Содержание к диссертации
Введение
1. Законы сохранения и основа численного метода 19
1.1. Законы сохранения и их характеристические свойства 19
1.2. Полудискретная задача 26
1.3. Условие энтропии 28
2. Численные методы решения уравнений Эйлера 34
Введение 34
2.1. Метод расщепления разности вектора потока 35
2.2. Методы расщепления вектора потока 44
2.2.1. Расщепление Стегера-Уорминга 46
2.2.2. Расщепление ван Лира 51
2.2.3. Кинетическое расщепление вектора потока 53
2.3. Метод прямого статистического моделирования 57
2.4. Энтропийные свойства методов 66
2.5. Повышение точности базовых методов 71
2.6. Комбинированный метод 80
3. Расчет различных классов течений 84
3.1. Одномерные тестовые задачи 84
3.2. Двумерные задачи 100
Выводы 126
4. Решение задачи о взаимодействии вихря с аэродинамическим профилем в потоке сжимаемого газа 128
4.1. Постановка задачи 128
4.2. Условия расчета и результаты 131
4.3. Выводы 138
Заключение 139
Список литературы
Введение к работе
Численное моделирование движения газов и жидкостей является областью, активно развивающейся как в связи с растущим количеством практических приложений, так и в связи с увеличением производительности компьютерной техники и возрастающей ролью вычислительного эксперимента. Сложность представляет не только построение моделей движения жидкостей и газов (например, для турбулентных и многофазных течений), но и построение согласованных дискретных моделей, позволяющих получить корректное численное решение. Разработка точных, надежных и вычислительно эффективных численных алгоритмов, позволяющих моделировать течения в широком диапазоне режимов, является предметом обширных исследований [1-13].
Традиционную сложность представляет моделирование нелинейных конвективных процессов, особенно в течениях с преобладанием конвекции, включающих значительные градиенты (или разрывы) поля течения. Это, прежде всего, относится к уравнениям Эйлера как базису для многих моделей движения жидкостей и газов. Чтобы подчеркнуть взаимосвязь моделей сплошной среды, можно указать на течения с интенсивными скачками или зонами глубокого разрежения, которые, хотя зачастую и рассчитываются в рамках модели Эйлера (когда физическая вязкость и теплопроводность не учитываются), могут требовать привлечения сплошносредных и кинетических моделей диссипации [14].
При более чем 50-летней истории развития численных методов решения гиперболических систем уравнений [16-24], значительный прогресс в области построения численных методов решения уравнений Эйлера произошел в 1970-е - 1980-е годы [25-49]. Это можно объяснить востребованностью моделей такого уровня для решения практических задач, во многом благодаря росту производительности вычислительной техники.
9 Существенно, что с последующим развитием моделирования течений газов и жидкостей возросли требования к точности и надежности численных методов. В связи с этим развитие методов продолжилось, с новыми требованиями и преодолением новых проблем [14,15, 50-84]. Можно было бы думать, что тематика построения численных методов для уравнений Эйлера исчерпана, однако количество публикаций в этом направлении говорит о том, что это не так: ряд вопросов еще находится в стадии обсуждения. Некоторые из этих вопросов рассматриваются ниже.
Представляется важным выделить основные направления совершенствования численных методов решения уравнений газовой динамики. Во-первых, это способ построения аппроксимации вектора потока через грань расчетной ячейки в рамках метода конечного объема с учетом характеристических свойств законов сохранения и условия энтропии [11,42]. Такая аппроксимация должна обеспечивать хорошее разрешение разрывов (в частности, контактного и тангенциального, что важно для сдвиговых течений) и обладать достаточной надежностью при расчете интенсивных скачков и волн разрежения. Можно отметить широкое использование кинетических представлений для построения аппроксимации вектора потока применительно к моделированию течений сплошных сред и слаборазреженных газов [14, 33, 56, 57, 65, 75].
Во-вторых, большую роль играет способ повышения точности алгоритмов по пространственным переменным и времени. Эти два направления в настоящее время зачастую рассматриваются раздельно путем сведения к полудискретной задаче, представляющей систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени для переменных в ячейке с правой частью, полученной в результате дискретизации пространственных потоков [12]. Методы, использующие совместную аппроксимацию производных по пространственным переменным и времени, также продолжают развиваться [3,11,22]. Методам повышения пространственной точности посвящено
10 большое количество работ [1-8, 11], этой теме продолжает уделяться внимание. В настоящей работе рассматриваются методы второго (условно) порядка аппроксимации, потенциал которых представляется не исчерпанным. Такие методы широко используются в инженерной и научной практике как предсказуемые, терпимые к качеству расчетной сетки и допускающие более простые способы реализации граничных условий [7, 68]. Для интегрирования по времени разработаны группы как явных, так и неявных методов [12,47,48,53]. Для расчета нестационарных течений часто используются многошаговые методы Рунге-Кутта [83].
