Введение к работе
' 1.
Актуальность темы. Многие процессы, происходящие в природе, ївляются очень сложными объектами для непосредственного исследо-зания. Однако очень часто выделение наиболее существенных черт в «учаемом явлении позволяет перейти к более простому объекту, <оторый правильне отражает основные закономерности явления и дает зозможность получать о нем новую информацию. Такой объект назы-зается моделью. Современные достижения науки и техники во многом )бязаны эффективным математическим моделям.
Классическая математическая физика имела дело с линейными моделями. Формально это уравнения, в которые неизвестные входят голько в первой степени. Реально они описывают процессы, идущие )динаково при разных внешних воздействиях. С увеличением интен-:ивности воздействий изменения остаются количественными, новых сачеств не возникает. Область применения линейных уравнений очень цирока. Но, несмотря на это, ученым все чаще и чаще приходится іметь дело с явлениями, где более интенсивные внешние воздействия іриводят к качественно новому поведению системы. Здесь нужны іелинейньїе математические модели. Анализ таких моделей является ораздо более трудным, однако при решении многих' задач он необ-
(ОДИМ.
Появление ЭВМ дало мощный импульс исследованиям нелинейных
моделей. Важным инструментом в их изучении стал вычислительный
эксперимент - сочетание больших серий численных расчетов с раз-
шчными аналитическими подходами. Быстродействие и большой объем
іамяти современных ЭВМ дают возможность решать такие задачи, ко-
орые в недавном прошлом были бы совершенно недоступны. Подчерк
ам, что вычислительный эксперимент не только не отвергает тради-
шонных классических методов анализа, но и, напротив, предпола
гает их самое активное использование. Важно отметить также, что
ЭВМ не только служат гигантскими арифмометрами. Они могут помочь
іолеє глубоко понять окружающий нас мир, создать новые теории и
іредставления, привести к открытию новых явлений.
Одним из таких явлений, обнаружению которого способствовал іьічислительньїй эксперимент, можно считать самоорганизацию. Оказа-юсь, что у многих сложных систем, состоящих из взаимодействующих юдсистем, могут возникать качественные особенности, которыми ни
одна из частей не обладает. Теория самоорганизации сейчас называют синергетикой (дословно - теория совместного действия). Среди основных моделей синергетики - нелинейное уравнение теплопроводности с объемным источником, модель брюсселятора, уравнение Курамото-Цузуки и др.
Другим важным открытием стал тот факт, что динамические системы могут иметь сложные нерегулярные (хаотические) решения. Это делает принципиально невозможным предсказание поведения таких систем, хотя формально они являются детерминированными - начальные данные однозначно определяют их решение. Этот феномен получил название детерминированного хаоса. Впервые он был обнаружен в 1963 г. Э. Лоренцем в известной системе трех дифференциальных уравнений. Впоследствии оказалось, что хаотическое поведение характерно для множества моделей. Их исследование заложило основу нового направления синергетики - хаотической динамики.
Одним из необходимых условий успешного использования вычислительного эксперимента является применение эффективных численних методов. Исследованию алгоритмов численного анализа базовых моделей современной математической физики, описывающих нелинейные среды, сейчас уделяется большое внимание. Отметим, что теоретическое обоснование адекватности разностной модели ее дифференциальному аналогу является очень важной проблемой математического моделирования и вычислительной математики. Эта проблема приобретает особую актуальность, если исходная задача представляет собой систему нелинейных уравнений в частных производных. В большинстве работ анализ конечно-разностных схем для таких систем проводится на примере линеаризованной либо упрощенной системы, а работоспособность алгоритмов определяется эмпирически из вычислительного .эксперимента. Вместе с тем ясно, что наиболее полную и точную информацию о свойствах численного метода можно получить лишь в результате теоретических исследований в рамках исходных уравнении. Однако доказательство сходимости разностных схем для нелинейных уравнений математической физики сопряжено с большими трудностями даже при наличии гладкого решения у исходной дифференциальной задачи. Поэтому первые исследования в этой области появились сравнительно недавно - на пороге восьмидесятых годов. И хотя в дапьнейшем методика доказательства сходимости нелинейных разностных схем была существенно развита, количество работ по этой
ематике к сегодняшнему дню остается невеликим.
