Построение решений в задачах управления на конечном промежутке времени Пахотинских Василий Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава I Пиксельный подход при решении некоторых задач управления на конечном промежутке времени 8

1. Приближенное построение множества достижимости управляемой системы 9

1.1 Постановка задачи сближения с целью управляемой системы 10

1.2 Пиксельный метод приближенного построения множеств достижимости дифференциального включения 15

2. Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем в задачах на плоскости 31

3. Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем в трехмерном пространстве 49

4. Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем с фазовыми ограничениями 61

5. Вычислительная схема построения траекторий управления динамической системой в трехмерном пространстве 68

Глава II Конструирование стабильных мостов и разрешающих процедур управления в дифференциальных играх сближения-уклонения 81

1. Дифференциальная игра сближения-уклонения с фазовыми ограничениями. Свойство стабильности в задаче о сближении и стабильные мосты 83

1.1 Дифференциальная игра сближения-уклонения 83

1.2 Оператор стабильного поглощения 85

1.3 Аппроксимирующая система множеств 89

2, Пиксельный алгоритм построения стабильных мостов в дифференциальных играх на плоскости с фазовыми ограничениями 105

3. Пиксельный алгоритм построения стабильных мостов в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями в трехмерном пространстве 116

4. Процедура управления с поводырем первого игрока 123

5. Вычислительная схема построения траекторий, порожденная процедурой управления с поводырем первого игрока в дифференциальной игре сближения-уклонения в трехмерном пространстве 133

Заключение 147

Литература

• Постановка задачи сближения с целью управляемой системы
• Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем в трехмерном пространстве
• Пиксельный алгоритм построения стабильных мостов в дифференциальных играх на плоскости с фазовыми ограничениями
• Вычислительная схема построения траекторий, порожденная процедурой управления с поводырем первого игрока в дифференциальной игре сближения-уклонения в трехмерном пространстве

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию некоторых задач управления нелинейными динамическими системами на конечном промежутке времени. Предполагается, что управления стеснены геометрическими ограничениями.

В диссертации изучаются, в основном, две задачи управления.

В одной из них задана управляемая система, в которой присутствует только управление и отсутствует помеха. Требуется построить управление, обеспечивающее сближение с заданным целевым множеством в конечномерном евклидовом пространстве. Эта задача рассматривается в рамках математической теории оптимального управления.

Во второй задаче, в управляемой системе, функционирующей на конечном промежутке времени, присутствует не только управление, но и помеха, стесненная также как и управление, геометрическими ограничениями. Эта задача рассматривается в рамках теории позиционных дифференциальных игр.

Современная математическая теория управления охватывает широкий круг актуальных задач, имеет богатый арсенал методов решения разнообразных задач управления, в том числе, игровых задач. Математическая теория управления имеет прочные связи со многими разделами математики и многочисленные приложения.

Становление математической теории управления относится к середине предыдущего столетия и в значительной мере связано с именами отечественных и зарубежных математиков Н.Н. Красовского, Л.С. Понтрягина, Р. Айзекса (R. Isaacs), Р. Беллмана (R. Bellman), У. Флеминга (W.H. Fleming).

Большой вклад в развитие математической теории управления внесли В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, А.Б. Куржанский, Б.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипов, Б.Н. Пшеничный, А.И. Субботин, Ф.Л. Черноусько, J.P. Aubin, F.M. Clarke, R.E. Kalman, G. Leitman, P.L. Lions.

Значительные результаты в математической теории управления и ее приложениях получили Э.Г. Альбрехт, В.Д. Батухтин, Р.Ф. Габасов, А.Я. Дубовицкий, СТ. Завалищин, М.И. Зеликин, Ф.М. Кириллова, А.В. Кряжимский, М.С. Никольский, А.А. Меликян, А.А. Милютин, Н.Н. Петров, Л.А. Петросян, В.М. Тихомиров.М., Е.Л. Тонкое, В.Е. Третьяков, А.Г. Ченцов, А.А. Чикрий, В.А. Якубович, М. Bardi, Basar, P. Bernhard, A.E. Bryson, R.J. Elliot, A. Friedman, Ho Yu-Chi, N.J. Kalton,

_{__ щ}

Одной из важных проблем, тесно связанных с многими задачами управление б» *

прогресс вычислительной техники. < 2

подвергшихся тщательному изучению с разных сторон, является задача построеї ча множеств достижимости управляемых систем. Изучению этой задачи сопутствует ряд вопросов теоретической направленности, в частности, изучение свойств (в том числе топологических) множеств достижимости¹'^2,3-4. В работах⁵'*'⁷*⁹''⁰ предложены

В настоящее время практические потребности стимулируют повышен! внимание к задачам управления и дифференциальным играм, а также вычислительным методам решения этих задач. Этому способствует бурн

'Бяагодатских В.И. О выпуклости сфер достижимости //Дифференциальные уравнения. 1972. Т.8, №12. С.2149-2155.

