Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I- Признаки существования положительных решений нелинейных операторных уравнений 19
1Л Теоремы о существовании положительною решения для нелинейных операторных уравнений « 19
1.2 Существование решений уравнения х-Лх с нелинейным вогнутым оператором „ , 28
1.3 Обобщение некоторых результатов о существовании положительных решений нелинейных операторных уравнений ~ 33
ГЛАВА II. Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений 42
2.1 Пенакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для линейных уравнений, 42
2.2 Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для нелинейных уравнений. 50
2.3 Оценка поведения ошибок округления в методе последовательных приближений 56
ГЛАВА III. Применение методов моделирования, основанных на операторных уравнениях, в задачах экономики 60
3.1. Применение теорем существования к доказательству разрешимости одной нелинейной двухточечной краевой задачи..« 60
3.2 О разрешимости задачи построения оптимальной траектории в управляемых системах 72
3.3 Задача оптимизации распределения капитальных вложений между отраслями 74
3.4 Уравнения с неразложимыми операторами. Неразложимые модели Неймана 77
3.5 Методики построения положительных решений некоторых математических моделей экономических процессов 88
Заключение 100
Литература
- Существование решений уравнения х-Лх с нелинейным вогнутым оператором
- Обобщение некоторых результатов о существовании положительных решений нелинейных операторных уравнений
- Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для нелинейных уравнений.
- О разрешимости задачи построения оптимальной траектории в управляемых системах
Введение к работе
Актуальность темы диссертации.
Многие задачи алгебры, дифференциальных и интегральных уравнений посвящены исследованию вопроса о существовании неотрицательных решений у некоторых классов алгебраических систем, интегральных уравнений, начально-граничных задач. Это в первую очередь связано с тем, что именно неотрицательные решения таких задач представляют экономический интерес. Поэтому в подобных исследованиях важно выяснить не только факт существования неотрицательного решения, но и разработать эффективные методики его построения аналитическими или численными методами. Поэтому тема диссертационной работы, в рамках которой изучаются аналогичные задачи, является актуальной.
Данная диссертационная работа направлена на решение важной научной задачи: развить математический аппарат построения неотрицательных решений линейных и нелинейных операторных уравнений и на его основе разработать вычислительные алгоритмы решения известных математических моделей экономических процессов.
Цели и задачи исследования заключаются:
-в исследовании проблемы ненакапливаемости погрешности в решении операторного уравнения (линейного, нелинейного), получаемого методом последовательных приближений;
-в применении полученных результатов к исследованию экономических процессов.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы понятия и методы теории функциональных и операторных уравнений, в том числе уравнений с операторами, действующими в линейных полуупорядоченных банаховых пространствах, численного анализа, теории оптимального управления, обыкновенных дифференциальных уравнений, матричной алгебры. Решение поставленных задач основывается на использовании результатов численных методов и пакета прикладных программ MathCad Professional.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается математически строгой постановкой рассматриваемых задач, логически последовательной формой проведения доказательств рассматриваемых утверждений, сопоставимостью полученных результатов с результатами, известными из печатных источников.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Результаты о ненакапливаемости погрешности в методе последовательных приближений решения линейных и нелинейных операторных уравнений.
2. Результаты о разрешимости обобщенной математической модели Неймана.
3. Методики построения численными методами неотрицательных решений математических моделей экономического роста (Солоу), динамики развития малого предприятия, роста выпуска дефицитной продукции.
Научная новизна. С помощью известных результатов теории линейных и нелинейных операторных уравнений с операторами, действующими в полуупорядоченных пространствах, построены оценки скорости сходимости метода последовательных приближений. Разработаны методики построения неотрицательных решений методом последовательных приближений некоторых моделей макро- и микроэкономики.
Практическая и теоретическая значимость. Результаты исследования вносят определенный вклад в развитие численных методов и могут быть использованы при исследовании математических моделей экономики, теории оптимального управления.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на XIII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза); VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск); III Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа); научных конференциях, проводившихся в Карачаево-Черкесском государственном университете 2003-2006 г.г. научных семинарах кафедр математического анализа Ростовского государственного университета, математического анализа, информатики Карачаево-Черкесского государственного университета.
Публикации. Материалы диссертации подробно опубликованы в 9 научных работах: в 5 статьях и 4 тезисах докладов,
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 73 наименования. Объем диссертации - 108 страниц машинописного текста.
Обзор литературы и краткое содержание работы
Интенсивные исследования по построению положительных решений операторных уравнений и развитию методов приближенного решения уравнений проводились Воронежской математической школой под руководством М.А. Красносельского во второй половине 20 века [3], [6], [16], [31], [28], [30], [35], [50]. Аналогичные исследования проводились также за рубежом [66], [71], [73], [27].
Необходимость подобных исследований была продиктована следующими обстоятельствами. Исследование и решение дифференциальных, интегральных уравнений, их систем, матричных уравнений может быть сведено к исследованию и решению некоторых типов операторных уравнений. Если известны (разработаны) методы решения операторных уравнений, то их легко перенести на решение указанных уравнений и систем. Такой подход использован, например, в известной работе [27]. Решение таких общих уравнений, как правило, можно найти только приближенными и численными методами. Поэтому этим методам уделено значительное число работ: [67], [68], [7],[21],[32],[30],[47],[52],[48].
