Введение к работе
Актуальность проблемы. Со времен создания специальной теории относительности релятивистские модели успешно используются для описания сложных физических явлений как на микро-, так и на макроуровне. В то же время, в процессе создания этих моделей выяснилось, что во всех из них, начиная с некоторого уровня сложности, возникают общие проблемы, исследование и решение которых является актуальным и по сей день. К ним, в частности, относится наличие особенностей на классических решениях и аномалий, возникающих при квантовании релятивистских моделей. Одной из широко известных моделей данного типа является модель Намбу-Гото релятивистских струн - одномерных объектов в d-мерном пространстве-времени Минковского, заметающих при своем движении поверхности экстремальной площади (мировые листы). Данная модель возникла в 1970х годах в физике высоких энергий в связи с задачами описания внутренней структуры сильно взаимодействующих частиц (адронов). В настоящее время струнные модели рассматриваются в контексте специальной теории поля - квантовой хромо-динамики (КХД), описьшающей взаимодействие массивных спинорных полей (кварков) посредством обмена безмассовыми векторными полями (глюонами). В низкоэнергетическом пределе КХД глюонное поле концентрируется вдоль линии, соединяющей кварки, для описания динамики которой используется струнная модель. Другой областью применения струнной модели является Теория Великого Объединения, в которой все элементарные частицы, включая кварки и глюоны, представляются как фундаментальные струны малого размера и большого натяжения. За 30 лет своего бурного развития струнные модели, а также родственные им модели мембран сформировали мощное направление теоретической физики и способствовали возникновению целого ряда новых математических дисциплин.
Модели типа Уилера-Фейнмана также появляются в контексте теории поля, как конечномерные модели движения источников, остающиеся после исключения из теории полевых степеней свободы. Такое исключение происходит при выражении классических полей через источники, либо интегрировании по полям производящих функционалов квантовых теорий поля, выполненном при определенных граничных условиях. Привлекательными чертами полученных моделей являются отсутствие расходимостей и явная симметрия при обращении направления времени. Как и модель релятивистских струн, модель Уилера-
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ і
1 БИБЛИОТЕКА !
03 K»C/w7 (/^1
Фейнмана содержит широкую группу симметрии, появление которой обусловлено тем, что действие модели является репараметризационно и пуанкаре-инвариантным функционалом мировых линий зарядов. Специфической особенностью модели Уилера-Фейнмана является наличие нелокальных (запаздывающих и опережающих) членов в действии, в результате чего уравнения движения этой системы принадлежат к малоизученному классу функциональных уравнений - дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами. Еще одной общей чертой моделей Намбу-Гото и Уилера-Фейнмана является тот факт, что решения классических уравнений движения в данных моделях обладают нетривиальной топологической структурой, проявляющейся в наличии особых точек различного типа, ветвлений, бифуркаций. С физической точки зрения, интерес к особым точкам на струнах обусловлен многими причинами. Особенности имеют вид изломов на струне, в окрестности которых сконцентрирован значительный импульс, в силу этого возможна физическая интерпретация особенностей как элементов структуры экзотических (гибридных) адронов. Особенности могут приводить к разрывам струн, которые физически соответствуют процессам распада элементарных частиц. Имеется также специальный тип особенностей, ответственный за нестабильность вакуумного состояния в данной модели. Вопрос о классификации топологических особенностей в моделях Намбу-Гото и Уилера-Фейнмана до настоящего времени не был исследован в полном объеме.