методы приближенного конструирования множеств достижимости, базирующиеся на пошаговых конструкциях.

В течение нескольких десятилетий успешно развиваются теория и методы построения верхних и нижних эллипсоидальных и полиэдральных оценок множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем'¹'¹²¹³'¹⁴'¹⁵.

Возможность вычисления множеств достижимости, их верхних и нижних оценок можно использовать для решения ряда задач оптимального управления и дифференциальных игр. Так, вычисление множеств достижимости является одним из компонентов в попятных процедурах построения стабильных мостов в дифференциальных играх.

Большая часть исследований, посвященных построению множеств достижимости, интегральных воронок и их оценок, а также оптимальных управлений и траекторий относится к линейным системам⁵'^316,17. Здесь достигнуты наибольшие продвижения в вопросе конструирования множеств достижимости. Однако в последнее время возрастает вес исследований, посвященных нелинейным управляемым системам.

В случаях, когда управляемая система подвержена неконтролируемым помехам, задача сближения с целевым множеством может быть формализована как дифференциальная игра. В теории дифференциальных игр важное место занимает проблема построения множеств разрешимости - таких множеств, в пространстве позиций, из которых разрешима задача гарантированного наведения на целевое множество'*'"^-20,2'⁵²'²³. В теории позиционных дифференциальных игр эти

^гБлагодатстх В И.. Фшиилов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление //Труды

математического института АН СССР им В.А. Стеклова. 1985. Т. 169. С.194-252.

^} Никольский М.С. Две теоремы о накрытии и их применение дім опенки множеств достижимости снизу //Тезисы

международной конференции, посвященной 90-летию Л.С.Понтрягина, Москва, Т. Optimal Control and Арр. М.: 1998.

С.247-248.

*Овсеевич Л.И. Область достижимости управляемых систем, их свойства, аппроксимации и применение Автореферат

на соискание степени доктора физ.-мат. наук по специальности 01.01.02. Инст. проблем механики РАН M : 1996.21с.

* Комаров В.А Оценки множества достижимости дм линейных систем //Изв. АН СССР. Серия математическая. 1984.

T.48.N*4.CS65-879.

'Комаров В А. Оценки множества достижимости дифференциальных включений //Мат. заметки. 1985. Т.37 Вып.6

С.916-925.

''Никольский А/С Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения //Вестник

Московского университета, сер. 15 вычислительная математика и кибернетика. 1987.4. С.31-34.

'Ушаков В Н., Хрипунов А П. Построение областей достижимости нелинейных управляемых систем Свердловск-1989

50с. Дел. в ВИНИТИ 26.12.89, №7638-В89.

^Хрипунов А П. Построение областей достижимости и стабильных мостов в нелинейных задачах управления Диссерт.

на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, по специальности 01.01.02. Ин-т мат. и мех. Екатеринбург:

УрО РАН. 1992.140с.

'"Информационные множества в задаче наблюдения за движением самолета /СИ. Кумков, В С. Пацко, B.C. Пятко,

А.А. Федотов //Труды института математики и механики Т.6. №1,2 Екатеринбург УрО РАН. 2000. С. 413-434.

"Костоусова ЕК. Полиэдральные аппроксимации в задачах гарантированного управления и оценивания

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук по специальности 01.01.02, 01.01 07.

//Ин-т мат. и мех. УрО PAR Екатеринбург. 2005.42с.

"Черноусым ФЛ. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.319с.

"Черноусько ФЛ. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной

матрицей //ПММ. 1996. Т.60. Вып. 6. С.940-950.

"Kurzhanskl А.В., Vafyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhtuser. 1997.321р.

"Kurxhanski A.B., Varaiya P Reachability analysis for uncertain systems - the ellipsoidal technique //Dynamics of

continuous, discrete and impulsive systems. Ser. B. 2002. V.9. №3 P.347-367.

"Kurzhanski A.B The principle of optimalhy in measurement feedback control for linear systems //Directions in Mathematical

Systems Theory and Optimization /Eds. A.Rantzer and Ch.Byrhes. Berlin: Springer. 2003. P. 193-202.

