Конструирование решений в задачах динамики систем на конечном промежутке времени Зимовец Артём Анатольевич

Введение к работе

Актуальность темы исследования

В диссертации изучаются вопросы, связанные с моделированием поведения динамических систем, представимых в виде системы дифференциальных уравнений с параметром, величиной которого можно управлять, или соответствующего ей дифференциального включения (д. в.). Изучение всех возможных вариантов поведения таких систем приводит нас к важным для теории и практики понятиям множества достижимости и интегральной воронки управляемой системы.

Как оказалось, задача построения множеств достижимости и интегральных воронок тесно связана с задачами о сближении управляемых систем в различных постановках, рассматриваемыми в математической теории управления. В этих задачах требуется из множества различных траекторий выделить ту, которая переводит моделируемый объект из заданного начального состояния в конечное и при этом удовлетворяет определенному критерию качества.

Современный облик математической теории управления в значительной степени определился работами выдающихся отечественных математиков Л.С. Понтрягина и Н.Н. Красовского. Большой вклад в развитие этой теории внесли В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, А.Б. Куржанский, А.В. Кряжимский, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипов, А.И. Субботин, Ф.Л. Чер- ноусько, их сотрудники и ученики. Среди зарубежных исследователей, внесших весомый вклад в развитие теории, отметим Р. Айзекса, Р. Белл- мана, Р. Калмана, Дж. Лейтмана, У. Флеминга и других.

Задача о сближении управляемой системы (или д. в.) с заданным целевым множеством в фиксированный момент времени — одна из ключевых задач в математической теории управления. С ней связаны другие важные задачи, такие, например, как задача об оптимальном быстродействии или задача о сближении управляемой системы с целевым множеством не позже фиксированного момента времени. К этой задаче также можно свести и многие другие задачи динамики систем, имеющие важное прикладное значение.

Существует несколько подходов для решения таких задач.

Один из них основан на применении принципа максимума Л.С. Понт- рягина'''. Принцип максимума Л.С. Понтрягина применялся и применяется в настоящее время как основной аппарат исследования широкого круга задач оптимального управления. С помощью него были исследованы и решены многие математические задачи, задачи из теории управления, механики, экологии, экономики.

Другой подход к решению многих задач математической теории управления, теории дифференциальных игр и, в частности, упомянутой здесь задачи о сближении основан на использовании множеств разрешимости при конструировании решений'''. При этом под множеством разрешимости понимаем множество исходных позиций управляемой системы, из которых разрешима задача о сближении.

Множество разрешимости в задаче о сближении управляемой системы (или д. в.) с целевым множеством в фиксированный момент времени может быть представлено в терминах так называемого «обратного» времени как начинающаяся на целевом множестве интегральная воронка управляемой системы (или д. в.). Множество разрешимости в этой задаче удобнее всего конструировать как эту интегральную воронку.

Интегральные воронки управляемых систем и дифференциальных включений обладают свойством (сильной) инвариантности. Свойство (сильной) инвариантности используется при конструировании интегральных воронок. Однако далеко не во всех случаях интегральные воронки удается выделить точно. В связи с этим возникает потребность в разработке численных методов построения интегральных воронок управляемых систем.

Степень разработанности темы

Свойства слабой инвариантности и инвариантности и связанные с ними задачи удержания движений динамической системы на замкнутом множестве W в пространстве позиций, а также вопросы описания интегральных воронок изучались в работах отечественных и зарубежных математиков А.Б. Куржанского и Т.Ф. Филипповой', А.А. Толстоногова, Е.Л. Тонкова, Е.С. Половинкина, В.А. Дыхты, J.-P. Aubin, P. Saint- Pierre и M. Quincampoix, M. Nagumo и других. Отметим также работу G. Haddad, в которой был получен критерий слабой инвариантности в инфинитезимальной форме, связывающий правую часть дифференциального включения с конусом касательных направлений Булигана. Именно инфинитезимальные конструкции производных многозначных отображений, базирующиеся на понятии конуса Булигана, используются в первой главе диссертации для определения введенных в ней понятий дефектов инвариантности и слабой инвариантности множеств.

Как известно, множество разрешимости в задаче о сближении обладает свойством слабой инвариантности относительно управляемой системы. Это свойство позволило для тех исходных позиций системы, которые принадлежат этому множеству, построить эффективную процедуру управления с поводырем', обеспечивающую попадание движения системы на целевое множество. Вопросы конструирования множеств разрешимости и использования этих множеств для решения задач математической теории управления изучались многими отечественными математиками'''''^{26 27}.

Цель работы

Цель диссертационной работы состоит в дальнейшем изучении свойств слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциального включения, в расширении понятий слабой инвариантности и инвариантности, а также в разработке эффективных численных методов построения множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем и дифференциальных включений.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Введены понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множеств относительно дифференциального включения.

2. Показано, как, используя введенные понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множества в пространстве позиций, расширить это множество до слабо инвариантного либо инвариантного множества с тем же самым начальным (временным) сечением.

3. Разработан численный метод приближенного построения множеств достижимости управляемых систем в пространстве Rⁿ, основанный на аппроксимации множеств достижимости узлами заданной «кубической» сетки и применении техники ломаных Эйлера к дифференциальным включениям. В ходе вычислений используются только точки приграничных слоев рассматриваемых множеств. Обоснована сходимость разработанного численного метода.

