Содержание к диссертации
Введение
1. Методика расчета параметров атмосферы, траектории спуска и тепловых потоков, подведенных к космическому спускаемому аппарату 12
1.1. Постановка задачи 12
1.2. Космические спускаемые аппараты и их характеристики 13
1.2. Методика для расчета параметров атмосферы земли 19
1.2.1. Состояние вопроса по определению параметров атмосферы 23
1.2.2. Расчетные соотношения для определения параметров атмосферы и полученные результаты 26
1.3. Методика расчета баллистической траектории спуска для космического спускаемого аппарата
1.3.1. Состояние вопроса по расчету траектории спуска для космического спускаемого аппарата
1.3.2. Расчетные соотношения для расчета баллистической траектории космического спускаемого аппарата
1.3.3. Результаты расчета 34
1.4. Методика расчета тепловых потоков, действующих на поверхность космического спускаемого аппарата 37
1.4.1. Состояние вопроса по определению тепловых потоков на поверхности космических спускаемых аппаратов
1.4.2. Методика определения числа Кнудсена и полученные результаты
1.4.3. Методика вычисления числа Рейнольдса и полученные результаты
1.4.2. Расчетные соотношения для расчета тепловых потоков, действующих на поверхности космического спускаемого 45
аппарата
1.4.3. Результаты расчета 48
1.5. Полученные результаты и выводы к главе 49
2. Математическое моделирование потери массы полимерного композиционного материала
2.1. Постановка задачи 50
2.2. Состояние вопроса по определению потери массы полимерных композиционных материалов 53
2.3. Математическая модель потери массы материала тепловой защиты из полимерного композиционного материала
2.4. Полученные результаты и выводы к главе 59
3. Математическое моделирование физико-химических процессов в полимерном композиционном материале высокой температуре при 60
3.1. Постановка задачи и состояние вопроса по определению физико-химических процессов, происходящих на поверхности полимерных композиционных материалов 60
3.2. Качественное описание процесса термической деструкции 62
3.3. Модель физико-химических процессов на поверхности тепловой защиты из полимерного композиционного материала 65
3.3.1. Физико-химические процессы при термодеструкции стеклопластика на основе фенолоформальдегидного связующего
3.3.2. Расчет поглощения теплоты при термодеструкции стеклопластика на основе фенолоформальдегидной смолы
3.4. Полученные результаты и выводы к главе 78
4. Методика расчета нелинейной нестационарной задачи теплопроводности с учетом физико-химических превращений и потери массы 79
4.1. Постановка задачи 79
4.2. Состояние вопроса по расчету нелинейной нестационарной задачи теплопроводности с учетом физико-химических превращений и потери массы
4.3. Математическая модель для описания процесса нелинейной нестационарной теплопроводности с учетом физико-химических 81 превращений и потери массы
4.3.1. Метод конечных разностей для решения одномерной задачи нелинейной нестационарной теплопроводности
4.3.2. Формирование уравнения теплопроводности с учетом термодеструкции материала 4.3.2.1. Температурное поле в материале 84
4.3.2.2. Тепловые потоки через грани элементарного параллелепипеда
4.3.2.3. Поглощение теплоты за счет теплоемкости 88
4.3.2.4. Отток тепла за счет термодеструкции материала 90
4.3.2.5. Уравнение теплопроводности для полимерного композиционного материала
4.3.3. Уравнение теплопроводности для полимерного композиционного материала с учетом физико-химических 92
превращений и потери массы
4.3.4. Разностный аналог уравнения теплопроводности с учетом уноса теплоты с уходящими газами при термодеструкции
4.3.5. Результаты расчета 104
4.4. Эталонная задача теплопроводности 105
4.4.1. Выбор дифференциального уравнения теплопроводности 105
4.4.2. Задание температурного поля в пластине 106
4.4.3. Определение источника тепла q 109
4.4.4. Результаты расчета 111
4.5. Оценка погрешности используемого разностного метода 116
4.5.1. Вводная часть 116
4.5.2. Теоретические основы 117
4.5.3. Верификация методов оценки погрешности. Повторная
123 экстраполяция
4.5.3.1. Критерий качества оценки погрешности 123
4.5.3.2. Оценка погрешности методов повторной экстраполяции 125
4.5.4. Численный эксперимент 128
4.6. Полученные результаты и выводы главы 138
Заключение 140
Литература
- Космические спускаемые аппараты и их характеристики
- Состояние вопроса по определению потери массы полимерных композиционных материалов
- Качественное описание процесса термической деструкции
- Состояние вопроса по расчету нелинейной нестационарной задачи теплопроводности с учетом физико-химических превращений и потери массы
Введение к работе
Посадка на планеты с атмосферой или возращения на Землю из космоса - один из наиболее сложных и важных этапов космического полета. Задачей космического спускаемого аппарата (КСА) является высадка на поверхность планеты или возвращение на Землю некоторого полезного груза. Подлет к планете и погружение в ее атмосферу происходит со скоростью 7,9 -г-10 км/с и гашение этой скорости осуществляется за счет аэродинамического торможения в атмосфере. При торможении на него действует мощный тепловой поток, поступающий от ударного слоя газа, нагретого в передней части аппарата до нескольких тысяч градусов. Для предохранения КСА от действия теплового потока применяется наружная теплозащищающая оболочка, изготовляемая из стеклопластиков.
КСА работают на завершающей стадии космического полета и каждый лишний килограмм их веса эквивалентен десяткам килограммов стартового веса носителя. В связи с этим возникает задача минимизации веса тепловой защиты КСА за счет снижения толщины его наружной оболочки. При минимизации средств спуска и посадки по весовому критерию приходится детальным образом учитывать связи между режимами движения и конфигурацией аппарата. Именно от этих параметров зависит, с одной стороны, распределение тепловых потоков и массы теплозащиты и, с другой стороны, несущие и тормозные характеристики аппарата, которые определяют протяженность, теплонапряженность и перегрузочный режим траектории спуска, то есть, в конечном счете, массу конструкции, теплозащиты и топлива двигательных систем, используемых для торможения и управления движением.
Только комплексный подход к задаче оптимизации геометрических, компоновочных и весоэнергетических параметров СА может гарантировать получение достоверных результатов при выборе рациональных проектных
решений. Предполагается, что при оптимизации используются численные поисковые методы, и для решения этой задачи выбор проектных параметров осуществляется в системе автоматизированного синтеза конфигурации СА.