В-третьих, важным элементом вычислительного алгоритма является постановка и численная реализация граничных условий, так как точность и характер сеточного решения сильно зависят от реализации граничных условий [68,85-87]. С этой точки зрения можно выделить граничные условия на твердых стенках и внешних границах. Корректная постановка численных граничных условий позволяет избежать не только увеличения объема расчетной сетки и вычислительных затрат, но и получения ошибочного решения.
Расчетная сетка является необходимой компонентой процесса получения численного решения задачи. Желательно иметь адаптированную к геометрии задачи и к особенностям решения расчетную сетку при соблюдении ее качества. Адаптация расчетной сетки призвана способствовать повышению точности сеточного решения и ускорению сходимости расчета для стационарных задач [88-90] наряду с многосеточными методами [91] и методами предобуславливания [76].
Таким образом, вычислительный алгоритм включает в себя аппроксимацию вектора потока в системе законов сохранения, метод повышения точности по пространственным переменным, метод интегрирования по времени, численную реализацию граничных условий. Современные комплексы программ включают множество взаимосвязанных компонент,
отвечающих за реализацию моделей различных процессов. Это осложняет верификацию таких комплексов и требует тестирования отдельных компонент [92]. В настоящей работе это учитывается путем анализа отдельных компонент алгоритма и их совместного тестирования. Этому способствует реализация алгоритмов с помощью объектно-ориентированных языков программирования. В случае, когда возникают сомнения в природе того или иного дефекта сеточного решения, необходимо также проводить расчеты с помощью методов первого порядка аппроксимации по пространству и времени.
Подход сквозного счета разрывных решений без явного выделения разрывов не свободен от недостатков. Прежде всего, это потеря точности сеточного решения в области за скачком, где традиционные методы сквозного счета обеспечивают не более чем первый порядок аппроксимации [34, 68,79]. Для преодоления этой проблемы разрабатывались методы выделения разрывов и адаптации расчетных сеток к разрывам [34]. Однако в случае движущихся и зарождающихся разрывов в многомерных течениях избежать снижения точности трудно. Альтернативой являются методы, построенные на базе понятия слабой аппроксимации, которые обеспечивают более чем первый порядок аппроксимации в области за скачком [79]. Недостатком таких методов является наличие нефизических осцилляции решения вблизи скачка. В настоящей работе используется подход сквозного счета разрывных решений при учете локальной картины течения для повышения разрешающих свойств и надежности методов. Подход сквозного счета позволяет достаточно полно выявить свойства аппроксимации вектора потока применительно к расчету различных типов течений на разнообразных расчетных сетках.
Ни один из вычислительно эффективных алгоритмов не лишен недостатков, как в силу конструктивных особенностей (связанных с аппроксимацией потоков), так и в силу трудностей, связанных с повышением точности по пространственным переменным и времени при ограничениях условия энтропии. Требования надежности и высокого разрешения являются в
12 некотором смысле противоречивыми, так как требование повышения точности ведет к понижению схемной диссипации метода. Этот вопрос зачастую решается с помощью методов переменного порядка аппроксимации [21, 25,42]. Однако в этой связи можно отметить и востребованность комбинированных алгоритмов разного рода, так как разрешающие свойства зависят в первую очередь от базового метода первого порядка [14,55,58,61,74]. Под комбинированным алгоритмом здесь понимается такой алгоритм, который сочетает различные подходы к вычислению аппроксимации вектора потока в зависимости от локальной картины течения. Такие меры нужны в основном при расчете течений, содержащих интенсивные скачки и волны разрежения, так как методы, хорошо разрешающие контактные и тангенциальные разрывы (в первую очередь, методы типа Годунова), могут давать серьезные дефекты на интенсивных пространственных скачках [15, 55, 61, 74]. Традиционные методы расщепления вектора потока, наоборот, лучше пригодны для интенсивных скачков, но плохо разрешают контактные и тангенциальные разрывы, что важно для высокоскоростных сдвиговых течений [60].
Нужно отметить, что вопросы численного расчета многомерных течений с интенсивными скачками уплотнения с помощью методов сквозного счета являются дискуссионными до настоящего времени. Это связано с тем, что вопросы устойчивости ударных волн не исследованы в полной мере, поэтому не всякая неустойчивость численного расчета должна рассматриваться как дефект метода [15, 84, 93, 94].
