Содержание к диссертации
Введение
1 Проблема моделирования газодинамики проточных частей теплоэнергетических установок 13
1.1 Экспериментальное исследование 13
1.2 Математическое моделирование (численное исследование) . 16
1.2.1 Классификация методов моделирования 17
1.2.2 Методы получения дискретных аналогов 19
1.2.2.1 Метод взвешенных невязок 20
1.2.2.2 Метод конечных разностей 21
1.2.2.3 Метод конечных элементов 23
1.2.2.4 Сравнительный анализ метода конечных разностей и метода конечных элементов . 24
1.2.2.5 Метод контрольного объема 26
1.2.3 Проблема построения расчетных сеток 28
1.2.4 Взаимное расположение узлов сеточных функций . 30
1.2.4.1 Неразнесенные сетки 30
1.2.4.2 Частично-разнесенные сетки 32
1.2.4.3 Разнесенные сетки 32
1.2.5 Обзор методов численного моделирования дозвуковых течений в областях сложной конфигурации . 33
1.2.6 Пакеты прикладных программ 35
2 Численное исследование ламинарного течения жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм 37
2.1 Математическая модель 37
2.1.1 Постановка задачи . 38
2.1.2 Численный метод решения - метод контрольного объема 39
2.1.2.1 Дискретный аналог дифференциального уравнения для двумерных задач 40
2.1.2.2 Возможные схемы аппроксимации конвективных членов дискретного аналога . 41
2.1.3 Численная диффузия 44
2.1.4 Шахматная сетка 48
2.1.5 Метод решения нелинейных алгебраических уравнений 49
2.2 Вычислительный алгоритм 52
2.2.1 Процедура SIMPLE 52
2.2.2 Модифицированный алгоритм SIMPLER 54
2.3 Проблемы сложной геометрии расчетных областей 55
2.3.1 Выбор системы координат 55
2.3.2 Метод заблокированных областей 56
2.3.3 Сращивание различных сеток 58
3 Анализ аппроксимационных схем для описания конвективных членов дискретного аналога 61
3.1 Математическая постановка задачи 61
3.1.1 Основные уравнения 61
3.1.2 Конечно-разностная дискретизация 62
3.1.2.1 Центрально-разностная схема 64
3.1.2.2 Противопоточная схема 65
3.1.2.3 Гибридная схема 66
3.1.2.4 Схема с квадратичной интерполяцией против потока (QUICK) 68
3.2 Процедура решения и результаты расчета 71
3.2.1 Общая постановка задачи 71
3.2.2 Некоторые расчетные данные 72
3.2.3 Обсуждение результатов 72
3.3 Выводы 75
4 Вычислительный эксперимент 78
4.1 Вычислительный эксперимент и комплексы программ . 78
4.2 Прямолинейный плоский канал 79
4.2.1 Практическая значимость задачи 79
4.2.2 Постановка задачи 79
4.2.3 Результаты расчета 81
4.2.3.1 Граничные условия на выходе из канала - параболический профиль U 81
4.2.3.2 "Мягкие" граничные условия на выходе из канала 83
4.2.4 Выводы 85
4.3 Прямолинейный плоский канал с препятствиями 85
4.3.1 Практическая значимость задачи 85
4.3.2 Постановка задачи 86
4.3.3 Результаты расчета 86
4.3.3.1 Канал с одним препятствием 86
4.3.3.2 Канал с двумя противоположно расположенными препятствиями 88
4.3.4 Выводы 89
4.4 Ламинарное течение в прямолинейном плоском канале с двумя последовательно расположенными препятствиями . 90
4.4.1 Практическая значимость задачи 90
4.4.2 Постановка задачи 91
4.4.3 Результаты расчета 93
4.4.4 Выводы 97
4.5 Моделирование плоских турбулентных течений 98
4.5.1 Вводные замечания 98
4.5.2 Построение основных моделей турбулентности . 99
4.5.2.1 Полуэмпирические гипотезы турбулентности 99
4.5.2.2 Двухпараметрическая (Лг-е)-модель 102
4.5.3 Численное исследование турбулентного обтекания препятствий в плоском канале 103
4.5.3.1 Практическая значимость задачи 103
4.5.3.2 Постановка задачи 106
4.5.3.3 Результаты расчета 107
4.5.4 Выводы 107
4.6 Криволинейный плоский канал 110
4.6.1 Практическая значимость задачи 110
4.6.2 Постановка задачи 111
4.6.2.1 Полярная система координат 111
4.6.2.2 Декартова система координат 111
4.6.3 Результаты расчета 112
4.6.4 Выводы 114
4.7 Волновой канал постоянной ширины 115
4.7.1 Практическая значимость задачи 115
4.7.2 Постановка задачи 115
4.7.2.1 Метод, основанный на использовании двух типов расчетных сеток 115
4.7.2.2 Метод заблокированных областей 122
4.7.3 Результаты расчета 123
4.7.4 Выводы 131
4.8 Волновой канал переменной ширины 132
4.8.1 Практическая значимость задачи 132
4.8.2 Постановка задачи и результаты расчета 133
4.8.3 Выводы 137
Заключение 139
Список литературы 140
- Методы получения дискретных аналогов
- Численный метод решения - метод контрольного объема
- Процедура решения и результаты расчета
- Граничные условия на выходе из канала - параболический профиль U
Введение к работе
Модели реальных объектов, моделирование явлений используются в науке для проверки идей, отработки гипотез, получения экспериментального материала. Любое физическое явление чрезвычайно сложно, т.к. на него влияет неисчислимое количество факторов. Если попытаться учесть их все в математической модели, то получится настолько громоздкая и сложная математическая задача, что решить ее даже на современных быстродействующих вычислительных машинах будет весьма затруднительно. Однако делать это нет необходимости, ведь влияние различных факторов неравноценно. Поэтому, конструируя математическую модель, нужно заранее расставить приоритеты в оценке влияния тех или иных факторов на изучаемое явление [1, 2, 3]. Таким образом, можно утверждать, что математическая модель - это не только уравнения, описывающие физические явления, но и дополнительные условия, устанавливающие границы их применимости [4, 5]. Все полученные с помощью этой модели теоретические результаты будут справедливы только в оговоренных рамках.