Актуальность решаемой проблемы
Для создания эффективной и надежной тепловой защиты космических спускаемых аппаратов и других объектов из полимерных композиционных материалов (ПКМ) необходимы эффективные методы расчета поведения материалов теплозащиты при воздействии на нее интенсивных тепловых нагрузок.
Основная сложность моделирования поведения тепловой защиты при воздействии высокоинтенсивной тепловой нагрузки связана с протеканием многочисленных и взаимосвязанных физико-химических превращений на поверхности и внутри тепловой защиты из ПКМ.
Создание методики, позволяющей производить адекватное описание этих явлений при построении математической модели, является в настоящее время весьма важной и актуальной задачей. Однако практически все работы в этой области ограничиваются рассмотрением той или иной части задачи без комплексного анализа всей физической картины, что в конечном итоге, как правило, приводит к расхождению расчетных результатов и фактической реализации.
Теоретическое решение этой сложной проблемы в общем случае основывается на решении системы дифференциальных уравнений, описывающих явления нестационарного тепломассопереноса между материалом тепловой защиты и набегающим газовым потоком. Этими уравнениями являются уравнения внешней газодинамики, уравнения ламинарного и турбулентного пограничных слоев в многокомпонентных реагирующих газовых смесях, уравнения нестационарной теплопроводности внутри многослойных теплозащитных покрытий, а также уравнения кинетики поверхностного взаимодействия.
Решение выше перечисленных уравнений в сложной сопряженной постановке с учетом неодномерности и нестационарности протекания большинства процессов представляет, в настоящее время, трудности с математической и вычислительной точек зрения. К тому же исходная физическая модель данного комплексного явления еще не полностью ясна, а коэффициенты переноса и другие физико-химические параметры не достаточно достоверны.
В связи с этим в настоящее время существует актуальная проблема по формированию уточненных математических моделей поведения стеклопластиков при высоких нестационарных температурах и разработки численных методов для выполнения расчетов для данных моделей.
Важность построения физической картины воздействия и адекватного отражения, происходящих теплофизических и аэродинамических процессов иллюстрируется следующими цифрами:
скорость движения космического аппарата ~ 11,2 км/с при входе в атмосферу Земли;
тепловые потоки, действующие на поверхность тепловой защиты
~2-106кВт/м2;
относительная потеря массы при высокотемпературном нагреве ~ 0,25;
тепловой эффект разложения материала тепловой зашиты ~ 2 10 кДж/кг.
Приведенные примеры показывают, что отсутствие должного анализа физической и тепловой картины воздействия и, как следствие, формирование упрощенной расчетной модели, неадекватно описывающей сопровождающие процессы, может привести к ошибкам в расчетах и к необоснованному увеличению веса тепловой защиты и соответственно защищаемого объекта.
Целью диссертационной работы является создание математической модели процесса теплопроводности и расчет температурных полей в теплозащитных полимерных композиционных материалах при
8 высокотемпературном нагреве с учетом потери массы, физико-химических превращений и газовых компонент, выделяющихся в результате термодеструкции материала, что позволяет получать температурные поля адекватно соответствующие условиям нагрева и тем процессам, которые происходят в наружной тепловой защите из ПКМ.
Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:
Разработать математическую модель процесса теплопроводности с учетом зависимости теплофизических характеристик материала от температуры, наличия физико-химических превращений и потери массы.
Построить математическую модель эндотермического процесса физико-химических превращений с учетом газовых компонент при термодеструкции полимерного композиционного материала.
Создать математическую модель потери массы полимерного композиционного материала при высокотемпературном нагреве.
Разработать алгоритм оценки погрешности разностной схемы, основанный на результатах расчета при различных разностных сетках.
Научная новизна:
Научная новизна заключается в решении новых задач математического моделирования:
процесса нелинейной нестационарной теплопроводности материала тепловой защиты с учетом зависимости от температуры выделяющихся газовых компонент и потери массы;
воздействия высокоинтенсивных тепловых нагрузок на полимерный композиционный материал с учетом протекания химических реакций и физико-химических превращений в слое материала тепловой защиты;
потери массы теплозащитного полимерного композиционного материала при высокотемпературном нагреве.
9 Научная ценность данной работы представляется в том, что для решения поставленных задач использовались методы совместного математического моделирования нелинейных нестационарных процессов теплопроводности, физико-химических процессов (потери массы, изменения плотности материала, выделения газообразных компонент и т.д.), что позволило выявить основные закономерности процесса теплопроводности в ПКМ при высокотемпературном нагреве.
Достоверность полученных результатов базируется на положениях и соотношениях газовой динамики, термодинамики, теории тепломассообмена, химии, совместном анализе последовательных этапов решения, сопоставлении результатов с экспериментальными данными, описанными в литературе. При построении математических моделей использовались современные методы численного анализа и уровень информации по исследуемым вопросам, позволяющие получать результаты с учетом моделируемых параметров при высокотемпературных воздействиях. Экспериментальные данные, используемые в работе, получены на современном оборудовании и по методикам, защищенным авторскими патентами.
Практическая ценность работы заключается в создании математической модели процесса теплопроводности с учетом зависимости теплофизических характеристик материала от температуры, наличия физико-химических превращений, учета газовых компонент, выделяющихся при термодеструкции ПКМ и потери массы, что дает возможность строить расчетные модели, более точно отражающие реально происходящие процессы.
Поставленные вопросы, как указывалось выше, взаимосвязаны и взаимообусловлены, поэтому именно их комплексное рассмотрение имеет важное практическое и научное значение.
На базе построенных математических моделей потери массы и физико-химических превращений на поверхности стеклопластиков реализованы
10 алгоритмы и создан ряд программ, позволяющих проводить численные эксперименты по воздействию высокоинтенсивных тепловых нагрузок на элементы тепловой защиты, что может быть широко использовано в проектной и расчетной инженерной практике.
Предложенный комплексный подход при разработке предложенной математической модели теплопроводности в ПКМ находит применение при решении задач, связанных с работой ПКМ в условия высокотемпературного воздействия, таких как, например, тепловая защита из ПКМ объектов, работающих в условиях высокотемпературного нагрева, теплонапряженность тепловых печей в нефтехимической промышленности и т.д.
Публикации. По материалам диссертации автором опубликовано 16 печатных работ.
В первой главе проведен обзор работ по видам форм космических спускаемых аппаратов, расчету траектории движения космических спускаемых аппаратов, параметрам атмосферы Земли, расчету чисел Кнудсена, Рейнольдса и тепловых потоков, действующих на поверхность спускаемого аппарата, расчета траектории полета с учетом изменения плотности и ускорения свободного падения по высоте спуска. Проведены расчеты траектории и тепловых потоков, действующих на поверхность космического спускаемого аппарата. Результаты расчетов, полученные в этой главе, служат исходными данными для дальнейших расчетов.
