Содержание к диссертации
Введение
1. Математическая модель 17
1.1. Схема методов отображений 17
1.2. Базисные уравнения 21
1.2.1. Уравнения Бельтрами 21
1.2.2. Уравнения диффузии 24
1.3. Управляющая метрика 26
1.3.1. Формулировка элементов управляющей метрики . 27
1.3.2. Вычисление метрических компонент 28
1.3.3. Формулы основных управляющих метрик 29
1.4. Обращенные уравнения 37
1.4.1. Обращенные уравнения Бельтрами 38
1.4.2. Обращенные уравнения диффузии 39
2. Описание численных алгоритмов 40
2.1. Приведение обращенных уравнений Бельтрами и диффузии к виду, удобному для численной реализации 41
2.2. Вычислительный алгоритм для одномерного уравнения . 44
2.2.1. Итерационная схема 45
2.3. Вычислительный алгоритм для двумерного уравнения . 46
2.3.1. Итерационная схема 47
2.3.2. Начальное приближение 53
2.3.3. Особенности численного нахождения метрических компонент 56
2.3.4. Построение сеток с плохих начальных данных . 59
2.4. Вычислительный алгоритм для построения пространственных сеток 60
2.4.1. Итерационная схема 62
2.4.2. Начальное приближение 65
2.5. Программный инструментарий 67
3. Численная реализация 70
3.1. Построение одноблочных сеток 70
3.1.1. Использование функций слойного типа для управления качественными свойствами управляющей метрики 70
3.1.2. Конструирование сеток, согласованных с векторным полем 73
3.1.3. Конструирование сгущающихся сеток 74
3.1.4. Конструирование сбалансированных сеток 81
3.2. Построение гладких блочных сеток 83
3.2.1. Сглаживание при помощи интерполяции 83
3.2.2. Сглаживание при помощи сеточных уравнений . 85
3.2.3. Пример использования сеток с отверстиями 89
4. Решение сингулярно возмущенных уравнений с использованием адаптивных сеток 92
4.1. Одномерное сингулярно возмущенное уравнение 94
4.1.1. Метод координатных преобразований для нахождения численного решения сингулярно возмущенных уравнений 95
4.1.2. Связь с обращенными уравнениями Вельтрами . 96
4.1.3. Понятие обратной монотонности 97
4.1.4. Оценки на производные решения 98
4.1.5. Численная реализация 105
4.1.6. Решение задачи без использования оценок 108
4.2. Решение двумерной сингулярно возмущенной задачи . 109
4.2.1. Задание метрики НО
4.2.2. Преобразование задачи 113
4.2.3. Результаты расчетов 116
Заключение 119
Библиографический список 121
- Уравнения Бельтрами
- Вычислительный алгоритм для одномерного уравнения
- Использование функций слойного типа для управления качественными свойствами управляющей метрики
- Метод координатных преобразований для нахождения численного решения сингулярно возмущенных уравнений
Введение к работе
Разработка новых подходов к численному решению задач механики сплошных сред стало весьма актуальной проблемой, поскольку в настоящее время, ввиду появления мощных ЭВМ, остро стоит вопрос создания высокопроизводительных алгоритмов для расчетов в областях со сложной геометрией границ, например при решении задач загрязнения окружающей среды остатками ракетного топлива для обеспечения экологической безопасности ракетно-космической техники, для численных экспериментов по исследованию перспективных форм летательных аппаратов, для задач предсказания природных катастроф и др. Кроме того, это обусловлено ужесточением требований на качество разностных сеток и время их построения для обеспечения эффективных и экономичных численных экспериментов.
Исследования газодинамических течений в областях с криволинейной границей около тел сложной формы требуют применения специальных сеточных разбиений расчетной области, т.к. эффективность таких исследований во многом зависит от качества используемых в расчетах сеток. Например, при численном изучении факторов, влияющих на эффективность воздушных и подводных аппаратов, требуются разностные сетки с высокой концентрацией ячеек в зонах быстрого изменения характеристик физической среды (плотность, давление). В частности, такие ситуации имеют место при изучении многократных взаимодействий ударных волн, волн разрежения и контактных границ. Для преодоления трудностей, возникающих при численном изучения плазмы, удерживаемой магнитным полем, необходимы невырожденные разностные сетки, согласованные с магнитным полем. Также требуется сгущение узлов и ячеек сеток в тех зонах, в
которых численные алгоритмы приводят к большим погрешностям.