Отправляясь от ранних работ Урысона П.С. [55] по нелинейным интегральным операторам и теории линейных положительных операторов
M.A. Красносельский и его ученики (Л.А. Ладыженский, И.А. Бахтин) построили весьма содержательную теорию некоторых классов нелинейных положительных операторов, действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве. Особенно глубоко была развита теория вогнутых операторов [5], [30].
В теории матриц с вещественными элементами (см. [13]) важное место занимают матрицы с неотрицательными элементами. Эти матрицы находят существенное применение в теории вероятностей при изучении цепей Маркова (стохастические матрицы), в теории малых колебаний упругих систем (осцилляционные матрицы). При этом особое место среди матриц с неотрицательными элементами занимают так называемые неотрицательные неразложимые матрицы. В теории операторов, действующих в банаховом пространстве полуупорядоченном конусом К, свойствами близкими к свойствам неразложимых неотрицательных матриц конечного порядка обладают так называемые линейные иа положительные операторы, которые
были выделены и изучены М.А. Красносельским. В дальнейшем Стеценко В.Я. обобщил понятие неразложимости на абстрактный оператор, действующий в банаховом пространстве с телесным конусом. Эти исследования Красносельского М.А., Стеценко В.Я. и др. посвящены обобщению известных экономико-математических результатов (Никайдо X., Кротов В.Ф.)
Многие экономические модели, часто используемые на практике, легко обобщаются на случай операторных уравнений. В экономических задачах чаще всего представляют интерес положительные (или неотрицательные) решения рассматриваемых моделей. Поэтому большой интерес представляют исследования типов операторных уравнений, используемых в экономике и имеющих положительные решения. Подобные исследования изложены в работах [16], [50].
В настоящее время в математической экономике разработано значительное число математических моделей различных экономических процессов. Многие из них направлены на решение следующей проблемы: построить (аналитическими или численными методами) неотрицательные решения изучаемой модели, так как только неотрицательные решения имеют во многих моделях экономический смысл. В русле этих исследований находится и данная работа, посвященная построению методом последовательных приближений неотрицательных решений операторных уравнений, которые являются обобщенными математическими моделями многих макро- и микроэкономических процессов.
Проблеме построения приближенными (численными) методами положительных решений операторных уравнений, используемых для описания экономических процессов, посвящены исследования [47], [20], [21], [26]. В данной диссертационной работе обобщены некоторые вопросы построения приближенными методами (метод последовательных приближений) положительных решений операторных уравнений [58]-[63]. Эти результаты использованы при исследовании конкретных задач и моделей математической экономики, теории оптимального управления [64], [65].
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи проводимых исследований, отмечены научная новизна, достоверность и обоснованность, практическая и теоретическая значимость полученных результатов, проведен обзор литературы по теме диссертации, дана краткая характеристика работы.
Первая глава - вводная. В ней изложены известные результаты о существовании положительного решения операторных уравнений. В § 1 приведены теоремы о разрешимости уравнения у = Ту, где Т - вполне непрерывный оператор. В § 2 рассматриваются уравнения с нелинейными вогнутыми операторами и проблема существования их положительного решения,
В § 3 изложены результаты, обобщающие результаты § 1, 2 этой главы: доказаны теоремы 1.6, 1.7, 1.9. Эти теоремы были получены совместно со Стеценко В.Я. Они представляют теоретический интерес и поэтому не включены в перечень защищаемых положений. В главе II рассматривается вопрос о ненакапливаемости погрешности при решении линейных и нелинейных уравнений методом последовательных приближений. Пусть Е - вещественное банахово пространство, полуупорядоченное конусом К, А - оператор, действующий в этом пространстве. Рассмотрим уравнение вида х= Ax + f, где х - неизвестный элемент пространства Е. При определенных предположениях относительно Е и некоторых ограничениях на оператор А уравнение х = Ах+/ имеет решение, принадлежащее пространству Е, к которому сходятся последовательные приближения X = Axn+f f« =0,12,..), где х0 (начальное приближение) - произвольный элемент пространства Е. Однако, при решения уравнения х = Ах+/ итерационными методами последовательные приближения находятся фактически с некоторыми погрешностями, вызванными ошибками округления, применением интерполяционных формул и т.