Введение к работе
Актуальность. Аппарат интегральных уравнений широко применяется при решении многих задач науки и техники. Значительный круг задач аэродинамики, теории упругости, дифракции и других областей знаний при моделировании удобно сводить к граничным интегральным уравнениям.
Главным достоинством метода граничных интегральных уравнений является его экономичность. Он позволяет понизить размерность решаемой краевой задачи математической физики, то есть свести исходную двумерную задачу к интегральному уравнению по кривой, являющейся границей области решаемой задачи.
При этом большой популярностью пользуются математические модели, описываемые интегральными уравнениями Фредгольма, интегральными уравнениями со слабой особенностью в ядре и линейными сингулярными интегральными уравнениями с ядром Коши и Гильберта. Это обусловлено хорошо развитой теорией указанных интегральных уравнений, а также значительными продвижениями, полученными в вопросах построения и обоснования вычислительных схем приближенного решения таких интегральных уравнений.
Однако в последние годы ряд прикладных задач сводится к интегральным уравнениям с сильной особенностью, содержащим гиперсингулярные интегралы и понимаемым в смысле конечной части расходящегося интеграла по Адамару. При этом одни прикладные задачи сводятся к интегральным уравнениям, содержащим плавающую гиперсингулярность, а другие - к сингулярным интегральным уравнениям, допускающим в одной или в нескольких фиксированных точках области интегрирования гиперсингулярнуго особенность. В первом из этих случаев будем использовать термин - гиперсингулярные интегральные уравнения, а во втором - сингулярные интегральные уравнения с фиксированной гиперсингулярностью. В отличие от интегральных уравнений Фредгольма, а также линейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и Гильберта указанные выше гиперсингулярные интегральные уравнения изучены недостаточно. Так, в аэродинамике большое внимание уделяется исследованиям, связанным с использованием энергетических средств механизации летательных аппаратов. Однако, не смотря на большой интерес со стороны специалистов отношение к энергетическим методам управления
летательными аппаратами из-за большой «энергоемкости» и сложности исследования до недавнего времени было довольно скептическим. Но достигнутые к настоящему времени успехи в создании современных силовых установок и развитие теоретических методов исследования математических моделей аэродинамики позволяют рассматривать энергетические методы управления летательным аппаратом (ЛА) как реальные уже в ближайшей перспективе.
В настоящей диссертации рассматривается математическая модель обтекания крыла, использующего в качестве энергетических средств механизации устройства отсоса внешнего потока. При этом данная модель рассматривается с учетом влияния случайных возмущений, когда ее входные параметры носят случайный характер.
Посредством такой механизации возможно создание энергетического предкрылка, увеличивающего угол атаки, допускающий безотрывное обтекание крыла. Также ведутся исследования по использованию устройств отсоса внешнего потока с поверхности крыла в качестве борьбы с концевыми вихрями спутного следа, образующимися при полете самолета и представляющими серьезную опасность для находящихся поблизости других ЛА. Причем все устройства отсоса, выступая в роли органов управления ЛА (не имеет значения их конструктивная составляющая), являются элементами системы автоматического управления ЛА. Из теории управления авиационными автоматическими системами известно, что каждая система управления подвержена действию случайных явлений (возмущений), к которым могут относиться ошибки измерений приборов и датчиков, вибрации механизированных и силовых агрегатов, помехи в энергетических и радиолокационных системах, случайные силы и моменты и т.д. Поэтому их учет (формализация) и влияние (моделирование воздействия) в системе управления устройствами отсоса в настоящее время является мало изученной задачей. В целом данные факты обуславливают актуальность проводимых в диссертационной работе исследований, направленных на построение, обоснование и численную реализацию новых вычисленных схем решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, возникающих в задачах аэродинамики, в том числе стохастического характера, имеющих важное прикладное значение.
В данной работе предлагается новый метод численного решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, возникающих в задачах аэродинамики при моделировании обтекания несущих поверхностей с отсосом внешнего потока. Этот численный метод отличается от используемых ранее повышенной скоростью сходимости приближенного решения к точному. В диссертации этот метод назван методом наложения.