Во второй главе диссертации разработана математическая модель потери массы материала тепловой защиты при высокотемпературном нагреве для стеклопластика на фенолоформальдегидном связующем КТ-11-К-Ф. Разработан алгоритм определения параметров данной модели по результатам испытаний при линейных законах нагрева.
Произведена проверка точности модели путем сравнения расчетных и экспериментальных результатов.
В третьей главе разработана математическая модель физико-химических процессов, происходящих на поверхности тепловой защиты при высокотемпературном нагреве. В качестве теплозащитного материала из полимерного композиционного материала рассматривается стеклопластик на фенолоформальдегидном связующем. Данная математическая модель важна для определения процессов теплообмена на поверхности тепловой защиты.
Экспериментальные данные продуктов разложения для стеклопластика на основе фенолоформальдегидной смолы взяты из литературы. На основе их построена расчетная схема для определения теплового эффекта термодеструкции для конкретного вида стеклопластика при нагреве. Определен тепловой эффект физико-химических превращений на поверхности тепловой защиты космического спускаемого аппарата. В результате получен график зависимости теплового эффекта разрушения фенолоформальдегидной смолы в зависимости от температуры нагрева.
В четвертой главе разработана методика расчета нелинейной нестационарной задачи теплопроводности с учетом физико-химических превращений и потери массы. Решена эталонная задача с учетом внутреннего объемного источника тепла и зависимостей теплофизических характеристик материала от температуры. Разработан алгоритм оценки погрешности решения, основанный на результатах расчета при различных сетках. Для эталонной задачи проведен численный эксперимент и получены оценки погрешности двумя способами: с помощью сравнения с известным аналитическим решением и без него путем многократной экстраполяции и сравнения с наиболее точным значением.
На базе построенной разностной сетки рассчитано температурное поле в исследуемом стеклопластике (с учетом физико-химических превращений, потери массы). Данная методика позволяет рассчитывать реальные температурные поля в полимерных композиционных материалах, работающих условиях высоких температур.
1. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ АТМОСФЕРЫ, ТРАЕКТОРИИ СПУСКА И ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ, ПОДВЕДЕННЫХ К КОСМИЧЕСКОМУ СПУСКАЕМОМУ
АППАРАТУ
1.1. Постановка задачи
Для разработки математической модели, описывающей процессы,
ПгчОИСХОттЯттЧІЄ В СТеКЛОПЛаСТИКОВОИ ТеПЛОВО^ чятттмтр rmw pm ЛРЙОТВИИ
высокотемпературного набегающего потока газа на поверхность космического спускаемого аппарата (КСА) необходимо знать тепловые потоки, воздействующие на поверхность тепловой защиты КСА. Поэтому первоначально нужно рассчитать параметры атмосферы, траекторию полета, скорость спуска КСА в каждый момент времени и на любой высоте в диапазоне высот от 0...80 км над уровнем моря, а также необходимо определить общее время спуска КСА.
В данной главе ставится задача разработать методику для вычисления параметров атмосферы, траектории спуска космического спускаемого аппарата и тепловых потоков, подведенных к поверхности КСА. А также разработать методику и программу для расчета скорости входа спускаемого аппарата в атмосферу Земли, траектории спуска космического спускаемого аппарата, вычисления суммарного времени спуска в атмосфере Земли и получить графики зависимостей скорости полета от высоты, высоты полета от времени и дальности полета от времени, суммарного теплового потока, действующего на поверхность КСА.
1.2. Космические спускаемые аппараты и их характеристики
Освоение космического пространства, и в первую очередь околоземного космоса, привело к возникновению класса летательных аппаратов, рассчитанных на вход в атмосферу и посадку на поверхность планеты.
Облик аппарата зависит от условий входа в атмосферу, от параметров атмосферы и гравитационного поля планеты, а также от тех операций, которые необходимо осуществить на участке спуска и посадки.
Космические спускаемые аппараты могут входить в атмосферу с подлетных траекторий с гиперболической скоростью ( > 11,2 км/с) или с околопланетных орбит.
КСА можно разделить на две группы. Одна из них, обладает высоким аэродинамическим качеством и обеспечивает возможность посадки на аэродром. Обычно аэродинамическая компоновка таких аппаратов предполагает наличие крыльев или несущего корпуса. Примерами таких аппаратов являются «Спейс-Шаттл» и «Буран». Другая группа аппаратов с малым значением аэродинамического качества предназначена не для посадки на аэродром, а для спуска в заданном районе планеты. Большинство таких спускаемых аппаратов имеет форму тел вращения малого удлинения. Условия спуска в атмосфере требуют решения определенных аэродинамических проблем, которые, в первую очередь, связаны с аэродинамическим сопротивлением (при баллистическом спуске), аэродинамическим качеством (при «скользящем спуске») и аэродинамической стабилизацией при входе в атмосферу.
Соотношение между несущим и тормозным свойствами разделяет спускаемые аппараты на пять разновидностей: аппараты баллистического спуска (без аэродинамического качества); аппараты с малым аэродинамическим качеством (К<0,4)\ аппараты с умеренным аэродинамическим качеством (К = 0,4-f 0,7); аппараты со значительными
14 несущими способностями (^ = 0,7^-1,0) и аппараты планирующего типа с высоким аэродинамическим качеством.
Освоение дальнего космоса приводит к росту скоростей входа и увеличению приводит к росту скоростей входа и увеличению вероятностного разброса условий входа в атмосферу при возвращении космического аппарата на Землю. При этом возникает тенденция увеличения располагаемых маневренных возможностей спускаемого отсека и, прежде всего его аэродинамического качества [6].
Повышение аэродинамического качества связано с необходимостью решения ряда весьма сложных конструктивных и технических задач -теплозащиты несущих поверхностей аппарата, точного прогнозирования и управления траекторией на всем ее протяжении, включая участок, где из-за высокой интенсивности ионизации воздуха в ударной волне связь с командными станциями затруднена [5], [99]. Поэтому при спуске в атмосфере орбитальных космических аппаратов [41], [67], [83] была избрана простейшая схема спуска по баллистической траектории, а сами спускаемые аппараты представляли собой капсулы, не имеющие несущих способностей, с аэродинамическим качеством К = 0 - баллистические капсулы (рис. 1.1, а).
