Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор работ в области разработки аналитических методов решения краевых задач 13
2. Аналитические решения задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения 29
2.1. Бесконечно-протяженная пластина при граничных условиях первого рода 30
2.2. Бесконечный цилиндр при граничных условиях первого рода 46
2.3. Переменные во времени граничные условия первого и третьего рода 57
2.4. Переменные во времени граничные условия второго рода 71
2.5. Переменные начальные условия 81
2.6. Переменные во времени внутренние источники теплоты 92
2.7. Нелинейные задачи теплопроводности 103
3. Совместное использование методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина 118
3.1. Неограниченная пластина (граничные условия перового рода) 118
3.2. Переменные во времени граничные условия 1 рода 126
3.3. Задачи теплопроводности с переменными во времени граничными условиями
третьего рода. Температура среды - линейная функция времени 134
3.4. Системы координатных функций в задачах теплопроводности для многослойных конструкций 141
3.5. Расчет коэффициентов теплоотдачи в барабане парового котла путем решения обратной задачи теплопроводности 147
3.6 Метод определения начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топливных коллекторов ГТД 149
3.7 Аналитический метод диагностики толщины коксовых отложений на внутренних поверхностях трубопроводов 151
4. Совместное использование методов Фурье и Бубнова - Галеркина 152
4.1. Бесконечная пластина (граничные условия 1-го рода) 152
4.2. Применение локальных систем координат в задачах теплопроводности для многослойных конструкций 158
4.3. Расчет теплообмена в плоском канале при ламинарном течении жидкости 163
4.4. Расчет теплообмена в цилиндрическом канале при ламинарном течении жидкости 169
Выводы 174
Библиографический список 177
- Обзор работ в области разработки аналитических методов решения краевых задач
- Бесконечно-протяженная пластина при граничных условиях первого рода
- Неограниченная пластина (граничные условия перового рода)
- Бесконечная пластина (граничные условия 1-го рода)
Обзор работ в области разработки аналитических методов решения краевых задач
При решении различных технических проблем широкое применение находит аналитическая теория тепломассопереноса, которая является научной основой при изучении многочисленных тепловых процессов, протекающих в современных теплотехнических установках. Подробное знание механизмов переноса теплоты и массы позволяет находить наиболее оптимальные условия проведения тепловых процессов, создавать материалы с заданными физическими свойствами, осуществлять автоматическое управление технологическими процессами, а также решать многие другие технические проблемы. Теория тепломассопереноса включает комплекс научных знаний из гидродинамики, термодинамики, молекулярной и статистической физики и других наук.
В последние десятилетия благодаря работам нидерландских и российских ученых, главным образом Де-Гроота и А.В. Лыкова, создан мощный метод феноменологического исследования явлений переноса, называемый термодинамикой необратимых процессов. Этот метод позволяет изучать перенос тепла и вещества в их неразрывной связи. В результате вместо отдельных дифференциальных уравнений: движения (Навье - Стокса), переноса тепла (Фурье - Кирхгофа), диффузии (Фика) и т.д. была получена система взаимосвязанных уравнений переноса массы и энергии [42].
А.В. Лыковым и его учениками разработаны методы решения линейных и нелинейных задач связанного и несвязанного тепломассопереноса [40, 42]. Решениям задач несвязанного переноса (нестационарной теплопроводности, диффузии, фильтрации и т.д.) для тел простейшей геометрической формы посвящены также монографии Карслоу и Егера [23], Шнейдера [73] и других авторов. В настоящее время для решения уравнений теплопроводности и диффузии разработан ряд классических методов, основанных на методе разделения переменных, методе мгновенных источников, функции Грина и др. Детальное освещение этих методов можно найти в фундаментальной работе А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [59].
Однако решения, полученные классическими методами, не всегда оказываются удобными для практического использования. В ряде случаев необходимо иметь приближенные решения, в которых режимные параметры отделены от физических характеристик тела или системы тел, взаимодействующих с окружающей средой. Эти важные для инженерной практики соотношения бывает затруднительно получить из классического решения. Более того, решение, представленное по собственным функциям соответствующей задачи Штурма - Лиувилля, как правило, дает плохую сходимость при малом значении критерия Fo. Одна лишь сходимость функционального ряда (даже равномерная), как бы ценна она ни была с чисто теоретической точки зрения, практически приносит мало пользы, если число членов, необходимых для заданной точности, очень велико. Замена классического решения с большим числом слагаемых (30 - 40 членов) приближенным решением с двумя или тремя слагаемыми, описывающими процесс с достаточной для инженерных приложений точностью, будет иметь большее практическое значение.
