Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с дробными производными, и поста новка задачи параметрической идентификации 13
1.1. Математические модели в форме дифференциальных уравнений с дробными производными и их приложения 13
1.2. Методы параметрической идентификации динамических систем 20
1.3. Постановка задачи параметрической идентификации математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с дробными производными 27
1.4. Выводы 37
Глава 2. Методы идентификации процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с дробными производными, на основе асимптотических формул 39
2.1. Асимптотические формулы для функции типа Миттаг – Леф-флера и применение их в задаче параметрической идентификации 40
2.2. Метод идентификации на основе асимптотического разложения функции решения дробного уравнения 50
2.3. Метод минимизации невязки в задаче оценивания параметров дробных дифференциальных операторов 59
2.4. Метод предельного перехода для аппроксимационного решения дифференциального уравнения дробного порядка 66
2.5. Выводы 69
Глава 3. Численный метод определения параметров дробных дифференциальных операторов на основе разностных схем 72
3.1. Построение аппроксимаций для дробных дифференциальных операторов на основе разностных схем 73
3.2. Построение линейно-параметрической дискретной модели в форме разностных уравнений 79
3.3. Итерационная процедура оценивания параметров дробного дифференциального оператора 84
3.4. Выводы 92
Глава 4. Метод параметрической идентификации систем, описываемых при помощи дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка 94
4.1. Математическая модель процесса аномальной диффузии 94
4.2. Построение линейно-параметрической дискретной модели для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка 99
4.3. Численный метод параметрической идентификации процесса аномальной диффузии на основе конечно-разностного уравнения 105
4.4. Выводы 110
Глава 5. Оценка погрешности вычисления параметров систем, описываемых при помощи дробных дифференциальных уравнений 111
5.1. Анализ и оценка погрешности вычисления параметров фрактальных систем на основе разностных уравнений 111
5.2. Численно-аналитические исследования погрешности вычисления среднеквадратичных оценок параметров процесса, описываемого дифференциальными уравнениями дробного порядка 119
5.3. Выводы 147
Глава 6. Разработка программного обеспечения для реализации численных методов определения параметров дробных дифференциальных операторов 149
6.1. Блок-схема и алгоритм реализации методов параметрической идентификации в программном комплексе 149
6.2. Пользовательский интерфейс программы 156
6.3. Выводы 163
Заключение 164
Литература
- Методы параметрической идентификации динамических систем
- Метод идентификации на основе асимптотического разложения функции решения дробного уравнения
- Построение линейно-параметрической дискретной модели в форме разностных уравнений
- Численный метод параметрической идентификации процесса аномальной диффузии на основе конечно-разностного уравнения
Методы параметрической идентификации динамических систем
В физике, механике, биологии и других областях часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются как фракталы. Примерами фракталов (или фрактальных сред) могут служить пористые среды и дробное броуновское движение. Фрактальные структуры являются следствием многих процессов и явлений необратимого роста, например таких, как диффузия, агрегирование, разрушение, перколяция, динамический хаос, растворение, образование вязких пальцев при вытеснении жидкости в пористых средах [39]. В работах [85] и [30] рассматривается применение теории фракталов в моделировании биологических систем и фильтрации нефти и газа в пластах. Отмечено, что пористые вещества ведут себя как системы с фрактальной структурой. Масштабы самоподобия такой системы составляют диапазон значений от 10 ангстрем до 100 микрон [85, 105]. При этом нефтяные и газовые коллектора содержат трещины и разломы на различных масштабных уровнях, которые могут развиваться в процессе разработки месторождения. Отсутсвие учёта подобных процессов в классической теории фильтрации может приводить к серьёзным ошибкам в расчётах продуктивности скважин. Процессы фильтрации и течения жидкости в пористой среде [86, 95] также описываются при помощи математических моделей в виде дифференциальных уравнений дробного порядка.
Уравнения, содержащие интегро-дифференциальный оператор дробного порядка, возникают при использовании дробного исчисления для описания поведения или состояния реальной физической среды или процесса. Существует широкий класс явлений и процессов, имеющих место в системах со степенной нелокальностью, фрактальностью или степенной памятью [80]. Дробный математический анализ является важнейшим методом для построения моделей таких систем. Примером наличия памяти может являться магнитный гистерезис. Экспериментальная физика последних лет часто подтверждает наличие памяти как общего свойства природы. Механизм памяти может быть различным в зависимости от типа процесса, в то время как феноменоло-14 гическое описание многих процессов с памятью может иметь одну основу [83]. Дифференциальные уравнения с дробными производными используются при описании процессов, обладающих эффектом памяти“, причём дробное ис-” числение в теории таких систем приобретает основополагающее значение, сопоставимое с классическим анализом применительно к механике сплошных сред [62, 73].
В последние несколько десятилетий стала очевидна востребованность дробного исчисления в различных областях науки, таких как классическая и квантовая физика, теория поля, физика твердого тела, динамика жидкости, турбулентность, общая химия, нелинейная биология, стохастический анализ, нелинейная теория управления, обработка изображений [121].
Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка изучались в работах многих авторов. В основном предметом исследования являлись диффузионные и диффузионно-волновые уравнения дробного порядка, при решении которых использовались методы интегральных преобразований, методы функционального анализа, метод разделения переменных и т. д. [73]
Ещё одним приложением теории фракталов к механике могут служить дифференциальные операторы дробного (фрактального) порядка в линейной теории вязкоупругости [79]. Замена в соотношении между напряжением и деформацией целых производных их дробными аналогами позволяет значительно сократить количество идентифицируемых параметров модели изучаемого материала [96, 128]. Исследования переходных волновых процессов в вязкоупругих телах играют важную роль при оценке прочности и надёжности различных технических сооружений. Материалы с такими свойствами находят широкое применение в машиностроении, авиационной промышленности, строительстве, геофизике и сейсмологии. Наличие инвариантности по времени и масштабу приводит к необходимости использования реологических моделей, при описании которых применяются дробные производные [37].
В работе А. Н. Герасимова [74] для описания вязкоупругих свойств пред-15
ложено использовать производные дробного порядка в смысле Лиувилля вместо обыкновенных производных, что является обобщением дифференциальных законов вязкоупругости. В. Вольтерра в своих работах по математическому моделированию предложил рассматривать законы наследственной упругости: связь между напряжением и деформацией в этом случае имеет вид а = Е ( є — j (t — r)e(r)dr ) , где ядро интегрального оператора (t — т), как следует из ряда экспериментов, имеет степенной характер. Полученный в результате интегрирования степенной закон хорошо описывает ползучесть различных материалов. В случае степенной слабополярной зависимости (t — r) от разности аргументов интегральный оператор оказывается дробным интегралом Римана - Лиувилля, а его производные по времени — соответствующими дробными производными Римана - Лиувилля [89].
А. Н. Герасимов [11] предлагает новый способ построения соотношений между деформацией и напряжением, содержащий в себе закон упругости и вязкости жидкости как крайние случаи. При этом модель принимает вид a(t) = EoDQts 0 а 1. При параметре а, принимающем граничные значения интервала, получаются классические законы Гука и Ньютона. Данное соотношение является реологическим уравнением состояния Скотт - Блера [4]. Обзор исследований по применению дробных производных в релаксационных процессах приведён в работе F. Mainardi и R. Gorenfo [111], где рассматриваются основные положения теории линейной вязкоупругости и релаксационных процессов с учётом концепции дробного исчисления. Описанию реологических моделей вязкоупругого тела с памятью при помощи дифференциальных уравнений в дробных производных посвящена работа [62].
Метод идентификации на основе асимптотического разложения функции решения дробного уравнения
Во многих приложениях естественно возникает так называемая обратная задача: определение значений параметров модели или её структуры по результатам наблюдений. Задача параметрической идентификации является одной из наиболее актуальных на сегодняшний день применительно к системам, описываемым дифференциальными уравнениями с дробными производными. При этом отсутствуют математические модели для идентификации таких процессов.
Задача идентификации формулируется следующим образом: по результатам наблюдений за входными и выходными переменными объекта оценить параметры модели этого объекта (процесса), обеспечивающие её близость к эксперименту. При этом учитывается наличие случайных помех и возмущений в результатах наблюдений. Определение структуры модели на основе экспериментальных данных называют структурной идентификацией. Параметрической идентификацией называют задачу определения параметров модели по экспериментальным данным, при этом структура модели считается известной [21].
К настоящему времени по проблемам теории и практики идентификации систем опубликовано достаточно большое число трудов, результаты которых можно найти в книгах [3, 25, 33, 84, 87]. В этих работах рассматриваются такие задачи, как формирование испытательного сигнала, оценка характеристик и параметров систем. В случае, если случайные входные воздействия можно считать распределенными по нормальному закону с известными параметрами, в качестве критерия идентификации принимается минимум среднего значения квадрата (дисперсии) ошибки между выходными значениями истинного неизвестного оператора реальной идентифицируемой системы и искомого оператора системы.
Параметрическая идентификация является многоэтапным процессом и состоит из следующих основных этапов [6, 17, 19, 24, 29, 31, 76, 88]: 1) планирование и проведение эксперимента, определение требований к данным наблюдений; 2) определение или уточнение класса и структуры модели; 3) определение критерия качества идентификации и степени соответствия исследуемой модели экспериментальным данным; 4) оценивание неизвестных параметров модели с известной структурой; 5) анализ адекватности модели и принятие решения о продолжении или окончании процесса идентификации.
Все известные методы параметрической идентификации нелинейных систем можно условно поделить на следующие группы: – методы определения параметров систем без учёта стохастической составляющей, которые не используют статистические методы обработки результатов эксперимента [64–66, 69–71, 75, 77, 78]; – методы идентификации, учитывающие стохастическую составляющую и использующие анализ временных рядов, методы спектрального и корреляционного анализа [15, 18, 27, 34] — применяются при решении задач параметрической идентификации линейных систем; – методы нелинейного среднеквадратичного оценивания, сводящиеся к поиску минимума функции нескольких переменных (например, метод Ньютона или градиентный метод), решению систем нелинейных уравнений (методы Ньютона - Гаусса и Левенберга - Марквардта) или линеаризации модели по параметрам.
Первые две группы методов относятся к классическим, т. к. используют линейные модели и применяются для идентификации систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями. Такие упрощённые модели не позволяют определить степень нелинейности исходных систем. К тому же, все перечисленные подходы изначально разрабатывались и применялись для идентификации систем, описываемых при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений. В то же время, задача определения параметров дробных дифференциальных операторов является структурно-параметрической, что существенно усложняет её решение.
В работе [21] показано, что получаемые в результате применения классического метода наименьших квадратов оценки могут иметь большое смещение, что отрицательно сказывается на точности оценивания. Основным недостатком классической процедуры является её чувствительность к резким выбросам в исходных данных.
Построение линейно-параметрической дискретной модели в форме разностных уравнений
Таким образом, в данном разделе предложен новый метод построения линейно-параметрических дискретных моделей для процессов, описываемых при помощи дифференциальных уравнений с дробными производными, на основе применения асимптотических формул для функции типа Миттаг – Леф-флера, входящей в решения дробных дифференциальных уравнений. Особенностью данного метода является применение последовательности нескольких ЛПДМ. Построены новые модели для исследуемых процессов. Предложены новые соотношения (2.40), (2.45), (2.54), (2.58), связывающие параметры исходного процесса и аппроксимационного решения. Разработан численный метод параметрической идентификации процессов и систем, описываемых дробными дифференциальными уравнениями, основанный на реализации процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели.
Проведённые численные исследования (см. главу 5) показывают, что предложенный метод является наиболее эффективным в случае 0, что может быть объяснено близостью аппроксимирующей функции к точному решению в этом случае и возможностью применения предложенного метода определения зависимостей между параметрами точного и аппроксимационно-го решения.
