Введение к работе
Аннотация. Диссертация носит прикладной характер. Ее содержание посвящено вопросам обоснования корректности задач для систем нелинейных уравнений, имеющих важные приложения в математической физике. Выявляются и анализируются основные математические структуры, связанные с вопросами сходимости приближенных методов, доказаны теоремы о глобальной разрешимости задачи Кони -для квазилинейных и полулинейных систем.
Актуальность темы. Математические модели физических систем, состоящих из статистически большого количества частиц (разреженные газы, дисперсные системы, плазма), а также модели механики сплошной среды основываются на фундаментальных соотношениях баланса, носящих общее название - законы сохранения. Значительное количество современных исследований по теории законов сохранения связано с вопросами корректности задач для систем нелинейных дифференциальных и интегродифференпиальных уравнений
(1) <3tu(w)(x,t)+ Е дт liw) (u,x,t)= S(w)(u,x,t) ,
xeffjj , t >0 , Wfl ,
где u={u*wb - неизвестная вектор-функция, вид потоков і. и источника S считается заданным характером моделируемого физического процесса, хеО^- пространственные координаты, t - время, Q -параметры, нумерующие уравнения. Ниже такие системы уравнений
будем именовать системами законов сохранения. Их приложения вирово известны, в частности,в связи с уравнениями газодинамики и гидродинамики, кинетическими уравнениями Больпмана и Смолу-ховского, теорией плазмы, и др.
Наряду с корректностью в круге задач для законов сохранения (1) традиционно особую роль играют такие проблемы нелинейной математической физики как обоснование предельных переходов и асимптотик по малым параметрам приближенных методов, используемых в процессе отыскания неизвестного ревения. До недавнего временя трудности, связанные с предельными переходами в нелинейных (квазилинейных я полулинейных) системах законов сохранения (1) для многих методов казались непреодолимыми.
Таким образом, актуальной является проблема выделения классов корректности в целом для задачи Ковш и аффективное обоснование сходимости приближенных методов в случае нелинейных систем, отражающих соотношения сохранения в моделях физических процессов.
Наиболее полные результаты для задачи Копи в случае нели
нейных уравнений (1) были получены при card О =1 в работах
А.Н.Тихонова и А.А.Самарского, Э.Хопфа, О. А. Олейник , С. Н.
Кружкова, а также для некоторых классов систем (1) при card Q
<н0 с жесткими ограничениями на исходные данные задачи Кожи
(Б.Л.Рождественский, Дж. Глины, Н.С. Бахвалов, Н.Н.Кузнецов в
В.А.Тупчиев и др.1).
1) .
Рождественский Б.Л.(Явенко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.Наука,1978.
лее интенсивные исследования традиционно связаны с теорией
уравнения Больчиава кинетической теории газов (Т.Карлеман,
Н.Б.Маслова.А.В.Бобылев .DIPerna и Lions , ряд японских и ита-
льянских математиков и др. ). ,
Сода же примыкает исследования о разрешимости и классах корректности для уравнения Смолуховского, описывающего процессы коагуляции в дисперсных системах 1.
В течение 80-х годов сформировался ряд серьезных новых подходов в исследовании законов сохранения (1) прежде всего благодаря усилиям Л.Тартара и Ф.Мюрата, Р.ДиПерна, и др. , развившим концепцию компенсированной компактности и определившим ее применения в теории уравнений с частными производными. На атом направлении зародилась идея дальнейшего расширения понятия Соболевских обобщенных решений, приводящая к определению мернозначвого решения, основанная на использовании вместо неизвестных функций и параметрических семейств вероятностных мер Янга. В дальнейшем эти исследования получили развитие в работах В.Д.Галкина и В.Д.Тупчиева [14], где введено и эффективно применено понятие решения в среднем, а затем В.А.Галкиным разработана теория функциональных решений законов сохранения (1) при любом card ' [15,16]. Теория функциональных решений в свою очередь смыг^ется с теорией решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, построенной А.Ф.Филипповым3. Весьма важно подчеркнуть, что урав-
' Неравновесные явления;Уравнение Больцмана.Под редакцией Дж.Л.либовица и У.У.Монтролла.М..мир,1986.
'Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой
нения физической кинетики вида (1) непосредственно приводят к примерам с разрывными в естественных нормах операторами S .
Новые концепции в теории компактности и расширение понятия решения систем законов сохранения позволили установить содержательные теоремы о разрешимости задачи Коши в целом для систем (1), в частности, для уравнений больциановского типа, а также для квазилинейных систем .
Центральной нерешенной в настоящее время проблемой для указанного подхода является эффективное построение классов корректности,доказательство теорем единственности и получение теорем типа "вложения" С. Л. Соболева.