Куржанский А Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. 1977.392с "Понтрягин Л С. О линейных дифференциальных играх. I //Докл. АНСССР 1967. Т.175. №4. С.764-766 "Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. 11 //Докл. АНСССР. 1967. Т. 174. J66. С. 1278-1281.

множества называются стабильными мостами²¹"^23,24. Основная трудность при решении задачи сближения приходится на построение стабильного моста. В случае, когда стабильный мост построен, реализовать разрешающий позиционный способ управления можно разными путями^23,25 , например, или в форме экстремального прицеливания на стабильный мост, или в форме процедуры управления с поводырем.

Существуют различные подходы к решению задачи выделения стабильного моста в пространстве позиций. Так, хорошо известен в теории дифференциальных игр метод программных итераций, предложенный в середине 1970-х годов А.Г. Ченцовым . Достаточно эффективными являются методы и алгоритмы приближенного построения стабильных мостов, основывающиеся на попятных конструкциях. Этим конструкциям уделено значительное внимание в научной тематике по дифференциальным игpaм²⁷'^2l'²'^,30.

В работе^21,24 конструкции стабильных мостов применялись прежде всего для всевозможных теоретических построений и рассуждений.

Доведение конструкций стабильных мостов до стадии разработки численных алгоритмов потребовало немало времени и дополнительных исследований даже для наиболее простых классов задач. На начальном этапе разработки алгоритмов и численных процедур построения стабильных мостов внимание специалистов было сосредоточено преимущественно на линейных дифференциальных играх. Свойство линейности управляемой системы существенно облегчает разработку численных процедур построения стабильных мостов, позволяя применять методы и алгоритмы выпуклого анализа и линейного программирования³⁰.

Параллельно для линейных дифференциальных игр сближения с выпуклым целевым множеством развиваются методы вычисления альтернированного интеграла Л.С. Понтрягина. Теоретическую основу этих методов составила опубликованная в 1967г. работа Л.С. Понтрягина¹⁹. Эта работа, в которой было дано определение альтернированного интеграла как некоторого предела альтернированных сумм, отвечающих дискретным разбиениям промежутка игры, стала источником многочисленных исследований в теории дифференциальных игр. К числу первых работ, ориентированных на численные методы приближенного

Красовский Н Н Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.420с. ²'Красовский Н.Н, Субботин Л.И Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974.456с. ²²Пшентный Б.Н., Сагайдак М.И О дифференциальных играх с фиксированным временем //Кибернетика. 1970. №2. С.54-«.

^2>Красовсют Н Н, Субботин Л.И Аппроксимации в дифференциальных играх. //ПММ. 1973. Т.37. Выл. 2. С. 197-204

"Субботин А И, Чепцов А Г. Оптимизация гарантии в задачах управлених. М.: Наука. 19S1.288с. "Красовский Н Н Управление динамической системой. М.: Наука. 1985. 520с.

^иЧенцов А Г Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным моментом окончания //Докл. АН СССР. 1978. Т.240. №1. С.796-800.

^Тарасьев А М, Ушаков В И, Хрипунов А17 Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управлення //ПММ. 1987. Т.51. Вып. 2. С. 216-222.

Ухоботов В.И К построению стабильного моста в игре удержания //ПММ. 1981. Т.45. Вып.2. С.236-240. "Ушаков В Н, Хрипунов А.П О приближенном построении решений в игровых задачах управления //ПММ. 1997. Т.61. Вып. 3. С. 413-421. ³⁰Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр /Под ред. А.И.Субботина и

В.С.Пацко. Свердловск: ИММ УрО АН СССР. 1984.295с.

вычисления альтернированного интеграла Л.С. Понтрягина, относятся работы А.И Пономарева и Н.Х. Розова³¹'³².

В последующие десятилетия разработка теории и методов вычисления альтернированного интеграла Л.С. Понтрягина успешно продолжалась^33,34. Вопросы, связанные с вычислением альтернированного интеграла Л.С. Понтрягина для линейных дифференциальных игр, остаются в центре внимания специалистов и в настоящее время. В связи с этим отметим две работы А.Б. Куржанского и его учеников. Работа³⁵ посвящена задаче нелинейного синтеза управлений в системах с линейной структурой и геометрическими ограничениями на входные параметры. В работе подчеркивается значение методов многозначного анализа и особая роль альтернированного интеграла Л.С. Понтрягина в построении предлагаемых решений; обсуждается их тесная связь с уравнением Гамильтона-Якоби. В работе³⁶ предложен синтез управления для линейной системы при неопределенных возмущениях в условиях, когда управление стеснено одновременно геометрическими и интегральными ограничениями, а помеха - лишь геометрическим. Решение задачи управления достигается соединением модифицированных конструкций экстремального прицеливания Н.Н. Красовского и альтернированного интеграла Л.С. Понтрягина: синтез управлений строится как стратегия экстремальная к множеству разрешимости задачи, которое в свою очередь является пределом интегральных сумм.