Идеализированной целью является построение алгоритма, который имеет высокую точность в областях гладкого решения и хорошее разрешение разрывов (включая их положение и перепад параметров потока на разрыве) при сквозном расчете разрывных решений [50, 79]. По указанным выше причинам построение такого алгоритма невозможно без некоторого компромисса.
Представляется, что методы построения аппроксимации вектора потока для уравнений Эйлера можно классифицировать на базе понятия схемной
13 вязкости, связанной со схемным диссипативным потоком - механизмом, регулирующим «физичность» получаемых сеточных решений [14,42, 50, 63]. Систематическое сравнительное исследование группы известных методов расщепления вектора потока и метода расщепления разности вектора потока (типа Годунова), использующих характеристические свойства законов сохранения, полезно для выделения взаимосвязи конструктивных особенностей этих широко используемых методов с качеством сеточных решений. Сравнительный анализ методов на основе свойств собственных значений схемного диссипативного потока и результатов решения ряда задач позволяет оценить различные подходы к построению методов и уточнить их область применимости [31, 51, 63].
Условие энтропии является существенным критерием при построении и анализе численных методов расчета обобщенных (разрывных) решений газодинамических задач [19,26,42]. Конструкция аппроксимации вектора потока определяет разрешающие и энтропийные свойства метода. Однако установить в общем случае строгую взаимосвязь между характеристиками схемной диссипации и энтропийными свойствами затруднительно. Действие схемной диссипации для энтропийно согласованного метода похоже на действие физической вязкости: процесс сходимости сеточного решения на последовательности измельчающихся расчетных сеток можно представить как предельный переход при стремлении физической вязкости к нулю. Настройка аппроксимации вектора потока позволяет в ряде случаев добиться улучшения качества сеточного решения [42, 58].
Для иллюстрации подходов к повышению точности по пространственным переменным рассматривается одномерный скалярный закон сохранения, для которого строится нелинейная разностная схема повышенной точности, удовлетворяющая некоторому условию, например условию сохранения монотонности или родственным условиям [25,44,49,67]. Нелинейность разностной схемы обусловлена применением функций-ограничителей
14 приращений переменных для обеспечения корректной реконструкции распределений переменных внутри ячейки. Далее подход, развитый для скалярного случая, обобщается на полную систему уравнений. Удовлетворить строго условию энтропии в этом случае не представляется возможным, тем не менее, можно надеяться, что сеточное решение будет высокого качества во всей области течения, за исключением областей разрывов и снижения точности в областях их влияния. Для расчета многомерных течений существенен способ обобщения одномерной модели, как с точки зрения аппроксимации вектора потока [48,53,60,63], так и реконструкции распределений переменных в ячейке [28,29,45]. Для решения этих задач используются преобразования координат [48], методы факторизации конечно-разностных операторов [53], или обобщение на случай произвольной ориентации грани ячейки [45, 60, 63]. В настоящей работе рассматривается последний вариант как вполне естественный.
Роль линейной модели переноса показательна, так как она используется для описания движения среды на различных уровнях [10, 14,16,25]. Это относится к уравнениям движения сплошной среды и к кинетическим уравнениям как базису моделей сплошной среды. Метод прямого статистического моделирования является полноценной иллюстрацией этих взаимосвязей [95]. Существенен в этой связи также смысл условия энтропии с кинетической точки зрения.
Рассматриваемый вариант комбинированного алгоритма основан на избирательном применении аппроксимаций вектора потока, построенных на различных принципах. Выбор критерия переключения содержит некоторый произвол, однако численные эксперименты показали, что идентификация интенсивных разрывов может быть удовлетворительно выполнена с помощью простых условий.
Применение адаптивных функций-ограничителей рассматривается как способ повышения пространственной точности алгоритма [59,78,82].
15 Особенностью такой функции-ограничителя является то, что в зависимости от локальной волновой картины в распределениях различных переменных в некоторых случаях применяется центрально-разностный подход к вычислению значений переменных на грани ячейки вместо «монотонизации» решения по принципу минимальных приращений [25,42]. Нужно заметить, что такой метод отличается от применения схемы центральных разностей в областях гладкого решения [11]. Результаты показывают, что применение адаптивных функций-ограничителей повышает разрешающие свойства известных методов без ужесточения требований к качеству расчетной сетки, увеличивает их вычислительную эффективность с сохранением надежности [81].
