Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка задачи приземной аэродинамики и распространения загрязняющих веществ в городской воздушной среде 13
1.1. Краткий обзор существующих моделей 13
1.2. Структура приземного слоя атмосферы города 18
1.3. Постановка задачи приземной аэродинамики в несжимаемом случае 20
1.4. Начальные и граничные условия задачи приземной аэродинамики 29
1.5. Учет шероховатости поверхностей 30
1.6. Постановка задачи распространения загрязняющего вещества в условиях городской застройки 33
1.7. Начальные и граничные условия для задачи распространения вредной примеси 33
1.8. Моделирование распространения примесей от линейного источника. 35
1.9. Модель несжимаемого течения атмосферного воздуха с учетом теплопереноса 1.10. Уравнение переноса тепла в приземном слое атмосферы 40
1.11. Безразмерная форма записи уравнений движения воздушной среды и транспорта тепла 42
1.12. Граничные условия для задачи приземной аэродинамики с учетом транспорта тепла 45
1.13. Математическая модель турбулентного течения атмосферного воздуха в условиях городской застройки на основе к-є 46
1.14. к - є модель турбулентности 49
1.15. Граничные условия для к - є модели. Низкорейнольдсовая к - е модель 54
1.16. Учет эффекта плавучести в к - є модели 55
1.17. Модель сжимаемой атмосферы в приземном слое 56
1.18. Учет переноса влаги в модели сжимаемой атмосферы 57
ГЛАВА 2 Построение и исследование дискретных моделей 62
2.1. Сетки в декартовой системе координат 62
2.2 Дискретизация уравнения неразрывности 67
2.3. Дискретизация задачи распространения примеси 69
2.4. Разнесенные и неразнесенные сетки ; 71
2.5. Дискретизация уравнений движения на разнесенных сетках 72
2.6. Дискретизация уравнений движения на неразнесенных сетках 78
2.7. Дискретизация производной по времени 79
2.8. Дискретные представления граничных условий и членов функций источников 82
2.9. Граничные условия для уравнений движения
2.10. Погрешность аппроксимации в задаче транспорта ЗВ 86
2.11. Противопоточная аппроксимация конвективных слагаемых 88
2.12. Центрально-разностная аппроксимация конвективных членов 89
2.13. Аппроксимация диффузионных членов 90
2.14. Уравнение переноса вредной примеси 92
2.15. Вывод алгоритма SIMPLE для разнесенных сеток 97
2.16. Алгоритм SIMPLE для неразнесенных сеток 104
2.17. Консервативность разностных схем 108
2.18. Доказательство устойчивости разностной схемы. Сеточный принцип максимума 114
2.19. Дискретизация уравнений к - є модели турбулентности 123
2.20. Дискретизация модели сжимаемой атмосферы 126
2.21. Граничные условия для модели сжимаемой атмосферы 134
ГЛАВА 3 Программная реализация и верификация построенных моделей на кластере распределенных вычислений 140
3.1. Описание процесса декомпозиции данных и процессов обмена 140
3.2. Метод Стоуна (SIP - Strongly Implicit Procedure) для решения СЛАУ 144
3.3. Параллельная реализация метода SIP 149
3.4. Теоретические и практические оценки эффективности 153
3.5. Верификация моделей приземной аэродинамики и распространения ЗВ 163
3.6. Комплекс программ и результаты моделирования 165
3.7. Описание работы препроцессора 167
3.8. Описание работы процессора 170
3.9. Результаты численных экспериментов 171
Заключение 183
Библиографический список 185
- Постановка задачи приземной аэродинамики в несжимаемом случае
- Граничные условия для задачи приземной аэродинамики с учетом транспорта тепла
- Дискретизация уравнений движения на разнесенных сетках
- Теоретические и практические оценки эффективности
Введение к работе
Актуальность проблемы. В настоящее время проблема загрязнения атмосферы городов стоит очень остро. Численность городского населения стремительно увеличивается вместе с ростом количества промышленных предприятий и автотранспортных единиц. Несмотря на активное продвижение альтернативных источников энергии, в ближайшие 10-15 лет не предвидится изменения структуры потребления энергоресурсов, и углеводороды будут доминировать в хозяйственной жизни планеты. Города являются основными зонами, в которых требуется вести мониторинг и производить оценку загрязнения воздушной среды. В связи с компактностью современной городской инфраструктуры продукты сгорания углеводородов быстро попадают в зону активной жизнедеятельности людей. Автотранспорт является одним из основных источников загрязнения воздушной среды.