В 80-х годах XX века была начата разработка алгоритмов и численных методов построения стабильных мостов для некоторых классов нелинейных дифференциальных игр^27,29. При этом рассматривались, в основном, нелинейные по фазовой переменной управляемые системы на плоскости. Были предложены методы и алгоритмы приближенного вычисления стабильных мостов для таких систем³⁷, базирующиеся на приближенном представлении сечений стабильного моста многоугольниками на плоскости и многократном применении операций пересечения и объединения многоугольников (в том числе, невыпуклых) на плоскости.

В середине 90-х годов XX века были предприняты первые попытки применить к решению задачи приближенного построения стабильных мостов для управляемых систем на плоскости пиксельные методы³'. Обращение к пиксельным методам мотивируется простотой операций пересечения и объединения множеств, составленных из пикселов, что существенно упрощает и ускоряет процедуру построения разрешающих множеств в задачах управления и дифференциальных играх. Пиксельные методы являются одними из самых перспективных при

"Пономарев А.П, Розов НХ. Устойчивость и сходимость альтернированных сумм Понтрягина //Вести Моск. ун-та

Сер. 15, вычисл. метем, и кибери. 1978. Неї. С.82-90.

^пПономарев Л.П. Оценка погрешности численного метода построения альтернированного интеграла Понтрягина

//Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1978. №4. С .37-43.

^м Никольский U.C. Об альтернированном интеграле Л.С.Понтрягина //Мат. сб. 1981.Т.1І6 №7. С. 136-144.

^и Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр / Е.С. Половиниш. Т.Е. Иванов, М.В.

Балашов, Р.В. Константинов, A3. Хореев //Мат. сборник. 2001.192. №10. C.9S-122.

"Куржанский А.Б, Мельников Н.Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина и

уравнение Гамильтона-Якоби //Мат. сб. 2000. Т.191. №6. С.69-100.

Дарьин А.И., Куржанский А.Б. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях //Дифференц уравнения. 2003. Т.39. №11. С. 1474-1486.

Бабалыев М.Х, Хрипунов А П. Об одном методе приближенного вычисления множеств позиционного поглощения в дифференциальных играх сближения //Инст. матем и механ УрО РАН Екатеринбург Деп в ВИНИТИ 27 06 94 "ІІ590-В94.1994.19с.

построении множеств разрешимости в задачах управления и дифференциальных играх большой размерности. Основу пиксельных методов составляют сеточные процедуры приближенного построения стабильных мостов. Попятные сеточные процедуры приближенного построения стабильных мостов для нелинейных стационарных систем, базирующиеся на операторных конструкциях Б.Н. Пшеничного и В.В. Остапенко³*'³⁹, разрабатывались на кафедре оптимального управления вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М-ВЛомоносова⁴⁰.

Таким образом, разработка методов приближенного построения множеств достижимости в задачах управления нелинейными системами и стабильных мостов в нелинейных дифференциальных играх является актуальной. В том числе, является актуальной разработка пиксельных методов приближенного построения множеств достижимости и стабильных мостов.

Не менее актуальна разработка алгоритмов управления, обеспечивающих сближение движений управляемой системы с некоторой окрестностью целевого множества. Для разработки этих алгоритмов можно использовать предварительно приближенно вычисленные множества разрешимости.

Цель работы. Разработка пиксельных алгоритмов аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем и стабильных мостов в нелинейных дифференциальных играх размерностей 2 и 3 (здесь и далее нелинейность по фазовой переменной).

Разработка алгоритмов построения управления, обеспечивающего решение задач сближения для управляемых систем размерностей 2 и 3

Разработка попятных пошаговых конструкций, аппроксимирующих стабильные мосты в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями и обосновании сходимости этих конструкций (фазовое пространство R").

