) принимает вид F(t) = L(t)F(0) (t 0) (3.10) или в скалярной форме fk(t,X) = j]Lks(t)fs(0,X), Lb(t)eSlL (k = \,...,n;t 0). (3.11) 5=1 Пусть случайный процесс g{t) при t0 = 0 попадает в состояние вк. При этом выполнены следующие условия
Математические модели динамики численности населения
Рассмотрим линейное приближение логистического уравнения (4.2) = оХ, (4.5) at характеризующее динамику численности населения. Для дискретного времени используется разностное уравнение Хп+х =Хп +осХп, а = Кр Кс , (4.6) 1000 где Кс- коэффициент смертности, К - коэффициент рождаемости.
Демографические процессы в различных странах носят явно выраженный случайный характер, поэтому уравнение (4.5) будет точнее описывать изменение численности населения, если считать коэффициент а зависящим от случайного процесса.
Изменение численности населения зависит от показателей рождаемости и смертности. Эти показатели случайны по своей природе и не зависят непосредственно от того, сколько людей родилось или умерло в предыдущем году. Поэтому можно считать, что рождаемость и смертность являются случайными величинами и не зависят от своей предыстории [44]. Поэтому коэффициент а можно считать зависящим от марковского или полумарковского процесса. Учитывая, что коэффициент а в модели (4.5) и (4.6) зависит от случайного процесса, решение этого уравнения будет случайным. Количество смертей и рождений являются конкретными цифрами в каждом году, то есть мы можем считать, что случайные величины рождаемости и смертности будут принимать некоторое конечное число состояний.
Совокупность вероятностей переходов показателей рождаемости и смертности из одного состояния в другое можно записать в виде матрицы переходных вероятностей. Элементы матрицы переходных вероятностей П должны удовлетворять следующим условиям [115]: - ВСЄ ЭЛемеНТЫ ДОЛЖНЫ быТЬ Неотрицательны, ТО ЄСТЬ 71ц О, - сумма элементов каждого столбца должна равняться единице, я - = 1.
В разных странах уровень рождаемости и смертности разный. Таким образом, в разных регионах выделяются группы однотипных стран по уровню рождаемости и смертности и составляется матрица переходных вероятностей, которая характеризует распределение полумарковских величин К и Кс (коэффициентов рождаемости и смертности). Разброс этих показателей в последние годы незначителен, поэтому при построении матрицы переходных вероятностей можно ограничиться только крайними и средними значениями характеристик Кс и К , и считать, что система имеет только эти два крайних и среднее состояния. Будем считать, что на периоде прогнозирования матрица переходных вероятностей постоянна.
Таким образом, будем исследовать линейное дифференциальное уравнение (4.5) со случайным коэффициентом а зависящим от полумарковского конечнозначного процесса, принимающего три состояния, и постоянной матрицей переходных вероятностей П = \\ П\2 П\Ъ 71 2\ 22 (4.7) которая меняется в зависимости от рассматриваемой группы стран.
Пусть матрица переходных вероятностей полумарковского процесса совпадает с матрицей переходных вероятностей марковского процесса. Таким образом, будем рассматривать марковскую цепь с тремя состояниями и стохастической матрицей переходных вероятностей (4.7).
Исследование случайных процессов, сводится к исследованию поведения числовых характеристик этих процессов (математического ожидания, дисперсии и др.).
В результате рассмотренных предпосылок мы можем заменить исследование дифференциального уравнения (4.5) со случайными коэффициентами исследованием системы j -порядка детерминированных моментных уравнений, то есть уравнений для числовых характеристик, где j - количество состояний системы.
Поскольку мы исследуем динамику численности населения, то ограничимся рассмотрением первых моментов (математических ожиданий) решения уравнения (4.6).
Обоснование достоверности получаемых результатов проводится на основании полученных в главах 2 и 3 результатов с помощью исследования -устойчивости моментных уравнений.
Учитывая, что рассматриваемая система имеет два крайних и среднее состояния, то получим систему третьего порядка уравнений для начальных первых моментов.
Дифференциальное уравнение для начальных моментов первого порядка ММ) (математического ожидания) уравнения (4.5) определяется соотношением (2.11)
Похожие диссертации на Применение метода моментных уравнений для построения и исследования устойчивости математических моделей со случайными параметрами