Квантование релятивистских моделей связано с дополнительными трудностями по квантовой реализации широких групп симметрии, которыми они обладают. Уже на ранних этапах развития теории струн было замечено, что при физической размерности пространства-времени d= 4 квантование модели Намбу-Гото обладает алгебраическими аномалиями, которые нарушают основные симметрии теории (инвариантность относительно группы репараметризаций и группы преобразований Пуанкаре). В то же время, квантование не имеет аномалий при значении размерности d — 26, или, после включения дополнительных фермион-ных степеней свободы, при d — 10. Позже этот подход был объединен с другой идеей: часть измерений рассматривалась как координаты на компактном многообразии физически малого размера. Однако, следует подчеркнуть, что данный подход не может быть непосредственно использован в моделях адронов, предметом рассмотрения которых была и остается 4-мерная струна Намбу-Гото, в то время как введение дополнительных размерностей и дополнительных степеней свободы видоиз-
меняет эту систему существенно. Вопрос о возможности квантования струны Намбу-Гото при физическом значении размерности d = 4 по-прежнему является актуальным.
При исследовании моделей Намбу-Гото и Уилера-Фейнмана возникают чрезвычайно сложные вычислительные задачи, для решения которых аналитических методов недостаточно и требуются специальные методы компьютерного моделирования. В частности, классификация особых точек на мировых листах требует исследования полиномиальных систем, что производится методами компьютерной алгебры посредством вьгаисления конечномерных образующих для соответствующих полиномиальных идеалов (базисов Грёбнера). При решении квантовых задач в теории струн требуется производить алгебраические операции с разреженными матрицами чрезвычайно большого размера, для чего необходимы специальные методы по анализу структуры и эффективной компрессии таких матриц. Для задач, возникающих в электродинамике Уилера-Фейнмана, характерно то, что они могут быть решены только с помощью численных методов, причем сами эти методы в настоящее время находятся в стадии разработки. При исследовании топологической структуры решений неоценимую помощь оказывают методы компьютерной визуализации, которые приобретают все большее значение в таких специальных научных областях, как теоретическая и математическая физика. Таким образом, исследование вышеупомянутых проблем математической физики оказывается тесно связанным с использованием информационных технологий, которые только в недавнее время достигли уровня развития, необходимого для решения вышеперечисленных сложных задач.
Целью диссертационной работы является математическое моделирование, разработка численных методов исследования и комплексный анализ структуры классических и квантовых решений теории релятивистских струн Намбу-Гото и электродинамики Уилера-Фейнмана.
В рамках данной работы поставлены и решены следующие задачи:
разработка геометрического метода для явного представления решений в модели релятивистских струн Намбу-Гото, методов компьютерной визуализации динамики струн в пространстве-времени Минковского размерностей d = 3,4, программная реализация методов;
сведение к алгоритмически разрешимой задачи о квантовании модели Намбу-Гото в пространстве-времени некритической размерности, т.е. задачи о представлении переменных классической модели линейными самосопряженными операторами в (псевдо-) гильбертовом пространстве состояний, разработка и программная реализация методов определения спин-массовых спектров состояний квантовой модели Намбу-Гото;
проведение исчерпывающей классификации особых точек на мировых листах струн, основанной на использовании компьютерной визуализации и аналитических методов;
исследование класса решений, обладающих не всюду положительной плотностью энергии (экзотических состояний);
исследование взаимосвязи между особенностями на струнах и процессами разрыва струн;
построение частных классов движений струн, допускающих алгебраически неаномальное квантование в размерности d — 4, вычисление соответствующих спин-массовых спектров;
исследование экзотических состояний в квантовой модели Намбу-Гото при произвольном значении размерности, построение специального класса движений струн, содержащего такие состояния и допускающего алгебраически неаномальное квантование в размерности d = 3, вычисление соответствующих спин-массовых спектров;
устранение алгебраических аномалий в квантовой модели Намбу-
Гото при d = 4 с использованием метода квантования Гупты-
Блейлера, вычисление соответствующих спин-массовых спектров;
устранение алгебраических аномалий в квантовой модели Намбу-Гото при d = 4 с использованием метода квантования Дирака-Паули в пространствах состояний с индефинитной метрикой, вычисление соответствующих спин-массовых спектров;
устранение алгебраических аномалий в квантовой модели Намбу-Гото при d = 4 с использованием канонического метода квантования Дирака и лоренц-инвариантных калибровок, динамически связанных с мировым листом, вычисление соответствующих спин-массовых спектров;
сведение к алгоритмически разрешимой задачи о взаимодействии двух тел в модели Уилера-Фейнмана;
разработка численных методов для решения одномерной задачи о рассеянии двух тел в модели Уилера-Фейнмана, исследование структуры решений данной задачи;
разработка численных методов для решения трехмерной задачи о финитном движении двух тел в модели Уилера-Фейнмана, исследование структуры решений данной задачи.