Один из возможных вариантов решения этого вопроса предложен Л. Тартаром на примере скалярного закона сохранения с одномерной пространственной переменной .
диссертационное исследование входит в план госбюджетных работ Обнинского института атомной энергетики по теме:"Теоретические и прикладные задачи для дифференциальных и интегродифференциальных уравнений", номер госрегистрации 01.87.095230. Тема диссертации утверждена ученым советом названного института в 1990 г.
Целью настоящей диссертационной работы является разработка теория разрешимости в целом задачи Коши для нелинейных систем законов сохранения (1) с произвольными card П, в особенности в ситуациях, связанных с физической кинетикой и механикой сплошной среды, выявление и анализ основных математических
частью.// Ііатем.сб.,I960, Т.5І.Н1.
структур для этого круга проблем, а также приложения к физическим моделям.
Научная новизна предлагаемой работы основана на доказательстве разрешимости в целом и обосновании сходимости приближенных методов для нелинейных систем законов сохранная (1) общего вида, а также для конкретных математических моделей, связанных с полулинейными уравнениями больцмановского типа и квазилинейными системами.
Теоретическая и практическая ценность диссертации обусловлена созданием нового общего подхода к обоснованию приближенных методов решения задач для систем законов сохранения, а также доказательством разрешимости (либо корректности) задач, имеющих прикладное значение в физике. Полученные результаты могут быть использованы в научно - теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, при обосновании численных методов, в учебном процессе математических и физических факультетов вузов.
Защищаемые научные результаты.
1) Обоснование сходимости регулярных приближенных методов
к функциональному решению законов сохранения при условии сла
бой аппроксимации и слабой устойчивости метода (при наличии
равномерной для приближений оценки в пространстве
ІОО ' . .
L, ). Отождествление функциональных решений с элементами прост-
1 loo -
ранства L1 и описание возможных классов корректности.
2) Обоснование сходимости разностного приближенного метода
к неотрицательному функциональному решению задачи Коши для урав
нений больцмановского типа.
3)0боснование приближенных методов для систем законов сох-
ранения в классе решений в средвеы при наличии равномерной по параметру априорной оценки энтропии приближений.
4)0боснование корректности в целом для нелинейного операторного уравнения вольтерровского вида с малой неоднородностью и его прнложяния в кинетике.
5)Возншшовение ведифференцируемых особенностей решений полулинейных уравнений Смолуховского при сколь угодно гладких начальных данных.
6)Доказательство существования решения в целом в классе обобщенных соболевских решений для пространственно неоднородной задача Коти в случае уравнения Смолуховского.
7)Обоснование существования решений уразнений Смолуховского, содержащих переход соотношения сохранения в соотношение диссипации за счет нарушения свойства непрерывности оператора S (оператора столкновений в правой части (1)) в норме, связанной с соотношением сохранения.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы, опуубликованные в (1-24), докладывались на следующих конференциях, шкодах и сеинарах
1 .Всесоюзная школа "Неклассические уравнения математической физики". Новосибирск, 1960.
2.Всесоюзный семинар по аналитическим методам газовой динамики. Свердловск, 1982; Фрунзе, 1985; Екатеринбург, 1992.
3.Всесоюзная конференция "Методы решения сингулярно возмущенных задач". Минск, 1982; Нальчик, 1987; Рига, 1990.
4.II международная конференция по дифференциальным уравнениям в их приложениям. Чехословакия, Брно, 1985.
5.ІУ Международная конференция по дифференциальным уравнениям я их приложениям. Болгария, Русе, 1989.
6.14 и 17 зимние математические школы. Воронеж.
Т.Семинар отдела дифференциальных уравнения института математики АН Болгарии, София, 1990.
8.Заседание секции союза математиков Болгарии, Русе, 1990.
9. Общеинститутский семинар института гидродинамики,института математики СО АН, 1991. 10.Международная конференция,посвященная 70-летию со дня рождения Н.Н.Яненко, Новосибирск, 1991.
II.Научно-исследовательский центр Cadarache, Франция, 1992.
12.Совместная конференция Американского и Лондонского математических обществ, Великобритания, Кембридж, 1992.
13.Международная конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям, Италия, Флоренция, 1993.
14.2-я международная конференция IMACS но вычислительной физике, США, Сент-Луис, 1993.
-
Семинар института вычислительное математики РАН под руководством академика Н.С.Бахвалова , 1993
-
Семинар института математического моделирования под руководством академика А.А.Самарского, 1993
Структура работы. Диссертация состоит из введения, пятя глав, заключения, списка цитированной литературы, 252 страницы»