Обсуждаемая тематика представляется актуальной в силу широкого применения численных алгоритмов расчета решений уравнений газовой динамики с использованием характеристических свойств законов сохранения.
Целью настоящей работы явилось построение вычислительно эффективного, надежного алгоритма решения нестационарных задач газовой динамики в широком диапазоне режимов, пригодного для раскрытия нестационарного волнового поля течения, содержащего разномасштабные особенности. Это требует систематизации свойств конечно-разностных методов (в том числе построенных с использованием кинетических моделей) расчета обобщенных (разрывных) решений уравнений газовой динамики с целью построения возможно более универсального алгоритма. Для решения этой задачи также необходимо исследование возможностей повышения разрешающих свойств методов с помощью аппарата функций-ограничителей без существенного ужесточения требований к расчетной сетке.
На зашиту выносятся следующие положения: 1. результаты сравнительного изучения основных групп численных методов решения уравнений Эйлера, позволяющие определить область применения методов и уточнить механизмы схемной диссипации;
комбинированный алгоритм вычисления аппроксимации вектора потока, сочетающий применение двух аппроксимаций вектора потока, что позволяет расширить диапазон применения методов типа Годунова;
адаптивная функция-ограничитель в рамках схем, сохраняющих монотонность, позволяющая повысить точность и вычислительную эффективность методов;
результаты численного решения задачи о взаимодействии вихря с профилем в дозвуковых и трансзвуковых потоках сжимаемого газа.
Научная новизна работы заключается в следующем:
получены новые данные о механизмах и характеристиках схемной диссипации методов типа Годунова и методов расщепления вектора потока;
создание нового комбинированного алгоритма вычисления аппроксимации вектора потока, позволяющего расширить диапазон применения методов типа Годунова;
создание новой адаптивной функции-ограничителя в рамках схем, сохраняющих монотонность, позволяющей повысить точность и вычислительную эффективность методов, в том числе применительно к расчету волновых процессов;
получены новые данные о характеристиках взаимодействия вихря с профилем в дозвуковых и трансзвуковых потоках сжимаемого газа и генерации акустических возмущений в ходе такого процесса.
Первая глава диссертации является вводной. В ней рассматриваются свойства законов сохранения газовой динамики, дискретизация по принципу конечного объема, полудискретная задача, понятия сходимости, аппроксимации, обобщенного решения, задача Коши для гиперболической системы законов сохранения, условие энтропии. Дается краткий обзор проблем построения универсальных методов повышенного порядка аппроксимации и формулируются задачи, решение которых дает возможность продвинуться в этом направлении.
17 Вторая глава посвящена детальному разбору методов. В ней рассматриваются следующие методы построения аппроксимации вектора потока (п. 2.1,2.2): метод типа Годунова - метод расщепления разности вектора потока, методы расщепления вектора потока - Стегера-Уорминга, ван Лира, кинетического расщепления вектора потока. Для этих методов рассмотрены свойства их схемной диссипации и способы энтропийной коррекции, сделаны выводы о характеристиках методов применительно к расчету различных классов течений. Для сопоставления континуального и кинетического подходов к построению численных методов расчета задач газовой динамики приведен анализ метода прямого статистического моделирования (п. 2.3). Обсуждению условия энтропии с кинетической точки зрения и установлению энтропийных свойств метода кинетического расщепления вектора потока посвящен п. 2.4. В п. 2.5 изложен подход к повышению точности методов по пространственным переменным и времени на базе условия сохранения монотонности. Обсуждается аппарат функций-ограничителей, на основе анализа существующих методов предложена адаптивная к локальному распределению переменных функция-ограничитель. Построению комбинированного алгоритма вычисления аппроксимации вектора потока с учетом существующих подходов посвящен п. 2.6.
В третьей главе изложены результаты применения описанных методов к решению ряда одномерных и двумерных по пространственным переменным задач. Одномерные задачи (п. 3.1) позволяют проверить выводы, сделанные ранее о свойствах схемной диссипации методов, а также проверить пригодность комбинированного алгоритма и адаптивной функции-ограничителя на различных газодинамических конфигурациях. В п. 3.2 рассматриваются 3 стационарные и нестационарные двумерные задачи. Разбираются вопросы построения расчетных сеток, реализации граничных условий и оценки точности и сходимости сеточных решений. Результаты решения двумерных задач позволяют подтвердить выводы о схемной
18 диссипации методов, подтвердить эффективность комбинированного алгоритма и количественно проверить эффективность адаптивной функции-ограничителя.