о) б) в)
Рис. 1.1. Типичные схемы баллистических и полубаллистических аппаратов
спуска: а - капсула с нулевой подъемной силой; б - капсула с тормозным
устройством; в - капсула с малой подъемной силой.
Рассмотренные в работе [67] аппараты с нулевым аэродинамическим качеством и регулируемой величиной аэродинамического сопротивления также можно считать баллистическими спускаемыми аппаратами, т.к. регулирование сопротивления позволяет лишь изменить распределение перегрузок на траектории, не создавая возможности для маневра и выбора точки приземления на основном этапе спуска (рис. 1.1,6).
Космические аппараты [34], [41], [86], рассчитанные на создание небольшой подъемной силы при снижении за счет смещения центра масс аппарата (обеспечивающего ориентацию аппарата под углом к потоку), могут осуществлять управляемый спуск. Управление креном для аппаратов такого типа дает возможность некоторого маневра на траектории, компенсации разброса начальных условий входа и снижения уровня перегрузок и нагрева при спуске (рис. 1.1, в). Такие аппараты можно назвать полубаллистическими.
Для аппаратов капсульного вида используется тело вращения, состоящее из лобового сегмента с хвостовой цилиндрической или, чаще, слабо конической частью.
Баллистический спуск с орбиты аппарата капсульного вида совершается при отсутствии подъемной силы. В то же время так называемый «скользящий» спуск предполагает наличие у тела вращения аэродинамического качества, определяемого его формой и углом атаки.
К типичным схемам спускаемых аппаратов баллистического спуска в первую очередь относят аппараты [78], имеющие форму (рис. 1.2, а, б, в):
сферы (их = 2 10~ м2/Н; л;ц д - дгц м = 0,1 d); фары (сгх = 2 10~ м2/Н;
6i=60...80; 95=5...30; e = d); закругленного конуса (rH0C «0,2af) с большим углом раствора или близкого к нему тела с образующей - кривой
второго порядка (<зх&2Л0Г м2/Н) и т.д., где ax=CxS/mg
баллистический коэффициент [79].
Основными недостатками аппаратов баллистического спуска являются большие перегрузки в процессе спуска и резкое возрастание их при увеличении углов входа СА в атмосферы планет, а также значительные отклонения от заданного места посадки.
По ряду соображений сферическая форма может представлять интерес для аппарата, предназначенного для спуска с орбиты. Однако при этом отсутствует возможность использования подъемной силы. Такая возможность появляется только при деформации контура сферы, например, при срезе части сферической поверхности.
а) б) в) г)
Рис. 1.2. Аэродинамические схемы спускаемых аппаратов баллистического спуска: а — сфера; б- фара; в - затупленный конус. Аэродинамические схемы спускаемых аппаратов «скользящего типа»: б- фара; в — затупленный конус;
г -конус со скошенным основанием; Ц.М. - центр масс; Ц.Д. центр давления.
Спускаемые аппараты, обладающие аэродинамическим качеством, делят на две основные группы. Спускаемые аппараты, имеющие небольшое качество (К = 0,1...0,6), относят к аппаратам скользящего спуска, а СА с аэродинамическим качеством 0,6 < К < 3 (посадочное до 4) - к аппаратам планирующего спуска [78].
Аппараты, использующие траектории равновесного планирования (AT = var) обеспечивают длительный спуск С А с относительно малыми силовыми и тепловыми нагрузками и характеризуются малыми и слабо меняющимися углами спуска.
К типичным схемам аппаратов, обладающих малым аэродинамическим качеством («скользящих» СА), в первую очередь относят формы КСА, приведенные в работе [78]: фара; затупленный конус; конус со скошенным основанием.
Достижение значений аэродинамического качества (при Мм « 6) (см. табл. 1.1):
Таблица 1.1
1.2. Методика для расчета параметров атмосферы Земли
1.2.1. Состояние вопроса по определению параметров
атмосферы
Самые нижние слои атмосферы до 11 км, где справедливы основные соотношения между параметрами атмосферы [77]:
(1.2.1)
Р = Ро
( h Л5,256
44300. h V'256
Р = Ро 1
(1.2.2)
44300,
Т = Т0 -0,0065/г (1.2.3)
принято называть тропосферой [100]. Слои, расположенные выше 11 км, называют стратосферой. Область атмосферы, начиная с 90 км—ионосфера, а самые верхние слои (выше 1000 км) — экзосфера.
Число ракетных зондировании верхней атмосферы, проведенных до настоящего времени, и качество измерений не позволяют построить точную модель атмосферы с учетом географической привязки, месяца, времени суток, а также случайных отклонений. Поэтому часто используется приближенная модель систематических и случайных вариаций плотности атмосферы на основе сопоставления и обобщений полученных результатов. Наряду с рассмотрением экспериментальных данных проводятся отдельные оценки возможных состояний атмосферы с учетом ее физических свойств.
Вместе с этим при проектировании и качественном анализе характеристик движения тела используют простейшие модели атмосферы. Одной из таких моделей является изотермическая атмосфера [70], для которой плотность и давление являются экспоненциальными функциями высоты:
p p
-^- = — = exp Po Po
(1.2.4)
fl*
V A±* J
где нулевые индексы обозначают параметры на уровне моря, а Н* « 7,11 км в
диапазоне высот // = 0 -ь 80 км.
Изотермическая модель является приближенной, но она может быть использована для достаточно точного описания реального изменения плотности с высотой, если для различных диапазонов высот принимать различные значения масштабной высоты Н*. Если величину Н* принимать
различной в зависимости от диапазона высот, то такую модель называют квазиизометрической [104]. Обе эти модели неплохо согласуются с параметрами стандартной атмосферы. Кваизометрическая модель изменения плотности и давления в зависимости от высоты использовалась в работах [49, 50, 53, 55].
Адиабатический теплообмен может ожидаться лишь в небольшом диапазоне высот [6].
Применение аналитических зависимостей вида (1.2.4), определяющая изменение параметров атмосферы с высотой теряет смысл при точных численных расчетах траектории, когда модель атмосферы может быть задана таблично.