Метод минимизации невязки в задаче оценивания параметров дробных дифференциальных операторов Формулы, связывающие параметры решения дробно-дифференциальных уравнений и аппроксимирующих их моделей (см. раздел 2.2), получены при условии, что аппроксимирующая функция содержит некоторую фиксированную величину погрешности по отношению к точному решению, определяемую отбрасываемыми слагаемыми ряда (2.5), входящего в выражения (2.1) и (2.2). Однако величина данного отклонения может быть минимизирована, если оставшиеся в модели слагаемые, а точнее, параметры модели (т. е. переопределить специальным образом. В качестве такого способа установления функциональной зависимости между параметрами решения дробно-дифференциального уравнения и его аппроксимации может быть использован метод минимизации невязки. Суть метода минимизации невязки заключается в нахождении параметров аппроксимирующей функции таким образом, чтобы невязка (т. е. значение функционала от аппроксимирующей функции) была минимальной в некотором смысле [23]. При этом в качестве аппроксимирующей функции может быть выбрана функция любого вида, позволяющая с требуемой точностью смоделировать поведение процесса. Подобная свобода выбора является одним из преимуществ данного метода. В качестве аппроксимирующей функции при реализации метода минимизации невязки были рассмотрены несколько вариантов математических моделей, выбираемых в каждом случае на основании известного вида точного аналитического решения. В частности, в качестве альтернативных аппроксимирующих моделей для решения задач типа Коши (1.2), (1.3) и (1.4), (1.5) в случае 0 были рассмотрены экспоненциальная ( = oexp) и квадратичная ( = o2 + \ + ?) модели, а в случае 0 степенная ( = op)
Таким образом, в случае 0 предложенная в разделе 2.1 аппроксимация оказывается наилучшей, в то время как в случае 0 результат выбора аппроксимирующей функции может зависеть от выбора критерия адекватности модели и начала отсчёта (величины параметра ).
Рассмотрим реализацию данного метода на примере решения задачи определения параметров дробно-дифференциального уравнения (1.2) с усло Таблица 2.5. Таблица значений среднеквадратичного отклонения (в %) модели и максимального на отрезке отклонения (в %) модели от точного решения задач типа Ко-ши (1.2), (1.3) и (1.4), (1.5)
На основе полученных соотношений (2.65), (2.67), (2.72), (2.74) могут быть вычислены оценки параметров задачи типа Коши для дифференциальных уравнений с производными дробного порядка (1.2) и (1.4). Оценки коэффициентов аппроксимирующей функции вычисляются согласно методике, описанной в разделе 2.2, на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели. Метод, предложенный в данном разделе, позволяет установить новую функциональную зависимость между параметрами точного решения и аппроксимирующей функции. Описанный метод может быть использован при решении задачи идентификации дифференциальных уравнений (1.2), (1.4) дробного порядка в случае
Численный метод параметрической идентификации процесса аномальной диффузии на основе конечно-разностного уравнения
В данной главе рассматривается метод параметрической идентификации процессов и систем, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными дробного порядка, на примере процесса аномальной диффузии. Приведён обзор прикладных задач, в которых могут быть использованы полученные в данном разделе результаты. Для дифференциального уравнения аномальной диффузии с частными производными дробного порядка построена разностная схема, которая легла в основу построения линейно-параметрической дискретной модели. Описан алгоритм вычисления оценок параметров процесса аномальной диффузии, сформулирована теорема о сходимости нового итерационного процесса, в основе которого лежит формирование матрицы регрессоров линейно-параметрической дискретной модели на каждой итерации. Основные результаты, полученные в этой главе, опубликованы в работах [49, 50, 52, 55, 60].
Математическая модель процесса аномальной диффузии Развитие теории дробно-дифференциального исчисления подразумевает обязательную привязку к прикладным задачам. Одним из наиболее интересных приложений в этой области являются процессы аномальной диффузии [50]. Под данным термином подразумевается всё многообразие процессов переноса с диффузионными закономерностями, в том числе перенос массы, энергии, электрического заряда и т. д., аномально медленные (субдиффузия) и аномально быстрые (супердиффузия) процессы переноса.
