Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы 8
1.1 Решение уравнений навье-стокса для вязкой несжимаемой жидкости 8
1.2 Учет криволинейности границ расчетной области 15
1.3 Задачи с подвижной границей 26
2 Решение модельных уравнений в областях с криволинейными и подвижными границами 30
2.1 Метод преобразования координат (использование адаптивной сетки) 31
2.2 Метод погруженной границы на прямоугольных сетках 36
2.3 Модельная задача диффузии в секторе кольца 42
2.4 Модельная задача конвекции-диффузии в секторе кольца 47
2.5 Задача стефана с подвижным фронтом фазового перехода... 50
выводы к главе 2 66
3 Неявный метод погруженной границы с фиктивными ячейками для решения уравнений навье-стокса в областях с криволинейными границами 68
3.1 Постановка задачи 68
3.2 Интерполяционная процедура аппроксимации краевых условий на криволинейной границе 73
3.3 Тестирование алгоритма на прямоугольных областях. задачи о течении в плоском канале, в каверне с движущейся крышкой, за обратным уступом 78
3.4 Тестирование алгоритма на областях с криволинейной границей. задача о течении в диффузоре 83
Выводы к главе 3 90
4 Решение уравнений навье-стокса в областях с подвижными границами 90
4.1 Задача о течении в восходящей аорте 90
4.2 Задача о течении в сосуде со стенозом 99
Выводы к главе 4 103
Заключение 103
Список литературы
- Учет криволинейности границ расчетной области
- Метод погруженной границы на прямоугольных сетках
- Интерполяционная процедура аппроксимации краевых условий на криволинейной границе
- Задача о течении в сосуде со стенозом
Введение к работе
Вычислительная гидродинамика по праву является одной из наиболее востребованных прикладных научных дисциплин. Вместе с тем, массовое распространение численных методов, алгоритмов и программ в инженерной среде сдерживается исключительной сложностью и многогранностью проблем, связанных с математическим моделированием течений жидкости в приложениях, сколько-нибудь отличающихся от идеализированных модельных задач. Хотя в настоящее время имеется ряд методов, позволяющих рассчитывать течения жидкости с высокой точностью в произвольных областях с меняющейся геометрией, эти методы остаются достаточно сложными для освоения, что препятствует проведению серийных инженерных расчетов. В связи с этим в последние годы растущее внимание уделяется более простым методам расчета течений жидкости в областях с подвижными криволинейными границами на неподвижных прямоугольных сетках.
Актуальность темы исследования.
Актуальность темы исследования обусловлена возрастающими требованиями к точности моделирования гидродинамических течений в технических приложениях и современном естествознании. Принципиальным моментом при построении математических моделей становится учет сложного поведения границ исследуемой области в ходе протекающих процессов. Разработка эффективных методов численного расчета течений жидкости в сложных областях представляет огромный практический интерес, что вызвано высокой сложностью получения достоверных результатов при проведении натурных экспериментов.
4 Цель работы.
Анализ современных численных методов решения уравнений в частных производных в областях с криволинейными и подвижными границами и выработка подходов к решению рассмотренного класса задач математической физики с использованием прямоугольных сеток.
Разработка эффективного вычислительного алгоритма для решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами на прямоугольных сетках.
Модификация алгоритма для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными криволинейными границами.
Реализация семейства методов в виде комплекса алгоритмов и программ.
Изучение характерных свойств семейства методов на ряде тестовых задач, имеющих эталонное численное или аналитическое решение.
Научная новизна.
Предложен неявный метод погруженной границы с фиктивными ячейками для численного решения уравнений математической физики в областях с криволинейными границами, позволяющий осуществлять решение широкого класса задач на прямоугольных сетках. Проведено изучение свойств метода на модельных задачах диффузии, конвекции-диффузии, а также на задаче с подвижным криволинейным фронтом фазового перехода. Качество метода подтверждено хорошим согласованием результатов численных расчетов с аналитическими решениями и решениями, полученными на адаптивных сетках с помощью преобразований координат.
На основе неявного метода погруженной границы с фиктивными ячейками разработан алгоритм решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами на прямоугольных совмещенных сетках. Показано хорошее согласование результатов расчетов с высокоточным решением, полученным на адаптивных сетках.
