Содержание к диссертации
Введение
1. Литературный обзор 12
1.1. Ньютоновские и неиьютоновские жидкости 12
1.1.1. Ньютоновские жидкости 14
1.1.2. Обобщенные ньютоновские жидкости 14
1.1.3. Неньтотоновские жидкости 16
1.2. Материальные функции 21
1.2.1, Материальные функции в условиях чистого сдвигового течения 21
1.2.2. Материальные функции в условиях периодического сдвигового течения 23
1.2.3. Материальные функции в условиях продольного течения 24
1.3. Модели, основанные на механике сплошной среды 25
1.3.1. Линейные реологические конститутивные соотношения 25
1.3,2. Принцип материальной объективности 27
1.4. Модели, построенные в соответствие с принципом материальной объективности 30
1.4.1. Реологические конститутивные соотношения Максвелла 30
1.4.2. Реологическое конститутивное соотношение Олдройда-Б 32
1.4.3. Модель Джонсона-Сегельмана
1.4.4. Модель Фан-Тьен-Таннера 37
1.5. Обтекание тел цилиндрической формы потоком упруговязкой жидкости 1,6. Выводы 53
2. Математическая постановка задачи и описание метода решения 55
2.1. Введение 55
2.2. Постановка краевой задачи 57
2.2.1 .Граничные условия 63
2.2.2. Метод решения 64
2.3. Описание метода численного решения задачи 66
2.4. Выводы 77
3. Результаты моделирования 78
3.1. Описание эффекта «отрицательного следа» 78
3.2. Результаты моделирования при обтекании цилиндра 79
3.2.1. Результаты моделирования, полученныедля модели Фан-Тьен-Таннера 79
3.2.2. Результаты полученные для модели Олдройда-Б 82
3.2.3. Картины течения вблизи цилиндра 84
3.2.4. Вычисление силы сопротивления F^ 97
3.3. Результаты моделирования обтекания груза вытянутой формы 98
3.4. Вычисление коррекции силы сопротивления при обтекании груза вытянутой формы 105
3.5. Выводы 106
Заключение и общие выводы 108
Список использованной литературы
- Обобщенные ньютоновские жидкости
- Модели, основанные на механике сплошной среды
- Описание метода численного решения задачи
- Результаты полученные для модели Олдройда-Б
Обобщенные ньютоновские жидкости
Расширением конститутивного реологического соотношения Ньютона (1.2) являются модели так называемых обобщенных ньютоновских жидкостей. Эти модели должны предсказывать аномалию вязкости или зависимость эффективной вязкости от скорости сдвига.
Одной из наиболее популярной моделей обобщенной ньютоновской жидкости является широко известный и часто используемый «степенной закон» txy=K.f (1.3) или txf=(Kf-l)i , (1.4) дщ где у = —- - сдвиговая скорость; Щ - компонента скорости в направлении оси (Щ; т\эф - Щ - эффективная вязкость неньютоновской жидкости.
Степенная модель содержит два параметра: К - коэффициент консистенции и П - показатель неныотоновости. Степенная модель довольно часто используется для моделирования течений неньютоновских жидкостей. В большинстве случаев сдвиговая вязкость, при малых скоростях сдвига, не зависит от скорости сдвига. При у—»0, сдвиговая вязкость Т — TIQ . Величина щ известна как первая ньютоновская вязкость или вязкость при нулевой скорости сдвига. С ростом скорости сдвига, вязкость будет расти или уменьшаться. При больших значениях у сдвиговая вязкость достигает плато. То есть, при у—» со, величина Л Лто Величина "Пда известна как вторая ньютоновская вязкость.
Недостатком степенного закона является то, что он не предсказывает появление плато первой и второй ньютоновской вязкости, регистрируемые в большинстве вискозиметрических экспериментах. Существуют и другие модели обобщенной ньютоновской жидкости, свободные от этого недостатка. Одной из таких моделей является модель Карро.
Модель Карро обобщенной ньютоновской жидкости включает в себя плато первой и второй ньютоновской вязкости и записывается в виде Ло-ті со Как видно из записи модели Карро, она включает в себя величины Ло и "Поо " асимптотические значения вязкости при малых я больших значениях скорости сдвига и параметр Xt, являющийся характеристическим параметром жидкости, определяющим переходную область течения.
