Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Разработка и исследование программируемых мультипликативных критериев устойчивости решений систем нелинейных оду . 33
1.1. Построение базовой схемы анализа устойчивости решений нелинейных ОДУ 34
1.2. Синтез и обоснование мультипликативных критериев устойчивое і и решений нелинейных ОДУ 39
1.3. Программное моделирование мультипликативных критериев устойчивости 44
1А Обоснование мультипликативных критериев устойчивости с конечным числом сомножителей для программного моделирования 48
1.5. Разностные оценки асимптотического поведения подущенного решения задачи Коши 52
1.6. Критерии устойчивости для систем нелинейных ОДУ 62
1.7. Об отличительных особенностях критериев устойчивое ж її случае систем линейных ОДУ 69
1.8. Выводы 73
ГЛАВА 2. Исследование достоверности мультипликативных критериев устойчивости в зависимости от погрешности разностных схем . 75
2.1. Перенос критериев устойчивости на разностные приближения решений ОДУ по методу Эйлера-Коши 76
2.2. Достоверность мультипликативных критериев устойчивости на основе метода Эйлера-Коши в случае конечного числа сомножителей 79
2.3. О построении мультипликативных критериев устойчивости на основе методов Эйлера, Руше-Кутта и Адамса 84
2.4. Программное моделирование мультипликативных критериев устойчивости для представленных разностных схем 85
2.5. Достоверность мультипликативных критериев устойчивости па основе метода Эйлера-Коши в случае систем нелинейных ОДУ 93
2.6. Оценка накопления погрешности метода Эйлера-Коши в условиях устойчивости 96
2.7. Выводы 99
ГЛАВА 3. Программное моделирование по применению мультипликативных критериев устойчивости и численный эксперимент по оценке их достоверности 102
3.1. Построение основной программной модели и реализация компьютерного анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ 102
3.2. Инвариантность программной модели анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ относительно размерности системы 123
3.3. Моделирование мультипликативных критериев устойчивости и оценка их достоверности в зависимости от величины шага разностной схемы 126
3.4. Моделирование мультипликативных критериев устойчивости и оценка их достоверности в зависимости от величины возмущений начальных данных 133
3.5. Выводы 139
Заключение 141
Литература
- Синтез и обоснование мультипликативных критериев устойчивое і и решений нелинейных ОДУ
- Разностные оценки асимптотического поведения подущенного решения задачи Коши
- Достоверность мультипликативных критериев устойчивости на основе метода Эйлера-Коши в случае конечного числа сомножителей
- Инвариантность программной модели анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ относительно размерности системы
Введение к работе
Акгуалмюсіь проблемы. Понятие устойчивости движения, устойчивости динамических процессов зародилось и получило значительное развитие главным образом в механике задолго до появления классических и современных теорий устойчивости и управления.
Устойчивость есть категория, относящаяся прежде всего к собственным движениям системы, порождаемыми начальными условиями (возмущениями) и внутренними свойствами системы, но не внешними воздействиями. Поэтому устойчивость можно рассматривать применительно к любому процессу, как управляемому, так и неуправляемому. Неуправляемые механические процессы, процессы небесной механики, а затем колебания всех видов явились первыми предметами теории устойчивости.
В настоящее время число понятий устойчивости настолько велико, что этот термин справедливо считается перегруженным. Например, под устойчивостью системы автоматического регулирования обычно понимшог свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения внешнего воздействия [1]. Полагая, что система автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) приходим к понятию устойчивости движения (решения) в смысле Ляпунова. Однако и в математической теории устойчивости данный термин обозначает весьма обширные качества и свойства решений ОДУ. Помимо устойчивости по Ляпунову различают устойчивость по Лагранжу, Пуассону (Пуанкаре), орбитальную устойчивость, экспоненциальную устойчивость, устойчивость порядка т по Бирктофу [2] и некоторые др. (определения некоторых понятий устойчивости приводятся ниже).
Кроме тою, в численных методах существует понятие устойчивости численных схем, в классической механике говорят об устойчивости равновесия, Солнечной системы, п бурно развивающейся отрасли современной математики, теории особенностей дифференцируемых отображений, помимо просто устойчивости гладких отображений различают устойчивость ннфиннтезн-мальиую, деформационную, дифференцируемую, лаграижеву, лежандрову,
5 тоїюлоіическую и некоторые др, [3],
Непосредственно возникновение .математической теории устойчивости движения связано с именем A.M. Ляпунова. Основы ею теории были разработаны более 100 лет назад («Общая задача об устойчивости движения», 1892). С начала 30-х годов теория устойчивости Ляпунова получила интенсивное развитие вследствие появления новых задач науки и техники, В настоящее время теория устойчивости по Ляпунову является общепринятой и применяется во многих областях естествознания.
Предлагаемая диссертационная работа посвящена именно анализу устойчивости по Ляпунову (ниже устойчивости).
Трудоемкий анализ устойчивости на основе математических особенностей конкретных систем необходим, в силу актуальности, в механике, физике, теории автоматического регулирования, теории сложных систем, в других областях теоретических н прикладных исследований. Например, в механике теорию устойчивости используют при анализе устойчивости полета снаряда, стабилизации движения спутника, устойчивости механических систем с вращающимися массами (роторами), движения твердых тел с упругими элементами и полостями, содержащими жидкость и т.д. В последнее время теорию устойчивости начали применять также при решении задач химической кинетики, экологии, экономики и др.
Исследование устойчивости - предмет качественной теории дифференциальных уравнений. Ляпуновым предложены два метода для анализа устойчивости.