Научная новизна работы. В диссертации представлены новые алгоритмы аппроксимации множеств достижимости управляемых систем и стабильных мостов в дифференциальных играх в пространствах размерностей 2 и 3, а также процедуры управления, обеспечивающие решение задач сближения с целью. Предложены новые попятные пошаговые конструкции, аппроксимирующие стабильные мосты в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями.

Основные результаты работы.

1. Предложены пиксельные алгоритмы аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем в пространствах размерностей 2 и 3 на конечном промежутке времени.

2. Предложены алгоритмы построения управления для управляемых систем размерностей 2 и 3, обеспечивающего решение задачи сближения с некоторой окрестностью целевого множества.

3. Предложены попятные пошаговые конструкции, аппроксимирующие стабильные мосты в нелинейных дифференциальных играх с фазовыми

"Пшеничный Б Н Структура дифференциальных игр //Докл. АН СССР. 1969 T 184. №2. С.285-287. "Пшеничный Б И., Остапенко В В Дифференциальные игры. Киев: Наукова думка. 1992.260с. "'Камюлкин Д В Методы решения некоторых классов задач оптимального управления и дифференциальных игр Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук по специальности 01.01.02 // Московский гос. ун-т им. M.B Ломоносова. Москва, 2005, 18с.

ограничениями (фазовое пространство Л") и обоснована их сходимость при длине шага, стремящейся к нулю.

4. Предложены алгоритмы построения управления с поводырем, обеспечивающего решение задачи сближения с некоторой окрестностью целевого множества (фазовое пространство размерностей 2 и 3).

5. Разработаны пиксельные алгоритмы приближенного построения стабильных мостов в нелинейных по фазовой переменной дифференциальных играх с фазовыми ограничениями (фазовый вектор управляемой системы имеет размерность 2 и 3)

6. Разработаны программы приближенного построения множеств достижимости и стабильных мостов в задачах управления и гарантированного управления для управляемых систем в пространствах размерностей 2 и 3.

7. Проведено моделирование на ЭВМ ряда задач управления и дифференциальных игр с применением разработанных алгоритмов.

Практическая ценность работы. В диссертации разработаны алгоритмы приближенного построения множеств достижимости и стабильных мостов для нелинейных систем управления размерностей 2 и 3; разработаны алгоритмы построения разрешающих управлений. Алгоритмы реализованы в виде программ. Алгоритмы и программы представляют практическую ценность, так как могут быть использованы для решения конкретных задач управления механическими системами, а также в экологии и биологии.

Методы исследования. В работе используются подходы, базирующиеся на идеологии динамического программирования, методе Н.Н. Красовского экстремального прицеливания на стабильные мосты. Метод экстремального прицеливания реализуется в виде процедур управления с поводырем.

Апробация работы. Результаты работы были представлены в виде докладов на семинарах:

1. Семинар лаборатории механики управляемых систем Института проблем
механики РАН, Москва (рук. Ф.Л. Черноусько), 2002г.

2. Семинары кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ. 2002г., 2003г.

3. Семинар отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, 2004г.

4. Международный семинар «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби», посвященный 60-летию академика А.И.Субботина., Екатеринбург, 2005 г.

и на следующих конференциях:

1. Международная научная конференция «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели», Челябинск, 4-8 февраля 2002 года.

2. III отчетная конференция молодых ученых ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. 2002г.

3. Научная XXXIV российская школа «Наука и технологии». Миасс, 24-26 июня 2003г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[Ю].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, объединяющих 10 параграфов, заключения и списка литературы. В диссертации приведены результаты моделирования на ЭВМ ряда задач управления и дифференциальных игр. Общий объем диссертации составляет 160 страниц, включая 16 примеров, 47 рисунков. К диссертационной работе прилагается CD диск. Библиографический список включает 153 наименования.

Постановка задачи сближения с целью управляемой системы

Предполагается, что поведение управляемой системы на конечном промежутке времени описывается обыкновенным векторным дифференциальным уравнением, в котором управление стеснено геометрическими ограничениями. Описан пиксельный метод приближенного построения множеств достижимости нелинейной управляемой системы и соответствующего ей дифференциального включения. Результаты, приведенные в параграфе 1, получены в [30, 31] и составляют базис для разработки пиксельных алгоритмов и программ приближенного вычисления на ЭВМ множеств достижимости управляемой системы в фазовых пространствах размерностей 2иЗ.

Алгоритм разработан на базе той пиксельной схемы, которая изложена в параграфе 1. В параграфе 2 приводятся также различные примеры множеств достижимости нелинейных управляемых систем в фазовом пространстве размерности 2.