Процессы аномальной диффузии наиболее часто наблюдаются в неоднородных сложных средах, таких как пористые и трещиновато-пористые среды, перколяционные кластеры и самоподобные фрактальные среды, турбулентные потоки жидкости, газа и плазмы и многие другие [114]. Как правило, аномальный перенос обусловлен эффектами памяти, пространственной нелокальности и перемежаемости [82]. Возникновение особых режимов диффузии возможно также в системах, характеризующихся низким уровнем диссипации энергии [35]. В частности, аномальные диффузионные процессы могут быть эффективно использованы в задачах, учитывающих фрактальные свойства, при исследовании пространственных свойств почв, что позволяет более точно моделировать фильтрационные процессы и водоудерживающую способность неоднородных почв [26]. Почвы имеют фрактальные свойства в связи с тем, что размеры пор могут отличаться в десятки раз, что подтверждается экспериментальными данными. В данном случае для описания процессов такой диффузии естественно в качестве математического аппарата применять уравнения в частных дробных производных [1]. При этом необходимо учитывать, что в реальных задачах обычно неизвестен и порядок дробного дифференциального оператора, следовательно, задача идентификации данных процессов превращается в задачу структурно-параметрической идентификации определения вида уравнения аномальной диффузии.
Математическая формулировка задачи аномальной диффузии и приложения этого процесса в физике рассматривалось в работах [100, 101, 108–110] и др. Модели, приводящие к аномальной диффузии, интересны как с фундаментальной точки зрения, так и с прикладной. В последние годы появилось много экспериментальных данных об аномальной диффузии макромолекул в живых клетках, но вопрос о причине или механизме, приводящем к этим аномалиям“, до сих пор является открытым. ”
Аномальная диффузия моделировалась различными способами, но лишь немногие из них учитывают наличие памяти в системе, что является одной из главных отличительных черт процесса. В настоящее время наиболее действенным инструментом описания аномальных процессов переноса является применение дробного исчисления, поскольку использование дробного оператора приводит к проявлению эффектов запоминания [81].
В работах [67, 68] также изучается методика моделирования аномальной диффузии, приводятся результаты исследования механизмов появления аномальных эффектов как по пространству, так и по времени. Рассматриваемый класс процессов вызывает большой интерес у исследователей в связи с обнаружением аномальных свойств у ряда наноматериалов и наносистем. Появление дробного показателя степени в аномальных процессах обусловлено отклонением от линейного закона среднего квадрата смещения частиц от времени. При этом возможны режимы супердиффузии и субдиффузии, связанные соответственно с прыжковым механизмом переноса и наличием ловушек в среде.
При решении задачи определения параметров процесса аномальной диффузии был использован аппарат дробно-дифференциального исчисления, позволяющий получить достаточно точное математическое описание исследуемого процесса. Математическая модель аномальной диффузии может быть выражена при помощи дробно-дифференциального уравнения с дробными производными по координатам пространства и времени [67, 68]:
В связи с тем, что формулы (4.4) являются приближёнными, т. к. учитывают конечное число слагаемых и предполагают конечное значение периода дискретизации г (/г), полученное в результате применения численной схемы решение можно считать аппроксимирующей моделью с1- точного аналитического решения с-, которое на практике не известно. Учитывая соотношения (4.4), дробно-дифференциальное уравнение (4.1) может быть аппроксимировано при помощи следующей разностной схемы: дискретные значения точного решения уравнения (4.6), являющегося численной аппроксимацией дробно-дифференциального уравнения (4.1); di — значения коэффициентов диффузии в точках ХІ, индексы і и j зависят от объёма входной информации об объекте, т. е. от продолжительности времени наблюдения за объектом („длины памяти“ объекта) и его пространственной размерности. Выражение (4.6) представляет собой явную схему численного решения дробно-дифференциального уравнения аномальной диффузии. Погрешность аппроксимации данной формулы составляет 0(т + h) [68]. Поскольку целью данной работы является решение обратной, а не прямой задачи для дифференциального уравнения (4.1), в рамках работы ограничимся рассмотрением явной численной схемы.