Первый (аналитический) метод Ляпунова связан с представлением решений систем с голоморфными правыми частями в виде степенных рядов по начальным отклонениям и теорией характеристических чисел решений линеаризованной системы (первого приближения). Другими словами, первый метод опирается па рассмотрение некоторою явною представления решений, в частности, бесконечными рядами. Он распространен на задачи нелинейной теории колебаний и аналитической теории дифференциальных уравнений, получил широкие применения в задачах механики, физики и технике. Этот метод
развит в фундаментальных трудах [4 - 16] и в трудах многих других специалистов по нелинейному анализу [17].
Второй (качественный, прямой) метод Ляпунова в основном связан с введением вспомогательных оценивающих функции, получивших его имя. Этот метод - результат синтеза идей качественной теории дифференциальных уравнений, идей А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова [17].
Второй метод стал основным методом классической и современной теории устойчивости, а также качественной теории дифференциальных уравнений. Он эффективен для разнообразных квазилинейных и нелинейных систем.
Развитие компьютерной техники привело к необходимости автоматизации ее средствами процесса анализа устойчивости. Это связано с тем, что процесс приближенного решения ОДУ производится с помощью компьютера, на основе компьютерных технологий строятся системы автоматического управления и автоматического регулирования. Отсюда возникает необходимость анализа устойчивости непосредственно в процессе компьютерного решения без прерывания работы компьютера. Очевидно, что такую технологическую оценку устойчивости затруднительно получить на основе методов качественной теории, которая исторически ориентировалась на интуицию и квалификацию математиков при отсутствии средств вычислительной техники.
Практикуемые в настоящий момент подходы к автоматизации анализа устойчивости опираются на вычисление функций Ляпунова [18 - 20] и применение схем символьной обработки [21]. Эти подходы продолжают быть связанными с традиционными методами математического анализа устоичивосіи на основе первого и второго методов Ляпунова [2, 22 - 25] или, в случае систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами, с исследованием корней характеристическою полинома матрицы коэффициентов на основе аппарата линейной алгебры [26, 27], Подходы сложны, трудоемки, предлаїаемьіе решения зависят от вида правой части и начальных данных, по крайней мере, в случае нелинейных ОДУ- Такая зависимость обусловлена тем, что не сущее г-вует единообразного алгоритма построения функций Ляпунова для нелинейных ОДУ общего вида.
7 Тем самым известные подходы к компьютерному анализу устойчивости
на данный момент не отвечают качествам технологичности.
Отсюда актуальна задача разработки метода компьютерного анализа устойчивости решений нелинейных ОДУ общего вида на основе разностных приближений, который не использовал бы аналитические решения и аппарат функций Ляпунова.
Существующие методы анализа устойчивости традиционно включаю г аішиз устойчивости на основе определения, первый метод Ляпунова, устойчивость линейных ОДУ, второй метод Ляпунова.
Различные определения устойчивости н анализ устойчивости на основе определения. Пусть дана система ОДУ в нормальной форме
=F(tJ)y
0)
где Y = Y(t), Y = (у{(l),y2(/),.„,;'*('))- искомая вектор-функция, У0=(-Кі('о)^г('о)'"-^п('о))-веІСГОРнаііальньїх данных, F(i,Y)- (/Д^К),/,(^),...,/^(/,К)) - заданная векгор-функция от и+ 1 переменных; независимой переменной / и п зависимых переменных )^(/),
^,(/),...,^(0.
Функции /,, / = 1,2,.,.,/г, предполагаются определенными на некотором множестве S, элементами которого служат точки {^У^У^^-^У,, )
Ниже приводятся некоторые определения устойчивости и анализируются их различия.
Если F(t4Y) непрерывна на множестве S точек (/,Г) и S открыто
справа от /0, если решение К(/)=К(/;/0, KD) системы (1) существует па полупрямой /0 (t,Y(t))eS для всех />/0, то Y(i) называется устойчивым по Ляпунову (справа) [2], если выполнены следующие условия:
1) Найдется такое h>0, что каждое решение Г(/; /0, Г,) существует па
/э (t,Y(t))eS для всех />/0, если для начального вектора выполне-
8 но неравенство ' Yl - YQ ' < b.
2) Если дано є>0, то можно найти 5 = 5(c;F,rJ, 0<5<Л, іакое, что
Y}-Y0 <5 влечет Y{t\t^Yx)-Y{t\t^ Г0)]]<с для всей полупрямой
/,
Устойчивость по Ляпунову по сути дела является равномерной непрерывностью Y(i;t09 Y0) на [/0,о) по отношению к начальному вектору К0.
Иными словами, решение У(?;ґ0,К0) устойчиво, если достаточно близкие к нему при любом /0 решения Г(/;/0, К,) целиком пофужаются в сколь угодно узкую є-трубку, построенную вокруг решения Y(t;t0,YQ).
Здесь и в дальнейшем норма понимается как каноническая норма векто-
ра, например, і, К = )\ + у ,
+ ...+
У»
Решение Y(i; ?0,17о) называется асимптотически устойчивым (справа) [2], если при выполнении 1) и 2) выполняется также условие:
3) Можно найти такое 50 =S0(/r»K0), 0
следует Yint^Y^-Yint^Ytl^QnpHt-xo.
Существуют разновидности [22, 28] данных определений, где б и б„ зависят от є, ?0.
В [29] впервые было введено определение устойчивости, равномерной по /0: в определении устойчивости положительное число 6 выбирается не зависящим от /0. В случае, если 6 не зависит и от /0 и от Y0, то решение Y{t)=K(/;f0, YQ) называется просто равномерно устойчивым (справа) [2].
Аналоїично определяется понятие равномерной асимптотической устойчивости.
Вели решение системы (I) устойчиво (асимптотически устойчиво) при любых начальных данных, то говорят, что решение устойчиво (асимптотически устойчиво) в целом [2].