Еще некоторое время назад из множества задач, интересовавших практику, можно было решить до конца, довести до конкретного числа в ответе лишь отдельные, удачно сформулированные, причем, как правило, ценой колоссального вычислительного труда. Теперь же постановка вычислительного эксперимента, основой которого является математическое моделирование, - обычная, а зачастую и необходимая процедура.
Вычислительный эксперимент - это не просто расчет. Его существо - экспериментирование с математической моделью, варьирование параметров, "проигрывание" с помощью модели самых разных ситуаций, может быть пока и(безумнь^)с позиций сегодняшних представлений об изучаемом явленииГИ в каждом случае - соблюдение правила "от простого к сложному", от выяснения принципиальной возможности к конкретным цифрам и конструктивным рекомендациям.
Успехи, которые отмечаются в развитии гидродинамики за несколько последних десятилетий, в значительной мере связаны с прогрессом в области вычислительной техники и численных методов. Использование мощных ЭВМ с большим объемом памяти и большой скоростью быстродействия, создание математических моделей для адекватного описания процессов тепло- и массообмена, наконец, разработка высокоэффективных численных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений открывают в настоящее время широкие возможности для проведения численного эксперимента. Его развитие стимулируется потребностями энергомашиностроения, авиации, космической техники, металлургической и химической промышленности, гидротехники, охраны окружат ющей среды, строительной техники, биологии, физики атмосферы и т.д. При этом на одно из первых мест выдвигается проблема исследования тепло- и массообмена в каналах и областях произвольной конфигурации.
Актуальность решения таких задач становится очевидной, например, в ходе создания различных энергетических устройств, принцип действия которых основан на использовании гидродинамических процессов. В связи с ростом мощности таких устройств и одновременным уменьшением их размеров повышаются требования к вопросам энергосбережения, к точности расчетов энергетических потерь. Численное моделирование течений жидкости и газа в проточных частях энергетического оборудования позволяет детально исследовать характеристики потока в любой его точке, а также определять величины гидродинамических потерь, связанных с образованием пограничных слоев, возникновением отрывных зон и т.п. Кроме того, последовательно и целенаправленно видоизменяя форму канала, в процессе численного эксперимента можно найти такую его конфигурацию, которая в наибольшей степени будет отвечать требованиям энергосбережения.
Аналогичные проблемы возникают при совершенствовании конструкций современных технических устройств, в которых используются явления естественно-конвективного теплообмена. Проектирование эффективных по своим параметрам энергетических машин, ядерных энергетических установок, электрических аппаратов и электронных приборов, решение вопросов транспортировки и хранения нефтепродуктов и т.п. невозможно без подробного предварительного изучения вопросов конвекции в емкостях различной формы. Все эти задачи могут быть успешно решены с помощью численного моделирования.
Другим весьма важным источником информации об особенностях течений жидкости и газа в различных областях является физический эксперимент. Однако исследования такого рода становятся все более затруднительными, дорогостоящими, а подчас и просто невозможными. Получаемая в ходе эксперимента информация далеко не всегда обладает достаточной полнотой. Особые сложности возникают при установлении соответствия между натурным объектом и его моделью, выполненной, как правило, в некотором масштабе. Поэтому в ряде случаев единственным средством проведения исследований становится вычислительный эксперимент.