д. Поэтому реально вычисления проводятся по формуле xntl=Axn+f + (Tlltl, (11 = 0,1,2...), где 7„(1 - элемент из Е, вносящий погрешность в приближенное решение xmti на «+/ - шаге. Элементы о-л+ (я = 0,1,2...) будем называть погрешностями. В связи со сказанным возникает вопрос об исследовании влияния погрешностей (тя+1 на конечный результат. Известно [44], что если оператор А — оператор сжатия l jr- yl (/1 - 1 , (х,уєЕ , q = comt, / 1), то погрешности не накапливаются, т.е. из неравенства J0-„ 7, (и = 1,2,...) следует, что \\ Тп] . 7, (« = 1,2,...) следует, что 1-е] В § 1 главы II исследуется вопрос ненакапливаемости погрешности в методе последовательных приближений для линейных уравнений, доказан ряд теорем, в которых получены оценки скорости сходимости метода последовательных приближений. В теореме 2.2 для телесных конусов получена оценка, позволяющая избежать накопления погрешности. Теорема 2.2. Пусть линейный оператор А удовлетворяет соотношению -В А В, где В (Е - Е) - линейный положительный оператор, причем для некоторого внутреннего элемента щ конуса К Вщ йсш0, а= const, 0 а 1. Тогда метод последовательных приближений осуществляемый с ПОГреШНОСТЬЮ 7Я хп = Ахп_]+/ + о-п (п = 1,2,...) при условии,что СТл] сг,(« = 1,2,..0 есть метод с ненакашшваемой погрешностью: \xn-xn\\ 2N-M i a, (а 1) р 1-а где М - постоянная несплющенности конуса, р - радиус окрестности, с которой элемент и0 принадлежит конусу К. Освободится от требования телесности конуса позволяет теорема 2.4 в которой предполагается, что конус А" воспроизводящий. Теорема 2.4. Пусть линейный операторе удовлетворяет соотношению -В А В, где В - линейный положительный щ - ограниченный сверху оператор, причем Вщст0, (ог 1; u0eE, м0 0). Тогда уравнение = .Лл:4-/ ДЛЯ любого /є имеет единственное в Е решение х\ к которому сходятся последовательные приближения xn=Axn +f (и = 1,2,...) Быстрота сходимости последовательных приближений характеризуется неравенством: и A-a , ix.,- JS(2JV + l) / 1-а " oL-Ограничение тя] т, (и = 1,2,—) в условиях теорем 22, 2.4 можно ослабить и заменить его на следующее ограничение (см. теорему 2.5): погрешности ая=а -а \ (a™ta™ K) в формуле хя=АхлЛ + / + ап9 (п = 1,2,».) удовлетворяют соотношению а аи0, (а 0, / = 1,2; л = 1,2,...). В этом случае оценка, характеризующая ненакапливаемость погрешностей ап в итерационном процессе, имеет вид: iZ-xislN-luol-?-. В § 2 основные результаты из § 1 о ненакапливаемости погрешности в решении операторного уравнения методом последовательных приближений с линейным оператором А обобщены на случай, когда А является подлинейным оператором (теоремы 2.7,2.8). В главе Ш рассматриваются различные приложения указанных выше теорем: В § 1 исследуется вопрос о разрешимости двухточечной краевой задачи -x = f(t9x9i)t (0) = (1) = 0, (0Л) где f(tfx,y) непрерывная по совокупности переменных г, х, у (у = х) 0 / 1, co x co, со у оэ функция. Речь идет о приложениях теоремы 1,9. При применении этой теоремы основная трудность состоит в проверке этом случае оказывается полезной теорема 1.10, устанавливающая априорную оценку решения уравнения x-aAx g и используется следующая известная теорема. Теорема 3.1. [52] Пусть К нормальный воспроизводящий конус, А -линейный положительный и0 - ограниченный сверху оператор, причем АщїАьЩ (/L0 0). Тогда уравнение x = aAx + g при любом geE4 и OAQ 1 имеет единственное в Еч решение х\ при этом справедливо неравенство У 1-аЛ0 где через g[ обозначена и0 - норма элемента g (см. [52]). Показано, что нелинейная краевая задача (0Л) при условии f{t,xfx)&l + Jk2 (0.2) разрешима, если выполняются неравенства 2 а 1 " 2.(1-4) Если вместо неравенства (0.2) выполняется более общее неравенство f(t,x,x) c + fo2, (с 0), то краевая задача (0Л) имеет по крайней мере одно решение, если О 0 — и а = ї_—i_. 2с 2 Если функция / не зависит от у и монотонна по х: f(t,x}) f(i,x2) при х,й 2, то решение x\t) краевой задачи -х = /(г,х), х(0) = х(1) = 0 (0.3) можно получить методом последовательных приближений I „,.