5
Проведена модификация предложенного алгоритма для решения задач о
* течении вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами.
Получено решение задачи о течении в восходящей аорте и решение для задачи о течении в сосуде со стенозом.
Апробация работы.
Основные результаты докладывались и обсуждались
на семинаре кафедры «Вычислительная математика и программирование» под руководством чл.-корр. РАН, профессора Пирумова У.Г.
на XIX международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт-Петербург, 2002);
на IV, V международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ) (Санкт-Петербург, 2002, Самара, 2004);
на XII и XIV международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС) (Владимир, 2003, Алушта, 2005)
Публикации.
По материалам диссертационной работы опубликованы тезисы докладов на IV, V международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях, XII, XIV международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, а также четыре статьи [95-102].
В первой главе настоящей работы дан обзор литературы, посвященной
г-
решению уравнений теплопереноса и гидродинамики в областях с
криволинейными границами на прямоугольных сетках. Освещаются проблемы, связанные с нахождением поля давления и постановкой краевых условий на границах при решении уравнений Навье-Стокса в приближении вязкой несжимаемой жидкости. Рассматриваются известные методы согласования полей скоростей и давления.
Во второй главе рассматриваются два различных подхода к численному решению уравнений математической физики (диффузии, конвекции-диффузии в областях с криволинейными границами и задачи Стефана с подвижным фронтом фазового перехода). Первый подход связан с построением адаптивных сеток и интегрированием уравнений по неортогональным криволинейным контрольным объемам. Второй подход основан на использовании метода погруженной границы, когда краевые условия на криволинейной границе аппроксимируются линейными соотношениями. Построение линейных соотношений выполняется согласно билинейной интерполяционной процедуре. Решены задачи диффузии и конвекции-диффузии в секторе кольца. Показано хорошее согласование решений, полученных на прямоугольных сетках, с эталонными аналитическими распределениями. Также показано, что результаты расчетов задачи Стефана неявным методом погруженной границы, не уступают решению высокоточным методом неортогонального криволинейного контрольного объема на адаптивных сетках.
В третьей главе приводится модификация неявного метода погруженной границы для решения уравнений Навье-Стокса в областях сложной геометрической формы на прямоугольных совмещенных сетках. Представлено решение ряда тестовых задач, таких как задача о течении в плоскопараллельном канале, задача о течении в каверне с движущейся крышкой и задача о течении за обратным уступом. С использованием метода погруженной границы получено решение задачи о течении в диффузоре с криволинейной стенкой. Показано хорошее согласование результатов расчетов
7 с решением, рассчитанным с помощью метода неортогонального криволинейного объема на адаптивных сетках.
В четвертой главе представлена модификация метода погруженной границы для решения уравнений Навье-Стокса в областях с подвижными границами. Получено решение задачи о течении в восходящей аорте и проведено сравнение резульггтов расчета с решением эквивалентной одномерной задачи гемодинамики. Приведено решение задачи о течении в сосуде со стенозом.
Учет криволинейности границ расчетной области
Одной из важных проблем вычислительной гидродинамики является получение решений в областях сложной геометрической формы. Для наиболее точного представления криволинейных границ разработан широкий спектр методов, основанных на применении адаптивных структурированных или неструктурированных в общем случае неортогональных сеток. Вместе с тем, построение качественной адаптивной сетки само по себе является нетривиальной задачей вычислительной геометрии, решение которой зачастую оформляется в виде отдельного сеточного генератора. Поэтому в последние годы растущий интерес проявляется к конечно-разностным методам, которые позволяют решать уравнения в сложных областях на декартовых сетках.
Построение декартовых сеток достаточно экономично как для двумерных, так и для трехмерных задач, при этом не требуется привлекать специальных сеточных генераторов. Дискретизация на прямоугольных сетках очень удобна из-за простоты получения конечно-разностной формы уравнений в частных производных. В результате матрица полученной СЛАУ является разреженной и обладает заданной ленточной структурой, для работы с которой имеется большое количество эффективных алгоритмов. На декартовых сетках удобно также реализовывать многосеточные методы, что вместе с уже разработанными алгоритмами параллельных вычислений дает возможность эффективного решения трехмерных задач. Кроме того, привлекательной особенностью методов декартовых сеток является возможность решения задач с подвижными границами без многократного перестроения сеток. Эти обстоятельства выгодно отличают методы, использующие декартовы сетки, от алгоритмов расчета на адаптивных неортогональных криволинейных сетках. В методах декартовых сеток использованы весьма разнообразные способы представления криволинейной границы и аппроксимации краевых условий на ней. Некоторые из самых ранних подходов, позволяющих решать уравнения в частных производных на декартовых сетках, приведены в [7,1,8].
Среди множества современных подходов, отметим такие методы, как метод скошенных ячеек (см. например, [14,15]), различные версии метода погруженной границы (immersed boundary method), метод погруженных интерфейсов (immersed interface method) [16], метод разностных потенциалов [11,17], а также метод фиктивной области [10,19,20,21,22].
Из всех методов, использующих декартовы сетки, наиболее точным считается класс методов контрольного объема, в котором наличие криволинейной границы учитывается введением в рассмотрение скошенных ячеек (cut-cells). Скошенная ячейка представляет собой контрольный объем, образованный пересечением прямоугольной ячейки с криволинейной границей (см. рис. 1.1). Интегрирование уравнений движения и неразрывности по скошенной ячейке обеспечивает выполнение законов сохранения. Поскольку граница может пересекать прямоугольный контрольный объем произвольным образом, получающаяся скошенная ячейка может занимать весьма малую часть исходного контрольного объема, а геометрические формы скошенных ячеек отличаются большим разнообразием. Эти обстоятельства диктуют необходимость индивидуального формирования и рассмотрения каждой скошенной ячейки.
Интегрирование по скошенным ячейкам малого размера влечет высокую жесткость системы уравнений, следовательно, ограничение по устойчивости.
Алгоритм слияния скошенных ячеек для ослабления ограничения по устойчивости не имеет универсального обобщения на трехмерный случай.
Использование разнесенных сеток требует дополнительных усилий по согласованию потоков между скошенными контрольными объемами для скоростей и давления.
Для подвижных границ на каждом временном шаге необходимо заново определять геометрическую форму каждой скошенной ячейки и пересчитывать потоки на гранях.
Для большинства трудностей известны способы их преодоления. Различные варианты метода скошенных ячеек успешно используются для расчета задач с криволинейными границами (см. напр. [23]).
Метод погруженной границы на прямоугольных сетках
Критически важной частью численного метода решения задач математической физики является процедура аппроксимации граничных условий. Общепринятой является постановка граничных условий первого, второго и третьего рода. Для искомой скалярной величины и граничное условие может быть записано в обобщенном виде:
В [29] предложен метод погруженной границы с фиктивным узлом для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Для использования метода необходима явная форма записи конечно-разностных уравнений. Присутствие криволинейной границы учитывается добавлением в правую часть этих уравнений некоторого источникового члена. Выражение для источникового члена сконструировано таким образом, чтобы принимать различные значения для узлов декартовой сетки, лежащих внутри расчетной области, и прилегающих к криволинейной границе. Для внутренних узлов источниковыи член равняется нулю. Для узлов, прилежащих к криволинейной границе, источниковыи член компенсирует имеющиеся в уравнениях слагаемые с целью получить явную форму записи соотношения, аппроксимирующего соответствующее краевое условие.