С помощью численного моделирования можно найти решение достаточно сложных практических задач за сравнительно короткое время (даже с учетом времени разработки алгоритма решения, написания программы и ее отладки) при невысокой и постоянно уменьшающейся стоимости расчетов. Это решение будет обладать наибольшей полнотой информации об исследуемых явлениях. Очевидно, численное моделирование течений жидкости и газа не отменяет физический эксперимент и не должно ему противопоставляться. В конечном итоге лишь сопоставление результатов расчета с данными физического эксперимента свидетельствует об адекватности численного моделирования.
Значительная часть работ, в которых применяются вычислительные методы, посвящена исследованию процессов динамики и теплообмена в областях простейшей формы (прямоугольной, цилиндрической и др.). Таг- кие задачи имеют определенное прикладное значение и обычно являются тестовыми для проверки работоспособности построенной математической модели.
Реальные области движения, встречающиеся на практике, далеко не всегда имеют простую форму. К таким областям можно отнести, в первую очередь, каналы с наличием препятствий на стенках (одиночное препятствие, противоположно расположенные препятствия, набор последовательных препятствий).
Особый практический интерес представляют каналы, имеющие нерегулярную криволинейную границу (диффузоры, криволинейные и волновые каналы). Ранее расчеты подобных каналов проводились с использованием криволинейных координат и расчетных сеток, адаптированных к границам области течения. Но задача построения криволинейной сетки сама по себе является достаточно сложной. В настоящее время проблема генерации расчетных сеток образует самостоятельный раздел вычислительной гидродинамики.
Таким образом, можно утверждать, что математическое моделировав ние процессов тепломассообмена в областях сложной конфигурации, которому посвящена настоящая диссертационная работа, является актуальным направлением современной механики жидкости и газа.
Целью настоящей работы является решение научной проблемы математического моделирования тепломассообмена в теплоэнергетических установках со сложными геометрическими конфигурациями каналов.
Поставленная цель и сформулированные проблемы потребовали реше-
ния следующих теоретических и прикладных задач:
разработка комплекса программ для численного исследования течения жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм на основе математического моделирования физического процесса;
проведение вычислительного эксперимента на базе разработанного комплекса программ для исследования структуры течений, описания тепловых и гидродинамических эффектов в плоских каналах сложных геометрических форм;
на основе проведенных вычислительных экспериментов изучение влияния геометрических параметров исследуемых каналов на гидродинамические характеристики течений.
Научная новизна работы заключается в разработке комплекса программ по математическому моделированию процессов гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форм, позволяющего проводить теоретическое исследование широкого класса сложных течений и более обоснованно подходить к проектированию реальных конструкций газодинамических трактов теплоэнергетических установок.
Доказана возможность использования относительно простых регулярных ортогональных сеток для получения достоверных результатов при расчетах гидродинамических параметров в каналах сложных геометрических форм. Показано, что использование расчетных сеток, не сопряженных с границами области течений, и метода заблокированных областей позволяет создать универсальный программный комплекс для описания течений в областях произвольной конфигурации.
Рассмотрены и проанализированы различные варианты конечно- разностной аппроксимации конвективных членов дифференциальных уравнений математической модели.
В результате вычислительного эксперимента описана физическая картина и установлены причинно-следственные связи процессов, протекающих в каналах газодинамических трактов сложных геометрических форм, * а также проведена оценка и анализ факторов, влияющих на параметры
течения, исследуемые с помощью предложенной математической модели.
Основные результаты диссертации представлены в пяти опубликованных работах, а ее материалы докладывались: на научно-технических кон-
ференциях Московского государственного индустриального университета (г. Москва, 2000 г., 2001 г., 2002 г.); на Третьем украино-российском
научно-техническом и методическом симпозиуме "Современные информационные технологии в науке, производстве, образовании и управлении" (г.Хмельницкий, Украина, 2003 г.); на IV Международной конференции
"Компьютерное моделирование 2003м (г.Санкт-Петербург, 2003 г.).
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
В главе 1 дан анализ научно-технической литературы, посвященной методам экспериментального и численного исследования газодинамических процессов в каналах сложных геометрических форм.
Решение широкого спектра задач механики жидкости и газа базируется на использовании методов физического и математического моделирования. В главе 1 подробно рассмотрены методы получения дискретных аналогов дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), описывающих физический процесс. Рассмотрены метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод контрольного объема. На основании отечественных и зарубежных источников проведено сравнение этих методов и даны рекомендации по их использованию при решении широкого класса задач. Проведенный сравнительный анализ этих методов во многих случаях позволяет отдать предпочтение численному методу контрольного объема.
Освещена проблема построения расчетных сеток, имеющая особую важность в связи с тем, что точность и скорость сходимости численного метода определяется не только порядком аппроксимации исходных дифференциальных уравнений и эффективностью алгоритма решения их разностного аналога, но в значительной степени - способом построения разностной сетки. Проведена классификация расчетных сеток. Показано, что тип сетки определяется, во-первых, особенностями численного метода, который будет использоваться для интегрирования уравнений гидродинамики, и, во-вторых, особенностями решаемой задачи.