( }= С(/Л)/К »]Л, (« = 0,1,2,...), О где G{t,s) - функция Грина, выбрав в качестве начального приближения xu(t) функцию -JC,(0» где xx(t) решение уравнения 2 і (0 =— JG(/,s)x(s)]ds + с JG(t9s)ds. При этом на конусном отрезке (-д:,(0 (0) решение задачи (0.3) единственно. В § 2 изучается вопрос о существовании и единственности оптимальной траектории для управляемого динамического объекта при заданном оптимальном управлении. Пусть управляемый динамический объект описывается в п - мерном вещественном пространстве R" системой дифференциальных уравнении x(t) = f[ttxfu)f где x{t) = ( (/), (0,.,,, (0) - траектория изучаемого процесса, u(r) = (u{(t),u2(i)r..,ur{i)) - вектор-функция из г - мерного вещественного пространства иг, кусочно-непрерывная в /г, называемая управлением, t -время, /є[/0 ]. Требуется перевести объект из начальной точки x(t0) = x0 в конечную x(tl) = xi (считаем, что моменты времени /0 и t} заданы) таким образом, чтобы заданный функционал і j = f°{x{t),u{t))dt ( /°((/),і/(/))Л - заданные функции) h на Ur принял наименьшее значение. Пусть щ оптимальное управление данной задачи, щ е W которое построено с помощью принципа максимума Понтрягина. В данном параграфе указаны условия, при выполнении которых решение задачи і(/) = /(/,х,и0), (0)= 0, х(1) = существует и единственно (т,е. когда существует и единственна траектория управляемого процесса). В § 3 исследуется задача оптимизации распределения капитальных вложений между отраслями. Для математической постановки задачи используется модель роста основных фондов. Уравнения модели запишутся так: к -мЛ + К к2=-м2к7+у2 Здесь fit9 і = 1Д,...,л - коэффициенты выбытия основных фондов; Vl9 f = l,2„..,H -инвестиции; КіУ /=1,2,..,,л - основные фонды отраслей. На величины FJ? / = 1,2,.», п накладываются ограничения где Ут - максимально допустимая величина инвестиций в отрасли. Здесь рассматривается я отраслей, на развитие которых может быть выделено некоторое количество капиталовложений, устанавливается лимит капиталовложений, ограничивающий суммарные инвестиции в отрасли, в каждый момент времени (например, в текущем году). Требуется распределить инвестиции по годам в течение времени [0,7], чтобы сделать возможно большими величины основных фондов отраслей на конечный момент времени и при этом минимизировать общее количество инвестиций за весь рассматриваемый промежуток времени, т.е. требуется при наиболее экономном расходовании ресурсов добиться максимального эффекта капиталовложений в момент Т. Для решения этой задачи оптимального управления используется принцип максимума Понтрягина, получены соответствующие оптимальные управления.
В § 4 рассматриваются уравнения с неразложимыми операторами, В этом параграфе исследуются свойства модели Неймана
Bx-Axbfy (0.4)
где Л, А - линейные ограниченные операторы, действующие из одного банахова пространства Ех в другое банахово пространство Е2.
Пространства Е{ и Е2 полуупорядочены, соответственно, конусами Л\ и К29
ВК} К2, AKx zK27 f- некоторый заданный элемент конуса К2, х- искомый
элемент конуса К}.
В этом же параграфе рассмотрено несколько вариантов обобщения понятия неразложимости пары операторов, действующих в банаховых пространствах, анализируются известные определения неразложимых пар операторов ([9], [20]) и предлагаются два новых определения неразложимых пар, охватывающие более широкий класс пар операторов. Для всех рассмотренных определений при весьма общих предположениях доказывается совпадение так называемых чисел Неймана и Фробениуса, В терминах этих чисел получен критерий разрешимости модели Неймана (0.4) в операторном случае.
Определение 3.3. Пара линейных положительных операторов (А, В) называется 3-неразложимой, если из неравенств аВх Ах, fiB tSA l, где a,fi 0, хєКх, х в, 1еК 2, 1 в, следует, что 1{Вх) 0. Определим множество а{А,В) = {А О:ЭхеК х 01АхЛВх} и числа &А,В) = ЩА:ЛеШ В))=Аф(А,В), Q(A\B ) = {A Q;3xeK]tx 0,A x AB x}, А(А\В ) ир{Л:АєСІ(А\В )} = Аіі(А В). Теорема 3,7. Пусть конус К2 телесен, 0(Л,В) 0, пара (Л,б) 3-неразложима. Тогда для того, чтобы модель Неймана Bx-Ax f была разрешима для всякого fsK2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство Л\А,В) и где (А9В)- совпадающие числа Неймана и Фробениуса неразложимой пары операторов (А,В). В § 5 - результаты главы II используются для построения итерационным методом положительных решений соответственно в задачах Солоу, модели малого предприятия, роста выпуска дефицитной продукции, приводятся примеры построения таких решений. Модель Солоу экономического роста. Рассмотрим нелинейную односекторную модель экономического роста Солоу, В этой модели экономическая система рассматривается как единое целое, она производит один универсальный продукт, который и потребляется и инвестируется.
Пусть состояние экономики задается следующими эндогенными (рассматриваемыми в системе) переменными, изменяющимися с течением времени ty і є [0,7і], X - валовой общественный продукт, С - объем непроизводственного потребления, 1 - инвестиции, L -людские ресурсы, К -производственные фонды (капитал). Кроме того, в модели используются следующие экзогенные (заданные вне системы) показатели, являющиеся постоянными величинами: v- годовой темп прироста людских ресурсов, занятых в сфере производства, р - доля выбывших за год основных производственных фондов, а - коэффициент прямых затрат (доля промежуточного продукта ВОП), р - норма накопления.