Существующие нормативы и соответствующие методики по оценке предельно-допустимых концентраций (ПДК) вредных выбросов в атмосфере не позволяют в полной мере учесть наиболее значимые для приземного слоя факторы, влияющие на процессы переноса и трансформации загрязняющих веществ (ЗВ) от автотранспорта. Их соблюдение требует комплексных подходов, которые предполагают:
Детальный учет структуры и формы подстилающей поверхности. Воздушная среда существенно более подвижна по сравнению, например, с водной. Трение воздушных потоков о поверхности, характерные для городской среды, оказывает сильное влияние на структуру течений пограничного слоя.
Учет изменения метеорологических параметров. Рассмотрение изменения таких параметров, как влажность и температура, позволит более точно описывать процессы движения воздушной среды и распространения загрязняющих веществ.
Для достижения достоверности решения в разностных задачах требуется использовать сетки с высокой плотностью ячеек. Современный город с населением около 300 тыс. чел. имеет характерный горизонтальный размер: L~ 10 м. Высота приземного слоя составляет величину /7-10 м. Если предположить, что характерный горизонтальный шаг Их~5м, а вертикальный Hz~\m, то получается, что число узлов расчетной сетки
составляет 7V = 107 -е-108. Если учесть, что на данной сетке придется рассчитывать задачи приземной аэродинамики и распространения ЗВ, содержащие уравнения с нелинейными связями, то расчет такой задачи на самом современном персональном компьютере может занять время 7^ ~ 10 с. Поэтому наряду с современными математическими моделями необходимо использовать высокопроизводительные параллельные вычислительные системы, которые позволят сократить это время до Т ~ 102 с.
Существующие методики оценки загрязнения чаще всего опираются на простые модели гауссовского типа и не позволяют в полной мере учитывать
рельеф подстилающей поверхности, изменение температуры и влажности. Поэтому необходимо создать механизм контроля и предсказания состояния атмосферы, который будет позволять учитывать наиболее существенные метеорологические параметры с достаточной степенью детализации (шаг пространственной сетки h ~ 5 м) и выдавать результат за время порядка
нескольких десятков секунд.
Для эффективного решения такого рода задач необходимо использовать современные методы математического моделирования. Стремительное развитие многопроцессорных вычислительных систем дает возможность уже сегодня использовать высокоточные математические модели и быстрые параллельные алгоритмы для прецизионного описания масштабных физических процессов приземного слоя атмосферы города.
Цель и задачи исследования диссертационной работы. Целью работы является разработка комплекса моделей, вычислительных методов и программ для моделирования приземной аэродинамики и процесса распространения ЗВ с целью осуществления мониторинга и краткосрочного прогноза состояния воздушной среды на основе решения уравнений приземной аэродинамики и распространения ЗВ.
Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих научных и практических задач:
Разработка математических моделей приземной аэродинамики и распространения ЗВ в городской воздушной среде с учетом переноса тепла;
Построение численного алгоритма расчета турбулентных течений в приземном слое с учетом эффекта плавучести;
Разработка численного алгоритма движения атмосферы в приземном слое с учетом сжимаемости среды;
Исследование численных моделей на основе уравнения конвективно-диффузионного переноса универсального вида;
Разработка эффективных параллельных алгоритмов и программ решения поставленных задач на системе с массовым параллелизмом.
Объектом исследования являются поля физических величин приземной аэродинамики и процессы распространения ЗВ от автотранспорта в городской воздушной среде.
Предметом исследования являются математические модели приземной аэродинамики и распространения ЗВ, алгоритмы и программы численного решения поставленных задач для многопроцессорной вычислительной системы (МВС) ТТИ ЮФУ.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались средства вычислительной математики, программирования последовательных и параллельных алгоритмов, обработки и визуализации результатов моделирования.
На защиту выносятся:
1. Математические модели приземной аэродинамики и распространения ЗВ в приземном слое атмосферы города в несжимаемом и сжимаемом
случаях с учетом турбулентного режима и изменения метеопараметров;
Численная реализация эффективных вычислительно-устойчивых математических моделей с учетом турбулентного характера атмосферы, переноса тепла и влаги.
Программный комплекс для МВС ТТИ ЮФУ, включающий генератор сеток и решатель, который реализует численные алгоритмы модели аэродинамики пограничного слоя и распространения ЗВ от линейных источников, аппроксимирующих городские магистрали;
Результаты оценки влияния загрязнения от автотранспорта на экологическую ситуацию в г. Таганроге, полученную с использованием разработанного программного комплекса.
Научная новизна работы.
Построены математические модели приземной аэродинамики и распространения ЗВ в приземном слое атмосферы с учетом рельефа и типа подстилающей поверхности, температурного и влажностного режимов, позволяющие более точно учитывать физические свойства пограничного слоя атмосферы города.
Разработан алгоритм численного решения уравнений гидромеханики турбулентных течений на основе универсального уравнения конвективно-диффузионного переноса, гарантирующий выполнение физических законов сохранения на дискретном уровне и устойчивость относительно начальных и граничных данных.
Разработан параллельный программный комплекс для решения задач приземной аэродинамики и распространения ЗВ в приземном слое атмосферы на МВС ТТИ ЮФУ, позволяющий сократить расчет параметров приземного слоя до времени порядка нескольких десятков секунд в зависимости от числа задействованных вычислителей и объема входных данных.
Произведен расчет полей приземной аэродинамики и загрязняющих веществ от автотранспорта с шагом пространственной сетки порядка5лі, что
позволяет детально учитывать городскую застройку (на примере г. Таганрога).
Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с известными результатами натурных и вычислительных экспериментов других авторов, тестированием вычислительных алгоритмов и программных средств на модельных задачах.
Практическая значимость. Разработанный комплекс программ позволяет прогнозировать загрязнение атмосферы городской среды с развитой дорожной сетью в зависимости от физических условий, типа подстилающей поверхности и метеорологических условий. Проведены расчеты распространения примесей от линейных источников загрязнения на основе геоинформационной системы (ГИС) г. Таганрога при различных метеорологических данных.
Апробация работы и публикации. Результаты исследований докладывались:
The XX-th International Conference on Parallel Computitional Fluid Dynamics (Lyon, France, 2008);
The XIX-th International Conference on Parallel Computitional Fluid Dynamics (Antalya,Turkey, 2007);
II Всероссийская научно-практическая конференция «Перспективные системы и задачи управления» (Таганрог, ТТИ ЮФУ, 2007);
XIV Международная Научно-техническая Конференция Студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, МЭИ, 2008);
IX Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, ТТИ ЮФУ, 2008);
Материалы второй международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, ВГУ, 2007);
V Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (Ростов-на-Дону, РГУ, 2006);
VIII Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, ТРТУ, 2006).
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [1-16].
Краткое содержание и структура работы.
Диссертация изложена на 194 страницах, включает в себя 41 иллюстрацию, 2 таблицы; состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка используемой литературы из 98 наименований.
Постановка задачи приземной аэродинамики в несжимаемом случае
В полуэмпирических моделях пространственный перенос примеси в атмосфере оценивается по траекториям движения одиночных частиц трассеров, поступающих из источников загрязнения в воздух. Усредняя параметры траекторий трассеров по флуктуациям среды, можно оценивать концентрацию ЗВ. Изменение этих траекторий в пространстве и времени часто описывается стохастическими соотношениями, причем турбулентная структура во многих случаях считается гауссовой.
Эйлеровы модели атмосферной диффузии опираются на уравнение конвекции-диффузии, которое интегрируется на эйлеровой сетке. Для замыкания модели атмосферной диффузии требуется эмпирическая информация о коэффициентах турбулентного обмена, трансформации ЗВ, метеорологических факторах и т.д.
Достоинством первого подхода является достаточно детальное описание процесса турбулентной диффузии в начальный момент времени. Однако при прогнозе распространения ЗВ на больших пространственных масштабах с учетом трансформации примеси возникают существенные вычислительные затраты из-за необходимости привлечения дополнительных эмпирических данных.
Эйлеровы модели лучше учитывают процессы трансформации ЗВ и требуют меньшей эмпирической информации, однако, по сравнению с лагранжевыми моделями, в них усложняется учет характеристик источников ЗВ и процессов турбулентности.
Общим недостатком и лагранжевых, и эйлеровых моделей является слабый учет температуры и влажности атмосферного воздуха, к тому же в данных моделях часто подстилающую поверхность заменяют горизонтальной плоскостью со свойствами, определяемыми входными данными.
Для решения задачи динамики воздушного потока в условиях сложного рельефа и термической неоднородности наиболее обоснованным является использование системы полных трехмерных уравнений Навье-Стокса для турбулентного пограничного слоя. Как отмечалось во Введении, решение такой задачи требует сложных вычислительных алгоритмов и больших временных ресурсов. В настоящее время быстрое совершенствование вычислительных ресурсов позволяет решать подобные задачи. Например, в работе П.Н. Вабищевича и Л.К.Казаковой [55] разработана нелинейная негидростатическая численная модель эволюции слоистообразных облаков под влиянием орографии. Данная модель включает уравнения движения и неразрывности для несжимаемой жидкости, уравнения для эквивалентно-потенциальной температуры, влажности и водности. В работе Д.В. Сузан, В.Ф.Тишкина и пр. [48] исследуется проблема моделирования поля ветра и распространения газообразных примесей в урбанизированной местности. Интересной является работа Е.А. Самарской, Д.В.Сузан, В.Ф. Тишкина [86], в которой предложен оригинальный способ моделирования поля ветра на основе имеющихся экспериментальных данных. Данная модель учитывает турбулентный характер распространения примесей, сухое и влажное осаждение, химические реакции между компонентами загрязнения, позволяет производить расчет для нескольких одновременно включенных источников загрязнения, учитывает сложность рельефа местности. Японскими учеными использовался метод конечных элементов для моделирования переноса в атмосфере ЗВ от дороги, аппроксимируемой бесконечным линейным источником [25].
М.Г. Бояршинов рассматривает влияние автотранспортного загрязнения на растительные насаждения, прилегающие к автотрассам с интенсивным автомобильным движением. Предложенная им модель позволила рассмотреть последовательность процессов заполнения и удержания атмосферного загрязнения лесопарковой зоной, а также последующий вынос ЗВ в окружающее пространство [54].
В рамках эмпирико-статистического подхода особое место занимают гауссовы модели. Как отмечалось во Введении, этот подход является одним из старейших в проблеме моделирования распространения ЗВ в пограничном слое. Например, для точечного источника, расположенного на уровне земли, концентрация загрязнителя приближенно описывается выражением: где О - мощность источника выброса, D , D, - коэффициенты массовой диффузии по соответствующим направлениям, и - модуль скорости ветра.
Данный подход допускает возможность работы с различными источниками (точечными, линейными и площадными), которые могут быть по-разному сориентированы в пространстве. Здесь наиболее широко используемыми методами являются: метод Пасквила-Гриффорда, учитывающий шесть классов устойчивости, метод, учитывающий вертиальный градиент температуры, метод, основанный на учете флуктации ветра, методы Мак Элроя, Вогта, Пасквила-Бригса и др. [25, 54, 78, 96, 98].
Эмпирико-статистические модели гауссовского типа нашли широкое применение в геоинформационных системах (ГИС) и даже рекомендованы МАГ ATE для моделирования на расстояния не более 10 км от источника
загрязняющих веществ. Однако в условиях сильно стратифицированной атмосферы пограничного слоя над существенно неоднородным рельефом местности и на больших пространственных масштабах данный класс моделей неприменим из-за большой погрешности получаемых результатов.
Модели на основе регрессионного анализа являются следующим подклассом эмпирико-статистического класса моделей. Модель основывается на введении и учете различных факторов (температура, влажность, направление ветра, стратификация и т.д.) с различными весовыми коэффициентами. В рамках этого подхода можно выделить метод множественной линейной регрессии, авторегрессии, метод линейно-логарифмической регрессии, метод последовательной графической регрессии [46]. Как и в случае применения регрессионного анализа в экономической сфере, данный подход хорошо применим только в условиях относительной стабильности рассматриваемой ситуации. В случае резких скачков отдельных параметров возможны существенные ошибки, что естественным образом сужает область применимости таких моделей для прогноза уровня загрязнения в городе на срок до Хсут..
Для прогноза состояния уровня загрязнения атмосферы распространен подход с использованием методов кластерного анализа. Модели данного класса применяются в случае наличия большого количества информации о метеоусловиях и степени загрязненности атмосферы наблюдаемого объекта. Метеорологические характеристики и соответствующие концентрации ЗВ разбиваются на группы. Прогноз заключается в определении принадлежности конкретных условий какой-либо группе. В работе Е.Л. Гениковича, В.А. Гущина, Л.Р. Сонькина данный метод используется для изучения метеорологических условий загрязнения воздуха по материалам ряда городов России [58].
Прогнозы с использованием данного метода достаточно точны только в случае большого количества накопленных данных. С помощью этого подхода удобно оценивать фоновую концентрацию ЗВ. Для более детального анализа концентрации необходимо применять другие подходы.
Граничные условия для задачи приземной аэродинамики с учетом транспорта тепла
Для того, чтобы получить дискретное представление уравнения для переноса ЗВ остается записать величины Ф, заданные на гранях КО через значения в центрах КО. Эту процедуру можно осуществить несколькими способами, которые влияют на порядок аппроксимации и устойчивость разностных схем (PC). В последующих пунктах будут показаны различные варианты записи уравнения (2.20).
При решении задачи приземной аэродинамики принято использование двух видов сеток: разнесенных и неразнесенных. Дело в том, что способ отыскания поля вектора скорости, удовлетворяющего уравнению неразрывности был в оригинале разработан для разнесенных сеток. Однако использование разнесенных сеток неудобно при моделировании в сложных областях, поэтому впоследствии алгоритмы для разнесенных сеток были модернизированы для использования на неразнесенных сетках.
В разнесенных сетках все скалярные величины (концентрация примеси, температура, влажность и т.д.) считаются в центре основных, образующихся с помощью описанной дискретизации области моделирования, КО. А компоненты вектора скорости считаются на гранях основного КО, то есть центр КО для компоненты и смещается вдоль вектора ix оси Ох относительно центра основного КО так, чтобы его координаты совпадали с координатой грани е основного КО. Для оставшихся компонент ситуация аналогичная, только смещения происходят на грани п и / вдоль векторов i2 и i3 координатных осей Оу и Oz соответственно. На рисунке 2.5 представлены основной КО (выделен жирным) и КО для компоненты вектора скорости и .
Здесь и далее будем предполагать, что буквенные обозначения связанны с тем КО, который рассматривается, а индексные обозначения связаны с сеткой и значит с основным КО. На неразнесенных сетках все скалярные величины и компоненты вектора скорости считаются в центре основного КО. Распишем поверхностные интегралы для конвективных и диффузионных членов, стоящих в уравнениях (2.22) - (2.24): Уравнение для и компоненты скорости интегрируется по контрольному объему, смещенному относительно основного в положительном направлении оси Ох до грани е:
Дискретизация уравнений движения на неразнесенных сетках записанная в буквенной форме ничем не отличается от дискретизации этих же уравнений записанных в буквенной форме на разнесенных сетках. В индексной форме проявляется отличии.
В индексной форме уравнение (2.29) для компоненты скорости и имеет вид: В данной работе предлагается дискретизация второго порядка точности по времени. Для этого необходимо задействовать три временных слоя: tn_x, tn и
Полученная формула дает второй порядок точности по времени, однако для теоретических оценок часто бывает полезна формула первого порядка точности, связывающая только два временных слоя tn+l и t":
При дискретизации уравнений движения, транспорта ЗВ, тепла и влаги в сжимаемом и несжимаемом случаях приходится иметь дело с граничными условиями 1-3 рода и объемными интегралами от различных функций источников вида \SdQ. [66, 82]. Рассмотрим по очереди способы представления граничных условий на примере уравнения переноса тепла:
В граничных КО, где поставлены ГУ первого рода расчет значения искомой величины не осуществляется, а в приграничном узле уравнение выглядит как в любом внутреннем, имея в виду, что на границе значение искомой величины задано. Условия Дирихле учитываются в конвективных членах.