Как следствие, в последнее время получают все большее распространение методы построения сеток с различными видами адаптации, использующие результаты теорий дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии и вычислительной математики, поскольку такие сетки позволяют хорошо аппроксимировать области расчета со сложной геометрией границ (например, с малыми отверстиями) и характерные особенности физических явлений, что позволяет существенно повысить скорость и надежность решения задач и получать результаты высокой точности. Вместе с тем задача разработки методов и соответствующих численных алгоритмов построения адаптивных сеток является сложной математической проблемой. Несомненно, исследования по этой проблеме являются актуальными и востребованными не только при численном моделировании процессов механики сплошных сред, но и при решении более широкого класса задач [33].
Первые работы, в которых было обращено внимание на проблему построения сеток в сложных областях и предложены идеи их построения с помощью конформных и оптимальных преобразований, появились в 70-х годах [30,110]. Подробное описание наиболее популярных методов построения разностных сеток представлено в монографиях [69,75,77,102] и в обзорных статьях [21,53,96,99,101]. Результаты, связанные с построением подвижных сеток, применением техники растягивающих преобразований для численного решения сингулярно возмущенных задач, применением нестационарных сеточных методов и методов эквираспределения в задачах распространения волн, были предложены в монографиях [1,26,34,76,112]. При решении задач математической физики численными методами обычно используется два основных класса сеток — структурированные (регулярные) и неструктурированные (нерегулярные).
Методы построения адаптивных структурированных сеток впервые были исследованы в работах [37, 97, 98]. Затем серия работ, посвященных общим адаптивным методам, была представлена в статьях [39,54,61,74]. Адаптивные методы построения подвижных сеток были описаны в [62, 112]. Методы построения неструктурированных сеток были рассмотрены в работах [17,39,44,63,94,103]. Подробное описание структурированных и неструктурированных методов дано в обзоре [103].
Наиболее эффективными среди сеток являются сетки, полученные взаимно однозначным преобразованием s() : Sn -4 Sn, которое отображает границу вычислительной области Еп на границу параметрической области 5П. Такие сетки называются согласованными с границей. Согласованная с границей сетка обычно строится сначала на выбранных ребрах, затем на гранях и, наконец, внутри области. Поэтому на каждом шаге преобразование s() известно на границе области, и это граничное преобразование продолжается с границы во внутреннюю часть области. Данный процесс аналогичен интерполяции функции по ее граничным значениям или решению краевой задачи Дирихле. Для нахождения промежуточного отображения s() : Бп —> Sn при заданном граничном преобразовании <9s() : дЕп -> dSn : были разработаны три базисные группы методов:
алгебраические методы, использующие различные виды интерполяций или специальные функции;
дифференциальные методы, основанные главным образом на решении эллиптических, параболических и гиперболических уравнений в выбранной вычислительной области Н";
вариационные методы, основанные на оптимизации качественных свойств разностных сеток.
Алгебраические методы просты; они позволяют быстро строить сетку; сгущение и наклон координатных линий контролируются задаваемыми
значениями градиентов в граничных точках и переходными коэффициентами в формулах трансфинитной интерполяции. Однако, в областях со сложной геометрией координатные поверхности, полученные алгебраическими методами, могут вырождаться или ячейки сетки могут перекрывать друг друга или пересекать границу. Кроме того, они, как правило, сохраняют особенности граничных поверхностей, в частности изломы. Поэтому алгебраические методы как правило используются для построения сеток в областях с гладкими и не сильно деформированными границами или для начальной аппроксимации в итерационном процессе при построения сеток эллиптическими методами. Исследование и описание алгебраических методов представлено в работах [52,55,75,85,86,102].