Проведен обзор существующих пакетов прикладных программ для решения задач механики жидкости и газа. На основе анализа преимуществ и недостатков рассмотренных программных комплексов сделан вывод о целесообразности создания комплекса программ для решения широкого спектра задач течений жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм.
В главе 2 описана математическая постановка задачи, которая включат ет систему уравнений Навье-Стокса и энергии для случая стационарного двумерного течения вязкой несжимаемой жидкости. Задача решается в физических переменных (скорость - давление).
В данной работе при решении уравнений Навье-Стокса предпочтение отдано конечно-разностному методу контрольного объема на сетке с шахматным хранением информации. Описаны методы аппроксимации конвективных и диффузионных членов уравнений переноса, полученных в результате интегрирования обобщенного дифференциального уравнения по каждому контрольному объему расчетной сетки. Решение системы алгебраических уравнений в настоящей работе осуществляется комбинацией итерационного метода Гаусса-Зейделя и метода прогонки по поперечным линиям сетки.
Применяемый в работе вычислительный алгоритм основан на процедуре SIMPLE.
Для описания каналов со сложной геометрией в настоящей работе используется метод заблокированных областей.
В главе 3 проведен сравнительный анализ разностных схем, используемых при аппроксимации конвективных потоков.
Эффективность разностной аппроксимации определяется степенью минимизации как "одномерной" численной диффузии, так и численной диффузии "скоса". Недостаточная эффективность в этом отношении разностной аппроксимации заставляет проводить расчеты на экстремально мелкой сетке, чтобы избежать погрешностей в получаемых результатах. Это, в свою очередь, ведет к увеличению временных и вычислительных затрат. Таким образом, выбор оптимальной в отношении минимизации численной диффузии и экономичности расчетов разностной схемы представляется одним их важнейших этапов при получении точных и устойчивых решений в задачах гидродинамики.
Сравнение исследуемых аппроксимационных схем было проведено на тестовых задачах. Исследовалось ламинарное течение жидкости между параллельными пластинами. Было проведено сравнение полученных результатов с различными данными натурных и вычислительных экспериментов и сделаны выводы относительно использования определенных схем аппроксимации конвективных потоков.
В главе 4 приведены результаты проведенных вычислительных экспериментов с использованием разработанных программных комплексов.
Рассчитаны течения в плоских каналах сложной формы и в плоских каналах с наличием различных внутренних препятствий. Результаты расчетов сопоставлены с результатами расчетов других авторов, а также с экспериментальными данными.
На основе описанной математической модели, использующей стандартную (Aj-s)-модель проведен расчет турбулентного обтекания препятствий, расположенных на стенке плоского канала. Полученные результаты сопоставлены с имеющимися экспериментальными данными.
Проведены вычислительные эксперименты в плоском криволинейном канале. Расчет проводился в полярной и декартовой системах координат.
Проведены расчеты в плоских волновых каналах постоянной и переменной ширины. Показаны преимущества использования метода "заблокированных" областей перед другими известными методами.
Проведен анализ параметров течения в плоском волновом канале постоянной ширины. В частности исследовано влияние различных геометрических характеристик канала на коэффициент трения, а также на параметры теплообмена.
Сделаны выводы о возможности использования предложенной математической модели для расчета ламинарных режимов течений в каналах сложных геометрических форм. Показана возможность расчета по этой модели параметров теплообмена в исследуемых областях.
В заключении приведены основные выводы и результаты работы.
Методы получения дискретных аналогов
Влияния конструкции выпускных каналов на тепловое состояние поршня и головки цилиндра исследованы в работе [6]. Как установлено испытаниями, снижение гидравлического сопротивления участков в выпускном канале на 15% приводит к уменьшению расхода топлива на 1,5 — 2% вследствие уменьшения потерь на газообмен при выталкивании продуктов сгорания из цилиндра. Следует заметить, что вопрос влияния степени совершенствования газовоздушного тракта на тепловое состояние основных деталей относительно мало изучен.
Программа экспериментальных исследований, описанных авторами в [7], предусматривала разработку опытных конструкций выпускного канала, обеспечивающих уменьшение гидравлического сопротивления при выпуске по сравнению с серийным, и проведение экспериментов с целью исследования влияния конструкции выпускного канала на экономичность дизеля и тепловое состояние головки цилиндра и поршня. С уменьшением гидравлического сопротивления показатели дизеля улучшаются ([7]). Это связано с конструкционными особенностями выпускного канала. Поэтому, с увеличением проходного сечения канала, в этой области можно ожидать улучшения работы двигателя на номинальном режиме ([8, 9]). Кроме того, уменьшение гидравлического сопротивления выпускного канала, в особенности при малых и средних подъемах клапана, приводит к росту кинетической энергии выпускных газов, что в случае применения турбонадлува увеличивает полезную работу цикла. Метод оценки значимости геометрических факторов в каналах сложной формы рассмотрен в работе [10].