Решение Y(t)=Y(t;t0i YG) системы (1), не являющееся устойчивым, на-
зывается неустойчивым. Не приводя определения неустойчивости на языке с, 5, следует отметить, что из отрицания определения устойчивости, неустойчивым следует считать решение К(/;/0, Y0) непродолжаемое при f->oo, i.e. не
существующее на [^,^), или такое, для которою в любой окрестности точки К0 найдется точка Г1? порождающая при t = tG решение К(/;/0, К,), непродолжаемое на [/и?о) [22].
Кроме тою, сели решение К(/;г0, К0) (а<г<со, а -число или а-~х)
системы (1) с непрерывной правой частью устойчиво при каком-нибудь /с є(д,со), то оно будет устойчиво при любом друюм t\ є(«,со) [22]. Таким
образом, можно ограничиться проверкой устойчивости решения, а также ею асимптотической устойчивости, лишь для некоторого заданного / = /0. Отсюда
также следует, что если решение Г(г;/0,Г0) (#
/ =/0, то оно является неустойчивым для любого друюі о t[ є(д,оо).
На этой основе в теоремах устойчивости tQi как правило, считается фиксированным [225 30 - 32],
Если в определении устойчивости (асимптотической устойчивости)
r(f;/05rt)-r(r;r05ru)J заменить на \yx(t;tQ, Y})-y}(t\t^ Г0)| +
+ \у2U; /D, I7, )-;s(/;/0, К0)| + ... + |^(/; f0, ^,)-^,(^,^)1 при некотором
m
В [30] отмечена, а в [33] доказана возможность использования теорем Ляпунова (при соответствующих изменениях их условий) для исследования устойчивости относительно части переменных.
Равномерная устойчивость относительно части переменных изучалась в [34], дальнейшее развитие її приложение к механике - в [25, 35]. Современное сопояпие теории устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных дано в [36]-
Рассмотренные выше понятия устойчивости связаны с изменением только начальных условий. В [37] было впервые введено понятие устойчивости при постоянно действующих возмущениях, которое затем было обобщенно в [38]. Данный вид устойчивости учитывает изменение самой правой части (1). Такой вид устойчивости приложим к большинству практических задач, в которых встречаются возмущения, действующие не только в начальный момент времени, но и во время движения.
Если устойчивость при постоянно действующих возмущениях является равномерной по /0, то ее называют тотальной.
Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову являются качественными характеристиками поведения систем па бесконечном интервале времени. Они не всегда могут характеризовать поведение систем. Большинство технических систем функционируют в течение конечного промежутка времени, и при этом представляет интерес не только факт устойчивости или неустойчивости, но и количественные оценки их поведения, а также приемлемость их моделей в реальных условиях.
Первые исследования устойчивости на конечном промежутке времени даны в [39 - 41]. В дальнейшем они получили развитие как теория практической устойчивости, например, в [42 - 45],
Пусть система (1) обладает свойством единственности решения Y(t;t09 Yv)> где /0є(й,со) и У0 принадлежит некоторой открытой области
действительного //-мерного векторного пространства.
Система (1) называется устойчивой по Лагранжу [22, 43, 46], если:
1) Каждое решение Y(t;t0, Г0), где /0 є(д,со), неограниченно продол
жаемо вправо, т.е. имеет смысл при /0
2) К(/;/0,Г0) оіраниченана [f0,co).
Движение называется устойчивым по Лагранжу, если его траектория вечно остается в ограниченной области фазового пространства [47].
Требование ограниченности решений приводит к разумному и естественному типу устойчивости, который находит свою область применения в за-
31 дачах небесной механики [25].
Если произвольное движение механической системы бесконечно часто
возвращается к своему начальному состоянию, то это свойство механических
систем называется устойчивостью по Пуассону (Пуанкаре) [2].
Понятие орбитальной устойчивости есть фактическая адаптация устойчивости в смысле Ляпунова к свойствам периодических решений автономных систем, поскольку из устойчивости решения по Ляпунову следует ею орбитальная устойчивость. Однако из орбитальной устойчивости решения, вообще говоря, не вытекает устойчивость его по Ляпунову, а тем более асимптотическая устойчивость [22].
Понятие экспоненциальной устойчивости формализует свойство асимптотически устойчивых решений, содержащих экспоненты с отрицательными показателями степени, заключающееся в стремлении к нулю на положительной полупрямой при аргументе, стремящемся к бесконечности, и имеет тог смысл, что стремление к нулю всех решений не является достаточным условием для асимптотической устойчивости.
Решение Y(t\t0, Y0) системы (1) называется экспоненциально устойчивым при f —>со [22, 32], если для каждого решения Y(t;t0, К,) этой системы в некоторой области ^„h = со, справедливо нера-
венство Y(ntQ,Y})-Y(t;i^Y,)\\
Очевидно, что из экспоненциальной устойчивости следует асимптотическая- Однако из асимптотической устойчивости, вообще говоря, не следует экспоненциальная устойчивость за исключением случая однородных линейных систем с постоянными коэффициентами [22]. Отсюда понятие асимптотической устойчивости является более общим.
Из приведенных понятий устойчивости в смысле различных определений видно, что наиболее формально общим и математически абстрактным является определение устойчивости в смысле Ляпунова. Другие определения либо являются адаптацией устойчивости по Ляпунову в приложениях к кон-
12 кретиым задачам, как, например, устойчивость по Пуассону и Лагранжу применительно к задачам небесной механики, либо выражают свойства решений систем некоторого частного случая - орбитальная и экспоненциальная УСТОЙЧИВОСТИ.
В дальнейшем рассматривается только устойчивость по Ляпунову, которая для краткости называется устойчивостью.
Пусть дана действительная дифференциальная система (1), где вектор-функция F{t„Y) в некоторой области R = {a
Пусть г|-П(0 (f0"'
ии(ц(!))={10{\<Н<<ю}.