Для построения сеток в областях и на поверхностях с произвольной границей обычно используются дифференциальные методы, основанные на решении эллиптических и параболических уравнений. Такие уравнения позволяют получать гладкие сетки; они учитывают распределение узлов сетки на границе физической геометрии (области, поверхности), не распространяют граничные особенности внутрь; для них существует меньшая опасность перекрывания ячеек сетки и их можно эффективно решать различными хорошо разработанными методами. Использование параболических и эллиптических систем позволяет получать ортогональные и сгущающиеся координатные сеточные линии, причем во многих случаях принцип максимума, который выполняется для дивергентных форм этих систем, обеспечивает невырожденность промежуточного преобразования. Эллиптические уравнения также используются для сглаживания неструктурированных сеток или сеток, полученных алгебраическими и гиперболическими методами.
Двумерная система уравнений Лапласа, записанная относительно параметрических координат, была предложена в работах [10,36,40]. Общая
эллиптическая система для построения структурных сеток сеток была рассмотрена Чу [46]. Двумерная система обращенных уравнений Лапласа была предложена в [49,110].
Двумерная система уравнений диффузии для построения адаптивных сеток была введена в работах [14,111] и развивалась в работах [54,83].
Метод построения адаптивных сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно управляющих метрик подробно описан в монографиях [75,77] и является естественным продолжением подходов, предложенных в работах [10,49,50,105,110]. Метод эквираспределения для построения сеток применяется в работах [28,67].
Система уравнений Пуассона была предложена [11] в предположении, что ее решение является композицией конформного и растягивающего преобразований. Более общая система Пуассона была обоснована в монографиях [100,102]. Разработка методов управления сеточными свойствами при помощи уравнений Пуассона проводилась в работах [90,93,95,104,106,109]. Обращенные уравнения Пуассона для построения ортогональных сеток используются в работах [72,87].
Гиперболические уравнения позволяют использовать маршевые методы и конструировать ортогональные координатные системы. Однако методы, основанные на решении гиперболических уравнений, не всегда математически корректны. Кроме того, они неприменимы в случае, когда граничные узлы сетки заданы на всей границе. Поэтому гиперболические методы в основном используются для простых областей с выделенными боковыми гранями, для которых не требуется никакого специального распределения узлов. Этот метод развивался в работах [45,48,66,88,89,92].
Метод построения двумерных сеток при помощи параболической схемы, аппроксимирующей обращенные уравнения Пуассона, был впервые предложен в работе [79], вариация этого метода разработана в [81]. Развитие
метода для построения адаптивных сеток было проведено в [51,82].
Комбинация гиперболической и параболической схем предложена в [80].
Вариационные методы широко используются для построения сеток, удовлетворяющих нескольким свойствам. Они учитывают условия, которым должна удовлетворять сетка, при помощи специальных функционалов, определенных на множестве гладких или дискретных преобразований. Компромиссная сетка со свойствами, близкими к требуемым, получается при нахождении оптимального преобразования для комбинации этих функционалов. Основная задача вариационного подхода заключается в том, чтобы описать все важные характеристики искомой сетки в подходящей функциональной форме и составить комбинированный функционал, который обеспечил бы корректную задачу минимизации.
Функционал энергии в метрике вычислительной области Еп был предложен в [10]. Исследованию и развитию этого подхода посвящены работы [5,12,47]. Вариационный принцип для построения адаптивных и оптимальных сеток использовался в работах [14,15, 27, 31,32,41,43, 56,64,65]. Вариационная формулировка сеточных свойств описана в [108].
Хотелось бы заметить, что несмотря на различие имеющихся технологий построения сеток, между ними существуют тесная взаимосвязь. Часто характеризуя метод, можно выделить в нем использование элементов различных направлений [8,75].
Представленная диссертационная работа посвящена разработке метода построения адаптивных треугольных и призматических сеток, основанного на применении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии, для решения задач механики сплошных сред.