При математическом моделировании стационарного обтекания изолированного профиля с отсосом внешнего потока возникают сингулярные интегральные уравнения первого рода с фиксированной гиперсингулярностыо. К одной из первых работ, посвященных обтеканию профиля с отсосом потока с его поверхности скорее всего следует отнести статью H.V. Woolard. В нашей стране изначально математическая задача обтекания профиля с отсосом была поставлена и изучена в работах Белоцерковского СМ., Лифанова И.К. и Бушуева В.И., а предложенный в них метод получил название традиционного подхода к моделированию задачи обтекания профиля с отсосом внешнего потока. Полученное этим подходом граничное интегральное уравнение относится к классу некорректно поставленных задач. Регуляризация этого уравнения осуществлялась лишь на этапе дискретизации и численного решения, что вызывало определенные неудобства. Затем указанные неудобства были преодолены: в работе Матвеевой А.А. предложена новая редакция традиционного подхода, а в работах Лифанова И.К., Сетухи А.В., Димитрогло М.Г., Лебедевой Ъ;.В., Вайникко Г.М. и др. описан новый (нетрадиционный) подход постановки рассматриваемой задачи. Нетрадиционный подход постановки задачи обтекания профиля и крыла конечного размаха с отсосом внешнего потока предложен Сетухой А.В. и подробно изложен в его докторской диссертации. Полученное нетрадиционным подходом граничное интегральное уравнение рассматривается в классе обобщенных функций, а его правая часть содержит 8-функцию Дирака с носителем в точке отсоса внешнего потока. Приближенное решение этого граничного интегрального уравнения, полученного нетрадиционным подходом, строится методом дискретных вихрей с равномерным распределением узлов. Кроме указанных работ имеется значительное число работ чисто вычислительного характера, в которых проводятся расчеты задачи обтекания профиля с отсосом внешнего потока без их математического обоснования. Обзор этих работ можно найти к монографии авторов Бушуева В.И. и Зубок В.В.
Объектом исследования являются сингулярные интегральные уравнения с фиксированной гиперсингулярностью, описывающие задачи аэродинамики профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока.
Предметом исследования является метод наложения численного решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью и его численная реализация.
Цель работы.
Проведение исследований, направленных на разработку новых вычислительных схем построения приближенного решения граничных интегральных уравнений, возникающих при моделировании стационарного обтекания профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с их поверхностей.
Задачи исследования.
Обоснование, разработка, реализация и тестирование численного метода (метода наложения) решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число элементов фиксированной гиперсингулярности.
Построение и численная реализация математической модели обтекания потоком идеальной несжимаемой жидкости профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности в условиях неполной информации.
Научная новизна.
Предложен и реализован метод численного решена, сингулярных-интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью (метод наложения), научная новизна которого заключается в построении и обосновании новых вычислительных схем высокой степени точности приближенного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число элементов фиксированной гиперсингулярности и предусматриваемых наличие в правой части случайной функции.
Теоретическая значимость работы заключается в математическом обосновании нового метода численного решения сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число точек фиксированной гиперсингулярности. При этом правая часть указанных уравнений может быть случайной функцией.
Практическая значимость работы заключается в том, что предложенный и реализованный в качестве пакета прикладных программ метод наложения может быть использован при исследовании задач аэродинамики, в том числе стохастического характера, об обтекании несущих поверхностей с отсосом внешнего потока.
Положения, выносимые на защиту.
-
Разработка и математическое обоснование численного метода (метода наложения) решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью с ядром типа Коши и Гильберта.
-
Стохастическая модель обтекания потоком идеальной несжимаемой жидкости профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности и ее численная реализация.
-
Реализация на ЭВМ и тестирование новых вычислительных схем метода наложения решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, возникающих при моделировании обтекания профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока.
Апробация работы и публикации.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на:
XIII, XIV и XV Международных симпозиумах «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Херсон, 2007, 2009, 2011 гг.);
И, III и V Международных научно-технических конференциях
«Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, ПГУ, 2007, 2008, 2010 гг.);
VI научно-технической конференции «Люльевские чтения»
(г. Екатеринбург, ОАО «ОКБ «Новатор», 2008 г.);
IX Всероссийской научно-технической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского» (г. Москва, ВВА им. проф. Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина, 2010 г.)
научно-исследовательском семинаре кафедры высшей математики «Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения» (г. Москва, ВВА им. проф. Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина, 2010 г., руководитель -профессор Сетуха А.В.);
научно-исследовательском семинаре кафедры высшей и прикладной математики «Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений» (г. Пенза, ПГУ, 2010 г., руководитель - профессор Бойков И.В.);
научно-исследовательском семинаре кафедры теоретической физики и математического моделирования «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орёл, ОГУ, 2010 г., руководитель - профессор Пивень В.Ф.);
научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ «Интегральные уравнения в задачах математической физики» (г. Москва, МГУ, 2011 г., руководитель - профессор Захаров Е.В.);
на заседании кафедры электронной автоматики (и авиационньи: тренажеров) (г. Москва, ВВАим. проф. Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина, 2011 г.).
Материалы и основное содержание работы опубликовано в 12 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата, причем работы [1,2] представлены в журналах, входящих в «перечень рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук».
Личный вклад соискателя.
Результаты, представленные в диссертации, получены лично соискателем или при его непосредственном участии. Автором лично выбраны пути решения поставленных задач и схемы их осуществления.
Достоверность результатов и выводов обоснована и обеспечивается согласованием расчетных данных с результатами расчетов других авторов и аналитических решений, а также с известными экспериментальными данными.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Работа выполнена на 111 страницах машинописного текста и содержит 18 рисунков, 6 таблиц, 51 наименование источников используемой литературы.
