Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию математических моделей тепловых процессов в областях с подвижными во времени границами и возникающих в этих областях температурных напряжений.
В диссертации сосредоточено основное внимание на модельных представлениях процесса теплопроводности в областях с движущимися во времени границами, функциональных конструкциях в качестве аналитических решений для конкретных законов движения границы, простых примерах иллюстративного и содержательного характера. В связи с этим в диссертации не рассматриваются вопросы качественной теории уравнений параболического типа, асимптотические подходы. Развитые в работе подходы позволили рассмотреть важную для физической теории прочности материалов проблему теплового удара в терминах динамической термоупругости при наличии движения во времени границы
области термонапряженного состояния по линейному закону y\t) = 1 + vt и закону y\t) = fi\t, где /,v,|3 — постоянные. Построены многочисленные графики и произведён сравнительный анализ термонапряженных состояний для этих типов областей.
В литературе принято называть область нецилиндрической, если хотя бы одна из частей её границы движется во времени. Если границы области не меняют во времени своей формы, то область называют цилиндрической.
Актуальность работы
До последнего времени в работах, посвященных данной тематике, предполагалось, что геометрия тела остается неизменной с течением времени. Однако во многих практически важных ситуациях это предположение о неизменности во времени геометрии тела не выполняется и возникает необходимость развивать модельные представления задач теплопроводности и термомеханики в областях с движущимися во времени границами, то есть находить температуры, напряжения и деформации в этих областях. Стоит отметить, что краевые задачи для этих случаев чрезвычайно сложны, и для их аналитического решения классические методы математической физики оказываются неэффективными, так как не удается согласовать решение параболического уравнения с движением границы. В результате остро актуальной становится проблема создания нового математического аппарата, позволяющего находить аналитические решения вышеуказанных модельных задач для различных законов движения границы. Указанная проблема определила направление исследований. И хотя работы академиков Лыкова А.В., Тихонова А.Н., Самарского А.А.,
Гринберга Г.А. и его сотрудников (Чекмарева О.М., Косе В.А.), Карташова Э.М. и других заложили в этой области прочный фундамент, мы все же ещё находимся в начале пути.
Краевые задачи теплопроводности в нецилиндрической области, рассматриваемые в диссертации, включают случаи, когда движение границы области задано, а также случаи, когда это движение требуется определить из дополнительных условий задачи (условие
Стефана дТ^
.dy = А — ,t>0, выражающее баланс энергии при переходе среды из
X=y(t) dt
= x(t\t>0 в более
x=y{t)
одного агрегатного состояния в другое, или типа Стефана
общих задачах для уравнения теплопроводности с движущейся во времени границей). В качестве приложений развитых методов рассмотрена динамическая реакция для упругого полупространства на тепловой удар.
Цель работы
Цель диссертации — развитие модельных представлений процессов теплопроводности и термоупругости в областях с движущимися во времени границами. Это достигается путём развития методов нахождения точных аналитических решений краевых задач теплопроводности и термоупругости для этих указанных областей, получением новых функциональных конструкций в качестве аналитических решений для конкретных законов движения границы, построением точных решений в областях с границей, движущейся по
закону y\t) = РлД , проведением соответствующих численных экспериментов, развитием численных методов и построения комплекса программ для нахождения корней ряда сложных трансцендентных уравнений, возникающих при нахождении аналитических решений в
областях с границей, движущейся по закону y(t) = (3v t Научная новизна
Развит метод функции Грина для областей нецилиндрического типа. Установлена разница в постановке краевых задач для областей канонического типа и областей нецилиндрического типа.
Получены точные аналитические решения указанных краевых задач теплопроводности
в области Q, с помощью метода функции Грина.
Численно решена проблема нахождения нецелых корней рп уравнения Dp (z) = О (z = D (q) — специальная функция параболического цилиндра) при фиксированном
значении аргумента и построена таблица первых 10 корней этого уравнения с точностью до седьмого знака после запятой для каждого z с шагом 0,1 в интервале от 0 до 10с помощью программы, написанной в среде Mathcad.
В результате рассмотрения проблемы теплового удара при температурном нагреве
упругих полупространств z>l + vt, t>0, v = const и z > fi4t, t > 0, /3 = const в квазистатическом случае выведена точная формула для этих напряжений, когда граница движется по закону z >
Практическая значимость
В диссертации разработан математический аппарат, позволяющий получать важную информацию об особенностях теплового и термонапряженного состояния, возникающего в упругих твердых телах, подвергающихся резким термическим воздействиям, в том числе при изменении геометрических размеров тел. Развитые подходы позволили рассмотреть важную для физической теории прочности проблему теплового удара в терминах динамической термоупругости при наличии движения границы. Изученные в диссертации закономерности могут быть использованы при разработке методов применения лазеров в технологических операциях и при производстве самих лазероактивных материалов; при исследовании синтеза и свойств высокопрочных термостабильных полимеров и эластомеров; при изучении термоупругих и динамических эффектов в проводниках и диэлектриках; при исследовании термических напряжений, возникающих в космических аппаратах при вхождении в плотные слои атмосферы и разработке термостойких покрытий для них, способных выдерживать экстремальные термические воздействия, в геологических породах, нефтеносных пластов; при изучении распространения термоупругих волн в мантии Земли; в реакторостроении и ядерной энергетике — как при проектировании реакторов, так и при математическом моделировании аварий на них; а также в ряде других фундаментальных и прикладных исследований. Большую практическую ценность работа имеет для исследования термических эффектов при распространении трещин, когда на берегах распространяющейся трещины (область с движущейся границей) задается постоянная температура, приводящая к разрушению материалов, механизмов или летательных аппаратов; при исследовании процессов плавления электрических контактов; при изучении процесса горения, воздействия электрической дуги на контакты; при исследованиях промерзании растворов, грунтов; при исследовании кинетического роста кристаллов. Разработанные методы решения краевых задач могут найти применение в разных областях техники, связанных с авиацией и космическими исследованиями, в химической технологии и других сферах деятельности
человека, например, в МФТИ, ИПМ РАН, РНЦ «Курчатовский институт» и других научных центрах и организациях, а также при обучении магистров и студентов, обучающихся по направлению (специальности). Результаты диссертации, касающиеся краевых задач в областях с движущимися границами, используется в учебном курсе «Прикладная термомеханика» в ФГБОУ ВПО Московского Государственного Университета тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова при обучении специалистов по направлению «Прикладная математика» (специализация «Математическое моделирование»).
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на Международной конференции "Математические модели физических процессов" (Таганрог, 2007 г.), на Международной научно - технической конференции "Повышение эффективности теплообменных процессов и систем" (Вологда, 2005 гг.), на городском семинаре по проблемам тепломассопереноса в МИТХТ им. М.В. Ломоносова (2000-2011 гг.), на 3-й Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2002 г.), на 5-й Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2010 г.).
Личный вклад автора
Автор принимал участие на всех стадиях работы: в постановке проблемы и цели исследования, в разработке теоретических подходов при выполнении основной части работы, в обобщении и анализе полученных результатов.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 9 работ.
Структура и объем диссертации