В работе [29] краевые условия на криволинейных границах задаются путем представления фиктивного узла, лежащего на границе или за ней, в центре фиктивной ячейки, которая пересекается границей. Значение величины в этом фиктивном узле определяется экстраполяционной процедурой. Краевые условия на криволинейной границе представляются с помощью процедуры билинейной экстраполяции, которая дает аппроксимацию краевого условия с первым порядком точности. Эта процедура позволяет построить линейное отношение между значениями величин в четырех точках. На рис.2.2 видно, что необходимы два внутренних узла сетки (хиух \ (х2уг), один фиктивный узел іхо.Уо) и точка на криволинейной границе (х0,у0). В качестве точки (х0,у0) Авторами [29] предложена явная экстраполяционная процедура аппроксимации краевых условий на криволинейной границе. Для краевого условия Дирихле матрица В строится по координатам двух внутренних узлов и одной точки границы, а затем по известным значениям щ,и2,и0 определяются коэффициенты билинейной экстраполяционной функции а = а 1 1 X, Ух ч «і , в = 1 х2 Уг , и = U2 ка1; ,1 о Уо, U0; , а = В хи. (2.7) Далее по вектору коэффициентов а вычисляется значение uG для фиктивного узла: «0=0 о УаУ - (2.8) Аппроксимация краевого условия Неймана согласно работе [29] требует иной матрицы В: В = . Ух ) ( Щ " 1 х2 у2 , и= и2 , (2.9) 0 cos0 sin (ди/дп)„ где в — угол наклона касательной к поверхности границы в точке О. Для аппроксимации краевых условий третьего рода матрица В принимает следующий вид: (2.10) неявная модификация иЛ Ух Уг В = и, и = (\ 1 ка axo+Pcos0 осу0+ psmd)
В настоящей работе предлагается экстраполяционной процедуры, которая органично встраивается в качестве краевых условий для задач (2.3),(2.5) и является более предпочтительной из соображений устойчивости. Запишем линейные соотношения для переменной и. Поскольку оба внутренних узла {хиУі\{х2у2) и фиктивный узел {xGyG) являются узлами декартовой сетки, значения коэффициентов билинейной интерполяционной функции можно получить по координатам этих трех узлов и значениям щ,и2,ис .
Интерполяционная процедура аппроксимации краевых условий на криволинейной границе
Ради сохранения целостности изложения описание интерполяционной процедуры, изложенной в главе 2, будет приведено вновь.
В [29] предложен метод погруженной границы с фиктивным узлом для решения уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Для использования метода необходима явная форма записи уравнений движения и уравнения Пуассона для давления. Присутствие криволинейной границы учитывается добавлением в правую часть этих уравнений некоторого источникового члена. Выражение для источникового члена сконструировано таким образом, чтобы принимать различные значения для узлов декартовой сетки, лежащих внутри расчетной области. Источниковый член для внутренних узлов равняется нулю. Для узлов, прилегающих к криволинейной границе, источниковый член компенсирует имеющиеся в уравнениях слагаемые с целью получить явную форму записи соотношения, аппроксимирующего соответствующее краевое условие.
В работе [29] краевые условия на криволинейных границах задаются путем представления фиктивного узла, лежащего на границе или за ней, в центре фиктивной ячейки, которая пересекается границей. Значение величины в этом фиктивном узле определяется экстраполяционной процедурой. Краевые условия на криволинейной границе представляются с помощью процедуры билинейной экстраполяции, которая дает аппроксимацию краевого условия с первым порядком точности. Эта процедура позволяет построить линейное отношение между значениями величин в четырех точках. На рис.3.2 видно, что необходимы два внутренних узла сетки {xhyi),(x2ty2)f один фиктивный узел (xGyG) и точка на криволинейной границе {х0,у0). В качестве точки {х0,у0) обычно выбирают точку границы, ближайшую к фиктивному узлу.
Авторами [29] предложена явная экстраполяционная процедура аппроксимации краевых условий на криволинейной границе. Для краевого условия Дирихле матрица В строится по координатам двух внутренних узлов и одной точки границы, а затем по известным значениям их,и2,и0 определяются коэффициенты билинейной экстраполяционной функции Аппроксимация краевого условия Неймана согласно работе [29] требует иной матрицы В: В = (1 , Ух 1 х2 у2 О cos 9 sin и ( и. и-, (du/dn)0j (3.21) где 9 - угол наклона касательной к поверхности границы в точке О.
Дня аппроксимации краевых условий третьего рода матрица В принимает следующий вид:
Аналогичным образом осуществляется аппроксимация краевых условий на криволинейной границе для остальных переменных, если они присутствуют в задаче.