Многочисленные наблюдения показывают, что атмосфера имеет четко выраженное слоистое строение [21]. Основные черты слоистой структуры атмосферы определяются в первую очередь особенностями вертикального распределения температуры. В самой нижней части атмосферы - тропосфере, где наблюдается интенсивное турбулентное перемешивание, температура убывает с увеличением высоты, причём уменьшение температуры по вертикали составляет в среднем 6 С на 1 км. Высота тропосферы изменяется от 8-10 км в полярных широтах до 16-18 км у экватора. В связи с тем, что плотность воздуха быстро убывает с высотой, в тропосфере сосредоточено около 80% всей массы атмосферы. Над тропосферой расположен переходный
21 слой - тропопауза с температурой 190-220 К, выше которой начинается стратосфера. В нижней части стратосферы уменьшение температуры с высотой прекращается, и температура остаётся приблизительно постоянной до высоты 25 км - т. н. изотермическая область (нижняя стратосфера); выше температура начинает возрастать - область инверсии (верхняя стратосфера). Температура достигает максимума ~ 270 К на уровне стратопаузы, расположенной на высоте около 55 км. Слой атмосферы, находящийся на высотах от 55 до 80 км, где вновь происходит понижение температуры с высотой, получил название мезосферы. Над ней находится переходный слой -мезопауза, выше которой располагается термосфера, где температура, увеличиваясь с высотой, достигает очень больших значений (свыше 1000 К). Ещё выше (на высотах ~ 1000 км и более) находится экзосфера, откуда атмосферные газы рассеиваются в мировое пространство за счёт диссипации и где происходит постепенный переход от атмосферы к межпланетному пространству. Обычно все слои атмосферы, находящиеся выше тропосферы, называются верхними, хотя иногда к нижним слоям атмосферы относят также стратосферу или её нижняя часть.
Первое повышение температуры в диапазоне высот 30...50 км в основном объясняется тем, что на этих высотах в составе атмосферы содержится большее, чем в других слоях, количество озона, который достаточно интенсивно поглощает ультрафиолетовое излучение. Дальнейшее понижение температуры можно объяснить теми же естественными причинами, что и в нижних слоях атмосферы. Наконец, последнее повышение температуры, начинающееся с высот 80..Л00 км, связано с бомбардировкой самых верхних слоев атмосферы космическими частицами и, естественно, прямой солнечной радиацией. Поэтому здесь температура сильно колеблется в течение суток. Установлено, что на высотах 250...300 км температура составляет 1000,...2000 К.
Вследствие большой разреженности среды передача энергии от газа
22 любому телу очень мала, и баланс между тепловой энергией, полученной от газа и потерянной телом посредством излучения, устанавливается при относительно низкой температуре.
В этом отношении несравненно большее значение имеет подвод тепла от внешних (Солнца, планет, факела двигателя и т. д.), а также внутренних (энергетических установок, работающего оборудования, приборов, экипажа и т. д.) источников тепла [77].
Аналогичные выражения могут использоваться не только для тропосферы, но также и в пределах характерных слоев атмосферы с соответствующим изменением числовых коэффициентов и начальных значений температуры, плотности и давления. Именно этим и объясняется кусочно-линейное распределение температур по высоте.
1.2.2. Расчетные соотношения для определения параметров атмосферы и полученные результаты
В основу этой методики вложены экспериментальные данные параметров атмосферы (давления, плотности, температуры) в зависимости от высоты над уровнем моря. Исходная информация по параметрам атмосферы взята из работы [79]. Для изучения движения летательного аппарата в атмосфере используют таблицы стандартной атмосферы СА-64 (ГОСТ 4401-64), которые определяют средние значения температуры Г, давления р,
плотности р в зависимости от высоты над уровнем моря Н .
Для расчета давления, плотности и температуры атмосферы для различных высот использовались табличные данные, приведенные в работе [79], а также проводилась кубическая интерполяция по табличным значениям.
Результаты представлены в виде графиков зависимостей плотности атмосферы от высоты Н = f(p), давления атмосферы от высоты Н — f(p), температуры атмосферы от высоты Н = f(T).
р, кг/м
Рис. 1.3. Зависимость плотности атмосферы р, кг/м3 от высоты над уровнем
моря Н, м.
Р, Па
Рис. 1.4. Зависимость давления атмосферы Р, Па от высоты над уровнем
моря Н, м.
T.K
Рис. 1.5. Зависимость температуры атмосферы Г, К от высоты над уровнем моря Н, м.
1.3. Методика расчета баллистической траектории спуска для космического спускаемого аппарата
1.3.1. Состояние вопроса по расчету траектории спуска для космического спускаемого аппарата
В работе [63] представлены точные уравнения движения летательного аппарата при спуске в атмосферы планет, но их нельзя решить аналитически, они решаются численно.
В работе [108] исследуется движение неуправляемого тела около центра масс при полете в атмосфере с помощью метода усреднения. Для случая движения идеального осесимметричного тела приведены приближенные формулы, связывающие вероятные значения амплитуды колебаний с условиями входа в атмосферу. А также в работе [108] рассмотрено движение тела с малой аэродинамической и массовой асимметрией и выявлены основные закономерности этого движения.
В работах [37, 38] приведены результаты расчетов траектории с учетом рассеяния траектории и влияния ветра при движении конкретных летательных аппаратов.
Приближенные методы расчета траектории спуска описаны в работах [77 - 79], расчеты по которым были использованы в работах [49, 50, 53, 55].
Более точный метод расчета траектории приведен в [16]. Основные уравнения движения записаны в скоростной системе координат с учетом общепринятых допущений [6, 74] в унифицированной форме, пригодной для любой планеты, в том числе и для Земли.
dV _ pV dt ~ 2PV
g3-gnsin9,
(1.3.1)
dQ = KpV_ dt " 2/>
g3+gncos6
ґ
gnRn vt
(1.3.2)
dH dt
= Fsin0
(1.3.3)
dL dt
(1.3.4)
= Fcose,
где V -скорость полета; 0- угол наклона траектории к местному горизонту; g3- ускорение свободного падения на поверхности Земли; gn- ускорение свободного падения на высоте полета в атмосфере планеты; Rn - расстояние от центра планеты до той высоты, на которой движется аппарат; Н - высота полета; L- дальность полета; р- плотность атмосферы, определяемая на
заданной высоте полета; Рх- нагрузка на несущую площадь. При этом
Рх = G/(CX S) или Рх =mg3 l\Cx S), где G- суммарный вес аппарата; Сх -
коэффициент лобового сопротивления КСА; S- несущая поверхность; т-масса аппарата, К - коэффициент аэродинамического качества КСА, К = Су1Сх , где Су - коэффициент подъемной силы КСА, Сх - коэффициент
лобового сопротивления КСА.
1.3.2. Расчетные соотношения для расчета
баллистической траектории
космического спускаемого аппарата
Для расчета траектории спуска в первом приближении воспользуемся методикой, предложенной в работе [16], при следующих допущениях [63, 95, 104, 109].