В параграфе 3 описан пиксельный алгоритм приближенного вычисления множеств достижимости для одного класса нелинейных управляемых систем в трехмерном фазовом пространстве. В этих управляемых системах управляющее воздействие содержится лишь в двух уравнениях.

Приведены также примеры приближенного вычисления множеств достижимости в трехмерном пространстве. В частности, вычислены множества достижимости для систем уравнений Лоренца и Ресслера с различными начальными множествами в трехмерном пространстве. Здесь следует уточнить, что мы имеем в виду: в уравнениях Лоренца и Ресслера один из коэффициентов принимался за параметр управления, меняющийся в определенных пределах, и при этом для управляемой системы вычислялись множества достижимости.

В параграфе 4 в продолжение и расширение тематики предыдущих параграфов рассмотрены нелинейные управляемые системы с фазовыми ограничениями. Приведен пиксельный алгоритм приближенного вычисления множеств достижимости для таких систем, а также приведены примеры моделирования данного алгоритма на ЭВМ.

В заключительном параграфе 5 главы I рассмотрена задача построения разрешающего управления в задачах сближения управляемой системы с целевым множеством в фазовом пространстве. Предлагается процедура построения разрешающего управления, обеспечивающего наведение на целевое множество. Приводятся примеры построения траекторий управляемой системы, порожденных разрешающей процедурой управления.

В этом параграфе рассматривается задача о построении множества достижимости нелинейной управляемой системы, функционирующей на конечном отрезке времени. Приводятся основные определения и положения, связанные с понятием множества достижимости. Описывается метод приближенного построения множеств достижимости, основанный на разбиении фазового пространства управляемой системы на пикселы, т.е. основанный на приближенном представлении фазового пространства управляемой системы некоторой е-решеткой. Приведем постановку задачи сближения управляемой системы с целью в фиксированный момент времени.

Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем в трехмерном пространстве

Существует несколько подходов к решению задачи выделения стабильного моста в пространстве позиций [56, 110, 123]. Достаточно эффективными являются алгоритмы приближенного построения стабильного моста, основывающиеся на так называемых попятных конструкциях. Этим конструкциям, введенным в [56], уделено значительное внимание в научной тематике, посвященной дифференциальным играм [85, 86, 112, 113, 120, 121]. В работах [54, 56, 110, 123] конструкции стабильных мостов применялись, прежде всего, для всевозможных теоретических построений и рассуждений. Доведение конструкций стабильных мостов до стадии разработки численных алгоритмов потребовало немало времени и дополнительных исследований. На начальном этапе разработки алгоритмов и численных процедур построения стабильных мостов внимание специалистов было сосредоточено преимущественно на линейных управляемых системах, которые надлежало привести на выпуклое целевое множество в фазовом пространстве. Это обстоятельство существенно облегчает численные процедуры построения стабильных мостов, позволяя применять методы и алгоритмы выпуклого анализа и линейного программирования [87, 112, 132]. Параллельно для линейных дифференциальных игр сближения с выпуклым целевым множеством успешно развивались такие методы построения множеств разрешимости, как методы вычисления альтернированного интеграла Л.СЛонтрягина [63, 75, 77, 92, 93].

В 80-х годах предыдущего столетия были начаты исследования по разработке алгоритмов и численных методов построения стабильных мостов для некоторых классов нелинейных дифференциальных игр [ИЗ, 121]. При этом рассматривались, в основном, нелинейные по фазовой переменной управляемые системы на плоскости. Были предложены алгоритмы и методы приближенного вычисления стабильных мостов для таких систем [113], базирующиеся на приближенном представлении сечений стабильного моста невыпуклыми многоугольниками на плоскости и на многократном применении операций пересечения и объединения невыпуклых многоугольников на плоскости.

В середине 90-х годов ХХв. были предприняты первые попытки применить к решению задачи приближенного построения стабильных мостов для управляемых систем на плоскости пиксельные методы.

Пиксел (сокр. от англ. picture element) - это минимальный элемент изображения. Пиксельные методы имеют ряд преимуществ перед упомянутым выше методом, базирующимся на многократном использовании операций пересечения и объединения многоугольников на плоскости. Одно из таких важных преимуществ - простота построения пересечения и объединения множеств, составленных из пикселов. Второе важное преимущество, впрочем, вытекающее из первого, состоит в том, что эти методы перспективны при построении стабильных мостов и множеств достижимости управляемых систем высокой размерности.