Системы уравнений Бельтрами и диффузии обладают следующими достоинствами:
краевая задача Дирихле для уравнений Бельтрами и диффузии корректна, поскольку они являются линейными и эллиптическими;
уравнения Бельтрами (в отличии от уравнения Пуассона и двумерных уравнений диффузии) инвариантны относительно выбора координатной системы;
для уравнений Бельтрами и диффузии выполняется принцип максимума, поэтому для выпуклой вычислительной области узлы сетки будут гарантированно попадать внутрь физической геометрии;
в двумерном случае для уравнений Бельтрами выполняется теорема Радо, согласно которой сеточные преобразования, полученные решением уравнений Бельтрами будут невырожденными, если вычислительная область выпукла. Уравнения Пуассона и двумерные уравнения диффузии не дают гарантии невырожденности решения;
с помощью управляющей метрики реализуются произвольные невырожденные сеточные преобразования.
уравнения Бельтрами эквивалентны уравнениям Эйлера-Лагранжа для функционала энергии;
система уравнений Бельтрами и диффузии позволяет единообразно строить сетки в областях и на поверхностях произвольной размерности.
Таким образом, преимуществом математической модели, основанной на базе этих уравнений, является то, что она позволяет в единообразной форме и независимо от параметризаций областей строить как стационарные, так и подвижные сетки в областях произвольной размерности и на их границах, и в то же время обеспечивать требуемые характеристики с помощью задания управляющей метрики. Операторы и уравнения Бельтрами и диффузии и их свойства хорошо изучены в теории Римановой геометрии, что существенно помогает формулировать в явном виде необходимую метрику для управления свойствами разностных сеток.
Такие достоинства математической модели построения адаптивных сеток, базирующейся на обращенных уравнениях Бельтрами и диффузии, делают перспективной работу по ее развитию. Теоретические и численные исследования этой модели имеют большое значение как для развития методов построения сеток в целом, так и для решения задач механики сплошных сред и более широкого класса задач.
Целью диссертационной работы являляется:
Проведение теоретических и численных исследований по нахождению оптимальных параметров управляющих метрик для построения сеток с различными видами адаптации.
Разработка методов построения гладких многоблочных треугольных и призматических сеток.
Проведение теоретических и численных исследований для решения сингулярно возмущенных уравнений, моделирующих конвекционно-диффузионные процессы, возникающие в газовой динамике, на адаптивных сетках, одномерном и двумерном случаях.
Создание алгоритмов и комплекса компьютерных программ для построения адаптивных структурированных сеток с треугольными (в двумерном случае) и призматическими (в трехмерном случае) ячейками и их использование для моделирования процессов, возникающих в механики сплошных сред с помощью численного решения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии. Внимание было уделено построению сеток именно с такими элементами, т.к. они позволяют более корректно представлять физические области, в которых противоположные границы сильно различаются по длине, например кольцо с малым внутренним диаметром или области, близкие к треугольным.
Направленность создаваемых алгоритмов на построение структурированных сеток обосновывается тем, что они более просты в использовании по
сравнению с неструктурированными, т.к. имеют единую нумерацию (а для неструктурированных сеток для каждого узла требуется описывать и учитывать связи с другими узлами, что ведет к усложнению вычислительных алгоритмов). Кроме того, структурированные сетки позволяют обеспечивать гладкость координатных линий и гиперповерхностей, что существенно повышает точность решения дифференциальной задачи и позволяет отслеживать возникновение и развитие особенностей. Координатные линиии и гиперповерхности структурированных сеток совпадают с границами физических областей, позволяя более точно аппроксимировать граничные условия, что также является важным фактором в решении задач [9,33].
В гл. 1 подробно описывается математическая модель построения многомерных адаптивных сеток, основанная на численном решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии, включающих управляющую метрику. Приведены формулы управляющих метрик, позволяющих конструировать сетки с различными индивидуальными и сбалансированными свойствами.