Предполагается, что -1 г 1, 0 // 1, 0 а 1, 0 /? 1. Тогда модель Солоу в абсолютных показателях имеет вид [26]: = -рК + р{1-а)Х,К(0) = К0; at X=F(KrL); 1 = р(\-а)Х; С = (1 -/J)(1 - a)JT; L = Lc-evt; В относительных (удельных) показателях (для однородной функции F(KtL)t удовлетворяющей условию F(K,L) - L / (-,1)) эта модель выглядит следующим образом: E. = -M + p{l-a)f(k), A = M + v, А(0) = 0=- , di А, x = f(k), l = p(l-a)№, c = {\-p){\-a)f{k), (0.5) К X где к = — фондовооруженность, х = — народнохозяйственная производительность труда, \-— удельные инвестиции (на одного занятого), jj с=— среднедушевое потребление (на одного занятого). LA Уравнение (0.5) можно записать в интегральном виде ifc(/) = К-Х )k(s)ds + /з(1 - a))f(k(s))ds. (0.6) о о На основании теоремы 2.4 можно показать, что (0.6) имеет единственное неотрицательное решение, которое можно найти по методу последовательных приближений I 1 kn(t)=kD-Zlkn.](s)ds + p(\-a)\f(knA(s))ds, A(0) = A0, я = 1,2,... о о Математическая модель динамики развития малого предприятия с привлечением государственных инвестиций. Предполагается, что малое предприятие может развиваться как за счет внутренних источников (прибыли), так и внешних государственных инвестиций. Математическая модель динамики развития малого предприятия имеет вид [56] = а4 /)+/ 0, te[t,J]9 A(tQ) = Aoi (0,7) где і+гла- ) / - показатель фондоотдачи; A(t) - стоимость основных производственных фондов; с - удельная себестоимость выпуска продукции в стоимостном выражении; гмг2 - ставки налогообложения на объем выпуска и прибыль соответственно; т, 0 т 1 - коэффициент, оцениваемый по выборочным данным, и отражающий долю реинвестируемых средств прибыли, не имеющих льгот по налогообложению; , 0 1- доля чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование; Щ- внешние инвестиции, полученные малым предприятием от государства на безвозмездной основе. Уравнение (0,7) можно записать в интегральном виде А{1) = А +а \A{s)ds + \l{s)ds. (0.8) о о На основании теоремы 2.4 можно заключить, что (0.8) имеет единственное неотрицательное решение, которое можно найти по методу последовательных приближений: г t Am{t) = At±a\A {s)di+\l№s, Д0) = Л0, п = 1,2... о о Математическая модель роста выпуска дефицитной продукции. Математическая модель роста выпуска дефицитной продукции показывает, как быстро можно добиться значительных объемов производства в условиях постоянных инвестиций в производство и ненасыщаемости рынка сбыта продукции. Она представляет собой линейное дифференциальное уравнение (называемое уравнением естественного роста) [2] f = k-y{t), k = aP/m, te[tQ,T], y(t0) = yv, (0.9) a - const 0, p = const 0, m = const 0, Здесь (У- количество продукции, произведенной в момент времени/, р-цена единицы продукции, а - коэффициент пропорциональности между скоростью выпуска y\t) и увеличением инвестиций /(/), т - доля дохода, идущего на инвестирование производства. Предполагается, что единица продукции продается по фиксированной ценер и моментально реализуется. Уравнение (0,9) можно записать в интегральном виде I М = У +Ь\УШІ (ОЛО) О На основании теоремы 2.4 заключаем, что (ОЛО) имеет единственное неотрицательное решение, которое можно найти по методу последовательных приближений: л(0 = у0+ф„о( У(0) = Л /1 = 1,2,™ о Программная реализация процесса построения неотрицательного решения указанных математических моделей методом итераций реализована с помощью пакета прикладных программ MathCad-2000.
Существование решений уравнения х-Лх с нелинейным вогнутым оператором
В данном параграфе рассматриваются уравнения х=Тх с вогнутым оператором, для которого получены теоремы разрешимости.
Рассматривается вещественное банахово пространство Е7 полуупорядоченное при помощи двух конусов К и K]t причем K zKir Полуупорядоченность, порожденную в Е конусом К(К}) [28], [30] обозначим (1) через ( ). Опера-rap Т - нелинейный оператор. Он оставляет инвариантным конус К (ТК с К) и монотонен на конусе К по отношению полуупорядоченности, введенной конусом к}: из х.уеК, хйу следует, что ТхйТу и такой, что выполнено условие (1) Т(ах) арТху (хеК), (1.8) где /J„ при а 1 P \pv при а 1,р2 \ Условие (1 -8) называют условием «типа вогнутости» оператора Т. Очевидно, существование решений у нелинейного уравнения х = Тх равносильно существованию неподвижных точек у оператора Г. Определение 1.1- Элементы х.уеК, (х в,у в) принадлежат одной составляющей конуса, если существуют такие конечные числа Я,/ 0, что (і) (і) х Ху у рх (1.9)
Например, конус векторов с неотрицательными компонентами на плоскости имеет три составляющие: внутренность конуса и два ребра. В трехмерном пространстве конус всех неотрицательных элементов имеет семь составляющих: внутренность конуса, трех граней, три ребра. Очевидно, что составляющее конуса К не содержат элемент 0 и, следовательно, не являются замкнутыми множествами. Элементы х, у, удовлетворяющие неравенствам (1.9), будем называть связными. Соотношение связности (1.9), очевидным образом, транзитивно, т.е. если х связан с уг а у связан с z, то х связан с z. Составляющую конуса К будем обозначать через С\.