Бесконечно-протяженная пластина при граничных условиях первого рода
Среди приближенных аналитических методов известны такие, в которых используется понятие конечной скорости распространения теплоты (интегральные методы теплового баланса). При их использовании процесс нагрева (охлаждения) тел формально разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным продвижением фронта температурного возмущения от поверхности к центру тела, а вторая - изменением температуры по всему объему тела вплоть до наступления стационарного режима. Конечная скорость распространения теплоты учитывается введением новой функции qx{Fo), называемой глубиной проникновения (глубиной термического слоя). Такая модель процесса теплопроводности используется в ряде методов: интегральном методе теплового баланса [8, 19]; методе осреднения функциональных поправок [67]; методе Швеца М. Е. [85]; методе Био [9]; методе Вейни-каА.И.[13].
Несомненное преимущество этих методов - возможность получения простых по форме аналитических решений удовлетворительной точности как для регулярного, так и нерегулярного процессов теплопроводности. Их недостатком является необходимость априорного выбора координатной зависимости искомой температурной функции. Эта неоднозначность решения связана с проблемой точности, так как, принимая заранее тот или иной профиль, всякий раз будем получать различные результаты.
Очевидный путь повышения точности интегральных методов аппроксимация температурной функции полиномами более высоких степеней [8, 19, 45]. Для нахождения их неизвестных коэффициентов необходимо привлекать дополнительные граничные условия. Причем они должны быть такими, чтобы полученное с их использованием аналитическое решение как можно лучше удовлетворяло исходному дифференциальному уравнению во всей области изменения независимой переменной.
Ниже излагается метод получения дополнительных граничных условий, основанный на использовании дифференциального уравнения и основных граничных условий, включая условия на фронте температурного возмущения [44 - 46]. Для этого находятся производные различных степеней по пространственной координате от дифференциального уравнения. Полученные выражения сравниваются с выражениями, найденными после взятия производных по времени от основных граничных условий и условий, задаваемых на фронте температурного возмущения.
Неограниченная пластина (граничные условия перового рода)
Аналитические решения, полученные с помощью классических методов (Фурье, интегральных преобразований и др.), состоят из громоздких функциональных рядов, в некоторых случаях (цилиндр, шар), содержащих специальные функции (Бесселя). Более удобные для практических приложений решения можно получить с помощью приближенных аналитических или так называемых прямых методов. К ним, в частности, относятся вариационные (Ритца, Л.В. Канторовича), а также методы взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галеркина). В ряде случаев весьма полезным оказывается их совместное использование. Такой подход позволяет получать эффективные решения задач теплопроводности с переменными по координатам физическими свойствами среды, с переменными во времени граничными условиями, нелинейных задач теплопроводности и др. [27,28, 33-35,43 - 47, 83].
Согласно методу, изложенному во второй главе, получение аналитического решения предполагает разбиение процесса на 2 стадии по времени. Соответственно полученное решение представляет из себя два аналитических выражения, каждое из которых описывает температуру на соответствующем интервале по времени. Несмотря на то, что этот метод позволяет получать высокоточные решения для начальных временных участков краевых задач, его применение в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточной стадией другого исследования (решение задач термоупругости, обратных краевых задач и т.д.) применение этого метода представляет неудобства. В связи с чем более удобным применительно к ре шению таких задач является решение, полученное путем совместного использования методов Канторовича и Бубнова-Галеркина.
Бесконечная пластина (граничные условия 1-го рода)
Ограничивая круг задач, решаемых с помощью метода, представленного в настоящем разделе, можно заключить, что этот метод целесообразно применять для краевых задач, исходное дифференциальное уравнение которых допускает разделение переменных, именно для таких задач он является наиболее простым как в процессе получения аналитического решения, так и в конструкции получаемых формул. Преимущества этого метода по отношению к классическим точным аналитическим методам в его большей универсальности и в возможности решения задач теплопроводности для многослойных конструкций (см. п. 4.6). Еще раз отметим, что метод, рассмотренный в третьем разделе диссертации, в свою очередь, более универсален, чем метод, представленный в настоящей главе. По вопросу точности этих двух методов необходимо подчеркнуть, что при решении одних и тех же задач они приводят к полностью совпадающим результатам (более подробно об этом см. п. 4.1)
В качестве конкретного примера совместного использования методов Фурье и Бубнова-Галеркина рассмотрим последовательность получения решения симметричной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода
