Содержание к диссертации
Введение
1. Методы усреднения физических свойств структурно неоднородных сред
1.1. Особенности описания физических свойств структурно неоднородных сред
1.2. Асимптотический метод усреднения в средах с периодической структурой
1.3. Усреднение уравнений теплопроводности
1.4. Эффективные деформационные характеристики сред с периодической структурой
1.5. Выводы к главе 1
2. Теплопроводность структурно неоднородных сред с учетом фазовых переходов
2.1. Описание процессов локального фазового перехода в периодических слоистых средах
2.2. Влияние поля напряжений на процессы локального фазового перехода в структурно неоднородных средах
2.3. Моделирование плавления в структурно неоднородных средах с включениями
2.4. Выводы к главе 2
3. Моделирование деформационных свойств сред ослабленных трещинами на стадии допредельного разрушения
3.1. Теоретическое описание роста изолированной трещины во внешнем поле напряжений
3.2. Эффективные деформационные свойства сред ослабленных трещинами на стадии допредельного разрушения
3.3. Волновые свойства сред ослабленных трещинами на стадии допредельного разрушения
3.4. Выводы к главе 3
4. Разрушение струю урно неоднородных сред
4.1. Критерии разрушения структурно неоднородных сред
4.2. Эффективные прочностные характеристики сред с периодической слоистой структурой
4.3. Моделирование распространения волн разрушения в неоднородных средах с учетом допредельного разрушения .
4.4. Выводы к главе 4
Заключение
Список использованных источников
- Асимптотический метод усреднения в средах с периодической структурой
- Влияние поля напряжений на процессы локального фазового перехода в структурно неоднородных средах
- Эффективные деформационные свойства сред ослабленных трещинами на стадии допредельного разрушения
- Эффективные прочностные характеристики сред с периодической слоистой структурой
Введение к работе
Актуальность работы
Большинство существующих в природе и искусственно созданных материалов характеризуются неоднородным составом. Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что свойства неоднородных материалов (например, горных пород, композиционных материалов) могут существенно отличаться от свойств отдельных компонентов, входящих в их состав. Физические свойства неоднородных материалов, помимо свойств отдельных компонентов, определяются составом и пространственной структурой, которую образуют отдельные компоненты.
Особенно сложным является поведение многокомпонентных и многофазных систем. Процесс воздействия на подобные среды представляет собой совокупность динамических процессов, происходящих на различных масштабных уровнях. Поэтому для предсказания поведения структурно-неоднородных материалов при различных условиях воздействия необходима разработка моделей, адекватно описывающих физические процессы на различных масштабных уровнях.
Помимо научного значения эти вопросы актуальны и при решении практических задач, возникающих при эксплуатации композиционных материалов, исследовании воздействия лазерного излучения на материал, строительстве и эксплуатации сооружений в условиях вечной мерзлоты, анализе сейсмических процессов.
Использование традиционных методов усреднения позволяет получать относительно простые оценки характеристик среды с неоднородностями при условии малой концентрации неоднородностей. Использование методов самосогласования позволяет расширить границы применения методов усреднения. Однако в рамках данных подходов не удается описывать характеристики сред при воздействии, приводящем к изменению структуры материала. Поэтому возникает необходимость разработки новых t методов определения эффективных свойств неоднородных сред, позволяющих учитывать процессы структурных изменений в среде при внешнем воздействии.
Для анализа указанных эффектов необходима разработка теоретических моделей и методов описания процессов разрушения и температуропроводности в структурно-неоднородных средах с учетом физических механизмов развития микротрещин и локальных фазовых переходов, которым и посвящена тема диссертационного исследования.
Предметом исследования диссертационной работы является построение математических моделей процессов разрушения, локальных фазовых переходов, тепломассопереноса в средах, содержащих большое
число неоднородностей в широком масштабном диапазоне, и прогнозирование прочностных свойств неоднородных материалов при внешнем температурном и механическом воздействии.
Цель диссертационной работы. Построение моделей процессов допредельного разрушения и локальных фазовых переходов в неоднородных средах с периодической макроструктурой, содержащих большое число микронеодиородностей (пор, трещин, микровключений) на базе методов усреднения, а также теоретическое исследование прочностных, теплофизических и волновых свойств гетерогенных материалов.
Направление исследований.
Построение математических моделей неоднородных сред с учетом кинетики структурных изменений (разрушения, фазовых переходов) и изучение деформационных и теплофизических свойств материалов с макроструктурой, близкой к периодической, и наличием большого числа микровключений при внешнем температурном воздействии и нагружении.
Методы исследований.
При решении поставленных задач в диссертации использовались методы математической физики, теории дифференциальных уравнений, современные методы математического моделирования.
Научная новизна. Автором получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту:
-
Разработаны методы усреднения механических и теплофизических свойств структурно-неоднородных сред со структурой, близкой к периодической, с учетом процессов допредельного разрушения и локальных фазовых переходов.
-
Получено решение задачи в рамках метода асимптотического усреднения о распространении тепла в периодической слоистой среде при внешнем температурном воздействии с учетом возможных фазовых переходов.
-
На основе решения задач о росте изолированной трещины в поле сжимающих напряжений получено уравнение, определяющее деформационные свойства трещиноватой среды на стадии допредельного разрушения.
-
Разработаны методы расчета деформационных и прочностных свойств неоднородных материалов с макроструктурой, близкой к периодической, с учетом кинетики развития микротрещин.
5. Создан комплекс программ для моделирования процесса локальных
фазовых переходов в окрестности изолированных неоднородностей в
бесконечной среде под действием механического и температурного
воздействия.
6. Проведено теоретическое исследование локальных фазовых
переходов в предварительно нагруженном неоднородном материале и
их влияние на изменение деформационных свойств.
7. Разработаны методы расчета распространения упругих волн и
процессов фильтрации в предварительно нагруженных слоистых средах
с периодической структурой.
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается проводимым в работе сравнением аналитических результатов с результатами численных расчетов и сравнением основных результатов математического моделирования с экспериментальными данными по исследованию деформационных и прочностных свойств реальных геоматериалов и мерзлых пород в сложнонапряженном состоянии.
Научная и практическая значимость работы заключается в получении корректных моделей допредельного разрушения и локальных фазовых переходов; исследовании деформационных свойств неоднородной многофазной среды с учетом процессов микроразрушения, фазовых переходов и тепломассопереноса; разработке метода оценки прочностных свойств многокомпонентных сред при комплексном температурном и механическом воздействии на основе моделирования локальных процессов разрушения и фазовых переходов на уровне микронеоднородностей.
Предложения об использовании полученных результатов.
Результаты исследований, представленные в диссертации, являются основой для прогнозирования поведения конструкционных материалов со сложной структурой в условиях интенсивного температурного воздействия и внешнего нагружения. Разработанные методы расчета могут быть использованы при расчетах устойчивости конструкций и сооружений, в том числе построенных на мерзлых грунтах.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Методы усреднения механических и теплофизических свойств структурно-неоднородных сред со структурой, близкой к периодической, с учетом процессов допредельного разрушения и локальных фазовых переходов.
-
Постановка и методика решения задачи о распространении тепла в периодической слоистой среде в условиях внешнего механического и температурного воздействия с учетом возможных фазовых переходов и процессов фильтрации.
-
Методы расчета деформационных и прочностных свойств неоднородных материалов со структурой, близкой к периодической, с учетом кинетики развития микротрещин.
-
Результаты численного моделирования процессов фазового перехода в окрестности изолированных включений при механическом воздействии.
-
Результаты теоретического исследования локальных фазовых переходов в предварительно нагруженном неоднородном материале и их влияния на изменение деформационных свойств.
-
Результаты теоретических исследований распространения упругих волн и процессов фильтрации в предварительно нагруженных слоистых средах с периодической структурой.
Апробация результатов работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных, всесоюзных и всероссийских научно-технических конференциях: VIII Всесоюзной школе «Физические основы прогнозирования разрушения горных пород» (Фрунзе, 1985); П Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Фрунзе, 1985); VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986); I Всесоюзной конференции по механике разрушения (Львов, 1987); III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Сыктывкар, 1989); IV Всероссийской конференции «Нелинейная механика грунтов» (Санкт-Петербург, 1993); Int. Symposium on Assessment and Prevention of Failure Phenomena in Rock (Istambul, 1993, Turkey); I Международном симпозиуме по моделированию процессов в неоднородных средах (Москва, 1995); I Международной конференции «Проблемы криологии Земли» (Пущино, 1997); II Конференции геокриологов России (Москва, 2001); III Конференции геокриологов России (Москва, 2005), XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 2005). В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научных семинарах кафедры «Моделирование физических процессов» МИФИ, кафедры «Высшая математика» СГТУ, кафедры «Теория упругости» Института математики и механики СПбГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 научные работы, в том числе 1 монография.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 240 страниц текста, включая 3 таблицы и 58 рисунков. Список использованной литературы включает 246 наименований.
Асимптотический метод усреднения в средах с периодической структурой
По признаку особенностей внутреннего строения большинство структурно неоднородных сред можно условно разделить на следующие- группы [81]: Среды, характеризуемые кристаллической зернистой структурой. Каждое зерно анизотропно, и различные зерна имеют различную ориентацию осей симметрии (например, металлы). Среды содержащие две или более отчетливо выраженные фазы, каждая из которых непрерывна так, что отсутствует геометрическая характеристика поверхностей раздела, которую можно было бы использовать для указания стороны, на которой находится та или иная фаза. Среды образованные непрерывной фазой (матрицей) с включениями отделенными от матрицы четкой поверхностью раздела.
Так как к средам последнего вида можно отнести все геоматериалы и большинство композиционных материалов используемых в практике в дальнейшем ограничимся рассмотрением класса неоднородных сред, характеризуемых наличием поверхностей раздела между различными компонентами.
В настоящее время существуют различные подходы к моделированию свойств сред с включениями отделенными от матрицы поверхностями раздела. Сложность теоретического описания свойств неоднородных сред с большим числом включений с математической точки зрения связана с тем, что процессы в таких средах описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, коэффициенты которых быстро меняются на границах раздела различных компонент материала. Кроме того, необходимо учитывать граничные условия на всех поверхностях контакта матрицы с включениями.
В связи с этим для теоретического описания свойств неоднородных материалов широкое распространение получили различные методы усреднения, основная идея которых сводится к замене реальной неоднородной среды некоей однородной средой с эффективными характеристиками [28, 35, 65, 81, 208]. Т.е. можно провести параллель с описанием поведения газа в рамках статистической физики [85]. Молекулы газа совершают хаотическое движение, описываемое уравнениями механики. Точное определение состояния газа как совокупности большого числа отдельных молекул на основе описания движения каждой молекулы невозможно. Однако, именно большое (гигантское) число молекул совершающих хаотическое движение позволяет провести процедуру усреднения и определить закономерности изменений макроскопических характеристик, описывающих поведение газа.
Сформулируем условия, при которых реально неоднородный (гетерогенный) материал может быть описан в рамках модели однородной (гомогенной) среды с эффективными характеристиками. Предположим, что можно определить характерный размер неоднородности со для гетерогенной среды и определить масштаб длины усреднения S, в пределах которого свойства среды можно усреднить некоторым осмысленным образом. Процедура усреднения оправдана, если выполняется условие со « 5 «L, где L - характерный размер тела (рис. 1.1). При выполнении данного условия можно реально гетерогенный материал идеализировать как эффективно гомогенный, характеризуемый эффективными свойствами, ассоциированными с масштабом усреднения 8. Таким образом, усредненные характеристики зависят от выбора масштаба усреднения.
Основная проблема состоит в том, как используя процедуру усреднения предсказывать эффективные свойства идеализированной гомогенной среды через свойства отдельных фаз и их геометрические характеристики при заданных условиях воздействия.
Не ограничивая общности данных подходов, рассмотрим в данном параграфе процедуры усреднения на примере описания деформационных свойств неоднородных материалов под действием внешней нагрузки. Введем элемент объема гетерогенной среды, имеющий характерный размер, связанный с масштабом усреднения 8 (рис.1.1). В общем виде средние напряжения и деформации возникающие в представительном элементе объема V, связанном с масштабом усреднения, при внешнем воздействии определяются следующими соотношениями:
Влияние поля напряжений на процессы локального фазового перехода в структурно неоднородных средах
Для описания свойств сред со структурой близкой к периодической в семидесятые годы Н.С.Бахваловым [9] был предложен асимптотический метод усреднения. Под средой с периодической структурой будем понимать среду, составленную из периодически повторяющегося элемента (ячейки, типовой структуры) (рис. 1.4). На первый взгляд может показаться, что требование периодичности является жестким ограничением на практическое применение данного метода. Однако, искусственно созданные материалы (композиты, каркасные структуры), как правило, обладают свойством периодичности. Кроме того, структуру, близкую к периодической, имеют многие природнвіе объекты, например, пористые среды или материалы с системой трещин. Моделью периодической сплошной среды описываются также и геоматериалы (грунты), в которых различные породы залегают слоями, порядок чередования которых можно считать близким к периодическому.
Асимптотический метод усреднения дифференциальных уравнений быстроосциллирующими коэффициентами позволяет получить уравнения, коэффициенты которых не являются быстроосциллирующими, а их решения близки к решениям исходных уравнений при соответствующих граничных условиях. Эти новые уравнения называются усредненными уравнениями, а их коэффициенты - эффективными коэффициентами. Разработка и математическое обоснование метода ассимптотического осреднения представлена в работах [6, 10, 11, 13, 14, 31, 50, 52, 53, 59, 72, 115, 120, 124, 129].
Будем рассматривать неоднородную среду с периодической структурой, которая занимает область G и состоит из периодически повторяющегося элемента (ячейки). Не ограничивая общности, для упрощения изложения будем предполагать, что при помощи линейной замены независимых переменных периодически повторяющийся элемент 1.._ структуры преобразован в единичный куб (квадрат), сторона которого равна 1. Везде будем предполагать, что характерный размер L области G много больше размера периодической ячейки 1«L (рис. 1.4).
Метод усреднения дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами основан на том, что решение ищется в виде ряда по степеням малого параметра e=l/L с коэффициентами, зависящими как от переменных X; (обычно называемых медленными), так и от переменных ,, = щіЄ (быстрых) i=l,...,s (s- размерность пространства). Медленные переменные соответствуют глобальной структуре процессов, а быстрые - их локальной структуре.
Продемонстрируем метод усреднения на примере дифференциального уравнения эллиптического типа, описывающего, например, стационарное тепловое поле в композиционном материале. Пусть тензор теплопроводности в каждой точке х=(Х], ...,xs) среды \ задается матрицей-функцией Ау(х/є) (kj=l,..,s), элементы Akj( ) =( ] ,.., которой являются 1-периодическими кусочно-гладкими функциями, бесконечно дифференцируемыми всюду вне некоторых гладких поверхностей ] , на которых они терпят разрывы первого рода. Будем считать матрицу Ид,() симметричной и положительно определенной в каждой точке ,;
Квадратные скобки в (1.2.4) означают скачок функции при переходе через поверхность контакта, а пк - косинус угла между нормалью к поверхности и k-м координатным направлением. Асимптотическое решение задачи (1.2.2)-(1.2.4) будем искать в виде ряда и{х) = и,, ( ,) + еи, ( ,) + 2 и „ ( ,) + (1.2.5) где «,(х, ) - гладкие по д:, / - периодические функции
Подставим разложение (1.2.5) в уравнение (1.2.2). Учитывая правила дифференцирования сложной функции и сгруппировав слагаемые при одинаковых степенях є, получим
Потребуем, чтобы в соотношении (1.2.6) слагаемые порядков , , ? обратились в нуль. Слагаемые порядков є и є составят невязку уравнения (1.2.2) и, таким образом, и{2) будет удовлетворять исходному уравнению с точностью до членов порядка є. Итак, функции щ(х, ), щ(х, ), u2(xy ) будут определяться из условий
Эффективные деформационные свойства сред ослабленных трещинами на стадии допредельного разрушения
Обратимся теперь к случаю, когда температура Т, - заданная температура на свободной поверхности - превышает температуру плавления какого-либо из слоев, например, первого (T iY), и в среде становятся возможными фазовые переходы. Существенной чертой таких задач является наличие движущейся поверхности раздела (фронта) между различными фазами. Первой опубликованной работой, в которой рассматривались подобные задачи, является работа Стефана, посвященная изучению толщины полярных льдов. Более общий подход к решению задачи о движении поверхности раздела между фазами был сформулирован в работах [67, 94, 155, 185, 237]. Описание продвижения фронта плавления довольно сложная нелинейная задача, точные решения которой имеются только для нескольких частных случаев распространения фронта плавления (затвердевания) в однородных телах. Наличие же в среде неоднородностей существенно усложняет задачу. Движение границы раздела фаз, закон которого определяется из решения задачи, не позволяет непосредственно использовать хорошо развитые численные методы, применимые для сред с фиксированными границами (метод конечных элементов, метод граничных элементов) [206],
В тоже время, метод асимптотического приближения делает возможным получение относительно простых аналитических выражений, позволяющих оценить динамику процессов плавления (затвердевания) в материалах со структурой, близкой к периодической [62, 168-173].