Научная новизна результатов. Все представленные в диссертации научные результаты являются новыми. Впервые проведена исчерпывающая классификация особых точек на мировых листах релятивистских струн на основе теории особенностей дифференцируемых отображений и методов компьютерной визуализации. Введено в научный оборот понятие экзотических решений в модели струн Намбу-Гото, построены примеры таких решений. Обнаружена взаимосвязь между особенностями на струнах и процессами разрыва. Впервые найдены подмногообразия фазового пространства в модели струн Намбу-Гото, квантование которых свободно от аномалий при физической размерности пространства-времени d = 4, и спин-массовый спектр которых состоит из бесконечного набора линейных реджевских траекторий. Впервые на количественном уровне была исследована структура квантовых решений модели Намбу-Гото при использовании схем квантования Гупты-Блейлера, Рорлиха, Дирака-Паули. Новым неожиданным результатом оказалась возможность алгебраически неаномального квантования движений общего вида в модели струн Намбу-Гото с использованием модифицированной калибровки светового конуса. Тем самым найдено решение старой проблемы о построении квантовой модели струн Намбу-Гото при d — 4, история которой насчитывает уже более трех десятилетий. Для модели Уилера-Фейнмана развиты методы численного решения уравнений движения, с помощью которых впервые на количественном уровне исследованы высокоэнергетические решения и при определенных критических значениях энергии обнаружены изменения их топологической структуры (бифуркации). В результате данных комплексных исследований сформировано новое научное направление, нацеленное на решение фундаментальных проблем физики высоких энергий с применением современных технологий математического моделирования, вычислительного эксперимента и компьютерной визуализации.
Научная и практическая ценность полученных результатов.
Значительная часть работ в квантовой теории струн, опубликованных в последние десятилетия, формулирует данную теорию при высоком значении размерности и нетривиальной топологии пространства-времени, что препятствует ее использованию для построения реалистических моделей элементарных частиц.
К основным результатам данной работы следует отнести сведение общей проблемы квантования модели Намбу-Гото в пространстве-времени Минковского некритической размерности к конкретным вычислисли-тельным задачам, а также построение целого ряда примеров решений этих задач. Это открывает новые возможности по непосредственному использованию квантовой модели Намбу-Гото в физике элементарных частиц для описания строения и взаимодействий адронов при физическом значении размерности d = 4. Следует также подчеркнуть, что именно при этом значении размерности в данной работе были обнаружены яркие явления, связанные с наличием особенностей на струнах. Эти явления имеются в модели Намбу-Гото уже на классическом уровне и их влияние на процессы разрыва струн находит непосредственную физическую интерпретацию при описании распадов элементарных частиц.
При исследовании модели Уилера-Фейнмана были разработаны численные методы решения дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами, которые имеют область приложения, выходящую за рамки данной модели. Разработанные методы позволяют существенно расширить класс исследуемых в математической физике динамических систем, включив в него нелокальные системы с опережающим и запаздывающим взаимодействием. Данные методы, будучи примененными к решению уравнений движения модели Уилера-Фейнмана, позволяют исследовать решения в области высоких энергий (соответствующих скоростям вплоть до v = 0.999с), недоступной ранее численным методам. Именно для таких энергий в данной работе были обнаружены топологические перестройки решений (бифуркации).