4. Разработаны структуры данных для хранения множеств, состоящих из узлов заданной «кубической» сетки, позволяющие избежать непосредственного хранения информации о координатах каждой точки этих множеств.

Теоретическая и практическая значимость работы

Введенные в работе понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множеств относительно дифференциального включения позволяют расширить множества, не обладающие свойствами слабой инвариантности и инвариантности, до слабо инвариантных и инвариантных множеств с теми же самыми начальными (временными) сечениями. Множество, обладающее малым дефектом слабой инвариантности относительно заданного дифференциального включения, может быть использовано для организации процедуры управления, обеспечивающей решение задачи о сближении с целевым множеством в фазовом пространстве в фиксированный момент времени. Эта процедура гарантирует для начальных позиций, принадлежащих множеству, существование движения управляемой системы (или д. в.), приходящего в упомянутый момент времени в малую окрестность целевого множества. Тем самым решается задача о сближении с целевым множеством в «ослабленной» постановке — задача о сближении движений управляемой системы (или д. в.) с малой окрестностью целевого множества. Таким образом, введение понятие дефекта слабой инвариантности расширяет наши возможности при построении решений ряда математических и прикладных задач управления.

Предложенный в работе численный метод приближенного вычисления множеств достижимости позволяет сократить объем вычислений за счет использования в ходе итерационного процесса только точек, расположенных вблизи границ рассматриваемых множеств, т. е. точек приграничного слоя. На базе предложенного метода разработан комплекс программ, позволяющий конструировать приближенные решения ряда задач управления и, в том числе, ряда задач о сближении с целевым множеством в фиксированный момент времени.

Методология и методы исследования

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют работы отечественных и зарубежных ученых в области негладкого и вы-

пуклого анализа и численных методов исследования математических

«30 31

моделей'.

Исследование свойств слабой инвариантности и инвариантности множеств и расширение понятий слабой инвариантности и инвариантности осуществлялось с использованием инфинитезимальных конструкций производных многозначных отображений. Такой характер исследования соответствует использованию понятия производной в математическом анализе. Применение инфинитезимальных конструкций проводилось в рамках той техники описания инвариантных и слабо инвариантных множеств, которая используется в Уральской математической школе по теории управления.

В основе разработанных численных методов построения множеств достижимости лежит пиксельный способ представления множеств в фазовом пространстве рассматриваемой динамической системы вкупе с применением идеологии ломаных Эйлера. В связи с этим многие из алгоритмов работы с такими множествами построены на базе соответствующих алгоритмов компьютерной графики. Обоснование сходимости разработанных методов существенно опирается на теоремы и конструкции выпуклого анализа.

Положения, выносимые на защиту

1. Способы расширения множеств, не являющихся слабо инвариантными либо инвариантными относительно заданного дифференциального включения, до слабо инвариантных и инвариантных множеств, а также утверждения, обосновывающие корректность этих способов.

4. 1. Метод приграничного слоя для приближенного построения множеств достижимости управляемых систем.

   2. Способы описания множеств, состоящих из узлов заданной «кубической» сетки.

   Степень достоверности и апробация результатов

   Проверка основных теоретических положений диссертации, а также разработанных методов построения множеств достижимости выполнялась при помощи специально созданных компьютерных программ, обеспечивающих построение и визуализацию решений рассматриваемых в работе задач.

   Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная научно-практическая конференция «Связь-пром 2010», Екатеринбург, 2010; 42-я Всероссийская молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики», Екатеринбург, 2011; Международная научно-практическая конференция «Связь-пром 2011», Екатеринбург, 2011; X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, 2011; Международная научная конференция «Колмогоровские чтения - V. Общие проблемы управления и их приложения», 2011; «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Международная конференция, посвященная памяти В.К. Иванова, Екатеринбург, 2011; Международная (43-я Всероссийская) молодежная школа- конференция «Современные проблемы математики», Екатеринбург, 2012.

   Публикации

   Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, из них три в изданиях из перечня ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций.

   Структура и объем диссертации

   Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 190 наименований. Общий объем работы составляет 149 страниц.
   

   Похожие диссертации на Конструирование решений в задачах динамики систем на конечном промежутке времени

   

   Оптимизация производительности многопроцессорных вычислительных систем при решении задач методом молекулярной динамикиАндреев Вячеслав Вениаминович

   

   Алгоритмы и программы для решения задач динамики многих тел на суперЭВМКукшева Эльвира Александровна

   Некоторые вопросы реализации метода "частиц Дирихле" для решения задач газовой динамики в области со свободной границейСоловьев, Андрей Валерьевич

   

   Математические модели и эффективные методы решения задач кинематики, динамики и управления роботамиГлазков Виктор Петрович

   

   Уравнения Навье-Стокса и их модификации для решения задач газовой динамикиХохлов Антон Александрович

   Методика решения задач сверхзвуковой газовой динамики на основе неявной TVD схемы и адаптивно-встраивающихся сетокХисматуллина Наиля Абдулхаевна

   

   Методы решения нестационарных задач газовой динамикиВоронич Иван Викторович

   

   Визуализация результатов моделирования задач газовой динамики на многопроцессорных вычислительных системах Кринов Пётр Сергеевич

   Визуализация результатов моделирования задач газовой динамики на многопроцессорных вычислительных системахКринов Петр Сергеевич

   Численное моделирование задач газовой динамики на гибридных вычислительных системахДавыдов, Александр Александрович