Уравнения Бельтрами
Основным инструментом для построения разностных сеток в предлагаемой математической модели является оператор Бельтрами, который формулируется на множестве функций, заданных локально на физической геометрии Sxn с введенной управляющей метрикой. Будем обозначать кова-риантные (контравариантные) компоненты управляющей метрики в координатах v1,..., vn через gjj (glJ). Отметим, что ковариантные и контравариантные компоненты метрики связаны уравнениями 9Ык = Ъ ,i,fc = l,...,n, (1.6) т.е. матрицы (тензоры) {gjj} и {glJ} являются взаимно-обрат-ными. Кроме того, ковариантный метрический тензор {gjj} — ковариантный тензор второго порядка, а контравариантный метрический тензор { $} — кон-травариантный тензор второго порядка, т.е. при переходе к новой системе dvk dvl & = 9Ы координат ги1,..., wn выполняются соотношения ,w l)J) k,l — 1, ,п, {j _ kldwldwj . . _ v dvk dvl " ) г, j,«,/— 1,... ,n. (1.7) (1.8) Оператор Бельтрами Д [ ] для функции /(v), заданной в локальных координатах v1,..., vn физической геометрии Sxn с введенной управляющей метрикой gjj, определяется следующим образом: где gv — det(gjj). Известно [77], что значение оператора Бельтрами для заданной функции /(v) не зависит от параметризации физической геометрии Sxn, поэтому оно является инвариантом, называемым вторым дифференциальным параметром Бельтрами функции /(v).
Промежуточное преобразование s() в рассматриваемой версии метода отображений определяется как обратное к вектор-функции (s):Sn- En, (8) = (8),..-, (8)1, являющейся решением задачи Дирихле (1.10) ( Ц)=0, i,i, = l,...,n, ffl5» = (s), 2=1,...,71, где д{к — контравариантные компоненты управляющей метрики д в координатах 51,..., sn, gs = det( ), dSn и dEn — границы Sn и S" соответственно, a (p(s) = [ {s),..., ipn{s)] взаимно-однозначное преобразование между dSn и dEn (см. рис. 1.1).
Уравнения в (1.10) эквивалентны уравнениям Бельтрами АвЙ = 0, г = 1,...,п, (1.11) и отличаются от них только множителем 1/у/д1, поэтому их также будем называть уравнениями Бельтрами относительно управляющей метрики gfj. Функции (s),... ,n(s), являющиеся решением задачи (1.10), задают сеточную координатную систему в Sn и Sxn. Краевая задача (1.10) корректна при любой невырожденной метрике gf,. А так как значение оператора Бельтрами Дя[] инвариантно относительно выбора координатной системы в Sxn, то сетка, полученная с помощью преобразования s(), обратного решению задачи (1.10), не зависит от выбора параметризации (1.1).
Система уравнений в (1.10) является эллиптической и имеет дивергентную форму, следовательно, ее решение удовлетворяет принципу максимума. Соответственно узлы сетки, полученные решением задачи Дирихле (1.10), будут находиться внутри Sxn в том случае, когда вычислительная область Еп выпукла (рис. 1.1). Более того, при п = 2 справедлива теорема Радо, из которой, в частности, следует, что преобразование (s), полученное решением задачи (1.10) с произвольной метрикой, является невырожденным, если область Н2 выпукла и отображение границ S2 и Е2, заданное условием Дирихле, взаимно-однозначное. Эти свойства служат основной причиной того, что в задаче (1.10) базисная система уравнений Бельтрами сформулирована для преобразования (s), обратного к промежуточному отображению s().
Уравнения в (1.10) являются уравнениями Эйлера — Лагранжа для функционала щ=\J№$%%) , i,j,k=i,...,n, (1.12) который называется функционалом энергии отображения (s) : Sn - Еп или обобщенным функционалом гладкости разностной сетки. При этом граничные условия для преобразования (s), следующие из минимизации функционала (1.12), имеют вид т.е. контравариантный метрический тензор (дгЛ в сеточных координатах ,..., п должен быть диагональным в граничных точках вычислительной области Еп. Соответственно ковариантный метрический тензор (gfA также должен быть диагональным в этих точках, т.е. gf, = 0 при і ф
Вычислительный алгоритм для одномерного уравнения
В данном параграфе описывается конечно-разностный численный алгоритм построения сеток на кривой Sxl, задаваемой параметризацией x(s) : [0,1] - Rk, х = (х\...,хк), при помощи численного решения одномерного обращенного уравнения Бельтрами (2.2). Алгоритм численного решения обращенного уравнения диффузии записывается аналогично.