Аэродинамические характеристики каналов определяются всей совокупностью геометрических размеров (геометрических факторов). Поверхность канала представляет собой сложную пространственную структуру. При любом типе ее описания количество независимых переменных (факторов), однозначно определяющих геометрию канала, достаточно велико. Относительный вклад каждого фактора в формирование аэродинамических характеристик канала может быть значительным - такие факторы называют определяющими или значимыми, либо несущественным - эти факторы считают незначительными. Оптимизация геометрии канала может быть эффективной лишь в том случае, когда в процесс варьирования включены все значимые факторы. Авторами был сделан вывод о необходимости постановки специальной серии отсеивающих экспериментов для тех факторов, относительно которых нет априорных доказательств их значимости. В настоящее время используются две методики выделения значимых геометрических факторов, описанные в работе [10]: 1) по данным о качественной структуре потока, полученным методами визуализации, или по измеренным полям параметров потока (скорость, полное давление, энтропия, эксергия, локальный эксергети- ческий к. п. д.); 2) путем непосредственного варьирования исходных геометрических факторов. Существенный недостаток первой методики заключается в том, что структура потока в явной форме не содержит информации о том, какие геометрические факторы породили те или иные особенности потока (повышенную диссипацию энергии в определенных зонах, интенсивное вихреобразование, отрыв потока). В простых по структуре потоках эти связи могут быть восстановлены, но лишь с помощью неформальной процедуры на основе опыта и интуиции исследователя.
Для дозвуковых потоков со сложной трехмерной структурой пока не разработана методика, позволяющая выявить и количественно оценить связь между структурой потока и геометрией проточной части канала.
При непосредственном варьировании также приходится сталкиваться с рядом трудностей. Варьирование каким-либо из факторов приводит к нарушению всего комплекса размеров. Например, при изменении радиуса поворота выпуклой стенки канала автоматически изменяются и другие факторы: длина выходного участка, площадь поперечных сечений в области поворота, относительная высота сечений и другие геометрические размеры, сопряженные о варьируемым. Следовательно нарушается усло вие независимости факторов, что приводит к неопределенности (неединственности процесса варьирования). Другой недостаток состоит в том, что при интуитивном назначении интервалов варьирования велика вероятность того, что по некоторым факторам будут назначены несоразмерные интервалы. Как слишком широкие, так и слишком узкие интервалы варьирования могут привести к ошибочному отнесению факторов в разряд незначимых. С точки зрения практической реализации на физической модели к недостаткам данной методики нужно отнести то, что для подготовки эксперимента требуется моделировать сложные пространственные поверхности, а это сопряжено со значительными затратами времени. Таким образом, традиционные методики не приспособлены для проведения отсеивающих экспериментов, и нужно создать специализированную процедуру для оценки значимости геометрических факторов.
С точки зрения физического эксперимента процесс варьирования может быть осуществлен, если на поверхности канала закрепить тело определенной формы. Это тело является физическим аналогом математических преобразований, применяемых в вариационном исчислении. Сущность метода, описанного в [10], заключается в том, что на поверхность канала устанавливают плохо обтекаемые тела. Для проверки практической пригодности метода "пробных тел" (ПТ) авторами была выполнена большая серия тестовых экспериментов на модельных объектах: прямой трубопровод, кольцевая и сегментная диафрагма и на реальных выпускных каналах дизеля типа 6ЧН СП 18/22.
Установка на поверхность канала пробного тела эквивалентна резкому ступенчатому изменению геометрии канала. Если геометрия канала на этом участке близка к оптимальной, то такое изменение вызывает ухудшение характеристик потому, что, во-первых, сопротивление ПТ суммируется с сопротивлением канала, во-вторых, ПТ вызывает ухудшение обтекания поверхности и провоцирует отрывные явления. В этом случае изменение геометрии канала в сторону сужения на месте установки пробного тела нецелесообразно. Если же ПТ не вызывает существенных изменений аэродинамических характеристик, то это означает, что геометрия канала неоптимальна. При неоптимальной геометрии положительное воздействие ПТ, вызванное уменьшением градиента давления вверх по потоку, компенсирует отрицательные последствия от введения пробного тела. В этом случае разумно модифицировать геометрию в месте установки ПТ. Для планирования экспериментов с использованием метода ПТ целесообразно использовать сверхнасыщенное планирование типа "случайного баланса" (при подозрении на значимость парных эффектов взаимодействия), либо насыщенные планы 1-го порядка. Рассмотрим влияние закрутки потока спиральным впускным каналом на течение во впускном клапане на примерах, описанных в работах [11] и [12]. Впускные каналы (окна) с закруткой (завихрением) потока разделяются на два основных типа в зависимости от того, осуществляется ли закрутка потока перед или за впускным клапаном; закрутка перед клапаном генерируется спиральными впускными каналами, а для закрутки за клапаном используют главным образом направленные окна. В спиральных впускных каналах, нашедших широкое применение в двигателях грузовых автомобилей, закрутка потока достигается благодаря спиральной форме проточной части канала, и потоку воздуха сообщается момент количества движения при выходе из клапана в ЦД.