В четвертой главе рассмотрено применение развитых методов к задаче о взаимодействии вихря с симметричным профилем в потоке сжимаемого газа при различных значениях числа Маха. В результате проведенных расчетов определены характеристики волнового поля, генерируемого в процессе взаимодействия, а также характеристики сил и моментов, действующих на профиль. Такие данные позволяют прогнозировать последствия таких явлений для практики а также наметить подход к ослаблению такого воздействия.
В разделе заключение представлены основные результаты проведенных исследований.
Автор выражает признательность:
научному руководителю - заведующему кафедрой компьютерного моделирования МФТИ профессору Ю.И. Хлопкову за руководство и поддержку исследований,
доцентам В.А. Жарову и С.Л. Горелову за обсуждение постановок задач и результатов,
профессору А.И. Толстых за обсуждение ряда методических вопросов,
к. ф.-м. н. В.В. Власенко за ценные рекомендации и помощь в исправлении ряда неточностей,
В.В. Войкову за участие в совместных исследованиях,
В.В. Ткаченко за помощь в подготовке работы,
сотрудникам кафедры компьютерного моделирования МФТИ и лично М.В. Спиркиной за поддержку,
своим родителям за поддержку и терпение.
Работа выполнялась при содействии Государственной программы поддержки ведущих научных школ, грант НШ-1984.2003.1, руководитель -профессор М.Н. Коган.
Полудискретная задача
Рассмотрим систему законов сохранения в интегральной форме (1.1). В качестве контрольного объема выберем ячейку расчетной сетки с площадью (объемом) AQ, полагая длины (площади) сторон равными ст/. Значение интеграла по границе ячейки можно приближенно представить суммой произведений аппроксимаций вектора потока в центрах граней Ф, и мер сторон а/. Получаем полудискретную задачу: І&П + ЕФ О. (1.27) Cltr\ I Введя понятие осредненной по объему ячейки величины Qa=j \QdCl, (1.28) уравнение (1.27) можно переписать как дифференциальное уравнение по времени для осредненной величины: & - 0-29)
В дальнейшем уравнение (1.29) берется за основу численного метода, обозначение осреднения опускается, для удобства понимания вместо индекса / используются полуцелые индексы, показывающие, грань в каком индексном направлении рассматривается. В одномерном случае полу дискретная задача (1.29) будет иметь вид: й = -К»- ). (1-30) где Фж/2 - аппроксимации вектора потока в положительном направлении осих. 1.3. Условие энтропии
Рассмотрим задачу с начальными данными для гиперболической системы законов сохранения в случае одной пространственной переменной: -Q + = 0, Q(x,0) = y(x), -оо х оо, t 0. (1.31) dt дх
Здесь Q - вектор консервативных переменных (размерности т), Ё - вектор потока. Гиперболичность системы, как было отмечено, предполагает, что все собственные значения Хк матрицы A(Q) = dE/dQ действительные и набор правых собственных векторов rx{Q) ,...,rm(Q) полный в смысле базиса в Rm. Так как решение задачи (1.31) при А(0)Ф const может образовать разрывы за конечное время [11,17, 98], необходимо рассматривать обобщенные решения (1.31). Обобщенное решение задачи (1.31) определяется как функция Q(x,t), которая удовлетворяет уравнению { f —Q(x,t) + —E(Q(x,t)) dxdt+ U(x,0)y(x)dx = 0, (1.32) dt дх J _i где \/(JC, t) є С00 (-oo,+oo) x(0,+oo) имеет компактную поддержку в (-оо,+оо)х(0,+оо). Так как обобщенное решение (1.32) не единственно, для отбора нужного решения необходимо использовать дополнительные условия. Система законов сохранения (1.31) обладает энтропийной функцией и энтропийным потоком S(Q) и W{Q) соответственно, если выполнены следующие условия: Sm 0 k = l,...,m, (1.33) с А,ЛЛ ш dS дЕь dW SnMQ) = Wn или k- = . Нужное решение задачи (1.31) должно удовлетворять неравенству: г-Ш+д-ЕШ 0, (,.34) dt дх или в обобщенном смысле неравенству f Г 5(Є(х,0) + — W{Q{x,t)) dxdt+ \y(x,0)S(y(x))dx 0. oJiL3? дх J і (1.35)
Здесь функция ці(х, і) должна быть неотрицательной. Соотношения (1.33)-(1.35) характеризуют энтропийные свойства системы законов сохранения и служат для отбора обобщенного решения. Знаки в (1.33) выбраны так, чтобы вид энтропийного неравенства соответствовал статистическому определению энтропии. Нужно заметить, что энтропийная функция S(Q) отличается от s в (1.24). Для сходимости явной схемы вида Г ; (Ф;+1/2-Ф;-,/2). о-зб) аппроксимрующей исходную систему (п. 2.5), к единственному обобщенному решению задачи (1.31) при существовании энтропийной функции и энтропийного потока и соответствующем ограничении на шаг по времени из зо условия устойчивости достаточными являются следующие ниже условия. Сходимость подразумевается на последовательности измельчающихся сеток в той или иной норме [17,42]. Аппроксимация вектора потока Щ+ті І-р+х — і+р) на 2р-точечном шаблоне должна быть согласована с E(Q): Ф(б,...,0 = ад). (1.37) Должно выполняться неравенство: Г ;-(п;+1/2-п;_1/2), (і.зю где S- =S(vl), WM/2 = n(v/_p+1,...,v!+p). Здесь П +1/2 есть аппроксимация потока энтропии, согласованная с W(Q): U(Q,...,Q) = W(Q). (1.39) В этом случае схема (1.36) называется схемой, согласованной с условием энтропии. Устойчивость разностной схемы не означает сходимости сеточных решений к искомому обобщенному решению задачи (1.31).