Следует также подчеркнуть, что методы компьютерной визуализации, разработанные для исследования топологической структуры решений в моделях Намбу-Гото и Уилера-Фейнмана, а также созданное на их основе программное обеспечение оказываются чрезвычайно полезными как на стадии исследования, так и для представления результатов. Особенно эффективными эти методы становятся при использовании крупномасштабных систем виртуального окружения, основанных на кластерах персональных компьютеров и общедоступном проек-
ционном оборудовании. Данные системы, включающие разработанное автором программное обеспечение, уже сейчас активно используются в научно-исследовательских институтах и образовательных центрах, в частности, в НИВЦ МГУ, ФОПФ МФТИ, ИФТИ, ИКИ РАН. В связи с этим также следует упомянуть доклад автора на XXV Международном Конгрессе по Фундаментальным Проблемам Физики Высоких Энергий и Теории Поля (ИФВЭ, Протвино, 25-28 июня 2002г.), на котором пространственные модели мировых листов демонстриривались с использованием крупномасштабной системы виртуального окружения. Результаты исследования имеют большую методическую ценность и используются в специальных курсах, читаемых в Московском физико-техническом институте. Автором издано учебное пособие объемом 244 страниц по данной тематике.
Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании апробированных методов математической физики (включая численные методы), положенных в основу анализа структуры решений исследуемых релятивистских моделей, а также подтверждается публикациями результатов в ведущих научных журналах и трудах международных конференциях, в которых проводится тщательное рецензирование.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Отдела теоретической физики ИФВЭ, НИИЯФ МГУ, Института математики РАН им. Стеклова, Санкт-Петербургского университета, а также в университетах г.Кайзерслаутерн, г.Бремен, Научно-исследовательком центре информационных технологий, г.Санкт-Августин, Германия, университете шт.Сао-Паоло, Бразилия, и следующих международных конференциях: Международная конференция по фундаментальным проблемам квантовой теории поля и физики высоких энергий, Алушта, май 1996, Дубна, июль 1998, Протвино, июнь 2002; Международная конференция по компьютерному моделированию в физике, Дубна, сентябрь 1996; Международная конференция по современным исследованиям в вычислительной физике, Дубна, июль 1998; Системы искусственного интеллекта в физике высоких энергий и ядерной физике, г.Пиза, апрель 1995; Международная летняя школа по физике элементарных частиц, г.Эриче, Сицилия, август 1998; Международная конференция по визуализации в научных вычислениях, Еврографика, Прага, апрель 1996, Булонь, Франция, апрель 1997; Международная конференция по ма-
тематической визуализации, Берлин, сентябрь 1997; Международный конгресс математиков, Берлин, август 1998; Международный конгресс по дифференциальной геометрии, Бильбао, Испания, сентябрь 2000; Валенсия, Испания, июль 2001; 18-ый симпозиум по вычислительной геометрии, Барселона, Испания, июнь 2002; Международный семинар по компьютерной визуализации, г.Дагштул, Германия, июнь 1997; Международная конференция по компьютерной графике и визуализации, Графикой, Н.Новгород, сентябрь 1994, С.-Петербург, июль 1995, Москва, май 1997, сентябрь 1998, август 1999, Н.Новгород, сентябрь 2001; 6-ая Международная конференция по компьютерной графике и анимации, Аниграф, Москва, май 1998; Визуализация'98, Нью-Йорк, октябрь 1998; Визуализация'99, Сан Франциско, октябрь 1999; Международная конференция по компьютерной графике, Евромикро, Варшава, сентябрь 2001; Международный симпозиум по системам виртуального окружения на кластерах персональных компьютеров, Протвино, сентябрь 2001, август 2002, июнь 2003.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано более 40 работ, часть из которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объем диссертации: 340 страниц основного текста и 6 страниц цветных иллюстраций. Диссертация содержит 179 рисунков, 18 таблиц и список литературы, содержащий 217 наименований.
