Введение к работе
Актуальность темы. В современной математике термин "интегрирование" дифференциального уравнения обращен к изучению свойств решений, так как обыкновенные дифференциальные уравнения интегрируются в замкнутой форме в исключительных случаях, и более важное значение имеет знание свойств решения, чем его задание формулой. В зависимости от методов изучения свойств имеются различные методы интегрирования дифференциальных уравнений: численные, качественные, асимптотические и т.д.
Большое значение имеет знание оценок, из которых можно получить важные асимптотические свойства решений. К таким свойствам, имеющим широкое практическое применение, относятся устойчивость и ограниченность, а также их всевозможные модификации. Основным методом получения таких оценок в настоящее время является метод сравнения.
Метод интегральных и дифференциальных неравенств или метод сравнения является естественным продолжением первого и второго методов A.M. Ляпунова, изложенных в его знаменитой докторской диссертации " Общая задача об устойчивости движения". Основополагающие результаты в теории дифференциальных неравенств принадлежат С.А. Чаплыгину. Дальнейшее развитие его идеи получили в работах Т. Важевского, В. Лакшмикантама, Р. Беллмана, В.М. Матросова, Е.В. Воскресенского и других.
Методы, перечисленные выше, применяются при решении многих задач из механики, биологии, экономики и т.д. Однако следует отметить, что при решении некоторых прикладных задач, сводимых к исследованию нелинейных возмущенных дифференциальных уравнений, эти методы не всегда являются достаточно эффективными.
Так, например, в экономике развитие рынка может быть описано нелинейной возмущенной системой дифференциальных уравнений. Интерес представляет задача о стабилизации рынка, то есть нахождение условий, при которых решения данной системы будут стремиться к некоторому частному решению. Эта задача решалась методом сравнения с вектор-функцией Ляпунова в работе Руш Н., Абетс П., Лалуа М. "Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости", но при этом на возмущение и на первое приближение рассматриваемой системы были наложены довольно жесткие ограничения. Естественно, возникает вопрос: нельзя ли эти ограничения ослабить?
Подобные задачи встречаются и в механике. Многие процессы описываются здесь уравнениями типа уравнения Льенара и уравнения Рэлея. Устойчивость и ограниченность решений этих уравнений исследовались в работах Е.А.Барбашина, Р.Рейссига, Г.Сансоне, Р.Конти и других. В результате к
функциям, входящим в эти уравнения, предъявлялись достаточно высокие требования. Кроме того, оставался открытым вопрос о том, как устроено множество притягиваемых решений данных уравнений, то есть решений, стремящихся к нулю при неограниченном возрастании независимой переменной.
В связи с этим разработка асимптотических методов интегрирования дифференциальных уравнений, позволяющих решать подобные задачи при менее жестких ограничениях, представляется весьма актуальной.
Цель работы. 1. Изучение структуры множества притягиваемых решений автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений.
-
Получение новых достаточных условий равномерной асимптотической устойчивости тривиального решения возмущенных систем дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением.
-
Получение достаточных условий, при которых множество притягиваемых решений линейных возмущенных систем дифференциальных уравнений образует область.
-
Получение для нелинейных возмущенных систем дифференциальных уравнений достаточных условий существования притягиваемых решений и условий, при которых множество таких решений образует область.
-
Получение новых достаточных условий равномерной ограниченности решений возмущенных систем дифференциальных уравнений с линейным и нелинейным первым приближением.
-
Исследование зависимости размерности области, образуемой притягиваемыми решениями систем дифференциальных уравнений, от характера устойчивости положения равновесия.
-
Получение достаточных условий условной равномерной асимптотической устойчивости тривиального решения нелинейных возмущенных систем дифференциальных уравнений.
-
Применение полученных результатов к исследованию математических моделей, сводимых к возмущенным системам дифференциальных уравнений с линейным или нелинейным первым приближением.
Общая методика исследования возмущенных систем дифференциальных уравнений основана на применении метода сравнения, в основе которого находятся дифференциальные неравенства. Уравнением сравнения является скалярное или векторное уравнение, асимптотическое поведение решений которого известно.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.
1. Найдены достаточные условия, при которых множество притягиваемых решений систем дифференциальных уравнений образует область в
пространстве ограниченных решений.
-
Получены достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости тривиального решения возмущенных систем дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением.
-
Приведены достаточные условия, при которых семейство притягиваемы решений возмущенных систем дифференциальных уравнений с линейным первым приближением образует область в пространстве ограниченных решений.
-
Получены достаточные условия существования притягиваемых решений нелинейных возмущенных систем дифференциальных уравнений и условия, при которых множество таких решений образует область.
-
Получены достаточные условия равномерной ограниченности решений возмущенных систем дифференциальных уравнений с линейным и нелинейным первым приближением, а также условия, при которых верхняя граница таких решений может быть найдена аналитически.
-
Найдена зависимость размерности области, образуемой притягиваемыми решениями систем дифференциальных уравнений, от характера устойчивости положения равновесия.
-
Приведены достаточные условия условной равномерной асимптотической устойчивости тривиального решения нелинейных возмущенных систем дифференциальных уравнений.
-
Для уравнения Льенара и уравнения Рэлея найдены достаточные условия, при которых притягиваемые решения образуют область в пространстве ограниченных решений. Получены новые достаточные условия равномерной ограниченности решений уравнения Рэлея.
-
Исследована математическая модель стабилизации рынка. Получены условия, при которых рынок стремится к некоторому идеальному состоянию.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, но все полученные результаты имеют прикладное значение в экономике, электротехнике и т.д. Они могут быть применены к исследованию любой математической модели, описывающей физические процессы или природные явления, если она сводится к возмущенной системе дифференциальных уравнений с линейным или нелинейным первым приближением.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (Саранск 1996, 1997, 1998 гг.), на Огаревских чтениях (Мордовский госуниверситет, Саранск 1995, 1996, 1997 гг.), на конференции молодых ученых (Саранск 1996, 1997 гг.), на Международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Са-
ранск 1996, 1998 гг.), на VII Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997 г.), на научном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством профессора М.Т. Герехина (Рязанский госпедуниверситет, 1998 г.).
Публикации. Основные результаты работы отражены в девяти публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка обозначений и библиографического списка. Общий объем диссертации 106 страниц. Библиографический список содержит 87 наименований.
Похожие диссертации на Применение принципа сравненияв методах асимптотического интегрированиядифференциальных уравнений