Оценка эффективности спирального впускного канала требует исследования потока в выходном сечении впускного клапана, и в момент закрытия впускного клапана, до того, как поток начинает трансформироваться в результате сжатия и влияния геометрии камеры сгорания в днище поршня. На основе выше изложенного можно сделать следующие выводы: 1. на характеристики исследуемых объектов значительное влияние оказывает их геометрия; 2. получение экспериментальных данных обходится достаточно дорого и связано с техническими сложностями. Следует также заметить, что экспериментальные данные не дают полного ответа на некоторые вопросы; 3. возникает необходимость создания математической модели газодинамических процессов в каналах сложных геометрических форм.
Численный метод решения - метод контрольного объема
Самую подробную информацию о газодинамических характеристиках исследуемых объектов можно получить в результате решения системы уравнений Навье-Стокса, а также уравнений состояния, энергии и т.д., записанных в наиболее полной форме. В этом случае в результате вычислительного эксперимента становятся известными не только интегральные, но и локальные динамические и тепловые характеристики потока.
Одной из существенных особенностей уравнений Навье-Стокса является их пространственно-эллиптический характер, обусловленный влиянием вязкости во всем поле течения. В связи с этим для решения этих уравнений необходимо использовать типичные для эллиптических уравнений методы решения. Общие требования к вычислительным методам можно сформулировать следующим образом: 1) Вычислительная устойчивость. Необходимо, чтобы весь вычислительный процесс в целом был устойчив. Это отностися как к самой разностной схеме, так и к методу решения соответствующей системы алгебраических уравнений. 2) Точность расчета основных характеристик. Выполнения этого требования можно достигнуть либо применяя схемы не слишком высокого порядка точности, реализуемые на подробных пространственно-временных сетках, либо существенно повышая порядок точности схем. 3) Экономичность, минимальное число операций на временном слое, минимальный объем оперативной памяти, простота реализации.
В практических приложениях течения могут иметь ламинарный и турбулентный характер. Для последнего случая необходимо уравнения Навье-Стокса с помощью известной операции осреднения преобразовать к уравнениям Рейнольдса. С вычислительной точки зрения турбулентное течение эквивалентно ламинарному, но включает довольно сложные зависимости для коэффициентов вязкости. Уравнения, описывающие рассматриваемое явление, показывают, что зависимые переменные подчиняются некоторому обобщенному закону сохранения. Представление исходных уравнений в обобщенном (каноническом) виде имеет ряд очевидных преимуществ [24]. Во-первых, такая форма представления уравнений позволяет при создании программы численного расчета использовать общую для всех уравнений последовательность операций, т.е. сформулировать обобщенный численный метод и подготовить многоцелевые программы расчета. Во-вторых, концепция обобщенного дифференциального уравнения позволяет с единых позиций подойти к изучению вопроса обеспечения устойчивости численных схем. Математическая постановка задачи базируется на физической модели стационарного двумерного течения. Жидкость считается вязкой и несжимаемой. В настоящей работе задача решается на основе метода контрольных объемов в физических переменных (скорость-давление). При решении плоских двумерных задач довольно часто в качестве зависимых переменных используют завихренность-функцию тока. Стоит отметить, что такой подход не приемлем в пространственном случае [90]. Это связано с тем, что в трехмерных задачах количество зависимых переменных при использовании завихренности-функции тока становится большим, чем при использовании простейших переменных [15, 91,92]. Тем не менее ряд весьма важных задач динамики вязкой жидкости был успешно решен на основе системы уравнений в переменных завихренность-функция тока [23, 91, 93]. Другим не менее важным аргументом в пользу простейших переменных является проблема постановки краевых условий. Даже при решении двумерных задач, реализация граничных условий практически на всех типах границ проще для давления и скорости, чем для вектора завихренности. Таким образом, численные методы, разработанные для решения уравнений Навье-Стокса, записанных в физических переменных, свободны от недостатков, присущих переменным завихренность-функция тока, и обладают рядом весьма ценных качеств: простотой и естественностью постановки граничных условий, возможностью непосредственного получения искомых величин, простотой реализации алгоритма решения для областей сложной конфигурации, возможностью непосредственного обобщения методов на трехмерные случаи движения, а также на случал течения со свободной поверхностью и в областях с изменяющимися во времени границами. Конечно-разностный метод решения системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих рассматриваемый процесс, предусматривает дискретизацию расчетной области. Учитывая дивергентную запись исходных уравнений, будем использовать метод контрольного объема [24, 91, 94]. Основная идея этого метода легко понятна и поддается прямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают на некоторое число непересекающихся контрольных объемов таким образом, что каждая узловая точка содержится в одном контрольном объеме. Обобщенное дифференциальное уравнение (2.1) интегрируется по каждому контрольному объему. Для вычисления интегралов используются кусочные профили определенной сложности, которые описывают изменение переменной Ф между узлами и которые фактически определяют порядок точности разностной схемы. В результате такого интегрирования, получается дискретный аналог дифференциального уравнения (2.1), в который входят значения переменной Ф в нескольких соседних узлах.