Методы расщепления вектора потока
Расщепленные формы вектора потока строятся для получения составляющих потока, отвечающих собственным значениям определенного знака. Такие формы можно использовать для построения аппроксимаций вектора потока виде суммы двух составляющих: Й = Й++Н-. (2.21) Аппроксимация вектора потока через грань строится следующим образом: Ф = н;+Й;. (2.22) Эту форму можно выразить в виде суммы симметричной и антисимметричной частей: Ф = І(ЯІ+ЯЛ)-І(ЯЛ-Я,), (2.23) где Я = Я+ -Я" - модуль-вектор потока. Из сравнения (2.23) и (2.17) видно, что антисимметричная часть играет роль диссипативного потока.
Схемы, построенные на основе центрально-разностной аппроксимации вектора потока (симметричная часть), дают паразитные осцилляции и теряют устойчивость при расчете разрывных решений. В таких случаях диссипация добавляется искусственно в виде дополнительных членов [53]. Естественно, в этом случае возникают вопросы о соответствии условию энтропии и получении корректных сеточных решений [11]. Схемная диссипация должна служить механизмом, обеспечивающим правильный ход процесса (и получение «физичного» предельного решения) по аналогии с физической вязкостью [17,18,42]. Общим для методов расщепления вектора потока является отсутствие механизма детального различения характеристик.
Ограничение на шаг по времени (необходимость и достаточность которого здесь не рассматривается) в методах расщепления вектора потока аналогично ограничению для методов типа Годунова и в случае явного метода первого порядка аппроксимации в одномерном случае выражается в виде: CFL = тах( Хк )— 1. (2.24)
Представление вектора потока в виде произведения матрицы Якоби на вектор консервативных переменных (1.5) позволяет получить расщепленные формы, если записать диагональные матрицы собственных значений в виде суммы матриц с положительными и отрицательными элементами. Тогда вектор потока может быть представлен в виде суммы векторов, отвечающих определенным знакам собственных значений: =Ад=тАлАтА-,е=тА(л; + л-А)тА-1е=А+б+А-б= ++-, F = Be = TBABTB,e = TB(A; + AB)TB1e = B+e + B-e = F++F-, Н = VQ = TDADTDlQ = TD(AD + AD)TD e = D+Q + T3TQ = H+ + H . (2.25) Конструирование матриц Л+ и Л осуществляется следующим образом: Л =(Л±Л)/2, (2.26) где Л - матрица, составленная из модулей элементов матрицы Л. Такое расщепление было предложено в работе Стегера и Уорминга [36]. Полученная форма вектора потока имеет вид: Н = 2у 2(у - 1)А,, + Л-з + Х,4 2(у -1) -!« + Х-з (и - спх) + Х,4 (и + спх) 2(у - 1)Х, v + Х3 (v - спу ) + Х,4 (v + спу ) (2.27) /(кх,Х„Х4) = 2у%+Х3((и-спх)2+(у-спу)2)/2 + + Я,4((и + спхf + (v + сп )2) 12 + (3-уХХ3 + Х4)с2/2(Т-1), 2 , ..2 \ = 2 = К = nxu + nyv K = Vn -с, X4 = К + с. Соответствующие части вектора потока получаются при использовании собственных значений определенного знака: Н — Н{\ , А,3, 4) (2.28)
Такое представление соответствует разложению по собственным векторам матрицы D. Для получения корректных сеточных решений желательно обеспечить необращение в нуль собственных значений в окрестности К„ = с (п. 2.1) и гладкий характер зависимостей tf(kk). Был предложен следующий способ регуляризации собственных значений: ,j=i(x4±V T+7). (2.30) Здесь Хк - элементы матрицы Л, є - малый параметр (обычно є = 0,01см-0,1с). Из (2.26), (2.27) в случае Vn с следует, что Й+ =Й, Н = 0, в случае Vn -с Й+ =0, Н =Н. При использовании (2.30) эти свойства выполняются приближенно. Необходимо отметить, что матрицы Якоби полученных таким образом расщепленных векторов потока dE±/8Q, 8F±/dQ, d /dQ не тождественны соответствующим матрицам А , В , D . Они обладают собственными значениями того же знака, что и матрицы Л , Л , Л , однако те и другие собственные значения существенно отличаются. Результаты вычисления собственных значений dE+/dQ для метода Стегера-Уорминга представлены на рис. 3. Для вектора Е результаты имеют сходные особенности в силу свойств симметрии.