Метрику на каждой из составляющих конуса К, определим следующим образом [73], Пусть х,увК, причем х} у связны, т.е. принадлежат одной составляющей- Введем в рассмотрение следующие два числа: Г m І a = \rtfiX :х Ху\ fi mf\fi:yufix\ и положим d(x,y) = \g{mzx(a,p)}. (ЇЛО)
Теорема 1,4 [16]. Пусть А является Кх - нормальным конусом и пусть Т -положительный относительно конуса К оператор, обладающий следующими свойствами: 1) существует число р, (0 р \, p-const) такое, что из соотношений 0} И) х,уеК, х Ау, y (k, следует, что (і) 0) Тх аТу, Ty f3 Tx, где max(a-,fi ) m№(ap,fip); 2) существует такое xQeKt что 0 и 7 связны.
Тогда существует элемент х ЕКГ принадлежащий к составляющей С (;с0), содержащей хь и являющийся единственной неподвижной точкой оператора Т в этой составляющей.
Метод последовательных приближений x/f=7xfll, (п =1,2,-) сходится по метрике d и по норме пространства Е к х\ При этом (їло d{xn,x ) f—d{x xx)y (p Y). Следствие 1,1, [16] Имеет место неравенство х.-х m(H-2N) J-г di » гі) -1 , (P D, (1.12) где N e m = max 3» W Ц , \); , Ne \-P a ka - произвольное из чисел 1,2,3,... є1 -1 Так как lim = 1, то неравенство (1.12) говорит о том, что сходимость -л х последовательности х„ по норме пространства Е происходит со скоростью, близкой к скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем /XI.
Неподвижная точка оператора Т отлична от нуля, так как она принадлежит составляющей С( а), а все элементы составляющей отличны от нуля.
Условие 1) приведенной теоремы будет выполняться и в случае, когда оператор Т монотонен относительно конуса КХ1 положителен относительно конуса К и удовлетворяет при любом а условию: Т(ах)=арТх, (xzK,x 9;p \). (1.13)
Замечание 1.1. Условие (1.8) является менее ограничительным по сравнению с (1 -13), поэтому для приложений представляют интерес операторы, удовлетворяющие условию (1.8), которые являются монотонными относительно конуса К{ и положительный на К. Например, оператор типа П. С. Урысона с ядром
Обобщение некоторых результатов о существовании положительных решений нелинейных операторных уравнений
Некоторые из доказанных ниже теорем существования позволяют усилить ранее известные результаты из [66]. Это усиление получается за счет отказа от требований непрерывности рассматриваемых операторов.
Теорема 1.6. Пусть Г и Tj положительные монотонные операторы, g},g2zK, //І 0р у2 0. Пусть i-7 + gls— T2y + g2 (1Л7) ДЛЯ ВСЄХ уєК И уравнение T2y + g2 -у ИМееТ решение ф2К. М2 Тогда для существования по крайней мере одного решения ФхеК. уравнения — T{y + g{ = у достаточно выполнения одного из условий 1) - 4) А основной леммы 1. Доказательство. Рассмотрим конусный отрезок {#, 2). Достаточно доказать, что оператор Ту = —Txy + gt преобразует отрезок {в, р2} в себя. Тогда существование решения уравнения —Tly g] -у на отрезке {0, р2) вытекает из /Л основной леммы. Пусть у любой элемент отрезка {в, р2) , т.е. в у ,(р2. Тогда в силу монотонности оператора Т \ и неравенства (1Л 7) имеем ТУ- — тіУ + 8і —т\Фі+8\ї—Т2Фі+82=Фг М\ М\ №2 т.е. в&Ту = — Тху + 8х1 2. МІ Откуда следует, что оператор 7 = —Txy + g: преобразует отрезок (в,ду2) в Мх себя. Теорема доказана. Замечание 1.2« При выполнении условия 2) получаем теорему Е- Bohl а [66].
Рассмотрим теперь не положительный, но монотонный оператор Т. При этом вначале будем считать, что конус К миниэдрален.
Обозначим через г{А) спектральный радиус оператора Л. Имеет место следующая теорема. Теорема 1.7.Г601 Пусть монотонный компактный оператор Т удовлетворяет неравенству \Ty\ -A\y\ + Sj (уеЕ)9 (1-18) / где А - линейный положительный оператор, a g некоторый фиксированный элемент из конуса К. Пусть fi r{A) (1.19) и выполнено одно из условий 1) - 4) основной леммы. Тогда оператор Т имеет по крайней мере одну неподвижную точку х е Е. Доказательство, Из условия (1Л9) следует, что уравнение — Ay + g=y для м данного geK имеет решение ре К. Образуем отрезок { р,д?}. Тогда для доказательства теоремы достаточно показать, что оператор Т преобразует отрезок {-(р,(р) в себя.