Земля является идеальной сферой, а поле тяготения - сферическим центральным полем;
Вращение Земли отсутствует (это приводит к получению осредненных характеристик траекторий входа, не зависящих от выбора направления и места входа в атмосферу по отношению к направлению вращения Земли), атмосфера неподвижна;
Планета, на которую спускается аппарат правильная сфера;
Для баллистического спуска аэродинамическое качество КС А К = Су /Сх = 0, где Су - коэффициент подъемной аэродинамической
силы, Сх - коэффициент сопротивления КСА;
Траектория лежит в плоскости, содержащей начальный вектор скорости входа в плотную атмосферу;
Не учитывается влияние изменения высоты Н полета на изменения ускорения силы тяжести Земли;
атмосфера квазиизотермическая (экспоненциальная):
р = р0ехр(-р/г), где для Земли р0 = 1,225, кг/м3 - плотность на уровне моря;
Р = , 1/м - коэффициент Земли, используемый при учете изменения
плотности атмосферы Земли.
В отличие от методик, изложенных в [16, 77 - 79], в предложенной методике траектория спуска КСА рассчитывается с учетом изменения плотности и ускорения свободного падения от высоты полета КСА.
Рассмотрим основные силы, действующие на КСА в процессе полета.
Рис. 1.6. Основные силы, действующие на космический спускаемый аппарат
в атмосфере Земли.
X, Y- оси координат; 1 - центр масс; 2 - точка приложения аэродинамических сил (центр давления); Рх - сила лобового сопротивления; Ру - подъемная сила; R - равнодействующая аэродинамических сил; mg -вес СА; V - скорость КСА; 0 - угол входа в атмосферу.
Для расчета траектории спуска КСА запишем уравнения движения в скоростной системе координат, т.е. в которой скоростная ось X совпадает с направлением скорости КСА, а ось Y подъемной силы Ру лежит в плоскости
симметрии КСА и направлена к верхней его части. Боковая ось Z направлена в сторону правого борта аппарата. Начало этой системы лежит в центре масс КСА.
Основное уравнение динамики имеет вид:
ma~F\ + F2 + ... + Fn, где т - масса движущейся материальной точки М, а - ускорение движения
материальной точки М, F\, fy,...,Fn - силы приложенные к материальной точке М.
Проектируем обе части векторного равенства на ось X получим:
dV d а
m—~ = Px-mgnsmQ. (1.3.5)
1 2 Распишем данное уравнение с учетом того, что Рх =—pV CXS, где
р V2 - скоростной напор, действующий на КСА, Сх - коэффициент лобового сопротивления КСА, S - площадь сечения миделя КСА. Получим:
dV 1 2
m~dt~ = 2PV C^~w^nsine. (1.3.6)
Космические спускаемые аппараты и их характеристики
Самые нижние слои атмосферы до 11 км, где справедливы основные соотношения между параметрами атмосферы [77]: (1.2.1) Р = Ро ( h Л5,256 44300. h V 256 Р = Ро 1 (1.2.2) 44300, Т = Т0 -0,0065/г (1.2.3) принято называть тропосферой [100]. Слои, расположенные выше 11 км, называют стратосферой. Область атмосферы, начиная с 90 км—ионосфера, а самые верхние слои (выше 1000 км) — экзосфера.
Число ракетных зондировании верхней атмосферы, проведенных до настоящего времени, и качество измерений не позволяют построить точную модель атмосферы с учетом географической привязки, месяца, времени суток, а также случайных отклонений. Поэтому часто используется приближенная модель систематических и случайных вариаций плотности атмосферы на основе сопоставления и обобщений полученных результатов. Наряду с рассмотрением экспериментальных данных проводятся отдельные оценки возможных состояний атмосферы с учетом ее физических свойств.
Вместе с этим при проектировании и качественном анализе характеристик движения тела используют простейшие модели атмосферы. Одной из таких моделей является изотермическая атмосфера [70], для которой плотность и давление являются экспоненциальными функциями высоты: p p - - = — = exp Po Po (1.2.4) fl V A± J где нулевые индексы обозначают параметры на уровне моря, а Н « 7,11 км в диапазоне высот // = 0 -ь 80 км.
Изотермическая модель является приближенной, но она может быть использована для достаточно точного описания реального изменения плотности с высотой, если для различных диапазонов высот принимать различные значения масштабной высоты Н . Если величину Н принимать различной в зависимости от диапазона высот, то такую модель называют квазиизометрической [104]. Обе эти модели неплохо согласуются с параметрами стандартной атмосферы. Кваизометрическая модель изменения плотности и давления в зависимости от высоты использовалась в работах [49, 50, 53, 55].
Адиабатический теплообмен может ожидаться лишь в небольшом диапазоне высот [6].
Применение аналитических зависимостей вида (1.2.4), определяющая изменение параметров атмосферы с высотой теряет смысл при точных численных расчетах траектории, когда модель атмосферы может быть задана таблично.
Многочисленные наблюдения показывают, что атмосфера имеет четко выраженное слоистое строение [21]. Основные черты слоистой структуры атмосферы определяются в первую очередь особенностями вертикального распределения температуры. В самой нижней части атмосферы - тропосфере, где наблюдается интенсивное турбулентное перемешивание, температура убывает с увеличением высоты, причём уменьшение температуры по вертикали составляет в среднем 6 С на 1 км. Высота тропосферы изменяется от 8-10 км в полярных широтах до 16-18 км у экватора. В связи с тем, что плотность воздуха быстро убывает с высотой, в тропосфере сосредоточено около 80% всей массы атмосферы. Над тропосферой расположен переходный слой - тропопауза с температурой 190-220 К, выше которой начинается стратосфера. В нижней части стратосферы уменьшение температуры с высотой прекращается, и температура остаётся приблизительно постоянной до высоты 25 км - т. н. изотермическая область (нижняя стратосфера); выше температура начинает возрастать - область инверсии (верхняя стратосфера). Температура достигает максимума 270 К на уровне стратопаузы, расположенной на высоте около 55 км. Слой атмосферы, находящийся на высотах от 55 до 80 км, где вновь происходит понижение температуры с высотой, получил название мезосферы. Над ней находится переходный слой -мезопауза, выше которой располагается термосфера, где температура, увеличиваясь с высотой, достигает очень больших значений (свыше 1000 К). Ещё выше (на высотах 1000 км и более) находится экзосфера, откуда атмосферные газы рассеиваются в мировое пространство за счёт диссипации и где происходит постепенный переход от атмосферы к межпланетному пространству. Обычно все слои атмосферы, находящиеся выше тропосферы, называются верхними, хотя иногда к нижним слоям атмосферы относят также стратосферу или её нижняя часть.