Будем рассматривать плавление как мгновенный процесс. В рамках такого подхода граница раздела фаз представляет собой движущуюся поверхность. В этом случае исходная задача (2.1.1) помимо условий (2,1,2)-(2.1.5) будет иметь дополнительные граничные условия, заданные на фронте плавления. Первое из этих условий следует из неизменности температуры на границе фазового перехода а второе является уравнением теплового баланса (2.1.1) Xf dt к(х) дГ{х,1) д х х = хЛ0 d p(xf)Mxf) (2.1.2) где X - удельная теплота плавления, x((t)- координата фронта плавления, закон изменения которой определяется в ходе решения задачи.
Из уравнения (2.1.1) формально следует, что «фронт плавления» может распространяться в средах, где не происходит фазового перехода. В этом случае в уравнении (2.1.2) для таких сред нуяшо считать А,=0, и данное уравнение переходит в соответствующее условие (2.1.5). Следуя методу асимптотического усреднения, решение поставленной задачи снова будем искать в виде ряда (2.1.6). Подстановка этого разложения в (2.1.1) дает нам для определения T(n)(x, ,t) , n=0,1,2,.,. уже известную систему уравнений (2.1,7)-(2.1.10). Граничные и начальные условия в нулевом приближении имеют вид: )( ,0)=7 , 0 7-( (0,/)=Гі , / 0 (2.1,з; а в первом приближении соответственно: )( ,0) = 0 , х )(0, ,0=0 , г о
Следует отметить, что переход к координатам х и \ приводит к необходимости формального введения закона изменения во времени положения фронта плавления в ячейке (t).
Для удобства введем следующие обозначения: характеристики среды за фронтом плавления будем обозначать р _(), с_(), к_(), а перед фронтом плавления - р +(%), с+(), к+( ) (рис.2.1). Докажем независимость нулевой поправки Т(0) от "быстрой" переменной. Для этого дважды проинтегрируем по , уравнение (2.1.7) и, т.к. к()#0, получим выражение для нулевой поправки в виде: тЩх,&) = A(x,t)\d /k+(0 + vo(x,t) , x x/(t) (2.1.6) Из соотношения (2.1.3) следует, что функция Tm(x, ,t) не имеет скачка на фронте, и Поскольку из A(xf-0,t)\d k () + vo(xf-0,t)-A(xf + 0,t)\d%/k+(t) + vo(xf + VJ). то Щ) соотношения (2.1.4) следует, что = МлО] „= =0, х = х, = , Ж /-О,О = Л( /+О,О = ЛОС/,0 Из последнего равенства следует, что возможны две ситуации: 1) A(xf,t)=0 и, значит, A(x,t)= 0 (поскольку фронт может пробегать все значения х). В этом случае Vo(xt+0,t)=v0(Xf-0,t), и функция v0(x,t) не терпит разрыва в точке x=Xf. 2) A(x,t) 0. Тогда, пользуясь (2.1.3), получим 71 d$. 0 , k-(& C(Xf,t) - Ц H k+№ C(Xf,t) (rt-vo(x/-0,0) (ri-v0U/+o,0) Легко видеть, что левые части этих двух равенств зависят от ,, поскольку может пробегать все возможные для значения. Правые же части зависят только от х и t (xf пробегает все возможные значения х). Таким образом, мы прикіл и к противоречию, и утверждение о том, что A(x,t) 0 не верно. Итак, A(x,t) =0 и, согласно (2.1.6) нулевая поправка имеет вид: TW(x,lt)=VQ{x,t) (2.1.7). т.е. в нулевом приближении решение не зависит от "быстрой" переменной. Для того чтобы найти первую поправку к решению TtlJ(xs ,,t) подставим (2.3.7) в (2.1.8) и получим уравнение
Эффективные прочностные характеристики сред с периодической слоистой структурой