Настоящая диссертация посвящена разработке алгоритмов и программ построения множеств достижимости и стабильных мостов на базе пиксельных методов.

В диссертации также рассматриваются задачи приближенного построения стабильных мостов в нелинейных дифференциальных играх с ограничениями на фазовый вектор управляемой системы. Указана попятная схема приближенного построения стабильного моста на базе применения унифицированных конструкций.

Пиксельный алгоритм построения стабильных мостов в дифференциальных играх на плоскости с фазовыми ограничениями

В одной из них задана управляемая система, в которой присутствует только управление и отсутствует помеха. Требуется построить управление, обеспечивающее сближение с целевым множеством в конечномерном евклидовом пространстве. Эта задача рассматривается в рамках теории оптимального управления.

Во второй задаче в управляемой системе, стесненной фазовыми ограничениями и функционирующей на конечном промежутке времени, присутствует не только управление, но и помеха, стесненная, так же как и управление, геометрическими ограничениями. В этой задаче ставится вопрос о построении позиционного способа управления, обеспечивающего сближение с целевым множеством при любой реализации упомянутой выше помехи. Эта задача рассматривается в рамках теории позиционных дифференциальных игр.

Современное состояние теории оптимального управления и теории дифференциальных игр в значительной мере определили исследования отечественных математиков. Здесь отметим исследования Л.С.Понтрягина [96-101] и его ближайших сотрудников Е.Ф.Мищенко, Р.В.Гамкрелидзе, В.Г.Болтянского [19-24]; исследования Н.Н.Красовского [48-52] и его ближайших сотрудников А.Б.Куржанского, Ю.С.Осипова, А.И.Субботина [59,60,62-65,81,107-110]. Важные результаты в теории дифференциальных игр принадлежат Б.Н.Пшеничному [103, 105] и его ученикам А.АЛикрию, Ю.Н.Данилину, Г.Ц.Чикрий[130, 131]. Большой вклад в развитие теории оптимального управления и дифференциальных игр внесли Ф.Л.Черноусько [124-129] и его сотрудники АА.Меликян, Л.Д.Акуленко, И.М.Ананьевский, Н.Н.Болотник [1, 2, 72, 73, 134]. Значительные результаты получены также М.И.Зеликиным, А.В.Кряжимским, А.Г.Ченцовым, М.И.Гусевым, Н.Н.Субботиной, Т.Ф.Филипповой, В.И.Максимовым, Е.С.Половинкиным, Л.А.Петросяном, М.С.Никольским, НЛГригоренко, Е.Л.Тонковым, Н.Н.Петровым, А.В. Арутюновым, А.М.Тарасьевым, А.А.Успенским, С.Т.Завалищиньш, В.И.Ухоботовым, Н.Ю.Лукояновым, С.В.Чистяковым, Ю.С.Ледяевым, В.С.Пацко, А.Н.Сесекиным, В.Д.Батухтиным, Э.Г .Альбрехтом, В.Е.Третьяковым и другими (см. Литература). Среди зарубежных математиков, внесших значительный вклад в развитие теории оптимального управления и дифференциальных игр, отметим Р.Айзекса [3], Р.Беллмана [14, 15], Р.Калмана [140, 141], У.Флеминга [137, 138].

В настоящее время практические потребности и развитие вычислительной техники стимулируют повышенное внимание к задачам управления и дифференциальным играм, а также к вычислительным методам решения задач управления и дифференциальных игр. Одной из важных проблем, тесно связанных с этими задачами, и подвергшихся тщательному изучению с разных сторон, является задача построения множеств достижимости управляемых систем. Изучению этой задачи сопутствует ряд вопросов теоретической направленности, в частности, изучение свойств (в том числе топологических) множеств достижимости и интегральных воронок. Этому посвящены, например, работы [16, 17, 69, 79, 106]. В работах [30, 31, 45, 46] предложены методы приближенного конструирования множеств достижимости, базирующиеся на пошаговых конструкциях. В течение нескольких десятилетий успешно развиваются теория и методы построения верхних и нижних эллипсоидальных и полиэдральных оценок множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем [47, 74, 76, 80, 124, 125, 145, 148, 149]. Возможность вычисления множеств достижимости и их верхних и нижних оценок позволяет численно решать задачи построения оптимальных управлений и траекторий управляемых систем. В настоящее время достигнуты значительные успехи в решении этих задач. В немалой степени эти успехи достигнуты благодаря развитию вычислительной техники, в том числе, техники, позволяющей распараллеливать вычисления. Большая часть исследований, посвященных построению множеств достижимости, интегральных воронок и их оценок, оптимальных управлений и траекторий относится к линейным системам (см., например, [45, 47, 62, 124, 125, 142, 146, 147]). Однако в последнее время возрастает число исследований, посвященных нелинейным управляемым системам (см., например, [30, 31,46]).