Состояние вопроса по определению потери массы полимерных композиционных материалов
Рассмотрим случай произвольного закона изменения температуры T = T(t). (2.2.3) Учтем, что потеря массы стеклопластика происходит только при температуре Т, равной или превышающей температуру начала термодеструкции Ts T TS. (2.2.4)
Математическую модель изменения массы при выполнении условия (2.2.4) примем в форме дифференциального уравнения следующего вида = a(T)f(m), T TS, (2.2.5) at где а(Т) - некоторая функция от температуры, f(m) - функция от массы. Преобразуем (2.2.5) - L = a(T)dt, T TS (2.2.6) и определим определенные интегралы от левой и правой частей равенства (2.2.6) m и \-7г\= № dt С2-2-?) где /у - момент времени, в который начинается процесс потери массы из-за достижения температуры начала термодеструкции Ts =T(ts); t - текущий момент времени; m - потеря массы в текущий момент времени /. Учитывая (2.2.7), введем обозначения т 1 О/О») = \a[T{t)]dt, (2.2.8) где величина , названа приведенным временем. С учетом обозначений (2.2.8) равенство (2.2.7) принимает вид F(m) = . (2.2.9) Из равенства (2.2.9) следует, что между приведенным временем , и величиной потери массы т существует однозначная связь, не зависящая от закона нагрева Т (/). Решив (2.2.9) относительно m, получим т = -\т) = 1). (2.2.10)
Назовем х() обобщенной функцией потери массы. Для определения параметров математической модели потери массы преобразуем уравнение (2.2.5) dm dT dT dt y JJK J и для закона нагрева (2.2.1) из (2.2.11) получим f{rri) b Опишем функцию сг(Т) выражением (2.2.12) (2.2.11) а(Т) = 10 , (2.2.13) где \/ - некоторый коэффициент;
Ts - фиксированная температура приведения, равная температуре начала термодеструкции. Для рассматриваемого стеклопластика процесс пиролиза начинается при температуре порядка 400 К (рис. 2.2.1). Поэтому принимаем 7 = 400 К. Проинтегрировав (2.2.12) с учетом (2.2.13), получаем ) = 7 10 -1) С2-2-14) М/ 1п10 при т F(m)= f——-dm. (2.2.15) J /О) ms Рассмотрим два линейных закона нагрева (2.2.16) T2=T0+kbt, где к - некоторая постоянная. Функция F(m) не зависит от закона нагрева, и потому при одинаковых значениях т согласно (2.2.14) справедливо равенство (10 -1) = 1(10 - -1). (2.2.17)
При достаточно больших значениях \/(Г, — 7 ) и \\r{T2—Ts) можно принять - -1-10 - , , . , . (2.2.18) }0m,)_lKl0w2,\ Подставив (2.2.18) в (2.2.17), получим формулу для определения коэффициента ц/ v/«—Чг- (2.2.19) Из формулы (2.2.19) следует, что в случае нагрева по линейным законам (2.2.16) при одинаковых значениях т, начиная с некоторой температуры, выполняется соотношение 2- 1-- = inv(r) = const. (2.2.20) А это означает, что графики температурных зависимостей потери массы в координатах т Т, начиная с некоторой температуры, становятся эквидестантными для смещения вдоль оси температур Т. Это и наблюдается на рис. 2.2.1, где при температуре Т 323 С термогравиметрические кривые практически эквидестантны для смещения вдоль оси температур Т. По экспериментальным кривым, представленным на рис. 2.2.1, получаем у = 0,02. При данном значении \\f погрешность соотношений (2.2.18) при температурах Т 323С менее 1%, и, значит, сделанные выше предположения достаточно точны.
Определившись с функцией а\Т), учтем, что температура является функцией времени Т = T(t) и из (2.2.5) получим F(m) = $, (2.2.21) где m - потеря массы в текущий момент времени t.
Для определения функции х( ) = F (m) воспользуемся температурной зависимостью потери массы т(Т), определенной при нагреве со скоростью Ъ = 3,33 град/с (рис. 2.2.1).
При этом для расчетных моментов времени /,- , і = 1,2,... определяем по формулам (2.2.1), (2.2.8) температуру и приведенное время ,-. Затем каждому приведенному времени 4/ ставим в соответствие потерю массы w(7}), определенную из рис. 2.2.1 по известной температуре 7}.
Качественное описание процесса термической деструкции
При высоких температурах деструкция включает реакции термического распада и окислительные одновременно. Деструкцию полимера, его деполимеризацию могут вызвать как физические явления (тепло, свет и т.п.), так и химические воздействия кислорода, воды и др. [98]. Важная информация об элементарных явлениях, развивающихся на атомарно-молекулярном уровне в полимерах при термодеструкции, получена методами масс и РЖ-спектроскопии [89].
С повышением температуры реакции термического разложения для термореактивных полимеров сопровождаются образованием твердого и неплавкого остатка — кокса. Состояние материала, характеризующееся двумя конкурирующими процессами - реакциями разложения с образованием низкомолекулярных и газообразных продуктов (Т = 250 ч- 500 С) и реакциями конденсаций, приводящими к образованию полимерных веществ с высоким содержанием углерода (Т = 400-Т-900С), - называется пиролизом [66].
Летучие компоненты, проходя через пористый обуглившийся слой, проникают во внешний поток, существенно снижая теплопроводность А, пограничного слоя газа. Из-за низкой теплопроводности теплозащитного слоя градиенты температуры в нем получаются исключительно высокими, поэтому толщина 8 зоны пиролиза в целом невелика [84]. Зависимость количества суммарного газа пиролиза фенолоформальдегидной смолы как f\T) может быть выражена уравнением прямой [69]: Гг=10 + 0,58(Г-400), где VT - выход газа, см3/г. Содержание компонентов пиролиза фенолоформальдегидной смолы, которая является одним из наиболее распространенных связующих теплозащитных материалов, приведена в таблице 1, которая взята из работы [31]:
Принцип работы разрушающихся теплозащитных систем характеризуется потерей поверхностного слоя (или разложением одной из компонент материала) ради сохранения благоприятного теплового режима внутренних слоев и самой защищаемой конструкции. Разрушение поверхностного слоя происходит в результате различных физико-химических превращений под воздействием подводимых к поверхности конвективных и радиационных тепловых потоков, диффузионных потоков химически активных компонент, а также под действием сил давления и трения. Химические реакции могут протекать как при участии компонент набегающего потока, так и независимо от них. Кроме того, на поверхности теплозащитного покрытия под действием внутреннего давления или внешних сил, а также вследствие термических напряжений может иметь место эрозия — механический унос в виде отдельных частиц.
