Введение к работе
Актуальность темы исследования. В современном мире водные объекты стали важнейшими природными ресурсами. Водоемы подвергаются активному антропогенному воздействию, что оказывает влияние на гидрологические режимы, температуру, состав воды и, как следствие, подвергает изменениям экосистему водоема, поэтому охрана и мониторинг состояния водных объектов является необходимой составляющей их эксплуатации. Инструментом, позволяющим предсказывать возможные сценарии развития чрезвычайных ситуаций в водных системах является математическая модель гидрофизических процессов в водоеме. В то же время, в теории математического моделирования нелинейных задач гидрофизики остаются открытыми вопросы разработки математических моделей гидродинамики с уточненными граничными условиями на свободной поверхности, а также построения и исследования быстро сходящихся методов решения сеточных уравнений типа диффузии-конвекции-реакции, допускающих эффективную реализацию на системах с массовым параллелизмом.
Работы по моделированию Азовского моря предпринимаются уже достаточно давно. Пионерской в этой области принято считать работы И. И. Воровича, Ю. А. Жданова, А. Б. Горстко, Ю. А. Домбровского, Ф. А. Суркова. В Институте вычислительной математики РАН исследования в области математического моделирования гидрофизики морей и океанов, а также разработка методов усвоения данных натурных экспериментов проводилась под руководством Г. И. Марчука. В настоящее время эти исследования продолжаются А. С. Саркисяном, В. Б. Залесным и др. Также в Институте вычислительной математики РАН под руководством В. П. Дымникова разработаны математические модели климатических изменений. В ТРТУ-ЮФУ разработка моделей гидродинамики, гидробиологии, транспорта растворенных веществ и взвешенных частиц проводится под руководством А. И. Сухинова. Также в ЮНЦ РАН построен ряд моделей и выполнены численные эксперименты по моделированию гидродинамики со свободной поверхностью, а также транспорта наносов под руководством А. Л. Чикина. Работы по моделированию процессов гидро- и аэродинамики на основе квазигидродинамической системы уравнений с применением суперкомпьютерных технологий проводятся в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН Б. Н. Четверушкиным, а также В. Ф. Тишкиным, Е. В. Шильниковым и
ДР-
На сегодняшний день, существующие модели мелководных водоемов,
учитывающие движение свободной поверхности, требуют численного решения
уравнения переноса, что приводит к серьезным трудностям, либо предполагает
использование каких-либо искусственных приемов расчета формы свободной
поверхности.
Цели и задачи диссертационной работы.
Целью диссертационной работы является построение и исследование трехмерной математической модели гидрофизики мелководных водоёмов с уточненными граничными условиями на свободной поверхности, развитие численных методов решения сеточных уравнений задач гидрофизики мелководных водоемов, создание комплекса программ, реализующих эти модели и методы, а также проведение численных экспериментов. Модели должны учитывать переменную плотность среды, процессы переноса тепла и солей, а также более точно учитывать движение свободной поверхности.
Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: В области математического моделирования:
1. Построить усовершенствованную непрерывную модель гидрофизики мелководных
водоемов, описывающую гидродинамику жидкости с переменной плотностью, со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Необходимо обеспечить учет таких факторов, как влияние силы Кориолиса и испарение жидкости с поверхности.
-
Разработать более точный по сравнению с известными, метод моделирования свободной поверхности;
-
Построить расщепленную непрерывную модель гидрофизики, наследующую основные свойства усовершенствованной непрерывной модели;
-
Выполнить исследование построенных непрерывных моделей на соответствие реальному физическому процессу.
В области численных методов:
-
Построить дискретную модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающую гидродинамику жидкости с переменной плотностью, со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей;
-
Выполнено исследование построенной дискретной модели:
а. Исследовать консервативность дискретной модели;
б. Исследовать устойчивость дискретной модели, получить условия, при которой
дискретная модель является устойчивой;
в. Исследовать точность, с которой дискретная модель аппроксимирует
непрерывную модель гидродинамики;
7. Разработать и оптимизировать численные методы решения сеточных задач типа
диффузии и диффузии-конвекции-реакции:
а. Построить и исследовать итерационный метод решения сеточных задач
эллиптического типа с сильно меняющимися коэффициентами и линейной
функцией источника;
б. Построить итерационный метод для решения сеточных задач диффузии-
конвекции;
в. Выполнить оптимизацию весового коэффициента двухслойной разностной
схемы с весами для уравнения диффузии с целью уменьшения погрешности
аппроксимации при том же шаге сетки по времени;
В области создания комплексов программ:
8. Построить комплекс программ для моделирования задач гидрофизики
мелководных водоемов, включая процессы гидродинамики и переноса тепла и
солей, отличающийся от известных использованием усовершенствованных модели
гидродинамики с уточненными граничными условиями на свободной поверхности.