Итак, для построения сетки на кривой 5х1 численно решается краевая задача Дирихле для одномерного обращенного уравнения Бельтрами, записанного в виде (2.2) 5(0) = 0, 5(1) = 1. Здесь gs — управляющая ковариантная метрика, задаваемая на этой кривой, в частности виде (1.18) для п = 1: gs = z(s)gxs + Fk(s)Fk(s), к = 1,...,I, dx dx dx1 dxl dxl dxl -,XS g " = = 1-...+ — ds ds ds ds ds ds
Частным случаем данной метрики является метрика (1.25) для п = 1 некоторой кривой Srl, описываемой при помощи мониторной функции, отвечающей за управление свойствами сеток f(х) : Gk - Rl, f=(/\...,A где Gk — область в Rk, содержащая 5х1. В результате кривая 5rl имеет параметризацию г(5) : [0,1] - Rl+k, r(s) = (x(s),f[x(s)]), и, следовательно, метрика кривой Srl принимает вид « - v v 4. f f - -L f[X(S)l df[X(S)l i/ — x.s x.s LS LS — , "1 ; ; . as as as as
Кривая Srl называется мониторной кривой над Sxl.
Нелинейная задача (2.10) решается итерационным методом путем перехода к следующей параболической задаче для функции s(, t): ds д /ds ,—\ ТІ мШ =0 0 1. 0 t T, dt д\д І рдц 5(0,4) = 0, s(l,i) = l, eK,0) = s0(O-Задача (2.11) аппроксимируется на равномерной сетке (г/г, тгт) относительно s", г = 0,1,..., N, п = 0,1,..., схемой s = 0, 4 = 1, ef = «oW, л = 1/iV, где 1/2 = \(yj №)+ ( +1)), і = 0,1,...,N-1. (2.13)
Неявная схема (2.12) решается методом прогонки [8]. В результате получаем решение задачи (2.12) на (n + 1)-м шаге, если оно известно на предыдущем п-м шаге. Начальные значения sf, г = 0,1,..., N, может выбирать пользователь. Естественно выбрать начальную сетку равномерной: s? = г Л, i = 0,...,N, h = l/N. В качестве приближенного решения задачи (2.10) берется решение задачи (2.12) на п-м шаге s", г = 0,1,..., N, если len+1 — гп1 шах & є, (2.14) 0 i N Т для некоторого достаточно малого є 0.
В данном разделе представлен конечно-разностный численный алгоритм построения треугольных сеток в двумерных областях и на поверхностях.
В качестве вычислительной области Н2 используется равнобедренная трапеция, угол между основанием и боковой стороной которой равен 7г/3 (в предельном случае это равносторонний трегольник). Далее везде под словом трапеция будет подразумеваться именно эта трапеция.
Пусть промежуточное преобразование s(), необходимое для построения сетки в двумерной параметрической области S2, определено на границе вычислительной области Е2, т.е. задано отображение f(t):d 2 dS\ = fo V), (2.15) непрерывное на дБ2 и гладкое на каждом сегменте границы дЕ2. Одномерное преобразование на каждом сегменте границы вычислительной области дЕ2 может быть найдено с помощью решения краевой задачи (2.10). При этом граничные узлы сетки в S2 на каждом сегменте могут быть определены по алгоритму, описанному в предыдущем параграфе.
Для построения сетки в двумерной области S2 численно решается задача Дирихле для системы обращенных уравнений диффузии (2.5): apq-—— = P\ i,p,g = 1,2, д?д& (2Л6) с коэффициентами (2.6) apq = (-l)P+k+ i+lw(s)akl— — i,j,k,l,m,p,q = 1,2, з (2Л7) i,j,k,l,m,p,q = 1,2.
Полагая в (2.17) iu(s) = д/g , получаем краевую задачу (2.16) для обращенных уравнений Бельтрами.
Для нахождения численного решения краевая задача (2.16) заменяется на параболическую: lL - apq—— Рг і v 0-1 2 s«,t) = K). «eas2, (2.18) stt,0) = soK), є 2.
Решив задачу (2.18), мы, соответственно, найдем и решение задачи для обращенных уравнений диффузии (2.16), т.е. получим узлы сетки в области S2. Если Sx2 = S2, то искомая сетка найдена, в противном случае мы при помощи отображения x(s) : S2 - Sx2 найдем искомую сетку на поверхности Sx2.