Внутри теплозащитного покрытия может существовать не одна, а несколько зон физико-химических превращений, последовательно переводящих ту или иную компоненту из одного состояния в другое. Например, состав газообразных продуктов термического разложения смолы по мере их фильтрации в пористом каркасе может изменяться. Этот процесс сопровождается не только дополнительными тепловыми эффектами реакций AQj, но и осаждением на стенках пор твердого остатка в виде пиролитического углерода. В подобных случаях целесообразно вводить набор температур физико-химических превращений 7} , учитывая в каждом случае соответствующие физико-химические тепловые эффекты.
Использование разрушающихся теплозащитных систем имеет существенные преимущества перед другими способами тепловой защиты. Главное из них заключается в саморегулировании процесса, т. е. в изменении массового расхода материала покрытия при изменении тепловой нагрузки. Процессы разрушения сопровождаются фазовыми и химическими превращениями, а также вдувом в набегающий поток продуктов разрушения. Благодаря этим факторам указанный тип покрытий существенно превосходит по эффективности системы, работающие на принципе поглощения тепла. Разрушающиеся теплозащитные покрытия применяются преимущественно в области интенсивных или резко изменяющихся тепловых нагрузок на поверхности тела.
Снижение конвективного теплового потока при вдуве газообразных продуктов с разрушающейся поверхности является важнейшей принципиальной особенностью данного способа тепловой защиты, определяющей ее преимущества перед другими методами.
Часто для тепловой защиты применяют стеклопластики на основе фенолоформальдегидной смолы резольного типа. Формула сшитой фенолоформальдегидной смолы резольного типа имеет следующую структуру [26]: ОН CH2-Q- -,-Q:CH2 сн2 сн2 Рис. 3.1. Формула сшитой фенолоформальдегидной смолы.
При высокотемпературном воздействии на поверхности тепловой защиты из стеклопластика на фенолоформальдегидном связующем основным процессом будет процесс окисления, т.е. взаимодействие фенолоформальдегидной смолы с кислородом. Действие кислорода начинается при 200 С [26].
В процессе сгорания выделяется тепло. Под теплотой сгорания понимают то количество теплоты, которая выделяется при полном сгорании 1 моля вещества до высших оксидов при данных условиях Р, Т.
Состояние вопроса по расчету нелинейной нестационарной задачи теплопроводности с учетом физико-химических превращений и потери массы
Уравнение теплопроводности является дифференциальным уравнением с частными производными параболического типа. Для расчета температурных полей необходимо знать теплофизические свойства материала, такие как теплоемкость, плотность и теплопроводность. Особенности теплофизических свойств полимерных композиционных материалов, используемых в тепловой защите космических спускаемых аппаратов, рассмотрены в работе [57]. Особое значение имеет экспериментальное изучение теплофизических характеристик полимерных композиционных материалов, т.к. воспроизведение условий конвективного и радиационного нагрева является сложной технической задачей, которая также требует, чтобы были обеспечены меры безопасности, которые описаны в работе [46], т.к. пары фенолоформальдегидных смол относятся к 1 классу опасности [82]. В работах [47, 56] описан метод и установка для изучения теплофизических характеристик полимерных композиционных материалов при интенсивном одностороннем нагреве. Работа [45] посвящена автоматизированному проектированию экспериментальной установки для моделирования поведения теплозащитных материалов, используемых в аэрокосмической технике, при высоких температурах. Расчет температурных полей в полимерных композиционных материалах сопряжен с нелинейностью и нестационарностью процессов нагрева. Особенности определения температурных полей рассмотрены в работах [40, 76, 85, 102, 103]. В этих работах приведены результаты расчетов температурных полей для случаев с учетом физико-химических превращений, потери массы материала при переменных теплофизических характеристиках материала, а также задача с подвижной нагретой границей.
При численном решении температуру определяют в дискретных точках пространства, отстоящих друг от друга на величину шага Ах, и в дискретные моменты времени длительностью Ах каждый. Для неявной разностной схемы полагают известным распределение температуры в и-ный момент времени, т.е. поле температуры iwl , i\ , i ,-.., if_\ , ±i , i/+j ,. - w_p im , T\v2 и отыскивают распределение, отстоящее от него на временной шаг Ах в (« + 1)-й момент времени, т. е. отыскивается поле температуры 7 " , т(п+1) г(и+1) т(п+1) т(п+1) г(и+1) т(п+1) т(п+1) т(п+1) я начальное распределение температуры соответствует известному массиву л т(0) rp(0) ,-(0) температуры при я = 0, т.е. он таков: 1 \ , М »—» - и 2» а пеРвыи искомый массив имеет вид Т , 7 ,...,7 . После его нахождения он становится начальным распределением при определении массива Г , 7j ,...,7 2 и т.д.
Одномерное температурное поле описывается дифференциальным уравнением вида: где Хх - коэффициент теплопроводности материала; Cv =Ср - удельная объемная теплоемкость материала, С - удельная массовая теплоемкость, р -плотность материала. Имеем расчетное разностное уравнение теплопроводности At дх Ах В этих уравнениях температуры в узлах обозначаются 7/- " , где / = 1, 2,...,NX — номер вдоль оси X, п = \,2,...,Nn - номер временного слоя в П -ный момент времени t; (п +1) — временной слой для времени (t + At), Ах величина шага по пространству; At - величина шага по времени. Запишем для дифференциального уравнения (4.3.1) дискретный аналог , чГ(и+1) т(п) і v г(и+1) _9Г(и+1) г(«+1) г (гСи)У/ Ч -л (т(п))Ч-1 z4 +Ч+\ Лі } At "М Ах2 (4.3.6) + х U«) V/±i 4ч_ ху 1 2Ах где / = 1,2,...,NX - номер вдоль оси X, n = \,2,...,Nn - номер временного слоя в и-ный момент времени t; (и + 1) - временной слой для времени (t + At), Ах - величина шага по пространству; At - величина шага по времени, Cv\TiJ - удельная объемная теплоемкость для времени 7/ , Хх \Tj )- коэффициент теплопроводности вдоль оси X для времени Tj .
