Введение к работе
Введение.
Актуальность проблемы. Отличительным свойством артериального кровотока является его пульсирующий характер. Периодические выбросы крови из левого желудочка сердца создают давление, и поток пульсирует в артериальной системе. Из-за его применения в артериальной механике распространение импульсов давления в заполненных жидкостью упругих трубках было изучено рядом исследователей1. В большинстве работ, посвященных распространению волн в эластичных трубках, рассматриваются волны малой амплитуды и игнорируются нелинейные эффекты; основное внимание концентрируется на дисперсионных свойствах волн2. Следует подчеркнуть, что реальные артерии являются неоднородными, с переменными радиусами вдоль оси трубки.
Математическое моделирование потока крови через стенозирован-ные артерии становится важным, поскольку основной причиной более чем половины всех смертей в промышленно развитых странах является склерозирование артерий или атеросклероз. В ходе кровотока отложения жировых веществ, холестерина, клеточных отходов, кальция и других веществ нарастают во внутренней оболочке артерий. Такое отложение называется бляшкой. Бляшки могут достигать достаточно больших размеров (стеноз), чтобы значительно уменьшить поток крови через артерии. Именно по этой причине изучение последствий стеноза на кровоток в артериях становится чрезвычайно важным.
Известно, что сосуды кровеносной системы выполняют проводящую и демпфирующую функцию3. Проводящая функция отвечает за транспорт крови, обогащенной кислородом, а демпфирующая функция приводит к сглаживанию импульсов давления. Заболевания сердечнососудистой системы приводят к нарушению как первой, так и второй функций. Нарушением демпфирующей функции является артериосклероз, когда импульсы давления плохо сглаживаются из-за структурных изменений стенок сосудов, что приводит к повышению кровяного давления (гипертонии) и разрушению сосудов. Поэтому представляет интерес построение и анализ модели, учитывающей механические свойства стенок сосуда.
Изучение нелинейных волновых процессов в вязкоэластичных трубках представляет интерес, поскольку такие трубки отражают особенности сосудов кровеносной системы, и понимание волновых процессов в
-'^Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983. 400 с.
2Demiray Н. Wave propagation through a viscous fluid contained in a prestressed thin elastic tube J/ Int. J. Eng. Sci. 1992. Vol 30. P. 1607-20.
3Fung Y.C. Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues. N.Y.: Springer-Verlag. 1993. 568 p.
них может способствовать прогнозированию развития заболеваний4.
При построении и анализе моделей гемодинамики возникает ряд трудностей. Первая особенность связана с необходимостью учета нелинейных эффектов, возникающих при течении крови. С точки зрения реологии, кровь — это суспензия частиц в водном растворе3. Другая сложность состоит в том, что необходимо учитывать многослойную структуру стенки сосуда и ее нелинейные вязкоупругие свойства. Третья трудность связана с тем, что в литературе представлено недостаточно данных по физическим параметрам, характеризующим модели гемодинамики, например вязкости стенки артерии и коэффициенту нелинейной упругости.
Цели и задачи исследования. Цель диссертационного исследования — установление влияния вязкости жидкости, упругости стенок сосуда и его формы на амплитуду и скорость пульсовых волн; выявление влияния режима испарения на гидродинамические течения внутри жидкости, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейке.
Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:
Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.
Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.
Исследовано распространение пульсовой волны в рамках модели, в которой принимается во внимание как эластичность стенки, так и эффекты сужения, а кровь рассматривается как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.
Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках
4Kudryashov N.A., Chernyavskii I.L. Nonlinear waves in fluid flow through a viscoelastic tube // Fluid Dynamics. 2006. Vol. 41. No. 1. P. 49-62.
модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка, а кровь — как вязкая жидкость. Численно решено и исследовано возмущенное уравнение Кортевега-де Фриза, являющееся математическим представлением данной модели.
Проведены расчеты поля скоростей и усредненной по высоте скорости гидродинамических течений внутри жидкости, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейке. Найдено аналитическое решение уравнения Лапласа в виде обобщенного ряда Фурье-Бесселя.
Реализованы в виде комплексов программ в пакетах Maple и Mathematica алгоритмы нахождения решения обыкновенных дифференциальных уравнении с использованием обобщенного метода разложения по эллиптическим функциям Якоби и нахождения численных решений дифференциальных уравнений в частных производных с использованием метода разложения Адомяна.
Объекты и методы исследования. Основным объектом исследования являются нелинейные волны, возникающие в кровеносных сосудах, в частности, пульсовые волны. Исследования проводились с использованием нелинейных моделей. Результаты были получены путем применения аналитических (классический метод анализа симметрии, метод разложения по эллиптическим функциям Якоби, расширенный метод отображения) и численных (метод разложения Адомяна) методов математического моделирования.
Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Впервые получены следующие из них.
В рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость, найдены следующие режимы распространения волн: периодические волны, солитоноподобные и уединенные волны.
В рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка, а кровь — как вязкая жидкость, численно исследовано распространение уединенной волны в артерии и показано, что амплитуда этой уединенной волны медленно затухает во времени.
В рамках модели, в которой принимается во внимание как эластичность стенки сосуда, так и влияние сужения сосуда, а кровь рассматривается как идеальная жидкость, найдены периодические решения, солитоноподобные решения и решения в виде уединен-
ных волн. Показано, что амплитуда и скорость уединенной волны, распространяющейся в таких наполненных жидкостью упругих трубках, зависят от того, как модуль упругости трубки Е(т) и ее радиус го(т) меняются с расстоянием.
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в том, что был найден ряд новых решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Практическая значимость работы состоит в том, что найденные решения позволяют интерпретировать некоторые процессы, протекающие при распространении пульсовых волн в стенозированных сосудах, что представляет интерес для медицины. В частности, полученные результаты позволяют прогнозировать амплитуду и скорость пульсовых волн в зависимости от модуля упругости стенок сосуда и его формы.
Разработанные соискателем комплексы программ на Maple и Mathematica5 позволяют находить аналитические и численные решения уравнений, представляющих интерес для задач гемодинамики, при различных значениях механических характеристик сосудов, реологических свойств жидкости и формах стеноза.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях и иных научных мероприятиях.
Шестнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 19-24 января 2009 г;
Международная конференция «Геометрия в Астрахани», г. Астрахань, 10-16 сентябрь 2009 г;
Международная конференция «Геометрия в Одессе», г. Одесса, 24-30 мая 2010 г;
Международная конференция «Геометрия в Кисловодске», г. Кисловодск, 13-20 сентябрь 2010 г;
Неделя науки Астраханского государственного университета 2008 г, 2009 г, 2010 г, 2011 г.
Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано самостоятельно и в соавторстве 8 работ, в том числе,
статей в журналах, включенных в хотя бы одну из систем
цитирования (библиографических баз) Web of Science, Scopus,
Web of Knowledge, Astrophysics, PubMed, Mathematics, Chemical
Abstracts, Springer, Agris, GeoRef) — 2;
5Примеры некоторых программ представлены в приложении к диссертации.
статей в журналы, входящих в список ВАК, — 2.
тезисов докладов — 4.
Личный вклад автора и роль соавторов. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 122 наименования и четырех приложений. Объем диссертации — 123 страницы.