Действительно, пусть у любой элемент из {- р, р)9 т.е. -ср у (р Тогда в силу (1.18) и монотонности оператора А получим \ry\ -A\y\ + g A(p + g=(p, т.е. Последнее неравенство равносильно тому, что - р Ту р, т.е. оператор Т преобразует отрезок (- , ) в себя. Замечание 1.3. Из приведенного доказательства видно, что для справедливости утверждения теоремы достаточно потребовать, чтобы неравенство (1Л8) выполнялось лишь для тех у, которые удовлетворяют неравенству p y tpi где р- положительное решение уравнения -Ay + g=y. м Если конус К не является миниэдральным, то аналогом теоремы 1.7 является следующая теорема. Теорема L8. Пусть реК является решением уравнения —Ay + g y, geK, М где А - линейный положительный оператор. Пусть компактный монотонный оператор Т удовлетворяет неравенству: -\-Ay + g Ty -Ay + g (1.20) для всех уе{- р, р).
Тогда для существования по крайней мере одной неподвижной точки у оператора достаточно выполнения одного из условий 2), 3), 4) основной леммы.
Доказательство, Для доказательства достаточно показать, что оператор Т преобразует отрезок {-(р,(р) в себя.
Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для нелинейных уравнений.
В этом параграфе приведем некоторые результаты о ненакапливаемости погрешности в методе последовательных приближений для уравнения с подлинейным оператором, = 7i + /. (2.22)
Определение 2,2, Оператор Т называется подлинейным относительно линейного положительного оператора А, если выполнены следующие условия: а)оператор Т положителен, монотонен и Тв-0\ б)Тх2-Тхх Ах2 Ахх при х2 х{ 0. (2,23) Из условия б) следует, что 0йТх Лх, (хеК). Теорема 2.6» Пусть К нормальный воспроизводящий конус. Пусть оператор Т подлинеен и оператор А и0- ограничен сверху, причем Ащ аи0, (а 1), (2.24) где щ - некоторый фиксированный ненулевой элемент конуса К. Тогда уравнение (2,22) для каждого /е К имеет в конусе К по крайней мере одно решение х которое может быть получено методом последовательных приближений: хя=ая_1 + /, {x0=f; и = 1,2,.,.)- (2-25) Быстрота сходимости последовательных приближений (2,25) к решению х характеризуется неравенством х -хш (М2Ы - (tf l)5 1-а где N постоянная нормальности конуса А", д = U/"i& . Доказательство данной теоремы приведено в [51]. Теорема 2.7. Пусть выполнены условия теоремы 2,6. Тогда метод последовательных приближений, осуществляемый с погрешностью „=ге„.,+/ + о-я, (?„=/; « = 1,2,...) при условии [ тп о-, (« = 1,2,...) является методом с накапливающейся погрешностью: (2.26) R-- J I Q + 2N)\l + CNM 1-а (2.27) где С - некоторое фиксированное число. Доказательство. Будем считать, что для всех х є К, Ахй а(х)щ. Так как конус К воспроизводящий, то причем в силу несплющенности конуса К элементы о- 11 и а можно подобрать так, что - » О" (2J (2.28) где М некоторое постоянное число. Образуем последовательности = -1+/- , &ч=/; я = 1,2,-). По индукции покажем, что 3 5 4. (я = 1,2,...). Действительно, , =Tf+f + vt Т/+/+а\" =3г,(". (2.29) Предположим теперь, что , ". Тогда для и = А + 1 в силу монотонности Т имеем Аналогично можно показать, что 3 хп. Таким образом, соотношения (2.29) справедливы при любом натуральном п. Рассмотрим вспомогательное уравнение У=Лу + /, метод последовательных приближений Уп = 4vn.,+/, (Уо=А « = 1,2,-), = 1+/+ . (5ъ=/; и = 1,2,») и построим последовательности 5 = ,+/+ ,(3 =/: « = U,..0, 5 =45 +/ + ,(54 и = 1,2,.-.)-Очевидно, что yf} „ УІ", (« = 1,2,...). По индукции докажем, что ї.- ч / -Л, (2-30) Й2 - . 1 - .. (2.31) Действительно, при п - 1 x«-X[=oV=yU-yn УІ2)-Уі=-а\ хГ-Хі. При и = 2 в силу последних равенств и (2.23) имеем x?)-x1=Tx?)x cy AxtX)-Axl+vf=Ay?)-Aiy + a?=yil)-yi, У? -У2 = - . -of = Лс 2 - Лг, x 2) =-( , - )- -(7 , -її 1 )- 4 = Г- 2. Предположим теперь, что - 511 . (232) УР-УІ Р-ХІ. (233) Тогда в силу (2,23), (2,32) и (2.33) получим Ы Ы " fXk ІХІ + 0Ы - ЛХк + Ы b«V ЛУ +СГЫ -Ук+\ Ук+М v{2)-v -Av{1)-Av -ҐТІ2} Лх{1) - Ах -а{7) Тг(2) - 7V - п{2) - fi2) - v /ы Уы - лУк лУк ы - яхк лхк ы - 1Хк 1Хк і - +і г я Таким образом, соотношения (2.30) и (231) имеют место при любом натуральном п. Из (2.29) имеем f- „ „- „ ,:"- „. Откуда, учитывая (2.30) и (2.31), получим У? - У. - У?