Существенным недостатком реологических конститутивных соотношений обобщенной ньютоновской жидкости является то, что они не предсказывают релаксационных эффектов, характерных для большинства расплавов и растворов полимеров. Поэтому необходимо рассматривать конститутивные модели, в которых учитываются релаксационные эффекты, присущие полимерным жидкостям.
Для характеристики неныотоновских жидкостей, кроме вязкости, используют и другие параметры, называемые материальными функциями и определяемые экспериментально. Как правило, материальные функции определяются, используя сдвиговые и продольные течения. 1.1.3. Неньютоповские жидкости
Специфические свойства неиьютоновских жидкостей проявляются в соответствующих типах течений, к которым относятся, в том числе, простое сдвиговое течения и одномерное осевое течение, возникающее под действием нормальных напряжений. Будем предполагать, что компоненты скорости V и радиус-вектора г записываются в виде (м , и2 Щ ) и (Xj, Х2 х$ ).
При стационарном одномерном, сдвиговом течении жидкости (рис. 1.1) компоненты скорости запишутся в виде «1=Y 2 и2 = и3=0, (1.6) где у - постоянный градиент скорости.
Модели, основанные на механике сплошной среды
Как уже указывалось выше, большинство полимерных жидкостей в процессе течения проявляют релаксационные свойства, являющиеся следствием упругих свойств. Жидкости в процессе течения проявляющие свойства аномалии вязкости и упругие (релаксационные) свойства называются вязкоупругими жидкостями. Наиболее простой механической моделью вязкоупругой жидкости является механическая модель Максвелла, представляющая собой последовательно соединенные упругую пружинку, с модулем упругости G и демпфер (рис.1.5а). Согласно этой модели, пружинка представляет упругую часть поведения жидкости, а демпфер - вязкую часть.
Комбинируя выражения для напряжения в пружинке и в демпфере и сравнивая со скоростью деформации можно получить простейшее реологическое соотношение упруговязкой жидкости Максвелла с одним временем релаксации, связывающее напряжение и скорость деформации
Для времени процесса деформирования t« Я модель Максвелла ведет себя как модель упругого тела, а для времени процесса деформирования /» Я модель Максвелла ведет себя как модель вязкой жидкости.
Решение дифференциального уравнения (1.25) относительно напряжения приводит к следующему выражению ft-Л 7о т(0= J exp -nrw, у Я J я — GO (1-26) где параметры со значком ( ) относятся к предыдущему времени процесса. В общем виде выражение (1.26) может быть представлено в виде где G(t) - модуль релаксации.
Напряжения, описываемые формулой (1.27), можно рассматривать как произведение двух функций. Первая G(t-f) зависит от материальных функций жидкости, а вторая y{ty) является характеристикой течения.
Простым на первый взгляд обобщением модели (1.25) является запись этого уравнения в виде однако оно практически не используется, так как обладает серьезным недостатком. Недостатком линейной реологической модели Максвелла (1.25) и, соответственно, (1.28) является то, что она не удовлетворяет принципу материальной объективности, заключающейся в том, что реологическое конститутивное соотношение должно быть инвариантно выбору системы отсчета.
Иначе говоря, этот принцип выражает факт, что материальные свойства не должны зависеть от выбора системы отсчета. В частности, они должны быть инвариантны простому повороту механической системы. Например, если расположить жидкий образец на способном вращаться столе и наложить ту же деформацию при разных углах поворота стола, то мы должны получить те же самые значения напряжений.
Принцип материальной объективности
Рассмотрим образец, испытывающий некоторую деформацию F(X)t). Вследствие воздействия деформации в образце развиваются напряжения x(F). Пусть наш образец после деформации F подвергается простому вращению Q, тогда общая деформация может быть представлена в виде Q- F.
Из формулы (1.36) следует, что комбинация слагаемых, включающих в себя члены, содержащие градиенты скоростей деформаций удовлетворяет формуле (1.31) и, следовательно, удовлетворяет принципу материальной объективности.
Следовательно, естественным образом вводится понятие верхней конвективной производной напряжения, которая, имеет вид TF=TF-LFF-LF. (і .37)
Это означает также, что удалось найти такое выражение для производной по времени от напряжения, которое удовлетворяет принципу материальной объективности.