Критериями оценки поведения собственных значений с точки зрения свойств аппроксимации вектора потока могут служить, помимо положения асимптот при и - ± х , свойства монотонности, четности, неотрицательности (неположительности), непрерывности и дифференцируемости.
Как можно видеть, собственные значения лежат несколько выше (для Е+) теоретических значений, имеют правильные асимптоты при и - ±оо. Однако эти зависимости немонотонные, разрывные или негладкие при и = 0, ±с. Ветвь, соответствующая энтропийной характеристике, лежит чуть выше ветви касательной компоненты скорости при и 0. Применение (2.30) (є = 0,01с) позволяет сгладить особенности, не исправляя общего вида зависимостей. Использование больших значений є ( 0,3с) неприемлемо из-за искажения значений потоков.
Двумерные задачи
Такая вихревая структура является точным гладким решением уравнений Эйлера (кроме центра вихря), что позволяет анализировать диссипативные и дисперсионные характеристики методов. Задача является нестационарной, так как рассматривается не в системе центра вихря, а в неподвижной системе координат. С теоретической точки зрения применение преобразований Галилея уравнивает эти варианты, тогда как с точки зрения численного расчета задача является нетривиальной.
Расчетная область представляет собой единичный квадрат, на границах области используются периодические граничные условия. Вихрь задается в начальных данных (с параметрами Г = 2, R = 0,1), перенос осуществляется при скорости сносящего потока, соответствующей числу Маха Мю = 0,5, показатель адиабаты у = 1,4. Время эволюции выбрано из условия прохождения сносящим потоком пяти размеров расчетной области: T=bLlVx. Значения давления и плотности в невозмущенном потоке равны единице: р = 1, Роо= 1. При таких условиях течение всюду является дозвуковым. Распределения давления, плотности, окружной скорости и числа Маха в системе центра вихря представлены нарис. 31, 32.
Для расчетов применялись как равномерные (рис. 33а), так и хаотически возмущенные (рис. 336) расчетные сетки. Относительная амплитуда (по отношению к исходному размеру ячейки) сеточных возмущений во втором случае составляла 5%. Это позволяет оценить снижение точности сеточного решения для неравномерных сеток. Размерность используемых расчетных сеток составляла 50x50, 75x75,100x100,2
Для оценки порядка сходимости сеточного решения к точному решению используется следующий подход [71]: если метод имеет порядок аппроксимации 0(ha), то для расчетных сеток с шагом h\wh2 имеем (константа С полагается одинаковой):
Можно сделать замечание о том, что если начальные значения переменных задаются в центрах ячеек, то они отличаются от средних по объему (1.28) на величину порядка 0(Л ), что для анализа сходимости метода второго порядка аппроксимации не является существенным.
Результаты моделирования в виде ошибок сеточных решений для методов кинетического расщепления вектора потока (KFVS), метода расщепления разности вектора потока (FDS), а также алгоритма с использованием адаптивного ограничителя (FDS+) представлены в таблицах 2 и 3. Для вычисления ошибки сеточного решения используется плотность. 00x200 ячеек. Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы.
На сетках с недостаточным разрешением (50x50, 75x75) порядки сходимости сеточных решений близки к первому, что можно было ожидать исходя из способа повышения точности (п. 2.5). Порядки сходимости решений на сетках с хорошим разрешением (100x100, 200x200) близки ко второму, в том числе на возмущенных сетках. Нерегулярность расчетной сетки увеличивает ошибку сеточного решения, рост ошибки зависит от свойств метода и более ощутим на подробных расчетных сетках.
Метод кинетического расщепления вектора потока показывает во всех случаях более значительные ошибки сеточного решения, что подтверждает сделанный ранее вывод о диссипативных свойствах методов расщепления вектора потока. При этом дисперсионные (фазовые) свойства методов отличаются несущественно, рис. 34.
Разница между сеточными решениями, полученными по методу расщепления разности вектора потока и комбинированному методу, в данной задаче отсутствует в силу того, что перепады параметров в поле течения слабые (см. условие переключения (2.87)).
Можно отметить хорошие характеристики всего алгоритма в целом, включая метод интегрирования по времени. Применение адаптивной функции-ограничителя позволяет существенно повысить точность сеточного решения, что важно для расширения области применения методов второго порядка аппроксимации.
Условия расчета и результаты
Шум летательных аппаратов является предметом активного исследования в последнее десятилетие. Повышение плотности полетов, ведущее к усилению влияния шума самолетов и вертолетов на экологию вблизи аэропортов и населенных пунктов ведут к ужесточению норм, ограничивающих шумовые характеристики. Анализ и уменьшение шума летательных аппаратов -проблема комплексная и включает борьбу с шумом от различных источников: крыльев, планера самолета, двигателей, винтов. Для уменьшения уровня шума необходимо знание исходного акустического поля, выделение основных факторов, влияющих на интенсивность суммарного поля. В последнее время разрабатываются экспериментальные, аналитические и численные подходы к решению таких задач [112,113].
Один из источников акустических волн связан с взаимодействием вихревых структур с твердыми поверхностями и неоднородностями потока. Полное моделирование, поэтому, должно включать и образование самих вихревых структур.
В данной главе рассматривается решение задачи о взаимодействии заданной вихревой структуры с симметричным аэродинамическим профилем в потоке невязкого сжимаемого совершенного газа. Такая постановка задачи возникает при анализе взлетно-посадочных режимов вертолетов и связана с их акустической заметностью и временем эксплуатации лопастей [114, 115]. Такого рода явления происходят и в осевых компрессорах, а также при попадании самолета в спутный вихрь. При этом возникают интенсивные возмущения ближнего поля течения, процесс генерации волн является нелинейным, особенно на трансзвуковых режимах. Из-за возникновения существенных дополнительных аэродинамических сил и моментов результаты моделирования интересны и с точки зрения безопасности полетов.
Постановка задачи о заданной вихревой структуре, взаимодействующей с аэродинамическим профилем, связана со сходом отрывных вихрей с лопастей вертолета и их взаимодействием со следующими лопастями на взлете и посадке. Для целей данного исследования (определение базовых характеристик ближнего поля возмущений и динамики силового воздействия) вихревую структуру представляется возможным задать в качестве начальных условий.
Для решения задачи в настоящей главе применяются развитые в предыдущих главах подходы к численному моделированию комплексных нестационарных разномасштабных течений.
Задача взаимодействия вихря с аэродинамическим профилем исследуется более 20 лет, как с помощью экспериментальных средств, так и с помощью численного моделирования [114-120]. Преимущественное внимание уделялось при этом лопастям вертолетов в силу большого практического значения такой задачи. Несмотря на использование различных экспериментальных методов, полученные данные позволяют судить об акустическом поле только частично. Это связано с многопараметричностью задачи, объемом измерений и со сложностью генерации вихревых структур с заданными параметрами. Расчетные исследования реальных вертолетных конфигураций усложняются за счет пространственного характера течения и вращения лопастей. При упрощенном подходе полагается, что размер и интенсивность вихревых структур могут быть оценены заранее (в том числе экспериментально), и решается задача о нахождении базовых характеристик поля возмущений и динамики силового воздействия.
В работах [116-118] представлены варианты численного решения задачи взаимодействия вихря с профилем в невязком сжимаемом газе. Моделирование проводилось либо с помощью гибридных алгоритмов (включающих применение аэродинамического и акустического моделирования при безударных режимах течения) [116], либо с помощью методов повышенной точности, требующих, тем не менее, введения дополнительной диссипации для корректного раскрытия возникающих скачков [117]. Приведенные в [118] данные, полученные с помощью аналитических и конечно-элементных методов, позволяют составить представление о влиянии числа Маха и формы крыла в плане для дозвуковых режимов течения (М» 0,3).