Использование функций слойного типа для управления качественными свойствами управляющей метрики
Представленные алгоритмы построения треугольных и призматических сеток в областях и на поверхностях реализованы в виде комплекса программ. Данный программный комплекс написан по модульному принципу на языке программирования C++. Модули комплекса могут использоваться самостоятельно или интегрироваться в другие комплексы программ. В программе осуществляется динамическая загрузка массивов.
Расчетные модули реализуют задачи построения одно-, дву- и трехмер ных сеток в соответствии с вычислительными схемами, описание которых представлено в предыдущих разделах этой главы. Программа осуществляет запись получаемых данных (координат узлов сеток) в файлы .dat в формате, готовом для графической визуализации программным продуктом Tecplot. Кроме того, имеется модуль управления и визуализации Graf, который дает возможность останавливать вычислительный процесс в случае необходимости, позволяет визуализировать результаты расчетов в реальном времени (для двумерных областей или сечений по 3-й координате трехмерных областей), а также сохранять промежуточные и окончательные результаты в .bmp файл.
Расчетный модуль GridDim2 реализует двумерный алгоритм построения сеток и включает в себя одномерный алгоритм для адаптации сетки на границе двумерной области или поверхности. Кроме построения одноблочных адаптивных сеток, он позволяет строить двухблочные, О-, Н-типа сетки с гладкой состыковкой на границе, осуществляемой по двум алгоритмам, подробно описанным в следующей главе в разд. 3.2.
Также имеется модуль GridSingVozm, предназначенный для решения одномерных и двумерных сингулярно возмущенных задач с использованием алгоритмов, подробно описанных в гл. 4.
Расчетный модуль GridDim3 позволяет строить сетки для трехмерных областей с возможностью адаптации на гранях с треугольными ячейками.
Для расчетных модулей реализованы графические пользовательские интерфейсы, позволяющие задавать параметры вычислительного алгоритма в удобной форме, с применением контроля вводимых значений. Редактируемые поля дают возможность вводить количество узлов сетки N\, N2, -/V3 и параметры вычислительного процесса: г — шаг по времени, є — критерий сходимости: 118 -8-41= Qmax2 \yJ(8$l- 2 + Wfl-vW e. 0 i Ni-j
Во время расчета отображается процесс изменения значения этого соотношения. Также имеется возможность вводить максимальное количество итераций и видеть текущее число итераций во время расчета. Вычислительный процесс завершается либо если текущее число итераций достигло максимального значения, либо при выполнении условия сходимости, либо по сигналу от модуля Graf.
Границы области могут задаваться аналитически или путем считывания данных, записанных в определенном порядке, из .dat файлов.
Начальная сетка может быть вырожденной, считываться из .dat файла, либо находиться с помощью трансфинитной интерполяции Лагранжа на нулевом шаге выполнения программы.
Метод координатных преобразований для нахождения численного решения сингулярно возмущенных уравнений
Ключевым для получения оценок является понятие обратной монотонности пары (L, Г) из задачи (4.2). Дадим определение. Пусть L — дифференциальный оператор на пространстве гладких функ-цийи(х) Є Cn(G)nCl(dG), гдеG - область, в которой решается краевая задача, 8G — граница области G. И пусть Г — оператор краевых условий Г : Cl(G) -» C{dG). Будем полагать, что пара (L, Г) обратно монотонна, если для любых функций u(x),v(x) Є Cn(G) П Cl(dG) из условия L[u](x) L[v](x), xeG, T[u]{x) T[v](x), xedG, следует, что u(x) v(x), x Є G.
Будем считать, что краевая задача удовлетворяет принципу обратной монотонности, если пара (L, Г) обратно монотонна. Верна следующая теорема [25]:
Теорема 4.1. Пусть в задаче (4.2) ах, аи и fu Є С([0,1] х R) и выполняется условие /u(z,u) 0, (ж, u) Є (0,1) xi?. 7ог ?й пара (L, Г) из (4.2) удовлетворяет свойству обратной монотонности для функций и(х) класса С2(0,1) П С[0,1].
