Содержание к диссертации
Алгоритм вычисления нормального псевдорешения
на основе сингулярного разложения 16
Алгоритм вычисления регуляризированного решения
на основе сингулярного разложения 18
Выбор параметра регуляризации на основе принципа
невязки 20
Выбор параметра регуляризации из
условия оптимальности 22
Точностные характеристики регуляризирующих алгоритмов... 3 6
1.6. Оценка дисперсии шума на основе «высокочастотных»
компонент правой части 46
Результаты главы 2 71
Построение дескриптивного регуляризованного решения методами квадратичного программирования ...101
создание нового класса регуляризирующих алгоритмов с векторным параметром регуляризации, предназначенных для восстановления контрастных сигналов и изображений;
разработка локального регуляризирующего алгоритма решения СЛАУ, учитывающего априорную информацию о характеристиках искомого решения;
создание программного обеспечения и решение на его основе задачи определения концентрации газов в атмосфере по данным лазерного газоанализа многокомпонентных смесей.
предложен новый класс локальных регуляризирующих алгоритмов, предназначенных для восстановления контрастных решений, в которых скалярный параметр регуляризации заменен векторным параметром;
введен обобщенный сглаживающий функционал с векторным параметром регуляризации и построена итерационная процедура вычисления его минимума, который принимается в качестве локального регуляризированного решения;
разработан алгоритм локальной регуляризации, в котором для каждого сингулярного числа системы вычисляется свой регуляризирующий множитель как предельная точка итерационной процедуры уточнения отношений шум/сигнал;
разработан дескриптивный локальный регуляризирующий алгоритм, учитывающий априорные ограничения на . решение, задаваемые системой линейных неравенств.
полученные теоретические результаты являются основой для численной реализации построения локальных регуляризированных решений при различном объеме априорной информации;
на основе разработанных алгоритмов решена практическая задача - задача определения концентрации газов в атмосфере по данным лазерного газоанализа многокомпонентных смесей;
новый класс локальных регуляризирующих алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений с векторным параметром регуляризации;
численный алгоритм локальной регуляризации с векторным параметром;
алгоритм локальной регуляризации с вычислением отношений шум/сигнал;
алгоритм нелинейной локальной регуляризации, учитывающий априорные характеристики решения.
Решение обратной задачи газоанализа по данным
натурного эксперимента 125
Введение к работе
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида
кп<Р1 + к1Я>2 + - + кш(Рм = /;> к21<Р1 + к22Ф2 + + к2М<Рм = /2 ,
кМ1(р1 + кЫ2(р2 + + кым(Рм = /ы
и введем следующие обозначения: числа к^ назовем
коэффициентами системы, - неизвестными значениями, -
правыми частями СЛАУ. В терминах матричных операций систему линейных алгебраических уравнений запишем следующим образом:
К9 = /.
Здесь К - матрица действительных чисел размером Мх//, ср и/- вектора соответствующей размерности.
К решению систем линейных алгебраических уравнений приводят многие задачи из различных областей математической физики: электродинамики, геофизики, физики плазмы, дифракционной оптики и т.д. Решение СЛАУ является одним из основных этапов в различных задачах параметрической и непараметрической идентификации динамических систем, обработки экспериментальных данных и численного анализа.
На практике вектор / определяется с некоторой случайной ошибкой, т.е. фиксируется величина
7 = /+л
где г] - вектор случайной ошибки, обусловленный погрешностями измерительной аппаратуры, средств регистрации, шумами каналов связи и т.д., который можно назвать шумом измерений. Поэтому приходится решать систему уравнений
При этом возникает ряд трудностей, связанных с нарушением требований корректности по Адамару [85]. Во-первых, система может быть несовместной, и в этом случае решение не существует. Во-вторых, матрица К может быть вырожденной (тогда решение системы будет неединственным) или прямоугольной (И >М) (в
этом случае не определена обратная матрица КГ1 и решение не существует). В-третьих, решение может быть неустойчиво к шуму исходных данных, и тогда малые погрешности правой части приводят к большим ошибкам в решении.
Задачи, в которых не выполняются одно или более из требований корректности по Адамару, называются некорректными. К ним относятся многие задачи линейной алгебры, теории оптимального управления, задача минимизации функционалов и др. Теория и методы решения некорректных задач получили широкое развитие после выхода в свет основополагающих работ [59-61]. Важнейшим было введение в [59] понятие регуляризированного решения некорректной задачи.
Разработка теории решения некорректных задач позволила ответить на вопрос: как для вырожденной системы из множества решений отобрать единственное? Для этого необходимо ввести некоторое правило или критерий отбора. Таким критерием может служить требование минимальной длины вектора решения. Нормальным решением вырожденной системы называется вектор <рн, имеющий минимальную норму ||<р|| среди всех решений
системы.