Одной из базовых моделей синергетики и современной математи-іеской физики является нелинейное комплексное уравнение в частных троизводных - так называемое уравнение Курамото-Цузуки (см. (uramoto Y., Tsuzuki Т. "On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems". Progr. Theor. Phys. 975. V. 54. № 3. P. 687-699):
1) ^=^+(1+^,)^-(1+(^)^1^12.
W(xJ)=u(x,t)+iv(x,t), 0 s x s I, i>0.
Dho называется также зависящим от времени обобщенным уравнением "инзбурга-Ландау. Уравнение (1) применимо к широкому классу іадач и, в частности, описывает поведение систем типа реакция-іиффузия в окрестности точки бифуркации, где пространственно-)днородное стационарное решение теряет устойчивость. Обычно для чего рассматривают начально-краевую задачу
-
W(x,0)=WQ(x), Qixsl,
-
W (0,t)=Wx(l,t)=0, i>0,
їли периодическую краевую задачу с краевыми условиями
4) W(0,t)=W(l,t), fSO.
Исследованию уравнения Курамото-Цузуки посвящена обширная титература (см., например, ссылки в работе: Ахромеева Т. С, Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. "Нестационарные :труктуры и диффузионный хаос". М.: Наука, 1992). Было выяснено, гто задача (1)-(3) наряду с нулевым решением (W(x,t)=0) может яметь пространственно-однородное решение
5) W(x,t)=exp(-icJ+ia), a=const,
периодические по времени автомодельные решения вида
;б) W(x,t)=R(x)exp(iut+ia(x)),
ї также квазнпериодические или двухчастотные решения, которые эписываются функциями
7) U7(x,f)=/?(^f)exp[((u0i+u,(0+a(x,0)].
где R(x,t+T)=R(x,t), ш,(/+Г)=ш,(/), a(x,t+T)=a(x,t)+2np,
о {0,+1,+2,...), w_=const. Кроме того, задача (1)-(3) может иметь и хаотические решения. Динамическая система, в которую
переходит уравнение Курамото-Цузуки при W =0, имеет единственный аттрактор - предельный цикл (5), поэтому сложные непериодические решения задачи (1)-(3) обусловлены пространственной неоднородностью. В связи с этим они получили название диффузионного хаоса.
Для изучения уравнения Курамото-Цузуки использовались как
численные, так и аналитические методы. Из аналитических результа
тов заслуживает внимание априорные оценки для некоторых количест
венных характеристик (в том числе и ляпуновской размерности),
которые были получены в работе: Doering С. R., Gibbon J. D.,
Holm D. D., Nicolaenko B. "Low-dimensional behaviour in the
complex Ginzburg-Landau equation". Nonlinearity. 1988. V. 1. № 2.
P. 279-309. Важным достижением в исследовании уравнения (1) было
построение множества упрощенных моделей. Изучая их, удалось уста
новить ряд качественных и количественных особенностей решений
исходной задачи в частных производных. Одна из основных упро
щенных моделей, называемая двухмодовой системой, получается в
результате применения к задаче (1)-(3) метода Галеркина в предпо
ложении, что W(x,t)=aQ(t)+ibQ{t)+{ap)+ibi{t))cos(iix/l). Замена
переменных a0=pQcosip0, b0=pQs\nipQ, a^pfosifiy Ь^р^іпіру =рц,
i)=Pj, у0-ф.=О/2 позволяет получить следующую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
^=2-25((;+T;KTXcos
(8) T)=2r>-2TX2^+3T)/4)-2^TKcose-c2sinO)-22'n,
«=c2(2-T)/2)+si ntf(2$+T))+c2cos0(2 -т/)+2с)2, где q=n/i. Функция <рп определяется соотношением
«>o=-c2(;+T))+O.5-rXsin*-c2cos0).
