Введение к работе
Актуальность темы. Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики и т д сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле, электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы, экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов, системы автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья). Одним из аспектов исследования этих моделей является изучение их поведения под влиянием внешнего периодического воздействия В частности, важную практическую роль играют периодические решения того же периода, что и у внешнего воздействия
Вопросу существования периодических решений систем дифференциальных уравнений в условиях, когда правая часть периодична, посвящено достаточно много работ (Н Н Боголюбов, Ю А Митропольский, В А Плисе, М А Красносельский, Е Н Розенвассер, Р А Нелепин и многие другие) Приближенному построению периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (в условиях, когда они заведомо существуют) посвящены работы Л Чезари, Дж Хейла, А М Самойленко, А И Перова, А М Красносельского, В Я Стеценко и ряда других ученых
Первые работы, в которых изучались системы автоматического регулирования с пгстерезисными нелинейностями, появились в 1946 г (А А Андронов) В 1960-х годах результаты А А Андронова были существенно обобщены Р А Нелепиным на основе новой в то время методологии, разработанной с использованием бесконечнолистных поверхностей Римана Основное внимание в этих работах уделялось построению зон устойчивости в пространстве параметров систем Однако, к настоящему времени отсутствуют эффективные методы приближенного построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями Возможность создания таких методов основывается на развитой М А Красносельским, А В Покровским и их учениками операторной трактовке гистерезисных нелинейностей Поэтому является актуальной задача создания и анализа приближенных методов построения периодических решений широких классов систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями
Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры ПМиЭММ Воронежской государственной технологической академии — «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г р 01200003664
Цель работы. Разработка и анализ численно-аналитических методов построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.
Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач
выделение класса моделей систем, представленных дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями, удовлетворяющих условиям существования и единственности решений,
синтез алгоритмов приближенного построения периодических решений систем с гистерезисными нелинейностями,
доказательство реализуемости алгоритмов, проверка устойчивости, оценка скорости сходимости, исследование поведения моделей,
апробация предложенных алгоритмов на модельных примерах и численные эксперименты
Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений
Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты
доказана теорема существования и единственности для выделенного класса моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями;
предложена модификация метода Самойленко-Перова для приближенного построения периодических решений одного класса систем дифференциальных уравнений, отличающихся учетом в них гистере-зисных свойств;
предложен новый метод приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования, отличающихся учетом возможных гистерезисных нелинейностей в обратной связи,
доказана реализуемость обоих методов, получены оценки скорости сходимости приближений к точному периодическому решению,
доказана устойчивость метода приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования с гистере-зисной обратной связью по отношению к малым возмущениям параметров задачи
Практическая ценность работы. Результаты работы применимы для анализа и построения периодических решений систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, в том числе и с гистерезисными нелинейностями В частности, одной из классических задач теории автоматического регулирования является задача построения вынужденных периодических режимов Предложенный в работе алгоритм позволяет в случае выполнения легко проверяемых условий строить 4
эти режимы Причем для приближенных решений выполняются дополнительные условия корректности по отношению к малым изменениям параметров систем
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи -Дагомыс, октябрь 2005 г ), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г Воронеж, декабрь 2005 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г Воронеж, апрель 2005 г., март 2006 г), VIII Всероссийская научно-техническая конференция «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (гТамбов, апрель 2006 г), VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (г Кисловодск, май 2006 г), Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы качественной теории краевых задач - Понтрягинские чтения - XVII» (г Воронеж, май 2006 г), XIII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г Йошкар-Ола, декабрь 2006 г.), на семинарах кафедры ПМиЭММ ВГТА и кафедры дифференциальных уравнений ВГУ за 2005,2006 гг
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10], список которых приведен в конце автореферата Из них 2 статьи в научных журналах, включенных в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук»
Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют доказательства утверждений о реализуемости и сходимости предложенных алгоритмов, доказательство корректности и устойчивости неподвижных точек интегральных операторов, являющихся периодическими решениями соответствующих дифференциальных уравнений
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 92 наименования, изложена на 135 страницах и включает 14 рисунков