Положим X ~ К-Г|(/), т.е. X есть отклонение решения У отрешения г|(/). Так как r\(t) = F(tir\(t)), то для X получаем дифференциальное уравнение
Т^М). (2)
где Fl(l,X)= F(t,X +r|(/))-F(/,r|(0) и удовлетворяет условиям существования и единственности решения в некоторой области Z = {a
движения [28].
Таким образом, исследование устойчивости решения г| = П(0 в пространстве 91" сводится к исследованию устойчивости тривиального решения (положения равновесия) X = 0 в пространстве 91^ -
Естественно переход от системы (1) к системе (2) не всегда возможен, так как для отого необходимо знать y\(t) в явном виде, и не всегда дает преимущество, потому что может случиться, что система (2) более сложна, чем система (1), Например, если система (1) автономна, то система (2), вообще говоря, не является автономной [25],
Следует отмстить, что компьютеризация анализа устойчивости основанная непосредственно на ее определении практически невозможна, хотя бы по причине тою, что в подавляющем большинстве случаев точное аналитическое решение системы (1) неизвестно.
Устойчивость линейных ОДУ. Пусть дана система линейных дифференциальных уравнений
(3)
= A(t)V+F(t)9
гдеУ =
У,(0
,A{t) =
4,(0-^(0 ^(О—^ДО
aJO-Mjt)
Однородная система вида
(4)
называется соответствующей неоднородной системе (3).
Решения систем линейных дифференциальных уравнений обладают тем качеством, что они либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы, в отличие от случая нелинейных уравнений, некоторые решения которых могут быть устойчивы, а другие - неустойчивы [22],
Отсюда линейные системы называются [22] устойчивыми или неустойчивыми.
Исследование устойчивости решений системы (3) можно заменить ио следованием устойчивости решений соответствующей однородной системы (4), поскольку для устойчивости системы (3) с непрерывными коэффициентами при любом свободном члене F(t) необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво тривиальное решение Г = 0 системы (4) [22],
Следовательно, система линейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решение этой системы, и неустойчива, если неустойчиво некоторое решение её.
Данные свойства решений систем (3) справедливы также по отношению к равномерной и асимптотической устойчивостям [22].
Линейные системы обладают качеством, которого нет в случае нелинейных уравнений: существует взаимозависимость между устойчивостью и ограниченностью. Именно, система (4) с непрерывными коэффициентами устойчива (справа) тогда и только тогда, когда каждое решение У = Y(t) этой системы ограничено справа. Если линейная неоднородная система с непрерывными коэффициентами устойчива (справа) и одно из ее решений ограничено справа, то и все остальные ограничены справа. Если решения линейной неоднородной системы с непрерывными коэффициентами ограничены справа, то они устойчивы (справа) [2].
Для нелинейной системы из ограниченности сё решений не следует их устойчивость. Например, в случае системы
dt dy>
= ~Уг^Уу +У2 >
= Уірі +У2 .
общее решение которой имеет вид
\)\=cicos(c]t + c2), [v, =cisin(c-,/ + t'2),
где с\, с, произвольные постоянные, из очевидной ограниченности решений
не следует их устойчивость, поскольку нулевое решение рассматриваемой системы не асимптотически устойчиво, а все остальные неустойчивы [2].
15 Еще один отличительный аспект линейных уравнений заключается в
том, что система (4) с непрерывными коэффициентами асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все её решения Y = Y(i) стремятся к нулю
при / -> со, т.е. НтГ(/) = О,
Для нелинейной системы стремление к нулю всех решений не является достаточным условием асимптотической устойчивости тривиальною решения [22].
Пусть дана система
dt t dt t
СІУі Уі ,2
= —-' УхУг *
допускающая тривиальное решение yx=, y2 -0. Общее решение имеет вид
v\ =—, t
в частности, при /0 =1,
}'ХО = }\(1а)!е
-yfUuMt-U
уг{0=
Л('о)
Очевидно, >'i(/)^->0 и y2(t)-^ при г-^со. Однако для любою 5>0 при
>4У т
О J в
v,(/0) = S:, y2(t0) = 5 будет иметь место неравенство у
Следовательно, решение у,=0, у2=0 не является устойчивым и тем более
асимптотически устойчивым при t—>
Наиболее простым и изученным является случай сне гем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть в (4) Л -матрица постоянных вещественных коэффициентов. Тогда
(5)
Исследование устойчивости системы (5) сводится к выяснению знаков действительных частей собственных чисел (характеристических корней) чаї-рицы А. Точней, линейная однородная система с постоянными коэффициентами устойчива (асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда все характеристические корни ее матрицы имеют неположительные (отрицательные) вещественные части, причем характеристические корни, имеющие нулевые вещественные части, должны быть простыми [22],
Таким образом, согласно классической теории, для суждения об устойчивости линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами следует знать характер расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости корней. Теоретически эта задача леї ко решаема, практическая же реализация этою в сущности простого подхода сопряжена с рядом трудностей, связанных с решением «векового» уравнения det(Л-ХЕ)= 0. Трудности эти обусловлены развертыванием характеристического многочлена, в процессе которого моїут оказаться возмущенными его коэффициенты. Вычисление корней многочлена на практике можеі повлечь неустойчивость вследствие возмущения коэффициентов [48]. Эти трудности усугубляются с ростом размерности системы. Непосредственный подход к решению алгебраической проблемы собственных значений, а, следовательно, и вопроса об устойчивости, применяют лишь при малой размерности матрицы А (я = 2,3); уже при п>А на первый план выходят специальные численные методы решения таких задач [49].