Процедура решения и результаты расчета
Уравнения, описывающие стационарные течения несжимаемой жидкости, это уравнение неразрывности и уравнения Навье-Стокса для соответствующего типа течения. Основная часть результатов, описанных в настоящей работе, была получена с использованием декартовой системы координат, поэтому дальнейшие преобразования будут проведены именно в ней. Однако, в некоторых случаях целесообразно использование полярной системы. В декартовой системе координат исходные уравнения в обобщенном виде записываются следующим образом:
Основной в настоящей работе является декартова система координат, поэтому преобразования для всех аппроксимационных схем проведем в этой системе. Для отдельных схем будет использовать также и полярную систему координат. Уравнения (3.8) решаются путем интегрирования их по контрольным объемам, которые покрывают рассматриваемую область. Используется ортогональная регулярная сетка с шахматным хранением информации. Следующий шаг - расчет профилей Ф между двумя соседними узлами. Диффузионные члены рассчитываются с использованием центрально- разностной аппроксимации. Основное внимание уделяется определению конвективных членов (напр. pUФ) из-за того, что их аппроксимация может привести к возникновению численной диффузии. В соответствии с этой схемой, значение Ф на грани контрольного объема рассчитывается как среднее значение соответствующих величин в сеточных узлах, расположенных по разные стороны от этой грани контрольного объема. Данная схема рекомендуется для использования в случае достаточно маленьких значений скоростей. Было показано (см., например, [95]), что при сеточных числах Пекле (иАх/Г), больших по абсолютному значению 2, такая схема в сочетании с явными методами решения исходных уравнений становится неустойчивой. В этих случаях рекомендуется применять специальные способы стабилизации. Т.е. можно утверждать, что центрально-разностная схема, устойчива лишь при малых по абсолютному значению сеточных числах Пекле. В этом случае (при Ре 2) для обеспечения точности расчета необходимо использовать слишком мелкую расчетную сетку, и поэтому схема не находит широкого применения в вычислительной гидромеханике.
Противопоточная схема, которая также известна как схема с разностями против потока, метод донорных ячеек, впервые была предложена в [127] и впоследствии развита в [104, 128]. Противопоточная схема всегда устойчива и не требует дополнительной стабилизации [43]. Однако, при использовании такой аппроксимации велики так называемые ошибки "скоса", вызываемые несовпадением линий тока и линий сетки. Как уже упоминалось выше, противопоточная схема имеет первый порядок точности, и именно вид членов в формуле для ведущих членов ошибок усечения положил начало, как отмечено в [43], термину "численная диффузия". Как показано в [129], при небольших значениях скоростей, таких что Ре 2, как правило используется противопоточная схема. При высоких же значениях сеточного числа Пекле, схема может индуцировать большие вычислительные ошибки, искажающие расчетные результаты. С помощью гибридной схемы получены удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными интегральные характеристики течения и теплообмена при расчете как ламинарных, так и турбулентных течений. В то же время при расчете сложных циркуляционных течений, когда отсутствует преобладающее направление движения жидкости, гибридная схема на неадаптировалных к структуре течения сетках, кале показано в [129, 95], индуцирует большие вычислительные ошибки, приводящие к неудовлетворительным результатам.
В отличие от центрально-разностной схемы (3.11), гибридная схема (3.14) при любых сеточных числах Пекле почти устраняет так называемые "одномерные" ошибки, определяемые анализом соответствующих одномерных уравнений переноса ([106,130]). Поэтому с помощью гибридной схемы удается достаточно точно рассчитать динамические и тепловые поля течений, в которых существует преобладающее направление движения жидкости и отсутствуют развитые циркуляционные зоны. Как показано в работе [24], наибольшее отклонение гибридной схемы от точного решения наблюдается при числах Пекле, несколько больших Ре = ±2; кроме того, по-видимому, преждевременно считать влияние диффузии равным нулю при \Ре\ 2. Источниковые члены для этой схемы вычисляются также как и для противопоточной схемы. Коэффициенты В имеют некоторые отличия, даже несмотря на то, что используют те же конвективные и диффузионные коэффициенты, как и раньше. Поскольку все коэффициенты В положительны, то можно говорить о безусловной устойчивости системы уравнений. Стоит отметить, что в стремлении обеспечить максимальную точность при определении Ф, была разработана модификация гибридной схемы - схема со степенным законом [24, 107]. Несколько более сложные, чем в гибридной схеме, соотношения схемы со степенным законом не представляют особых трудностей для вычисления и обеспечивают значительное улучшение расчетных результатов. Желая улучшить вышеупомянутые центрально-разностную и проти- вопоточную схемы, вызывающие численную диффузию, Леонард [100, 131] предложил и стал широко применять свою схему QUICK. Эта схема использует трехточечную противопоточную интерполяцию для каждой грани. Например, для грани w (рис.3.1) значение Ф находится с помощью полинома второй степени Ф = ах2 4- Ьх + с, коэффициенты которого а, 6 и с вычисляются по значениям переменной Ф в узлах W, Р и WW при Uw 0 или в узлах W, Р и Е при Uw 0. Поэтому для этой схемы используют 9-точечную конфигурацию звезда.