Как было показано в предыдущем параграфе, наличие включений в нагруженном материале может приводить к существенной неоднородности поля напряжений и даже к процессам локальных фазовых переходов в таких средах как лед с твердыми включениями. Проведем моделирование процессов сопровождающих локальный фазовый переход «лед-вода» в окрестности твердого включения в ледяном массиве, находящемся под нагрузкой. Будем предполагать, что деформации в твердом теле и ледовом массиве являются упругими, тогда связь между напряжениями и 101 деформацией с учетом возможности локальных фазовых переходов определяется следующей системой уравнений: „ Ї а1к = -К р(Т)(т - Т, % + ЛЗД, + Ж й-т,Ак (2.3.1) 3w( Згл. гДе «=2 ,и. - смещения, У - объемный модуль упругости, G У . дхк дх, - модуль сдвига, а ср(Т) -коэффициент температурного расширения. Изменение температуры в среде определяется из уравнения теплопроводности: дТ ср-— = div(k gradT), (2.3.2) dt а температура фазовых переходов из уравнения Клапейрона-Клаузиуса: Я dl Ы Т\у,-уг) (2.3.3)
Систему уравнений (2.3.1)-(2.3.3) необходимо дополнить начальными и граничными условиями. Рассмотрим следующие начальные и граничные условия: =7\ (2.3.4) kl иЛ -иЛ = 0, а п. =-/«/« дТ дп = 0, (2.3.5) 102 ", дҐ к— дп at здесь удельная доля воды, определяемая уравнением PA =div(kgradT ), Гм=0, (2.3.6) от Я,- граница раздела включение-матрица там, где нет фазовых переходов; Н2 граница раздела включение-матрица в области, где происходит плавление; пг нормаль к поверхности раздела включение-матрица, пР- нормаль к границе раздела различных фаз матрицы. На бесконечности задан тензор напряжений afk. Даже в случае включения сферической или цилиндрической формы аналитическое решение системы уравнений (2.3.1)-(2,3.3) с граничными и начальными условиями (2.3.4)-(2.3.6) представляется затруднительным. Поэтому возникает потребность в численном моделировании процессов теплопроводности и локальных фазовых переходов в предварительно нагруженной среде «лед-твердое включение». Ввиду трудностей совместного решения уравнений теории упругости и теплопроводности, представляется целесообразным строить алгоритм решения задачи (2.3.1) (2.3.6) на основе объединения двух до некоторой степени самостоятельных задач - температурной и механической. Поэтому общий расчет проведем с попеременным использованием этих самостоятельных блоков на сравнительно небольших временных отрезках, с тем, чтобы обеспечить их взаимное перекрестное влияние друг на друга.
Начнем с уравнений теории упругости. Среди численных методов решения задач теории упругости наибольшее распространение получил метод конечных элементов МКЭ [44, 57, 97, 99, 111, 114, 149, 193].
Сравнения МКЭ с конечно-разностными методами показывает его преимущества, состоящие в легкости расчета напряженного состояния тел из нескольких материалов с нерегулярными границами, возможности сгущения сетки в местах ожидаемой концентрации напряжений, простоте учета граничных условий.
Проведение расчетов МКЭ характеризуется следующей последовательностью [99, 114]: - разбиение тела на конечные элементы и задание узлов, в которых определяются перемещения; - определение зависимостей между усилиями и перемещениями в узлах элемента (построение матрицы жесткости); - составление системы алгебраических уравнений равновесия (сборка); решение системы уравнений и определение компонентов напряженно- деформированного состояния тела.
Будем решать задачу с использованием МКЭ в рамках теории упругости. Для этого выпишем все уравнения для отдельного конечного элемента, имея в виду, что применение стандартных правил сборки, изложенных в работах [99, П4, 149], позволяет перейти от величин, относящихся к одному элементу, к соответствующим величинам для всего тела.