Формула для верхней конвективной производной может быть применена не только для напряжения, но и для других тензорных величин, зависящих от деформации образца, исключающей поворот образца как абсолютно твердого тела. Такой тензорной величиной может быть тензор скоростей деформаций. В соответствие с полученным результатом, можно обобщить реологическое конститутивное соотношение Максвелла (1.25) в следующем виде V ї+%Х=2цЗ. (1.38) Формула (1.38) уже удовлетворяет принципу материальной объективности и известно в научной литературе как верхняя конвективная модель Максвелла.
Описание метода численного решения задачи
Для решений уравнений (2.15)-(2.23) применяется метод конечных элементов. Для этого запишем «слабую» формулировку этих уравнений в виде \Re( + v4v)wd& = \(-VP + y\2 V2 v +Vz JwdO, (2.24) n dt Q \(Vv)qcin=0 V _ _T \{We( T, +//T, D))+f2 (X)TjwdO= 1(1- )(Vv+Vv )wdQ (2.26)
Далее область покрывается семейством четырехугольных элементов. Для скоростей и напряжений применяется квадратичная аппроксимация и линейная для давления. Интегралы на четырехугольнике вычисляются с помощью 4-х точечной квадратурной формулы Гаусса. После применения стандартной процедуры метода конечных элементов получаем матричные уравнения следующего вида ReMv"+J+$Avn+l-Dpn+J = (2.27) = ReMv"-ReCvn+ Din , Dr vn+J --0, T где M - матрица масс, D- дискретизация оператора дивергенции,/) транспонированная матрица оператора дивергенции, А - сеточный аналог оператора Лапласа, С - дискретизация конвективного члена.
Уравнения для напряжений считаются раздельно, при известном распределении поля скоростей полученном из решения матричного уравнения следующего вида WeMxn+} = (2.29) = WeMxn-WeG(vn)Tn+ Fzn -Ck(vn)xn, где M - матрица масс, G -дискретизация оператора верхней конвективной производной, F- порожден дополнительными членами уравнения (2.18). Для стабилизации счета применяется дополнительная вязкость вдоль линии тока в виде N = N + a v-V/V, (2.30) где для конвективных членов вводится весовая функция N , определяемая по формуле (2.30).
Формулы для вычисления параметра а, зависящего от размера и средней скорости в данном элементе приведены в работах [116-117]. Для решения уравнений на каждом временном слое применяется прямой метод разложения Холецкого. Решение начально-краевой задачи получено с помощью процедуры установления по времени. Для обеспечения сходимости решения по сетке задача решалась на последовательности сгущающихся сеток с числом узлов конечно-элементной сетки N = 12240, 24600.
Описание метода численного решения задачи
Введем дискретизацию процесса по времени. Для этого обозначим через At 1 / Nt шаг по времени (Nt - число временных слоев), так что tk=kAt, k = 0,Nt Аппроксимируя производную по времени получим % х С-С = Фс у ь)-фс у Ь- )=$-фс у к-і) (231) dt At At At Здесь функция может принимать значения UiX)iXxxfXyy Хху.
Для дискретизации по времени используется двухслойная схема (2.31), а для решения нелинейной системы применяется линеаризация конвективных членов для уравнения переноса (2,15)-(2,20), когда значения скорости берутся с нижнего временного слоя. Обозначим через S всю границу расчетной области Q, через Sy или Sv те части границы S, на которых задаются производные —, либо дп 8v с —, где П - внешняя нормаль к границе Л . дп Тогда естественными граничными условиями для уравнений (2.10) (2.14) будут ой 5Й (2.32) Здесь J?//f v " некоторые заданные функции.
При построении алгоритма метода конечных элементов (МКЭ) по методу Бубнова-Галеркина будем следовать методике [116-117]. Для этого домножим уравнения (2.15) и (2.16) на произвольные функции \\f(x,y), (xfy) и проинтегрируем по области, учитывая граничные условия (2.32). В результате получим интегральные тождества
Результаты полученные для модели Олдройда-Б
Реологическая конститутивная модель упруговязкой жидкости характеризуется в первую очередь тем, что она предсказывает возникновение нормальных напряжений в сдвиговых течениях при постоянной сдвиговой вязкости. Таким образом, заранее постулируется, что полимерная жидкость, подчиняющаяся модели Олдройда-Б, не обладает свойством аномалией вязкости.