При / - п*2п в большой области параметров между простейшими аттракторами динамической системы (8) и решениями исходной задачи (1)-(3) есть как качественное, так и количественное соответствие. При этом особым точкам системы (8) можно сопоставить периодические по времени автомодельные решения вида (6), а предельным циклам - дпухчастотные режимы (7). Действительно, представляя функцию № в виде
(9а) Щх,1)= I (an{t)+ibn(t))cos,(nnx/t),
п = 0
(96) an(t)=pn(t)cownM. Ьп(І)=рп(фіПІрп(і). л=0,1
(9в) *„(<)=«>„(<)-<Р0(<). «=1.2
можно отметить, что в решении (6) амплитуды гармоник р и сдвиги фаз Ф между ними стремятся к постоянным значениям, а в решении (7) функции р при / -> о выходят на периодический режим:
(Юа) pn(t+T)=pn(t). п=0,\
(106) Фп(<+Г)=Фл(0+2птп, тп є {0,11,+2,...}. л=1,2
Несмотря на существенные успехи в изучении уравнения Кура-мото-Цузуки, остается еще много важных вопросов, ответы на которых представляет большой интерес:
Какие качественные особенности предельных циклов двухмодовой системы будут иметь квазипериодические (двухчастотные) решения исходной задачи (1)-(3)?
Как ведут себя аттракторы уравнения Курамото-Цузуки при увеличении / вне области применимости двухмодовой системы?
Какова геометрическая структура аттракторов, соответствующих диффузионному хаосу?
Насколько хорошо могут упрощенные системы передать свойства хаотических решений исходной задачи?
Чему равны ляпуновская размерность и корреляционный показатель для типичных аттракторов, наблюдаемых в вычислительном эксперименте?
Насколько близки известные априорные оценки количественных характеристик диффузионного хаоса с их численными оценками?
В каких случаях возможно точное (аналитическое) вычисление ляпуновского спектра уравнения (1)?
Цель работы. Целью настоящей диссертации является обоснование численных алгоритмов для решения некоторых нелинейных уравнений в частных производных и их применение для исследования ряда актуальных проблем синергетики, в частности, для нахождения ответов на поставленные вопросы.
Методы исследования. В работе используются современные численные и аналитические методы исследования процессов в нелинейных :редах. Главным численным алгоритмом в проводимых расчетах явля-;тся разностная схема, предложенная и обоснованная в первой главе диссертации. При доказательстве ее сходимости используется метод энергетических неравенств. При исследовании задач синергетики широко применяются методы качественной теории дифференциальных
уравнений, теории бифуркации, теории инерциальных многообразий, теории одномерных отображений, а также асимптотические методы.
Научная новизна. Доказана сходимость разностных схем для уравнения Курамото-Цузуки и для систем типа реакция-диффузия, а также для одномерных уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных в случае идеального газа. Найдены новые, ранее не известные подклассы квазипериодических решений уравнения Курамото-Цузуки. Для классификации этих решений введена величина, названная мультииндексом, и выявлены возможные сценарии ее изменения в зависимости от параметров задачи. В изучении качественных особенностей и количественных характеристик диффузионного хаоса достигнуты существенные успехи.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах ТГУ им. И. Джавахишвили, ИВМ им. Н. Мусхелишви-ли АН Грузии, ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, ИММ РАН, на международной конференции "Mathematical modelling and applied mathematics" (Москва, 1990), на VIII конференции СНГ "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Самарканд, 1992).
Публикации. По результатам выполненной работы имеется' 11 публикаций (см. список публикаций).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав (19 параграфов), изложенных на 152 страницах. Содержит 21 страниц рисунков. 6 таблиц и библиографию из 100 названия.
Похожие диссертации на Численные методы решения нелинейных уравнений в частных производных и их применение в синергетике
