Введение к работе
Актуальность темы. Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося норвежского математика XIX века Софуса Ли (1842–1899 г.г.) и служил главной составной частью его важнейшего творения - теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа - вопрос о разрешимости в квадратурах обыкновенных дифференциальных уравнений - была решена самим Ли, но не нашла практического применения.
Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, который в 1958 г. опубликовал работу, положившую начало систематическим исследованиям в области группового анализа дифференциальных уравнений механики. В основе этой теории лежит понятие непрерывной группы преобразований, введенное Софусом Ли. Теоретико-групповой подход создал возможность для регулярного поиска и классификации частных решений нелинейных дифференциальных уравнений и позволил построить отдельные классы точных решений дифференциальных уравнений механики и математической физики.
Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Это направление исследований получило название современного группового анализа.
Основной идеей группового анализа в области интегрирования дифференциальных уравнений является поиск так называемых непрерывных групп симметрии дифференциального уравнения, то есть непрерывных преобразований зависимых и независимых переменных, оставляющих уравнение инвариантным. Таким образом, инфинитезимальный аппарат Ли-Овсянникова является эффективным средством отыскания частных (инвариантных и частично инвариантных) решений уравнений математической физики.
Что же касается механики сплошных сред, то методы теории групп Ли оказались плодотворными для отыскания решений дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих различные процессы в аэрогазодинамике, теории упругости, теории относительности и в других естественнонаучных дисциплинах.
Одним из основных инструментов построения законов сохранения физических процессов, допускающих вариационную формулировку, является первая теорема Эмми Нетер, которая устанавливает связь между инвариантностью вариационного интеграла относительно конечномерной группы Ли и дивергентными формами уравнения Эйлера. Эта теорема дает достаточное условие существования законов сохранения для уравнений Эйлера. Н.Х. Ибрагимов дал новое доказательство этой теоремы для n-мерных интегралов на языке инфинитезимальных операторов Ли, что в сочетании с техникой группового анализа, развитого Л.В. Овсянниковым, дает возможность удобного способа построения законов сохранения. Используя понятие слабого лагранжиана, он также установил не только достаточные, но и необходимые условия существования законов сохранения уравнений Эйлера.
Актуальность диссертационной работы заключается в следующем. С вычислительной точки зрения знание дивергентных форм (в одномерном случае – первых интегралов) уравнения Эйлера упрощает процесс интегрирования уравнений математической физики.
Несмотря на широкое использование вычислительной техники к интегрированию краевых задач для уравнений пограничного слоя актуальным является получение формул для аэродинамических характеристик обтекаемого тела (касательного напряжения трения, локального теплового потока), удобных в применении в инженерной практике. Одним из путей достижения этой цели является построение автомодельных решений уравнений пограничного слоя, что и сделано в настоящей диссертационной работе с использованием современного группового анализа.
Цели работы.
Получение неклассических первых интегралов в простейшей задаче вариационного исчисления.
Конкретизация идей - инвариантности функционалов применительно к вариационным задачам с 2 и 3 независимыми переменными.
Получение новых автомодельных решений уравнений ламинарного пограничного слоя при сверхзвуковых режимах обтекания в плоском и осесимметричном случаях.
Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались: инфинитезимальный аппарат Ли-Овсянникова; теория инвариантных вариационных задач Э. Нётер; теория ламинарного пограничного слоя; методы вычислительной математики.
Достоверность результатов работы обеспечивается использованием известных математических моделей и корректным применением апробированных аналитических и численных методов.
Научная новизна. Впервые найдены неклассические первые интегралы уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного исчисления.
Дано приложение однопараметрической группы Ли к вариационной задаче с подвижным концом.
Построены новые автомодельные решения уравнений ламинарного пограничного слоя в задачах обтекания непроницаемого цилиндрического тела и тела вращения сверхзвуковым потоком газа.
Следует отметить, что в большинстве работ, посвященных применению теоретико-группового подхода к уравнениям ламинарного пограничного слоя, насколько известно автору, исследовались групповые свойства в физических переменных. В данной диссертационной работе, во-первых, исследуются групповые свойства уравнений ламинарного пограничного слоя в сжимаемой жидкости в переменных Дородницына, во-вторых, построены соответствующие фактор-системы, которые представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и, в-третьих, получены формулы для распределения касательного напряжения трения и локального теплового потока.
Таким образом, исследование групповых свойств в переменных Дородницына позволило найти новые автомодельные решения в задаче обтекания тела сверхзвуковым потоком газа в плоском и осесимметричном случаях, ранее автору неизвестные. По существу, результаты диссертационной работы являются развитием классической теории ламинарного пограничного слоя.
Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит, во-первых, в разработке метода нахождения экстремальных значений функционалов, позволяющего сократить объем вычислений; во-вторых, полученные новые автомодельные решения представляют как самостоятельный интерес для теоретической аэрогазодинамики, так и могут быть использованы в качестве тестов при реализации разностных схем для решения уравнений ламинарного пограничного слоя на телах произвольной формы при сверхзвуковых режимах течения.
Апробация. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
Всероссийской молодежной школе-конференции по математическому моделированию, алгебре и геометрии (г. Казань, 1998г.);
Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 1999г.);
VIII Четаевской Международной конференции по аналитической механике, устойчивости и управлению движением (г. Казань, 2002г.);
Всероссийской молодежной школе-конференции по математическому моделированию, алгебре и геометрии (г. Казань, 2003г.);
XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-18» (г. Казань, 2005г.);
II Всероссийской научной конференции «ММ-2005» (г. Самара, 2005г.);
XXV Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 60-летию Победы (г. Миасс, 2005г.);
Международной молодежной научной конференции, посвященной 1000-летию города Казани «Туполевские чтения» (г. Казань, 2005г.).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в журналах (3 статьи), в трудах и материалах Международных и Всероссийских конференций (8 тезисов). В работе [2], основываясь на теории - инвариантности функционалов, разработанной К.Г. Гараевым, автором построена дивергентная форма уравнения Эйлера-Остроградского, и задача вычисления экстремального значения функционала по области сведена к вычислению интеграла по поверхности , ограничивающей эту область. Автор является дипломантом конкурса научных работ по присуждению именных стипендий Главы Администрации г. Казани по итогам II семестра 2001-2002 г.г.
Положения, выносимые на защиту.
Неклассические первые интегралы уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного исчисления.
Конкретизация идей - инвариантности функционалов применительно к вариационным задачам с 2 и 3 независимыми переменными.
Новые автомодельные решения уравнений ламинарного пограничного слоя при обтекании непроницаемого цилиндрического тела и тела вращения сверхзвуковым потоком газа, имеющие физическую интерпретацию.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений. Работа изложена на 84 страницах основного текста, иллюстративный материал представлен в виде 5 рисунков; приложения содержат 33 таблицы; библиография включает 53 наименования.