На рис.3.5 показано распределение продольной компоненты скорости в следе цилиндра для различных схем обтекания цилиндра (рис.2.2). Для схемы течения Пуазейля в канале (схема 2Ь) численные расчеты, в соответствие с рис.3.5Ь, показывают монотонный характер восстановления скорости. В случае же обтекания цилиндра однородным потоком или течения жидкости с подвижными стенками (схема 2а), данный эффект тоже имеет место, только выражен менее значительно при значении числа Вайссенберга We = 0.5. При увеличении числа We проявление эффекта «отрицательного следа» исчезает.
Таким образом, для упруговязких жидкостей, удовлетворяющих реологическому конститутивному соотношению Олдройда-Б, при использовании обеих схем течения, представленных на рис.2.2, эффект «отрицательного следа» незначителен или практически отсутствует. Данная ситуация свидетельствует о том, что на возникновение эффекта «отрицательного следа» большее влияние оказывает наличие свойства аномалии вязкости упругавязкой жидкости.
Далее, как и в случае использования реологического конститутивного соотношения Фан-Тьен-Таннера, проанализируем распределение разности главных напряжений. Как было показано выше, в случае использования реологического соотношения РТТ, характеризующегося учетом аномалии вязкости, с ростом времени релаксации напряжений (ростом числа We), происходит некоторое уменьшение пика разности главных напряжений (рис.3.4).
В случае же использования реологического конститутивного соотношения Олдройда-Б ситуация меняется на противоположную. Как видно из рис.3.6, с ростом времени релаксации напряжений в потоке (с ростом величины числа Вайссенберга) величина пика разности главных / 2 2 напряжений 1- 2 4 1 + хху вюрастает, а не убывает, как предсказывается моделью РТТ. Расстояние, на котором разность главных напряжений стремится к нулю, также возрастает. Данная ситуация свидетельствует о существенной роли свойства аномалии вязкости на распределение напряжений, а следовательно и на общую картину течения вблизи цилиндра.
В дальнейшем рассмотрим картины течения, полученные для различных значений числа Вайссенберга. Во всех случаях, представленных на рис.3.7-3.14 обтекание цилиндра происходит слева на право.
На рис.3.7 и рис.3.8 показаны картины течения для потоков полимерной жидкости с малым значением числа We, что возможно для очень медленных течений или для растворов полимеров с очень малым временем релаксации напряжения. В этом случае поведение течения будет достаточно близко к течению Стокса в канале. На рис. 3.8а, показаны линии уровня горизонтальной компоненты скорости U, на рис. 3.8Ь показаны изобары, на рис, 3.8с показаны изолинии сдвиговых напряжений т Ху, на рис.3.3d показаны линии уровня разности главных напряжений.
Отметим, что вследствие течения полимерной жидкости можно наблюдать возникновение эффекта двойного лучепреломления, вызванного ориентацией макромолекул полимера вблизи цилиндра. В этом случае, в принципе можно экспериментально наблюдать изолинии (nj-n2), которые согласно оптическому закону пропорциональны разности главных напряжений Oj — G2 , распределение которых указаны нарис.3.7ёирис. 3.8d.
Из рисунков 3.7а и 3.8а видно, что линии уровня скорости U в обеих схемах течения похожи и не обнаруживают какого либо превышения скорости в следе за цилиндром. Также зона максимальной величины разности главных напряжений (рис. 3.7d и 3.8d) расположена вдоль поверхности цилиндра, причем наибольшие их значения расположены на боковых поверхностях, где наблюдаются наибольшие градиенты скорости.
При увеличении времени релаксации аналогичные картины течения показаны на рис.3.9 и рис. 3.10. Из этих рисунков, полученных для жидкости РТТ при значении числа Вайссенберга We = 1.0 видно, что на кривых распределения скорости потока U отчетливо проявляется зона превышения скорости (рис.3.9а и рис.3.10а). Также видно, увеличение концентрации напряжения на осевой линии, а вследствие этого и О/ - 52 в зоне за цилиндром.
Похожие диссертации на Математическое моделирование течения вязкоупругой жидкости в канале вискозиметра с падающим грузом