ГУ в форме Ньюмана описывают диффузионный поток искомой величины через границу и учитываются в соответствующих диффузионных членах. Если в приграничном КО на одной из граней задан поток искомой величины, то соответствующая диффузионная составляющая в дискретном представлении уравнения заменяется величиной потока. ГУ третьего рода определяют поток искомой величины через границу, в зависимости от значения искомой величины в приграничном узле. Такой тип ГУ также учитывается в диффузионных членах приграничных КО. Но в отличие от условий второго рода, такие ГУ не обнуляют соответствующий коэффициент уравнения на границе.
Для задачи отыскания компонент вектора скорости требуется выставлять граничные условия первого и второго рода. Граничные условия первого рода описывают массовый поток через соответствующую грань приграничного КО, а условия второго рода используются для описания трения о препятствия. Правило установки ГУ следующее: массовый поток через непроницаемое препятствие равен нулю, диффузионный поток не равен нулю только в случае, когда соответствующая компонента вектора скорости параллельна границе
Дискретизация уравнений движения на разнесенных сетках
При переходе к расчетам на неразнесенных сетках все компоненты скорости и скалярные величины считаются в центре основного КО. Однако данная процедура не может использоваться полностью аналогично случаю для разнесенных сеток [31].
Как и в случае рассмотрения алгоритма для разнесенных сеток изложение будем вести для компоненты вектора скорости и. Для компонент v, w, а также для скалярных величин будут справедливы аналогичные рассуждения. В алгоритме для неразнесенных сеток неисправленная компонента скорости рассчитывается следующим образом:
Для отыскания значений Q nj-in.k-in градиента давления на гранях контрольного объема можно воспользоваться интерполяционной формулой второго порядка:
В уравнении (2.152) член Am( 1/2 1/2 Л_1/2 является дискретной записью уравнения неразрывности для промежуточных компонент скорости взятых с w - ой внешней итерации. Основная проблема состоит в том, что уравнение для поправки к давлению (2.152) выведено с учетом отыскания компонент скорости на разнесенной сетке:
Очевидным способом может быть применение формулы линейной интерполяции м/.у.1/2,А_1/2=и,+1/2 у-_1/2 А_1/2Л+"м/2.у-1/2, -1/2(1-Л) Я отыскания Am" Запишем аналогичные формулы для простоты в буквенном виде. Формула для правки скорости на грани е:
Подставив последнее (2.161) соотношение, записанное для всех шести граней КО, в разностный аналог уравнения неразрывности получим и расписав интерполяции давления через значения в центрах КО, получим вычислительный шаблон для поправки давления, состоящий из величин Р, Е, W, N, S, В, Т, ЕЕ, WW, NN, SS, ВВ и ТТ. Такой шаблон может порождать осцилляции в решении и, хотя с ними можно бороться с помощью введения фильтрующих функций, все равно вычисления с таким шаблоном являются трудоемкими.
Хотелось бы получить более компактный шаблон наподобие того, что используется для уравнения для поправки давления на разнесенных сетках, но без внесения ошибок, связанных с переходом на неразнесенные сетки. Удобным решением является использование техники отложенной коррекции.
Согласно алгоритму SIMPLE для несжимаемой среды, абсолютное значение давления не имеет смысла, а важна лишь разница давлений в соседних КО, последнее выражение может быть переписано в виде: Однако такой способ получения значения компоненты скорости на грани неприемлем. Покажем аккуратно влияние ошибок, связанных с интерполяцией. Третий член в правой части как раз и ответственен за внесение численной диффузии при линейной интерполяции на грань контрольного объема значения промежуточных компонент скорости.
При выводе уравнения для поправки к давлению нам необходимо подставить в дискретное уравнение неразрывности шесть таких проинтерполированных скоростей для соответствующих граней контрольного объема.
Консервативность для предложенных разностных схем означает выполнение законов сохранения характерных для непрерывных схем и в случае дискретных схем. Покажем, что дискретизация уравнения распространения ЗВ является консервативным.
Доказательство устойчивости разностной схемы. Сеточный принцип максимума
В работах Самарского А.А. был развит подход оценки устойчивости сеточных уравнений, получивший название сеточного принципа максимума [89, 92]. Основными условиями применения данного подхода являются условия принадлежности соответствующего сеточного уравнения к «исходному семейству», то есть возможность представления уравнения в определенном виде с соблюдением условия монотонности.