Методы и средства проведения исследования. Математическая модель гидрофизики мелководного водоема, описывающая гидродинамику со свободной поверхностью и переменной плотностью среды и процессы тепломассопереноса, построена на основе уравнений Навье-Стокса, уравнения неразрывности, уравнения состояния, уравнений диффузии-конвекции для описания распространения тепла и солей. Уравнение состояния представляет собой зависимость плотности от температуры, солености и давления, однако, в силу того, то плотность достаточно слабо зависит от давления, в данной работе зависимость плотности от давления не учитывается. Расщепление модели выполнено с помощью модификации метода проекций Чорина, а для пространственной аппроксимации использовался интегро-интерполяционный метод, учитывающий частичную заполненность ячеек расчетной сетки. Для исследования непрерывной и расщепленной непрерывной моделей применены методы векторного анализа. Программная реализация построенного алгоритма расчета модели для операционных систем семейства Windows выполнена с помощью среды разработки
Microsoft Visual Studio 2008 Express Edition, для операционной системы Linux Ubuntu - с помощью среды разработки Qt Creator. Для программной реализации модели был выбран язык программирования C++. Визуализация результатов расчетов выполнена с помощью современных программных средств (MathCad, OpenDX Data Explorer и др.).
Научная новизна. В области математического моделирования:
Для непрерывной модели гидрофизики мелководных водоемов использованы уточненные граничные условия на свободной поверхности, позволяющие более точно описывать механические свойства границ области. Предложена модификация метода volume of fluid для моделирования гидродинамики жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести, не требующая решения уравнения переноса для расчета функции заполненности, что позволяет упростить численное решение. Выполнено расщепление построенной непрерывной модели с помощью модификации метода проекций Чорина, учитывающей, что величина плотности может сильно изменяться во времени. Также при выполнении расщепления особое внимание уделялось корректному переносу граничных условий от непрерывной модели к дискретной. Показано, что для расщепленной непрерывной модели также выполняется закон сохранения массы. В области численных методов:
Для дискретизации уравнений расщепленной непрерывной модели по пространственным направлениям используется интегро-интерполяционный метод, учитывающий частичную заполненность ячеек расчетной сетки. Это позволяет использовать для расчета движения свободной поверхности Эйлерову (а не Лагранжеву) систему координат и добиться более точного учета геометрии границ водоема по сравнению с обычно применяемым на практике интегро-интерполяционным методом в Эйлеровой системе координат. Показано, что при использовании обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода, погрешности задания границы вносят константную ошибку, а в случае применения метода, учитывающего частичную заполненность ячеек сетки, погрешшность аппроксимации в граничных узлах имеет первый порядок по пространственным направлениям. Показано выполнение закона сохранения массы на дискретном уровне. Получены условия устойчивости дискретной модели. При аппроксимации уравнений модели по временной переменной использовались схемы с весами.
Получена оценка относительной погрешности решения уравнения диффузии с помощью схемы с весами. Разработан алгоритм вычисления значения веса, минимизирующего полученную оценку, что позволило увеличить шаг сетки по времени без потери точности решения.
Разработан модифицированный попеременно-треугольный метод для сеточного эллиптического уравнения с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника. Сходимость построенного итерационного метода слабо зависит от отношения коэффициентов, участвующих в операторе второй разностной производной, а при некоторых естественных ограничениях на функцию источника количество итераций, требуемых для сходимости метода снижается в корень квадратный раз. Разработанный метод используется для решения сеточного уравнения Пуассона с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника, которое возникает при аппроксимации предложенной модели гидродинамики мелководного водоема, с помощью интегро-интерполяционного метода, учитывающего заполненность ячеек расчетной сетки.
Получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобусловленного оператора для попеременно-треугольного метода, что позволило асимптотически вдвое сократить число итераций, требуемых для сходимости метода.
Разработан вариант метода минимальных поправок для решения сеточных задач с несамоспоряженным оператором, а также получены оценки скорости сходимости метода. Разработанный метод является частью алгоритма адаптивного попеременно-треугольного метода для сеточных уравнений с несамосопряженным оператором, который позволяет автоматически рассчитывать итерационный параметр.
