Введение к работе
Актуальность темы. Одним из приложений метода математического моделирования является прогнозирование и количественная оценка динамики процессов и систем в биологии, экологии, демографии, экономике и технике. Важнейшим применением моделей является поиск условий, гарантирующих стабильную динамику изучаемых процессов и систем. Такие условия позволяют найти границы изменения переменных, отражающих состояние объектов моделирования, а также оценить характер динамики этих переменных. Многие объекты моделирования характеризуются наличием положительных и отрицательных обратных связей, которые регулируют динамику указанных переменных и обеспечивают саморегулирование объектов в целом. Характерной особенностью обратных связей является высокая размерность вектора используемых переменных, большое число параметров, наличие различных запаздываний, отражающих определенные закономерности функционирования объектов моделирования. Указанные особенности вызывают существенные трудности как на этапе построения моделей, так и на этапе аналитического и численного исследования свойств решений используемых классов уравнений.
Во многих случаях правые части уравнений моделей содержат монотонные функции или операторы, отражающие определенные закономерности изучаемых процессов и систем. Наличие таких функций или операторов позволяет использовать монотонный метод для получения двусторонних оценок на решения моделей. Построение этих оценок опирается на теорему о «вилке» для решения операторных уравнений и ее различные варианты (Л. Коллатц, 1969 г., М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутиц-кий, В. Я. Стеценко, 1969 г., Дж. Ортега, В. Рейнболт, 1975 г., Н. С. Курпель, Б. А. Шувар, 1980 г., А. Ю. Оболенский, 1983 г., Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина, 1991 г., 2002 г.), теоремы сравнения с использованием функций Ляпунова (Л. Т. Груйич, А. А. Мартынюк, М. Риббенс-Павела, 1984 г., Р. И. Козлов, 2001 г., Н. В. Азбелев, П. М. Симонов, 2001 г.) и другие методы. Применение двусторонних оценок к исследованию асимптотического поведения решений при t —* -boo моделей конкретных процессов
и систем описано в работах В. И. Опойцева, 1977 г., D. J. Allwright, 1977 г., Н. Т. Banks, 1978 г., И. Дьери, Н. В. Перцева, 1986 г., 1987 г., I. Gyori, 1989 г., 1990 г., Н. В. Перцева, 1994 г., 1999 г., 2001 г., 2002 г., М. Е. Семенова, 2002 г. и др. авторов.
Настоящая работа посвящена исследованию решений дифференциальных и интегральных уравнений с последействием, моделирующих динамику многокомпонентных систем, в которых скорости производства и гибели отдельных элементов задаются с помощью положительных и отрицательных обратных связей.
Целью диссертационной работы является построение границ изменения решений и исследование асимптотического поведения решений при t —> +оо для рассматриваемого класса моделей.
Основные задачи работы состоят в следующем:
формализация динамики некоторых саморегулируемых систем с помощью дифференциальных и интегральных уравнений с последействием;
построение двусторонних оценок на решения определенного класса систем интегральных уравнений с последействием, нахождение достаточных условий существований предела решений при t —> +со с использованием монотонного метода и М-матриц;
исследование условий существования ограниченных решений и их предела при t —» +оо дифференциальных и интегральных уравнений, моделирующих динамику многокомпонентных саморегулируемых систем в задачах биологии и экологии.
Научная новизна. Рассмотрен класс интегральных и дифференциальных уравнений с последействием, моделирующих динамику сложных систем с положительными и отрицательными обратными связями. Решена задача нахождения двусторонних оценок на решения x(t) указанных систем уравнений в форме параллелепипедов и0 < x(t) < w, t є [0, +оо). Получены оценки и* < lim inf x(t) < lim supx(t) ^ w* и установлены условия pa-
t—*+oo t—*+oo
венства и* = w*, обеспечивающие существование lim x{t). Разработан cno-
t— +00
соб нахождения u, w, и*, w* с использованием невырожденных М-матриц и монотонного метода.
Основные положения, выносимые на защиту:
формализация динамики некоторых сложных систем с положительными и отрицательными обратными связями;
метод решения систем уравнений и неравенств с изотонными и ангитонны-ми функциями с использованием невырожденных М-матриц и специального итерационного процесса;
способ построения двусторонних оценок на решения x(t) изучаемого класса систем интегральных и дифференциальных уравнений, критерий существования предела x(t) при t -+ +00 и асимптотической устойчивости стационарных решений;
результаты исследования моделей, используемых в ряде задач биологии и экологии.
Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись аппарат функционального анализа, качественная теория дифференциальных и интегральных уравнений, свойства невырожденных М-матриц, численные расчеты в пакетах прикладных программ MATLAB и Maple.
ІЬор'етическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для изучения качественного поведения решений систем интегральных и дифференциальных уравнений с последействием, содержащих изотопные и антитонные функции и операторы. Разработан способ для аналитического и численного построения оценок областей притяжения асимптотически устойчивых стационарных решений указанных систем уравнений. Предложенный подход позволяет существенно упростить исследование решений моделей некоторых саморегулируемых систем для случая высокой размерности, большого числа параметров и запаздываний.
Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались на 6 всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Кемерово, 2005 г.), международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005 г.), 44 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2006 г.). Материалы диссертации обсуждались на се-
минаре в Институте вычислительных технологий СО РАН (г. Новосибирск, 2006 г.), семинаре кафедры дифференциальных уравнений НГУ (г. Новосибирск, 2006 г.), семинарах «Математическое моделирование и численные методы» кафедры математического моделирования ОмГУ и Омского филиала института математики СО РАН им. С. Л. Соболева (г. Омск, 2004 - 2006 гг.).
Публикации. Результаты по теме диссертации опубликованы в 7 работах.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 71 наименование, и приложения. Материал изложен на 146 страницах текста, включая 21 рисунок и 5 таблиц.