В настоящей работе предлагается неявная модификация экстраполяционной процедуры, которая органично встраивается в качестве краевых условий для задач переноса в конечно-разностной форме и является более предпочтительной из соображений устойчивости. Запишем линейные соотношения относительно переменной и. Поскольку оба внутренних узла (Х\,У\\{Х2,У2) и фиктивный узел (хауа) являются узлами декартовой сетки, значения коэффициентов билинейной интерполяционной функции можно получить по координатам этих трех узлов и значениям ul,u2,uG:
Задача о течении в сосуде со стенозом
Рассматривается задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в сосуде с податливой стенкой, толщина которой существенно зависит от положения на оси. Эта задача была предложена и решена в работах [83,84] с использованием адаптивных сеток.
Характерной чертой этой задачи является наличие подвижной границы, которая сильно искривлена в окрестности стеноза. В работах [83,84] поведение границы описывается нелинейными уравнениями динамики вязкоэластичных тонкостенных оболочек.
Для моделирования стенки сосуда используется закон Муни-Ривлина (Mooney-Rivlin), который в приложении к данной задаче имеет вид: РЯ = С І2Я - 2А-2)+ ДД І2Я - 2яЛ Т + //- — , (4.47) h0(x) u х n r Я dt V где Я = Ч J - коэффициент растяжения, (4.48) hQ (х) - толщина стенки сосуда, (4.49) С, =1.0x105 дин-см"2, (4.50) Z),=3800 дин-см"2, (4.51) Z 2=2.4, (4.52) TJ = 20000 - параметр вязкоэластичности. (4.53)
Стенка сосуда считается несжимаемой, поэтому для изменяющейся площади поперечного сечения сосуда справедливо равенство 2xR(x,t)h(x) = 2nR0(x)h0(x), где начальная толщина стенки задается выражением h0(x) = S(x)+0.2. (4.54) Результаты расчетов Вычисления производились на равномерной сетке 100x30. Расчет выполнялся на временном отрезке [о,2]сек. с шагом, равным St = 0.01 сек. На рис. 4.9 представлена геометрическая форма криволинейной подвижной границы, соответствующая двум значениям давления на входном сечении сосуда. Распределения поля давления на стенке показаны на рис.4.10.
Из рисунков видно, что положение подвижной стенки и распределение давления хорошо согласуются с решением, полученным на адаптивной сетке.
Проведена модификация неявного метода погруженной границы для решения уравнений Навье-Стокса в областях с подвижными границами. Получено решение задачи о течении в восходящей аорте. Показано хорошее соответствие средней продольной скорости в сосуде с решением эквивалентной одномерной задачи. Проведены расчеты для задачи о течении в сосуде со стенозом. Показано хорошее согласование расчетного положения границы и поля давления с решением задачи, полученным на адаптивных сетках.
В ходе диссертационной работы были получены следующие результаты:
1. Предложена неявная модификация метода погруженной границы с фиктивными ячейками для решения ДУЧП в областях с криволинейными границами, позволяющая осуществлять решение широкого класса задач на прямоугольных сетках.
2. Проведено изучение свойств предложенного метода на модельных задачах диффузии, конвекции-диффузии, а также задачи с подвижным криволинейным фронтом фазового перехода. Проведенный сравнительный анализ показал хорошее согласование результатов численных расчетов с аналитическими решениями и решениями, полученными на адаптивных сетках с помощью преобразования координат.
На основе неявного метода погруженной границы с фиктивными ячейками разработан алгоритм решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами на прямоугольных совмещенных сетках. В качестве тестовой задачи рассмотрена задача о течении в диффузоре с криволинейной стенкой. Показано хорошее согласование результатов расчета с высокоточным решением, полученным на адаптивных сетках. Проведена модификация предложенного алгоритма для решения задач о течении вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами. Получено решение задачи о течении в восходящей аорте. Показано хорошее согласование средней продольной скорости в сосуде с решением эквивалентной одномерной задачи. Проведены расчеты для задачи о течении в сосуде со стенозом. Показано хорошее согласование расчетного положения границы и поля давления с решением задачи, полученным на адаптивных сетках.
Создан комплекс алгоритмов программ по решению уравнений математической физики в областях с подвижными криволинейными границами, использующий модификации неявного метода погруженной границы на прямоугольных сетках.
