Введение к работе
Актуальность темы. К операторным уравнениям первого рода, не удовлетворяющим условиям корректности по Адамару. сводятся многие задачи геофизики, гидродинамики, физики твердого тела, спектроскопии и других разделов естествознания.
Необходимость их решения и непригодность для этой цели традиционных численных методов, привели к созданию новых методов, использующих особенности исходной математической модели и теории некорректно поставленных задач. Теория таких методов была заложена в основополагающих трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева п член-корреспондента РАН В.К. Иванова.
На сегодняшний день эта теория достаточно хорошо развита и нашла отражение во многих монографиях.
Ввиду повышенных требований, предъявляемых к детальности описания реальных объектов, и сложности искомых решений возникла пробела правильного и наиболее полного учета дополнительной информации о решении и создании на ее основе качественно других численных методов.
Созданию и исследованию таких численных методов посвящены работы многих математиков. К их числу следует отнести работы А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, В.Я. Арсе-нина. А.Л. Агеева, А.Б. Бакушпнского, Г.М. Вайникко, В.В. Васина. А.С. Леонова. В.А. Морозова. В.Н. Страхова, В.П. Тананы. A.M. Федотова. А.Г. Яголы ц др.
Теория и приложения известных численных методов для определения "тонкой структуры" решения, как правило, требуют высокую точность исходных данных, которой нет во многих практических задачах физики твердого тела, т.е. реальные погрешности исходных данных в этих задачах значительно выше тех, при которых удается определить "тонкую структуру" решения известными методами.
г.
Поэтому проблема поиска новых численных методов, работающих в условиях большей неопределенности фактически осталась открытой.
Новый подход к решению этой проблемы предложен в настоящей работе. Этот подход, основанный на принципе минимальных невязок1, обобщающем известные принципы выбора решений, позволяет учесть новую дополнительную информацию о решении и эа счет этого выявить "тонкую структуру" в условиях реальної! неопределенности.
Цель работы. Разработка теории численных методов, использующих дополнительную априорную информацию о решении и позволяющих выявить "тонкую структуру" решения в условиях реальной неопределенности.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории некорректно поставленных задач и функционального анализа.
Научная новизна. Впервые методы конечномерной аппроксимации рассмотрены в столь общей форме. При этом найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций при независимом возмущении неограниченных операторов А и L, позволившие получить в этом направлении самые общие результаты. Проведено полное исследование принципа минимальных невязок. Доказано, что этот принцип обобщает известные принципы невязки2 и квазирешений3. Дано обоснование нового способа выбора параметра регуляризации на основе принципа минимальных
'Гайана В.П., Коршунов В.А. Принцип минимальных невязок //ДАН СССР, 1978, т. 239, N 4, с. 845-848.
-Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра
регуляризации //Жури, вычислит, мат. и мат. физ., 1966, т. 6, N 1, с. 170-175.
^Иванов В.К. О линейных некорректных задачах //ДАН СССР, 1962, т. 145, N 2, с. 270-272.
невязок., использующего дополнительную априорную информацию о решении, и, как показал численный эксперимент, позволяющий выявлять " тонкую структуру" решения d реальных условиях неопределенности. '
, 7'
Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации могут* быть использованы для развития теории численных методов решения некорректно поставленных задач, конечномерных аппроксимаций регуляризованных решении, а также специалистами по физике твердого тела при определении фононных и других спектров кристаллов по косвенным измерениям.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались п обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Уральского государственного университета (руководитель - член-корреспондент РАН В.К. Иванов), отделения прикладной математики Челябинского государственного университета (руководитель -доктор физико-математических наук, профессор В.П. Танана), на Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Челябинск, 1986) и на конференции по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, 1998).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. В работах [1-4] В.П. Танане принадлежит постановка задач , диссертанту - получение конкретных результатов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и приложения; изложена на 67 страницах. Список литературы содержит 7Ї наименований.