И имеет место следующее следствие [25]:
Следствие 4.1.1. Пусть и(х,є) -решение задачи (4.2), коэффициенты которой удовлетворяют условиям: f{x, и) = b(x)r{x, и), Ь(х) 0, Ь(х) Є С[0,1], г(х, и) и а(х, и) Є C QO, 1] х R), ги(х, и) с(х) 0, где с(х) - положительная непрерывная функция на [0,1]. Тогда \и{х,є)\ М = maxl max \а(х,0)\/с(х), \AQ\, {Ail \, Ue[o,i] J 0 я 1.
В этом разделе получены качественные оценки на производные решения бисингулярной задачи (4.3). Для этой задачи условие строгой эллиптичности не выполняется, так как fu = 0.
Для задачи (4.3) справедлива следующая Теорема 4.2. Пусть и(х,є) является решением задачи (4-3) и пусть выполняется условие ди(х,и) с 0, тогда имеют место следующие неравенства: \и (х,є)\ і = М\Є "+Їехр(—тж/ ) + + М2Є Ї ехр[ф - ї)/є?] + М3, (4.9) 2 1 К (я»є) 2 = Міг" +2 ехр(-тж/е +2) + + M2_1exp[s(a: - 1)/єа], здесь 0 ж 1, 0 5 \сЩ, т - произвольная константа, не зависящая от х и е.
Доказательство. Из следствия 4.1.1 вытекает ограниченность решения, т. е. M(#,:) М, где M = max{max \g(x,0)\/c, \AQ\, \Ai\\ , 0 x 1. Іа;Є[0,1] J Теперь будем получать оценку для и (ж,б:) в окрестностях граничных точек. Воспользуемся теоремой о среднем для функции и(х,є) на промежутке XQ [0, т\є &], имеем и (хо,є) = [и(тіє +2,є) - u(0,є)]/ті , ж0 Є [0, т\е + ). Интегрируя уравнение (4.3) и используя это равенство, находим К(я,е) Мє Ц х є [0,тіє + ]. (4.10)
Проведя аналогичные рассуждения, получим оценку для и (х, є) в окрестности точки х = 1 : Иж,є) Мє_5, х Є [1 - т2є 1/2,1]. (4.11)
Теперь найдем оценку для и (ж,е) на промежутке х Є [тіє +2, 1 — т2Є г]. Для этого зададим барьерную функцию в следующем виде: Ь\(х, є) = Міє" +2 ехр(—тх/є+ї) + Мче exp[s(:r - 1)/є ] + M3. Докажем, что \и (х,є)\ Ь\(х,є). Введем новый оператор ЬЦи], v 6 С2[ші +2,1 - ш2 2] : Llu[v] = -ev" + —г/ + х%г;. х
Вследствие условия нашей теоремы этот оператор удовлетворяет условию обратной монотонности (см. теорему 4.1). Поэтому для доказательства необ ходимой оценки нам достаточно проверить выполнение следующих условий:
Таким образом мы показали, что выполняется соотношение Llu[u}(x,e) Ll[bi](x,e), х Є [mi +2,1 - m2 "2]. Теперь проверим выполнение соответствующих неравенств на границе: u (mi +2) Мє +2 6i(mi +2) = Mi" +2 exp(-m) + М при достаточно большой константе М\, и имеет место неравенство и (1 - т2"2) М"2 6і(1 - т2 2) = М2"2 exp(-sm2) + М при достаточно большой М2. Таким образом, выполняется соотношение гм ги.
Очевидно, что неравенства Г[—b\] Г [и ] и Ll[—b\\ L\[u ] также верны. Следовательно, из обратной монотонности пары ( , Г) вытекает, что и (ж, г) Ь\{Х,Е) на промежутке [mi +2,1 — га2_2], где 6і(ж, ) = Mi_s+2 ЄХр(-Шж/ +2) + Af2 2 exp(s(:T - l)/2) + M3 . Объединяя эту оценку с полученными ранее оценками (4.10) и (4.11), приходим к требуемой оценке для первой производной.
Теперь докажем оценку для и"(х, є). Из самого уравнения (4.3) следуют оценки в погранслоях:
