Введение к работе
Актуальность. Развитие науки и техники постоянно выдвигает ряд новых задач, требующих глубокого и всестороннего теоретического изучения. При этом возрастает как сложность исследуемых явлений, так и требования к точности получаемых результатов. Математическое описание задач усложнилось настолько, что стало невозможным решать их традиционными аналитическими методами.
В настоящее время сложился новый метод теоретического исследования сложных задач, основанный на использовании ЭВМ -вычислительный эксперимент . Сущность этого метода состоит в том, что на основе математической модели с помощью ЭВМ исследуются физические процессы различной природы. Необходимость решения новых задач постоянно стимулирует развитие вычислительной математики. Наиболее развитыми в настоящее время являются методы и алгоритмы численного решения уравнений гидро- и газодинамики .
Существует два основных подхода к описанию среды при численном моделировании задач газодинамики: эйлеров и лагранжев. Эйлеровы -методики позволяют успешно рассчитывать течения с сильными сдвиговыми деформациями, например - задачи аэродинамики, обтекания тел струей газа . Лагранжево описание более предпочтительно для задач, где происходит быстрое изменение характерных размеров объемов среды, состоящих из одних и тех же жидких частиц, многообластные нестационарные течения при наличии различных веществ и свободных границ .
Имеется широкий класс практически важных задач, характеризующийся наличием сильных сдвиговых деформаций, большим числом веществ с существенно различными физическими свойствами, сильными изменениями формы контактных и свободных границ. К таким задачам относятся, например, задачи высокоскоростного соударения, расчет "процессов, использующих детонацию взрывчатых веществ и т.д.
Применение эйлеровых методик для решения таких задач может приводить к качественно неверным результатам. Это связано с тем, что эйлеровы методы плохо передают форму свободных и контактных границ, сильно размазывают тангенцальные разрывы и т.д. При расчете задач, содержащих различные вещества, методики, имеющие эйлеров этап, приводят к появлению смешанных ячеек в которых
находится несколько веществ и для расчета давлений в которых приходится использовать специальные- процедуры. Точность расчета давлений в этих ячейках тем ниже, чем сильнее отличие веществ между собой.
Чисто лагранжевн методики на сетках фиксированной структуры плохо применимы к рассматриваемому n.jccy задач из-за наличия сдвиговых деформаций. При практических расчетах в окрестности тангенцальных разрывов происходит перекрытие ячеек лагранжевой сетки, известное под названием "перехлеста". Иногда возможно разбиение расчетной области на ряд подобластей, в каждой из которых вводится регулярная сетка и допускается скольхение одной области относительно другой . Однако, существуют ситуации, когда граница скольжения заранее неизвестна или ее выделение затруднено из-за сложной конфигурации отдельных областей. В ряде методик для избежания явления "перехлеста" проводится корректировка лагранжевой сетки . Такая перестройка эквивалентна введению в расчет эйлерова этапа и, как следствие, возникновению ложной диффузии.
Одним из возможных подходов к созданию методов рассматриваемого класса является подход, основанный ' на использовании лагранхевых методов, в которых узлы расчетной сетки движутся вместе со средой, а связи между ними меняются со временем в соответствии со структурой течения. Это позволяет избежать сильного искажения расчетной сетки при движении одних лагранхевых частиц относительно других. Такие методы получили название "свободно-лагранжевых" (Free-Lagrange).
Одной из проблем, возникающих в свободно-лагранхевых методах, является расчет движения свободной границы. Традиционным решением является заполнение в начальный момент времени части расчетной области, свободной от вещества, легким газон. Однако это приводит, во-первых, к многократному возрастанию числа расчетных ячеек. Во-вторых, в случае значительного разрежения расчетного вещества может возникнуть ситуация, когда указанный выше газ становится "недостаточно легким", то есть начинает влиять на решение. Кроме того, введение в процесс расчета вспомогательных частиц может привести к тому, что они могут попасть в область с веществом, что ведет к нефизичности решения.
Целью работы ЯВЛЯеТСЯ:
определение новых геометрических объектов - областей соответствия, являющихся обобщением понятия ячейки Дирихле на случай невыпуклой области;
- конструирование эффективного алгоритма построения областей
соответствия в невыпуклой области;
построение полностью консервативной дифференциально-разностной схемы метода "частиц Дирихле" для решения уравнений газовой динамики в лагранжевых переменных;
- исследование аппроксимационных свойств разностных схем метода
"частиц Дирихле" для решения уравнений газовой динамики;
- сравнительное исследование геометрических свойств областей
соответствия некоторых свободно-лагранжевых методов.
научная новизна. Дано определение новых геометрических объектов, являющихся обобщением понятия ячеек Дирихле на случай невыпуклой области. Исследованы их свойства. Показано, что для новых геометрических объектов сохраняются важнейшие свойства ячеек Дирихле. Предложен алгоритм построения этих объектов. С помощью метода опорных операторов построена полностью консервативная дифференциально-разностная схема для решения газодинамических задач со свободной границей. Исследованы вопросы аппроксимации интегрального уравнения неразрывности газовой динамики. Проведено исследование геометрических свойств некоторых областей соответствия, используемых в свободно-лагранжевых методах.
практическая ценность. Построенная в работе разностная схема используется для решения задач гидро- и газодинамики.
Алгоритм построения областей соответствия в невнпуклой области широко используется при решении различных задач.
Алгоритмы, используемые при построении областей соответствия,' строят триангуляцию произвольной многоугольной области и могут быть использованы в различных методиках.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались:
на научных семинарах ИПМ им. М.В.Келдыша РАН;
на научных семинарах ИММ РАН; ,
на Втором Всесоюзном совещании по методам построения сето", г.Свердловск, 1990г.
на международной конференции IHACS'90, г.Москва, 1990г.
- на международной конференции ICIAM'91, г.Вашингтон, 1991г.
- на международной конференции по проблемам визуализации,
г.Новосибирск, 1991г.
- на международной конференции IMACS'91, г.Дублин, 1991г.
публикации. По результатам работы имеется .публикаций.
объем диссертации. Диссертация изложена на страницах
машинописного текста, содержит ^ рисунков. Библиография
наименований. ( Общее количество страниц - ).