Покажем, что сеточные уравнения, полученные с помощью МКО, удовлетворяют условию монотонности. Понятно, что можно вести доказательство монотонности для уравнения, описывающего перенос примеси. Для всех остальных уравнений переноса скалярных величин автоматически применяются аналогичные рассуждения. правая часть задачи на множестве узлов 3 не соседствующих с граничными, a Q0 - правая часть задачи на множестве приграничных узлов 3 z. Легко показать, что без сужения общности, оценки справедливые на 3 будут также справедливы и на 3 . Для этого достаточно рассмотреть три типа приграничных узлов: пристеночные, узлы после втока и узлы перед истоком из области.
Теоретические и практические оценки эффективности
Алгоритм без учета общего волнового фронта дает отличную асимптотическую эффективность, однако в теоретических оценках не было учтено ограничение на пропускную способность сети многопроцессорной системы, которое на практике является естественным ограничителем алгоритма. Также в алгоритме без учета общего волнового фронта сходимость итерационного процесса может быть существенно снижена за счет отсутствия необходимых обменов на этапах декомпозиции, прямой и обратной подстановки. Одномерная декомпозиция дает выигрыш по сравнению с двумерным алгоритмом волнового фронта за счет сокращения в 2 раза временных издержек на передачу синхронизационных данных на границе. Поэтому целесообразным является реализация алгоритма 2D декомпозиции по данным без учета волнового фронта и алгоритма ID декомпозиции по данным с пакетной передачей сообщений.
Найдем оптимальное значение параметра разбиения т в алгоритме одномерной декомпозиции при заданном количестве вычислителей р. Для В результате для = 128 оптимальное значение 1 = 6, то есть процесс синхронизации необходимо осуществлять после обработки 6 строк каждым процессором. Далее приведены временные затраты и практические замеры эффективности алгоритмов:
Для верификации построенных моделей необходимо оценить расхождение решения задачи в модельной области, полученного с помощью разработанной модели, с решением в этой же области, полученным с помощью стандартного пакета.
В качестве стандартного пакета используется ANSYS, с установленным в нем модулем расчета аэро-гидродинамики Fluent.
Будем рассматривать препятствие в виде здания, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда. Здание ориентировано широкой стороной к набегающему потоку, высота препятствия составляет 90% от высоты области моделирования. Программа работает с обезразмеренными уравнениями при числе Рейнольдса Re = 100. Результаты моделирования представлены на рисунках 3.9. - 3.12. На рисунках представлены вертикальные и горизонтальные срезы области моделирования в разрабатываемой в рамках диссертационного исследования программе и ANSYS Fluent. В ходе экспериментов отчетливо наблюдаются горизонтальные и вертикальные вихревые структуры, возникающие за препятствием. Перед препятствием в нижней части также образуется малый вихрь, который имеет существенно-трехмерный характер. Результаты моделирования хорошо согласуются не только друг с другом, но и с другими похожими экспериментами. Достоверность моделирования подтверждается также тем фактом, что программные комплексы написаны с использованием различных подходов: ANSYS Fluent является конечно-элементным комплексом, а в основе разрабатываемой программы лежит дискретизация на основе метода КО.
Программа GRIDGEN связывается с картами ГИС для получения информации о геометрии области моделировании, свойствах подстилающей поверхности и т.д. В программном комплексе ГИС играет роль набора необработанных карт, которые описывают геометрию области, тип и свойства объектов области моделирования и т.д. Основной задачей препроцессора является подготовка входных данных, полученных из ГИС, для удобного использования процессором. После получения данных о моделируемом объекте из ГИС препроцессор формирует карты типов и расположения контрольных объемов для всех физических величин, рассчитываемых процессором. В простейшем случае это карты координат и типов контрольных объемов для всех компонент поля скорости ветра (пустые, входные, выходные и т.д.). В результате работы GRIDGEN получается файл маски геометрии области, с которым работает процессор.
В процессор PROC реализуется расчет дискретных моделей на основе маски области моделирования и других карт ГИС. Процессор выдает текстовые файлы, содержащие поля рассчитываемых физических величин. В простейшем случае вычисляются компоненты скорости и поле давления.
Постпроцессрная обработка выполняется в программных продуктах сторонних производителей. В нем осуществляется визуализация результатов моделирования. Имеется возможность отображения скалярных полей в виде изолиний и векторных полей в виде стрелок, в каждой точке сетки, указывающих направления ветрового потока.