Критерий Гурвица дает необходимые и достаточные условия, при которых алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корни лишь с отрицательными вещественными частями. Пусть
Р{\) = а}:+а„ .Г"1 +... + А0 (6)
характеристический многочлен матрицы А и д0>0, а„^0, и>1. Полином
вида (6), не имеющий, очевидно, нулевых корней, называется стандартным полиномом. Квадратная матрица порядка п
G =
a, я00 ...О
д^ а2 а} ,., О а5 я4 ау.,, О
0 0 0 ...а
л /
по їлавной диагонали которой расположены коэффициенты а,, я,,...,и л,
вправо по строке от этих элементов - коэффициенты с убывающими номерами, влево - с возрастающими, при этом полагается а,=0,если /<0 или />иэ
называется матрицей Гурвица. Для того чтобы действительные части всех корней характеристического многочлена (6) матрицы А были отрицательными, соответственно, система (5) была бы асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все главные диатнальные миноры матрицы G были бы положительны (условие Гурвица). Чтобы стандартный полином вида (6) имел нули, лежащие лишь в замкнутой левой полуплоскости Re?. <0, ішобхо-
димо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры ею матрицы Гурвица были бы неотрицательны [22].
Если степень полинома Р(Х) сравнительно большая, то применение
критерия Гурвица становится затруднительным ввиду необходимости подсчета определителей высоких порядков. В этом случае для определения расположения корней полинома Р(\) на комплексной плоскости иногда оказываются
более удобными геометрические признаки [22], эквивалентные критерию Гурвица.
С анализом устойчивости линейных систем связан первый метод Ляпунова, с построением функций Ляпунова связан второй его метод. Следуя [17], охарактеризуем вначале второй метод.
Второй (прямой) метод Ляпунова. Система дифференциальных уравнений возмущенною движения переписывается в виде
-**>
(7)
где анализируется устойчивость невоімущенного решения л'-0 (/(/,0)^0)-
18 Здесь х, как и прежде, рассматривается как точка вещественною п-мерного
пространства ЯГ с нормой ' х \= х{ + .vJ + ...+ хл , или евклидова простран-
ства Е" с нормой ^1 = -/^/+^+.,, + ^. Вещественная вектор-функция
/(/,х) определена и непрерывна в области R-{(t,x): х
(6 = const >0 или = со) и имеет в ней непрерывные частные производные по лРм.,д*я, которые ограничены в каждой замкнутой обласіи
R = {(t9x)s R:\x\
единственность и нелокальную продолжимость решений системы, непрерывную зависимость их от начальных данных (и t9 трактуемого как время) в области R, 11ри b - со предполагается продолжимость решений при всех г е[05со) так, что возмущенные решения описываются векгор-функцией
А'(/;/0,А"0), Определенной И Непрерывно Дифференцируемой при (/0,Д0)є/?,
/є(/сїГ)^0<Г<«.
Для исследования устойчивости Ляпунов [28] ввел вещественные скалярные функции V(t,x), определенные и непрерывно дифференцируемые в
Д,1'(/,0)=0.
Первой производной функции V по времени /, взятой в силу уравнений возмущенного движения (7), называется функция
at ot ax
которая тождественно равна нулю при л=0,т.е, V(t,Q)=0,
Вводятся следующие определения основных свойств функции V. Постоянно положительная (соответственно постоянно отрицательная) функция V{ttx) удовлетворяет неравенству К(/,д*)>0 (соответственно
V{t9x)<0) при (/,д*)єЛ- Функция У{і,х) называется определенно положительной, если существует функция W(x) такая, что V(t9x)>tV(x)>Q при (t,x)eR, х\ >0, Функция V[t9x) допускает бесконечно малый высший предел, если V непрерывна по .v в нач&пе координат равномерно относительно /
и к(/,0) = 0,т.е, Vc>0 36-5(c)>0:!jc[]<5=>|r(^x)|
Классическими являются теорема Ляпунова об устойчивости движения с обращением в [50] и теорема о равномерной устойчивости [29] с обращением в [51 -53], которые приводятся здесь в единой формулировке.
Для устойчивости (соответственно устойчивости равномерной по /0) невозмущенного решения .v = 0 системы (7) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области R существовала непрерывно дифференцируемая определенно положительная (соответственно и допускающая бесконечно малый высший предел) функция V(f,x), производная которой в силу уравнений возмущенною движения (7) постоянно отрицательна (К(/,л-)< 0),
Классическими теоремами о неустойчивости являются две теоремы Ляпунова, первая из которых необратима для произвольной системы (7), как показано в [32], а обращение второй доказано в [52, 54, 55], Они приведены здесь в единой формулировке.
Для неустойчивости невозмущенного решения a- = 0 системы (7) достаточно (соответственно необходимо и достаточно), чтобы в некоторой области R существовала непрерывно дифференцируемая функция K(/Vv), допускающая бесконечно малый высший предел (соответственно ограниченная) и при любом t0 принимающая положительные значения в некоторых точках сколь
угодно малой окрестности начала координат х-0, производная которой в силу уравнений возмущенного движения (7) определенно положительна (соответственно удовлетворяет неравенству (^(/,.v)>?.F(r,x), где X - некоюрое положительное число), (t,x)e R.
Георема об асимптотической устойчшюсти дана Ляпуновым [28], в [56, 57] показано, что при ее условиях имеет место равномерная асимптотическая устойчивость, и предложено ее обращение.
Для равномерной асимптотической устойчивости решения ,v = 0 системы (7) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области R существовала непрерывно дифференцируемая положительно определенная функция К(/,х),
20 допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой в силу
системы (7) определенно отрицательна.
В приведенных теоремах предполагается существование функции Ляпунова. Возникает вопрос: существует ли в действительности такая функция, т.е. если решение системы (7) обладает каким-либо свойством устойчивости, го можно ли построить вспомогательную функцию, удовлетворяющую соответствующей теореме?
Во-первых, большая часть обратных теорем доказывается действительным построением вспомогательной функции, обладающей соответствующими свойствами [25], Однако такое построение почти всегда предполагает знание решений системы (7). Отсюда обратные теоремы обычно не дают способа практического отыскания функций Ляпунова.