При решении несовместных задач, когда для заданной правой части не существует вектора ср, обращающего СЛАУ в тожество, возникает вопрос: как определить решение? Аналогичный вопрос возникает для СЛАУ с прямоугольными матрицами. Причиной несовместности может быть неточность задания правой части из-за наличия шума измерений или неточность задания элементов матрицы системы, полученной из моделей физических процессов. Во всех этих ситуациях обращаются к методу наименьших квадратов (МНК). Псевдорешением (или решением МНК) называется вектор доставляющий минимум следующему функционалу невязки [65]:
нк (Р) = 17 - щ2 = (7- К(р)Т (7 - Кср)
среди всех векторов евклидова пространства Ем. Используя правила векторного дифференцирования, перейдем к системе (называемой системой нормальных уравнений) вида
КТКсрш = КТ/ .
В отличие от исходной, данная система всегда разрешима, т.е. для любой правой части существует псевдорешение. Если система нормальных уравнений вырождена и множество псевдорешений состоит не из единственного элемента, то за решение принимается
вектор <р+, называемый нормальным псевдорешением, имеющий
минимальную норму среди всех решений <рнк.
К сожалению, алгоритм построения нормального псевдорешения является неустойчивым к возмущениям правой части, что является следствием плохой обусловленности решаемых СЛАУ. Для анализа обусловленности и вырожденности решаемой СЛАУ используется такое мощное вычислительное средство, как сингулярное разложение [72,82].
Устойчивые нормальные псевдорешения можно получить, используя теорию и методы регуляризации, которые по форме задания априорной информации подразделяются на детерминированные и статистические.
В статистических регуляризирующих алгоритмах (РА) построение регуляризированных решений СЛАУ основано на статистической модели измерений и статистических способах задания априорной информации об искомом решении. К ним относятся байесовский регуляризирующий алгоритм [27,42,67] и оптимальные решающие процедуры [1,28,32,33,42,69-71].
Детерминизм регуляризирующих алгоритмов проявляется в постановке задачи, в алгоритме построения или отбора устойчивых решений и обусловлен способом задания априорной информации, а также выбором метрик пространств правой части и решения операторных уравнений. К детерминированным относятся методы квазирешений, невязки, регуляризации А.Н.Тихонова [17,24,29,59,60,62,64,90].
Для «компенсации» априорной неопределенности о характеристиках искомого решения многие регуляризирующие алгоритмы решения СЛАУ имеют параметр регуляризации, меняя который, можно получить приемлемую точность регуляризированных решений. Такие алгоритмы с одним «управляющим» параметром получили название «глобальных» РА.
Несмотря на хорошо разработанную теорию решения линейных некорректно поставленных задач (частным случаем таких задач является решение СЛАУ) и глобальных регуляризирующих алгоритмов, использованы не все возможности для повышения точности РА.
Очевидно, что повысить точность регуляризированных решений можно, перейдя к методам «локальной» регуляризации. В связи с этим все большее распространение получают локальные регуляризирующие алгоритмы. Термин «локальные» указывает на то, что скалярный параметр регуляризации в таких алгоритмах заменен некоторой функцией, зависящей от отношений «шум/сигнал» либо от аргумента искомого решения. К сожалению, в литературе не описаны локальные регуляризирующие алгоритмы, предназначенные для восстановления контрастных решений, в которых величина параметра регуляризации увеличивалась бы на «гладких» областях решения, позволяя лучше сгладить шум, и уменьшалась в областях резкого изменения амплитуды, не приводя, таким образом, к снижению контрастности.
Другой способ повышения точности приближенных решений заключается в использовании априорной качественной и количественной информации о характеристиках искомого решения, в частности, о его геометрических свойствах.
В диссертационной работе предлагаются новые подходы к построению:
локальных регуляризирующих алгоритмов, в которых вместо одного параметра регуляризации вводится набор параметров, позволяющих производить более «тонкую» настройку РА;
дескриптивных локальных регуляризирующих алгоритмов, позволяющих учитывать дополнительную качественную и количественную априорную информацию об искомом решении.
Цель работы заключается в разработке и исследовании локальных регуляризирующих алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений. В соответствии с указанной целью в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи :
1) разработка локального регуляризирующего алгоритма решения СЛАУ с уточнением отношений шум/сигнал;
Методы исследований основаны на аппарате линейной алгебры, теории некорректных задач, теории вероятностей и математической статистики, нелинейного программирования и цифрового моделирования.
Научная новизна заключается в следующем:
Практическая значимость состоит в том, что:
3) разработан пакет прикладных программ, предназначенных для решения СЛАУ методами глобальной и локальной регуляризации, который может быть использован в составе математического обеспечения в различных системах обработки экспериментальных данных.
Таким образом, на защиту выносятся:
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:
всероссийская конференция «Алгоритмический анализ некорректных задач» памяти В.К.Иванова (ИММ УО РАН, Екатеринбург, 2001 г.);
XI Международная Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, 1998 г.);
XII Международная Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, 2001 г.);
IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике «ИНПРИМ-2000» (Новосибирск, 2000 г.);
Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1] - [15].
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, двух приложений, заключения и списка литературы из 103 наименований. Объем диссертации составляет 155 страниц.