Разработанные итерационные методы допускают эффективную параллельную реализацию на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью. В области создания комплексов программ:
Построен комплекс программ, отличающийся от известных тем, что для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов используются усовершенствованные модели с уточненными граничными условиями на свободной поверхности. Разработанный программный комплекс позволяет совместно моделировать гидродинамические процессы со свободной поверхностью и транспорт тепла и солей в водоемах;
Достоверность научных положений и выводов обосновывается строгостью методов построения модели. Показано, что поставленные граничные условия модели корректно отражают реальные физические процессы на границе. Показано, что при использовании интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, погрешность аппроксимации на границе области имеет первый порядок по пространственным переменным, в то время как при использовании обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода на границе возникает константная ошибка, вызванная погрешностью задания границы.
Научная и практическая значимость работы. На практике построенный программный комплекс может применяться для мониторинга и прогнозирования состояния мелководных водоемов, в том числе для прогнозирования возникновения и развития таких чрезвычайных ситуаций, как затопление прибрежных районов и попадание в водоем вредных загрязняющих веществ. Также разработанные программные средства могут являться составной частью программного комплекса для моделирования динамики развития планктона и ихтиофауны изучаемого водоема.
Построенные математические модели обладают значительной новизной. Непрерывная модель учитывает движение свободной поверхности и при этом не требует решения уравнения переноса, что облегчает её численное решение. Расщепление непрерывной модели выполнено таким образом, чтобы полученная модель на сколько это возможно наиболее точно учитывала колебания плотности среды. Дискретная модель получена с помощью интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, что позволяет моделировать движение свободной поверхности с применением Эйлеровой расчетной сетки.
В диссертации получен алгоритм вычисления близкого к оптимальному значению весового коэффициента для разностной схемы с весами для нестационарного уравнения диффузии, а также разработаны быстросходящиеся итерационные методы решения сеточных задач, в том числе с несамосопряженным оператором, допускающие эффективную реализацию на параллельных вычислительных системах с распределенной памятью, которые могут найти свое применение при математическом моделировании физических процессов, описываемых уравнениями типа диффузии-конвекции-реакции.
Основные результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту. В области математического моделирования:
1. Построены усовершенствованные непрерывная и дискретная модели гидрофизики
мелководных водоемов, описывающие гидродинамику сжимаемой жидкости со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Показано, что граничные условия непрерывной модели соответствуют физическим свойствам границы, а для расщепленной модели выполняется закон сохранения массы (с. 27-40, с. 42-47);
2. Разработан более точный по сравнению с известными, метод моделирования
свободной поверхности, являющийся развитием метода volume of fluid, не
требующий численного решения уравнения переноса для заполненности в отличии
от известных методов (с. 78-80);
В области численных методов:
-
Построена дискретная модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающая гидродинамику жидкости с переменной плотностью и со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Показано выполнение закона сохранения массы, получены условия устойчивости дискретной модели. Показано, что использование для аппроксимации уравнений модели интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность, позволяет достичь первого порядка погрешности аппроксимации на границе области, тогда как использование обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода дает константную ошибку на границе области (с. 56-78, с. 81-99);
-
Разработаны и оптимизированы численные методы решения сеточных задач типа диффузии и диффузии-конвекции-реакции:
а. Построен и исследован модифицированный попеременно-треугольный метод
решения сеточных уравнений эллиптического типа с линейной функцией
источника и сильно меняющимися коэффициентами, требующий меньшего
числа итераций по сравнению с известными (с. 116-125);
б. Получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобусловленного
оператора для попеременно-треугольного метода, что позволило
асимптотически вдвое сократить число итераций, требуемых для сходимости
(с. 111-113);
в. Построен вариант метода минимальных поправок для решения сеточных задач
диффузии-конвекции. Получена оценка скорости сходимости и проведена
оптимизация разработанного метода, что позволило сократить объем
вычислительной работы по сравнению с известными вариантами метода (с.
125-133);
г. Построен алгоритм выбора оптимального весового коэффициента двухслойной
разностной схемы с весами для уравнения диффузии, что позволяет увеличить
шаг сетки по времени при сохранении той же точности решения (с. 100-108);
В области создания комплексов программ:
5. Построен комплекс программ, отличающийся от известных тем, что для
моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов используются
усовершенствованные модели с уточненными граничными условиями на
свободной поверхности. Разработанный программный комплекс позволяет
совместно моделировать гидродинамические процессы со свободной
поверхностью и транспорт тепла и солей в водоемах (с. 139-142);