-Уп и так как конус К нормален, то \xH-x„l Nly -yK\\ + (N + l)}yj,1}-y„l Оценим разности у( -у„ и у[а2 -у„ по норме. Легко видеть, что КО У?-УП=1А О и, следовательно, И, vl,-y = y[ VO. 4=0 Jn Sn\\ Z- п-к \ (2.34) (2.35) Известно, что если оператор А щ- офаничен сверху, то он усиленно Неограничен сверху. Поэтому в силу (2,28) существует постоянное число С 0 такое, что 9 Аи кЩа к\щ СМии (і = 1,2). (2.36) Тогда, используя соотношение (2.24) из (236) получим в Ао{ !к СМаак ]и09 (/ = 1,2; ft = 1,2, .) Так как конус К нормален, то % NMCaakA\\u0L (/ = 1,2; /: = 1,2,...) (2.37) Из неравенств (2.35) и (2.37) получим h » - у кЛ (2.38) Таким же образом доказывается, что л-1. (2.39) 11 11 1-а ы W-л Принимая во внимание неравенства (2,38) и (2.39) из (2.34) получим оценку (2.27).
О разрешимости задачи построения оптимальной траектории в управляемых системах
Рассмотрим управляемый динамический объект, который описывается в п - мерном вещественном пространстве R" системой дифференциальных уравнений где x(t) = ( (/), (0,-., (0) - траектория изучаемого процесса, w(0 = {Wi(0 M0»-» 4.(0) - кусочно-непрерывная вектор-функция из г-мерного вещественного пространства Ur 3 называемая управлением, t- время, t є [t0fti].
Требуется перевести объект из начальной точки x(t0)-x0 в конечную (/]) = я, (предполагаем, что моменты времени /0 и tx заданы) таким образом, чтобы заданный функционал h j = ff{x(i)tu(t))dt ( /U(/),«(0)- заданные функции) о принял на Ur наименьшее значениеш В работе [42] приведены условия существования и указаны методы построения оптимального управления щ этой задачи. Поэтому считаем, что щ известно, В данном параграфе найдем условия, при выполнении которых решение задачи х{1) = Я ЛЩ), (0) = V 40= (3-17) существует и единственно (т.е. когда существует единственная траектория управляемого процесса).
Задачу (3.17) можно свести к задаче построения решения интегрального уравнения x(0=jG(r(y)/[J (0-i(0]A, о где G(t7s) - функция Грина для данной задачи. Рассмотрим линейный оператор і Ax{t)=JG(tts)x(s)ds, о Теорема 3.4. Пусть К нормальный воспроизводящий конус и пусть нелинейный непрерывный оператор Т удовлетворяет на некотором конусном отрезке {-w,w) (usК, и 9) соотношению \Ц /М\х\+8, где А -линейный положительный щ - ограниченный сверху оператор, причем Ащ Л0щ, (Ло 0). Тогда решение задачи (3.17) при заданном оптимальном u0(t) существует и единственно. Справедливость этой теоремы вытекает из результатов 1 данной главы. Пример 1« Пусть управляемый объект описывается дифференциальным d2X , уравнением — + х = и, и - кусочно-непрерывные функции аргумента, dt удовлетворяющие условию н 1. Требуется перевести объект из начального состояния xQ в момент времени f = 0 в точку нуль в момент времени f = 1« Рассматриваемое управление можно переписать в виде dx} 2 — -X ах1 — = -х + и dt
В работе [42] показано, что для этой задачи оптимальным является кусочно-постоянная функция, принимающая значения ±1 и имеющая не более двух интервалов постоянства. Легко проверить, что для данной системы выполнены все условия теоремы 3.4. А тогда из каждой точки фазовой плоскости исходит только одна траектория, ведущая в начало координат, которая является оптимальной. Следовательно, оптимальная траектория для заданной точки фазовой плоскости существует и единственна.
Рассматривается п отраслей- На развитие этих отраслей может быть выделено некоторое количество капиталовложений. Требуется при наиболее экономном расходовании ресурсов добиться максимального эффекта капиталовложений, при этом устанавливается лимит капиталовложений, ограничивающий суммарные инвестиции в отрасли, в каждый момент времени (например, в текущем году). Иначе, требуется распределить инвестиции по годам в течение времени [0,7] (заданный период планирования), чтобы сделать, возможно большими величины основных фондов отраслей на конечный момент времени и при этом минимизировать общее количество инвестиций за весь рассматриваемый промежуток времени.
Похожие диссертации на Применение методов операторных уравнений в математических моделях экономических процессов и теории приближений