В случаях, когда управляемая система подвержена неконтролируемым помехам, задача сближения управляемой системы с целевым множеством может быть формализована как дифференциальная игра. В теории дифференциальных игр важное место занимает проблема построения множеств разрешимости - таких множеств, в пространстве позиций, из которых разрешима задача гарантированного наведения на целевое множество. В теории позиционных дифференциальных игр [48-56] эти множества называются стабильными мостами. Основная трудность при решении задачи позиционных дифференциальных игр ложится на построение или конструирование стабильного моста. В случае, когда стабильный мост сконструирован, реализовать позиционный способ управления можно несколькими путями (см. [50, 54, 56]), например, или в форме экстремального прицеливания на стабильный мост, или в форме процедуры управления с поводырем.

Вычислительная схема построения траекторий, порожденная процедурой управления с поводырем первого игрока в дифференциальной игре сближения-уклонения в трехмерном пространстве

Разрешающее управляющее воздействие u=u(t) на [to,0] реализуется в виде некоторой процедуры управления (см., например, [56]). Эта процедура, которая будет описана в параграфе 5 этой главы, отвечает некоторому конечному разбиению Г отрезка [0,#], и управление u=u(t) выбирается постоянным на полуинтервалах [tittM) разбиения Г. Процедура управления решает сформулированную выше задачу о приведении движений системы (1.1) на цель Мне точно, а как задачу о приведении движений в некоторую окрестность цели М

Теорема 1.1 является весьма важным утверждением в контексте построения разрешающего управления в задаче сближения с целью М в фиксированный момент 9. В самом деле, свойство сильной инвариантности относительно (1.8) интегральной воронки Z(tQ)M) = W можно использовать для приближенного построения множества W ; свойство же слабой инвариантности относительно (1.4) можно использовать для построения разрешающих управлений в задаче сближения системы (1.1) с целевым множеством М (точнее,- с некоторой окресностью множества М) в момент в уже после того, как осуществлено приближенное построение W .

Замечание 1.1. Ниже будет описан один метод приближенного построения интегральной воронки дифференциального включения, или, что одно и то же,- метод приближенного построения множеств достижимости дифференциального включения на отрезке [tQ,e]. Для нас удобнее описать этот метод в более привычных для нас терминах времени t и для дифференциального включения (1.4), так как это делали в работах [30, 31]. Однако это не принципиально, и метод приближенного построения множеств достижимости дифференциального включения (1.8) выглядит совершенно аналогично.

Алгоритмы приближенного построения множеств достижимости, приведенные в этой главе, основаны на пиксельном методе приближенного построения множеств достижимости дифференциальных включений [30]. В связи с этим автор считает целесообразным привести достаточно подробное описание пиксельного метода. Итак, приступим к описанию пиксельного метода приближенного построения множества достижимости дифференциального включения (1.4).

Похожие диссертации на Построение решений в задачах управления на конечном промежутке времени

Построение решений в дифференциальных играх на конечном промежутке времени и визуализация решенийМихалев Дмитрий Константинович

Аналитические и численные процедуры построения решений некоторых задач управленияЛебедев Павел Дмитриевич

Модифицированный метод построения приближенных аналитических решений задач нестационарного теплопереносаСтефанюк Екатерина Васильевна

Построение и анализ алгоритмов решения квадратичной задачи о назначениях на сетяхЛагздин, Артем Юрьевич

Решение задач классификации при двух оценках по каждому признаку для построения полных баз экспертных знанийПодлипский Олег Константинович

Методы автоматического построения пространственной гранично-элементной сетки на примере решения контактных задачВахтин Алексей Александрович

Метод построения адаптивных треугольных и призматических сеток для численного исследования задач механики сплошных сред со сложной структурой решенияЛиханова Юлия Викторовна

Конструирование решений в задачах динамики систем на конечном промежутке времениЗимовец Артём Анатольевич

Численное построение решений в классе неантагонистических позиционных дифференциальных игрКувшинов, Дмитрий Рустамович

Применение метода усреднения к построению асимптотики решений систем линейных дифференциальных и разностных уравненийНестеров Павел Николаевич