Во-вторых, в ряде случаев устойчивость можно исследовать, рассмотрев сначала упрощенную систему. В случае если устойчивость последней может быть легко установлена, то на основе обратной теоремы делается вывод о су-шествовании соответствующей вспомогательной функции. При определенных предположениях ее можно также использовать в качестве подходящей вегю-моїательной функции для исходной системы, Такой подход типичен для исследования устойчивости при постоянно действующих возмущениях и доказательства устойчивости по первому приближению [25].
Подробно классические способы построения функций Ляпунова приведены, например, в [58,59],
Второй метод Ляпунова широко используется в теории управления и реагирования. Для анализа абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования используются функции Ляпунова-Лурье, в задачах синтеза оптимальных управлений - функции Ляпунона-Ііеллмана, для оптимизации динамических систем -функции Ляпунопа-Лагранжа [17]. Вообще в настоящее время разработано большое число методов синтеза нелинейных регуляторов и анализа нелинейных систем автоматического управления (методы абсолютной устойчивости, гармонической линеаризации, оптимального управления и др.), которые, как правило, развиты на основе метода функций
21 Ляпунова [60]. Это лишь некоторые приложения прямого метода Ляпунова,
все приложения и направления развития которого в различных областях современной науки не представляется возможным охватить в одном обзоре.
Ряд технических аспектов применения прямого метода Ляпунова освещен в [60-62].
Однако применение рассматриваемого метода Ляпунова, основанное на использовании функций V{t,x), имеет существенную трудность, связанную с тем, что в настоящее время не известен общий способ построения функций Ляпунова.
Теория устойчивости по первому приближению (первый метод Ляпунова). В первом методе Ляпунова асимптотическое поведение решений исследуется при помощи изучения соответствующих рядов.
Пусть рассматриваются уравнения возмущенного движения автономной системы
fix JL*.
at где Xі11 (х)^ X а Я' х"1 ..-.v^ , Y,Xm(x) -голоморфныефункции.
Ляпуновым [28] получены следующие теоремы об устойчивости по первому приближению системы (8)-
Пусть все собственные значения матрицы А линейною приближения для системы (8) имеют отрицательные вещественные части, т.е. Re?, (А)<0
( /=1,2,.,,,/7). Тогда невозмущеннос решение х = 0 системы (8) асимптотически устойчиво. Если среди собственных значений матрицы А найдется хотя бы одно с положительно вещественной частью (Ке1ДЛ)>0), то решение
л- = 0 системы (8) неустойчиво. В случае, когда для всех / = 1,2,,.. ,л Re?.;(/1)^0 и существуют ?,;, для которых Re?V;(/l) = Q, то невозмущенное
решение системы (8) может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Это зависит от вида нелинейных функций A"*(.v) [17].
Последний случай, когда имеются нулевые вещественные части собст-
22 венных значений матрицы линейного приближения, Ляпуновым был назван
критическим (сомнительным). Им исследованы критические случаи [28];
l)?.I=0,ReX/U)<0(y = 2,...>ii);
2) ?V] =/0), ?v: =-/, Re?v;(/4)<0 ( у = 3,..,,я);
3)?.l=0,?^=0sRe?./(^)<0(y = 31„.fii).
Для неавтономных линейных систем Ляпунов развил теорию характеристических показателей решений, а для нелинейных систем с голоморфными
правыми частями
^A(t)x+ix"(ttx), (9)
at т-2
Ляпуновым даны критерии устойчивости и неустойчивости в случае систем с периодическими правыми частями и в случае правильных систем [17].
Приводимое ниже утверждение (признак Ляпунова) в существенных
чертах заимствовано из [22], Если система первого приближения — = Л(г )v
правильная и все ее характеристические показатели отрицательны, а нелиней-ные члены удовлетворяют условию ' ^X^(t,x)-
іценное решение ,v = 0 полной нелинейной системы (9) асимптотически устойчиво.
При наличии положительного характеристического показателя решение .v = 0 системы (9) неустойчиво.
Для периодических систем исследованы и критические случаи [17]. Развитию теории критических случаев посвящены работы [63 -65],
Тенденции современных исследований устойчивости. Отметим, что во всех актуальных приложениях качественной теории дифференциальных уравнений по-прежнему анализ устойчивости опирается на оба метода Ляпунова. При этом сама качественная теория активно развивается в абстрактном математическом направлении. В частности, согласно [17], состояние вопроса характеризуется следующими результатами: совмещение идеи нескольких функций Ляпунова и метода сравнения с использованием векторных диффе-
23 ренциальньгх неравенств типа Чаплыгина-Важевского позволило получить первые теоремы об устойчивости с вектор-функцией Ляпунова (ВФЛ). Полнее были предложены и матричные функции Ляпунова,
В методе ВФЛ наряду с исходной системой (7) вводится вспомогательная система, называемая системой сравнения (СС) и описываемая конечномерным дифференциальным уравнением размерности т<п, возникающая из мажорирования производной ВФЛ в силу (7). С использованием аналогов условий теорем Ляпунова было доказано, что устойчивость или асимптотическая устойчивость СС в некотором смысле влечет за собой устойчивость, соответственно, асимптотическую устойчивость исходной системы (такие теоремы называются теоремами сравнения с ВФЛ) [17].
Использование теорем сравнения сводит задачу анализа устойчивости различною типа к построению ВФЛ, СС и существенно более простому анализу соответствующих свойств СС [17J.
Как отмечается в [17], прикладная значимость метода ВФЛ вскрыта в работе [66], в которой была предложена идея исследования устойчивости сложных нелинейных систем на основе их декомпозиции и последующего оценочного агрегирования с применением ВФЛ. Позднее это направление выросло в теорию устойчивости сложных систем. Ее изложение дано, например, в [67], где также указаны многочисленные приложения к системам разной природы.