Граничные условия на выходе из канала - параболический профиль U
Наиболее эффективным методом изучения реальных физических процессов является постановка вычислительного эксперимента, основа которого — математическое моделирование. Основой моделей вычислительной гидродинамики являются законы сохранения массы, количества движения, энергии. Эти законы записываются в виде системы дифференциальных уравнений, которая адаптируется к различным прикладным задачам путем постановки соответствующих граничных и начальных условий и, если возможно, путем упрощения этих уравнений. Представление многообразия исходных уравнений в виде обобщенного уравнения позволяет построить универсальное ядро системы и обеспечить возможность эффективной адаптации к конкретной задаче и соответствующему способу дискретизации. Вычислительный эксперимент характиризуется двумя особенностями, которые необходимо учитывать при создании адекватного ему программного обеспечения. Это, во-первых, многовариантность расчетов в рамках фиксированной математической модели и, во-вторых, многомодельность. Здесь уже нельзя обойтись одной программой на компьютере, нужно иметь возможность легко менять ее для решения близких задач. Программное обеспечение вычислительного эксперимента базируется на использовании комплексов и пакетов прикладных программ. Комплекс программ предназначен для решения близких по своей математической природе задач из одной предметной области. Он включает в себя библиотеку программных модулей (в большей или меньшей степени независимых), из которых комплектуюутся рабочие программы. В комплексах прикладных программ сборка программ из модулей осуществляется вручную.
Проведенные в настоящей работе исследования потребовали разработки и реализации комплекса программ, включающего в себя следующие расчетные алгоритмы и их формализацию для ЭВМ: 1. решение системы нелинейных алгебраических уравнений итерационным методом с использованием комбинации прямого метода прогонки и метода Гаусса-Зейделя; 2. различные варианты численного метода контрольного объема в зависимости от выбора используемой схемы аппроксимации конвективных членов; 3. построение расчетной сетки с использованием метода заблокированных областей; 4. графическая постобработка полученных результатов.
Практически на всех этапах создания комплекса программ были разработаны модули, не зависящие от конкретной задачи. При этом каждый из модулей структурно замкнут (структура модуля не зависит от структуры других модулей и программы в целом) и функционально определен (выполняет строго определенную и свойственную только ему функцию). Описанная математическая модель позволяет осуществить комплексное исследование с помощью численных методов течений и теплообмена в каналах различных геометрических форм. Для оценки возможностей и степени универсальности математической модели ниже приведены некоторые прикладные задачи, решение которых получено на ее основе. На практике часто встречаются случаи теплообмена при ламинарном течении теплоносителя в каналах различной формы сечения. Плоские каналы встречаются в отопительной технике, в пластинчатых теплообменниках. С определенной степенью точности к задаче о прямолинейном плоском канале могут быть приведены и другие практически важные случаи. Например, задача о гидродинамике потока в полостях охлаждения втулок цилиндров двигателей внутреннего сгорания [133].
Из представленных данных следует, что по мере дальнейшего развития течения пограничный слой все более проникает в глубь потока и профиль скорости приближается к профилю, характерному для пограничного слоя (кривые 3 и 4). При х — Ьс график асимптотически переходит в параболический профиль развитого течения в плоском канале [135] (кривые 5 и 6 на рис.4.2-4.4). На рис.4.5-4.7 профили скорости на выходе из канала (кривая 6) не соответствуют развитому плоско-параллельному течению в канале. Это, очевидно, связано с неверно выбранной длиной расчетного участка. Недостаточная величина Ь не позволяет течению выйти на установившийся режим. Для постановки граничных условий "на выходе" из канала использовав лись два способа. При этом получено, что использование "мягких" граничных условий позволяет существенно сократить длину расчетной области и выбрать Ь Ьс, тогда как в случае задания параболического профиля продольной составляющей скорости на выходе из канала, необходимо выбирать Ь Ьс для выхода течения на установившийся режим. Важно отметить, что полученные результаты хорошо согласуются с большим количеством результатов, полученных другими авторами, что позволяет говорить о принципиальной возможности расчета каналов более сложной геометрической формы с использованием построенной математической модели.
