Введение к работе
Актуальность работы Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет большое значение, поскольку к нему сводится решение широкого круга сложных практических задач. В линейной алгебре эту задачу называют первой основной задачей. Так, около 75% всех расчетных математических задач приходится на решение СЛАУ. Необходимость решения СЛАУ возникает при решении многомерных анизотропных краевых задач, в задачах вычислительной гидродинамики, в теории электрических цепей, в задачах управления и контроля, при решении уравнений балансов и сохранения в механике, гидравлике, в задачах оценки и предсказания критических ситуаций и др.
Особая необходимость в решении СЛАУ возникает при использовании широкого класса моделей и подходов, применяемых при автоматизированном проектировании аппаратуры с учетом электромагнитной совместимости. Например, решение задач излучения или рассеяния электромагнитной волны сложными объектами может быть получено с помощью интегральных уравнений, сводящихся методом моментов к СЛАУ с плотной, комплексной и несимметричной матрицей большой размерности NxN Достаточно важной задачей является анализ излучения проводных структур, поскольку он необходим при моделировании проводных антенн, аппроксимации излучающей поверхности проводной сеткой, создании различных симуляторов электромагнитного поля и др. Вычислительные трудности решения таких СЛАУ во многом обусловлены заполненностью матриц, приводящей к огромному объему вычислений (особенно в трехмерных задачах).
Для решения СЛАУ с плотными матрицами традиционно используются точные методы, например, метод исключения Гаусса. Но их вычислительные затраты, пропорциональные N3, существенно ограничивают круг решаемых задач даже на высокоскоростных компьютерах Необходимость решения сложных задач, дающих рост N, привела к широкому применению итерационных методов Наиболее эффективными и устойчивыми (с точки зрения сходимости к точному решению) среди итерационных методов являются, так называемые, методы крыловского типа В связи с тем, что матрица СЛАУ, полученная применением метода моментов, является, как правило, плохо обусловленной, использование итерационного метода без предобусловливания не вполне обоснованно, поскольку метод может застопориться или даже оборваться Использование пред-фильтрации (игнорирования незначительных элементов) позволяет задать структуру разреженности матрицы СЛАУ, что, в свою очередь, позволяет применить алгоритмы технологии разреженных матриц (предобусловливание) и тем самым уменьшить время решения
Между тем, ряд возможностей совершенствования решения СЛАУ с плотной матрицей итерационными методами при исследовании проводных структур остается неиспользованным Так, недостаточно разработаны способы выбора структуры разреженности с помощью предфильтрации матрицы СЛАУ, позволяющие добиться ускорения решения за счет более эффективного использования предобусловливания Следует отметить, что исследователи, решающие
СЛАУ с плотными матрицами, как правило, приводят результаты при фиксированных параметрах предфильтрации (в частности, допуске обнуления), без оценки их влияния на общие временные затраты Кроме того, недостаточно представлено сравнение этих способов между собой, что затрудняет корректный выбор способа предфильтрации и его параметров на практике
Свободно распространяемое программное обеспечение, позволяющее решать СЛАУ с плотными матрицами эффективными итерационными методами без дополнительной модификации, практически отсутствует Так, известный и постоянно развиваемый пакет LAPACK (последняя версия 3 1 1 вышла 26 02 2007) использует только прямые методы В системе SciLab, являющейся бесплатным аналогом MatLab, содержатся встроенные средства работы с разреженными матрицами, в тч возможности Ш-разложения В состав последних версий включены и итерационные методы крыловскога типа для решения разреженных СЛАУ Специализированное программное обеспечение для электромагнитного моделирования, как правило, использует только прямые методы решения СЛАУ Так, один из лучших зарубежных программных продуктов FEKO использует метод исключения Гаусса В других не всегда уточняется, каким методом получено решение Таким образом, эффективность исследований с помощью таких систем часто оставляет желать лучшего, а отсутствие у пользователя возможности их модернизации делает это обеспечение весьма неэффективным Еще один недостаток данного обеспечения - высокая стоимость
Цель работы — разработка алгоритмов и комплекса программ для решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих в задачах анализа электромагнитного излучения проводных структур Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи
Разработать новые алгоритмы предфильтрации
Усовершенствовать известные способы предфильтрации
Разработать комплекс программ, реализующий новые и известные алгоритмы предфильтрации, методы решения СЛАУ и способы предобусловлива-ния
Апробировать основные способы алгебраической предфильтрации на задаче анализа излучения проводных структур.
Произвести сравнение результатов, полученных при использовании разных способов предфильтрации на нескольких конфигурациях.
В работе использовались теория матриц, прямые и итерационные методы решения СЛАУ, объектно-ориентированное программирование.
Достоверность результатов подтверждается проверкой корректности программной реализации на примере нахождения заведомо известного решения, совпадением результатов, полученных несколькими методами
Научная новизна
Разработаны два новых способа алгебраической предфильтрации
Предложено усовершенствование известных способов алгебраической предфильтрации
Показано, что при использовании предложенных способов предфильтра-ции существует оптимальное значение допуска обнуления по критерию минимизации времени решения СЛАУ
Выявлена стабильность (при изменении частоты) и установлена контролируемая зависимость (от изменения дискретизации) оптимального значения допуска обнуления (по критерию минимизации времени решения СЛАУ) при использовании предложенного способа предфильтрации на примере определения токов в проводной антенне
Практическая значимость
Программно реализован модуль матричных операций единой системы компьютерного моделирования электромагнитной совместимости, позволяющий использовать широкий ряд прямых и итерационных методов решения СЛАУ как в виде функций, так и в виде DHTML диалогов Возможности модуля позволяют его использовать для решения других задач, требующих решения СЛАУ с плотной матрицей
Выполнено сравнение способов алгебраической предфильтрации при решении СЛАУ итерационными методами, позволяющее оценить изменение оптимального значения порога/допуска обнуления для каждого из способов, на примере определения токов в проводной антенне, как при изменении частоты, так и при изменении дискретизации.
Приведены рекомендации по использованию итерационных методов
4 Результаты работы активно используются в учебном процессе
Апробация результатов Результаты диссертационной работы представлялись
и докладывались в материалах следующих симпозиумов и конференций Всероссийская научно-техническая конференция студентов и молодых ученых "Научная сессия ТУ СУР", г Томск, 2004, XII Туполевские чтения Международная молодежная научная конференция, г Казань, 2004, Всероссийская научно-практическая конференция "Проблемы информационной безопасности общества и личности", г Томск, 2004, 2005, Международная научно-практическая конференция "Электронные средства и системы управления", г Томск, 2005, Международный симпозиум по ЭМС и электромагнитной экологии, г Санкт-Петербург, 2005, 2007, Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Научная сессия ТУСУР", посвященная 45-летию ТУСУРа, г Томск, 2007
Публикации По результатам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 19 научных работ 6 статей в журналах из перечня ВАК, 10 докладов и 1 тезисы в материалах симпозиумов и конференций, 1 свидетельство об отраслевой регистрации разработки; 1 монография.
Структура и объем диссертации В состав диссертации входят введение, 3 главы, заключение, список литературы из 109 наим , 3 приложения с актами внедрения Объем диссертации составляет 103 стр, в том числе 24 рис и 23 табл