В настоящее время доказаны сотни теорем сравнения с ВФЛ для различных динамических свойств нелинейных ОДУ. Результаты этих теорем объединены в виде основной идеи принципа сравнения: если существуют ВФЛ, удовлетворяющие подходящим условиям, то различные динамические свойства исходного уравнения вытекают из соответствующих динамических свойств системы сравнения [17]. Впервые в такой форме принцип сравнения дан в [68].
Систематическое изложение метода векторных функций Ляпунова в теории з'стойчиности с рассмотрением способов построения ВФЛ и СС, с различными количественными оценками для нелинейных систем и приложения-
24 ми ВФЛ дано в [67].
С друюй стороны, предприняты попытки компьютеризации анализа устойчивости [18-21].
Общая теория Ляпунова, помимо своего основною направления развития, нашла применение в новых отраслях современной математики - теориях особенностей, бифуркаций и катастроф. Бифуркация - качественная перестройка или метаморфоза объекта произвольной природы при изменении параметров, 01 которых он зависит. Катастрофа - скачкообразное изменение, возникающее r виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий [69]. Если в качестве системы рассмотреть систему ОДУ, то термин катастрофа будет описывать качественно свойство неустойчивости в смысле Ляпунова решения системы ОДУ.
Необходимо принять во внимание глобальное развитие и фундаментальное значение общей теории Ляпунова, которая нашла свое новое начало в современном интегральном направлении науки - синергетике. Синергетика исследует процессы самоорганизации и охватывает все отрасли знаний о косной и живой природе, технике и экономике. Смысл и содержание этой науки состоит в том, что в открытых системах любой природы возникают процессы самоорганизации, т.е. процессы рождения из биологического, экономического или социальною хаоса некоторых устойчивых упорядоченных структур с новыми свойствами систем. Поведение нелинейных систем вдали от положения равновесия при изменении некоторых управляющих параметров, пространства состояний систем, аттракторы (притягивающие множества в пространстве состояний, т.е. асимптотически устойчивые множества), «странные аттракторы» (аттракторы, отличные от состояний равновесия и периодических колебаний) - лишь часть понятий и вопросов этой науки, к которой наиболее близка по своей идеологии прикладная теория управления [70]. Последняя существенно базируется на общей теории устойчивости Ляпунова.
В 30-х годах прошлого века в выдвинутом Н.Г. Четаевым «постулате устойчивости», указывается, что «устойчивость - явление принципиально общее - как-то должна, по-видимому, проявляться в основных законах при-
25 роды» [70].
«Постулат устойчивости» устанавливал в законах природы теоретические свойства устойчивости как необходимое требование малых отклонений теории от эксперимента по наблюдаемым функциям [17].
Согласно этому постулату, только устойчивые движения являются физически реализуемыми. Однако открытие «странных» (хаотических) аттракторов потребовало корректировки постулата устойчивости. Оказалось, что в природе могут реализовываться и необычные движения на хаотическом аттракторе. В этой связи постулат устойчивости справедлив, в первую очередь, для определенной группы природных процессов, которым всегда присущи порядок и асимптотическая устойчивость [70].
Концепция синергетики в теории управления и ее связь с общей теорией устойчивости Ляпунова детально освещены в [70].
На основе изложенною тема устойчивости по Ляпунову актуальна для современной математической теории и ряда важных научных и технических приложений.
Очевидна целесообразность разработки и исследования компьютерных методов анализа устойчивости. Разработке таких методов посвящена диссертационная работа.
Таким образом, тема диссертационной работы актуальна.
Основной целью диссертации является разработка и исследование метода компьютерного анализа устойчивости по Ляпунову решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме.
Метод должен обладать вычислительной устойчивостью и универсальностью в той мерс, которая позволяет его рассматривать как основу для создания компьютерной технологии анализа устойчивости систем нелинейных ОДУ.
При этом речь идет о построении компьютерного анализа устойчивости на основе разностных схем приближенного решения рассматриваемых систем ОДУ. Это позволяет не только автоматизировать процесс анализа устойчивости, сведя его к единообразной процедуре, на вход которой поступает правая
26 часть системы, начальные условия, шаг и промежуток решения, по и получать
само приближенное решение, попутно моделируя накопление погрешности.
Поскольку предлагаемый подход к компьютеризации анализа устойчивости основан на разностных приближениях решений ОДУ, он по построению отличается от методов символьной обработки и схем анализа устойчивости путем вычисления функций Ляпунова, Предложенные в дальнейшем критерии устойчивости по конструкции не опираются на методы качественной теории дифференциальных уравнений, однако методы этой теории используются для обоснования и исследования разрабатываемых в диссертации методов.
Цель диссертационной работы состоит її разработке и исследовании программных схем анализа устойчивости по Ляпунову решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме на основе разностных методов. Сюда включается синтез, обоснование и исследование программируемых необходимых и достаточных условий устойчивости, основанных на поведении бесконечных произведений, анализ влияния погрешности разностной схемы па условия устойчивости, исследование асимптотического поведения этой погрешности в условиях устойчивости, С этой целью должны быть сконструированы, программно реализованы и отлажены модели анализа устойчивости, иллюстрирующие достоверность предлагаемых условий устойчивости в широких условиях и показывающие их практическую значимость.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
выполнить синтез и обоснование программируемых условий устойчивости решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме на основе разностных схем приближенного решения;
исследовать зависимость достоверности условий от замены их предельных выражений на конечные приближения при ограничениях сравнительно общего вида;
исследовать разновидности условий и их отличительные особенности при использовании для их построения различных разностных схем - методов Эйлера» Эйлера-Коши, Рунге-Кутта и Адамса;
4) показать, что в условиях устойчивости существенно ограничивается рост
погрешности разностных схем, и частности, методы Эйлера и Эйлера-Коши имеют не более чем линейное накопление погрешности на произвольном промежутке с коэффициентами, не зависящими от длины промежутка;
сконструировать и отладить программные модели анализа устойчивосги решений систем нелинейных ОДУ, инвариантные относительно правых частей систем нелинейных ОДУ, относительно размерности системы, возмущений начальных данных, разностных схем и выбора численных параметров этих схем, в числе которых длина промежутка и шаг решения;
на основе программного моделирования и численного эксперимента показать практическую достоверность работы предлагаемых условий устойчивости в пределах допустимой погрешности разностных схем, с помощью которых строятся данные условия;
установить границы числовых параметров достоверной работы условий устойчивости, в частности, исследовать предельно допустимые границы шага и промежутка решения, их «оптимальные» значения, временные затраты при условии достоверности программного анализа устойчивости;
исследовать зависимость результатов работы условий устойчивости от величины возмущения начальных данных и от погрешности используемой разностной схемы;
оценить вычислительную устойчивость и универсальность конструируемых программных моделей и предлагаемых схем как основу компьютерной технологии анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ.
Методы исследования опираются на использование качественной теории устойчивости, теории дифференциальных уравнений, теории разностных схем, численных методов, прикладной информатики, математического и про-іраммного моделирования.
Шучная новизна диссертационной работы заключается в разработке программных схем анализа устойчивости по Ляпунову решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме на основе разностных методов. Предлагаемые схемы отличаются от методов качественной теории дифференциальный
28 уравнении и методов символьной обработки по построению, по способу программной реализации, а также тем, что не используют преобразования правой части системы.
Предложенный способ программного анализа устойчивости даст про-іраммирусмьіе необходимые и достаточные условия устойчивости, основанные на поведении бесконечных произведений. Исследуется влияние устойчивости на погрешность разностной схемы, В частности, при устойчивом по Ляпунову решении погрешность методов Эйлера, Эйлера-Коши на произвольном промежутке не превышает линейного роста с коэффициентами, не зависящими от длины промежутка. В работе построены и программно реализованы модели анализа устойчивости, дающие практический способ получения достоверной информации о характере устойчивости решений систем нелинейных ОДУ.
Конкретно, научная новизна результатов может быть охарактеризована следующим образом:
предложены схемы компьютерного анализа устойчивости (по Ляпунову) решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме на основе разностных схем Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта и Адамса, отличающиеся от методов качественной теории по построению и по способу компьютерной реализации;
предложены и обоснованы необходимые и достаточные условия устойчивости на основе преобразований разностных методов в форму бесконечных произведений; условия отличаются от известных по построению и инвариантностью относительно вида правой части системі.! ОДУ;
исследована достоверность условий устойчивости при приближении бесконечных произведений конечным числом сомножителей при ограничениях сравнительно общего вида;
в случае систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами предложенный программный анализ устойчивости, в отличие от известных методов, не требует построения характеристического мноючлена матрицы постоянных коэффициентов и информации о его корнях;
5) показано, что условия устойчивости решений существенно ограничивают
рост погрешности разностной схемы; в частности, методы Эйлера и Эйле-ра-Коши в рассматриваемых условиях имеют не более чем линейное накопление погрешности на произвольном промежутке с коэффициентами, не зависящими от длины промежутка, что отличает данные оценки от известных;
сочетание данного качества с единообразной гїрограммируемостью предложенных условий устойчивости дает практический достоверный способ компьютерного анализа устойчивости решений нелинейных ОДУ общею вила;
построены программные модели анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ, инвариантные относительно правых частей ОДУ, размерности системы, возмущений начальных данных, разностных схем и выбора численных параметров этих схем; апробация моделей экспериментально подтверждает достоверность предложенных условий устойчивости;
проведенные на базе данных схем моделирования эксперименты и предшествующее им формальное обоснование условий устойчивости моїут служить основой для разработки компьютерной технологии анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ; помимо построения, это отличает предложенные схемы результатом практической реализации.
В приложении к решению технической задачи представлены следующие результаты:
предложенные в диссертационной работе схемы программного анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ апробированы на задаче управления вращением спутника (модель автопилота); получено совпадение результатов анализа с известными теоретическими оценками, выполненными на основе линеаризации; кроме того, известные оценки дополнены анализом в критическом по Ляпунову случае;
в отличие от известного теоретического метода, моделирование по предложенной схеме выполняется непосредственно по виду исходной системы, без применения вспомогательных преобразований, включая линеаризацию;
идентифицирована область устойчивости системы управления вращением спутника, результаты согласуются с теоретическими оценками области устойчивости, данными на основе линеаризации;
на основе программной идентификации экстремумов функций четырех переменных при помощи сортировки оценивается максимальное и минимальное отклонение нелинейной системы от устойчивого состояния при вариации одновременно четырех параметров, включая коэффициенты системы;
с помощью предложенных критериев дана схема компьютерной проверки на устойчивость решения системы при максимальном и минимальном отклонении от устойчивого состояния;
сочетание оптимизационной схемы со схемой проверки на устойчивость программно промоделировано на примере системы Лоренца для случаев ее стабилизации, асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Па основе данных схем возможно выполнение мониторинга системы на предмет устойчивости при вариации параметров системы. Основные положения, выносимые на защкгу:
программируемые необходимые и достаточные условия устойчивости на основе мультипликативных преобразований разностных решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме;
обоснование схем анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ в виде частичных произведений на основе разностных методов Эйлсра-Коши, Рунге-Кутта н Адамса;
линейное накопление погрешности разностных схем в условиях устойчивости с коэффициентами, не зависящими от длины промежутка численною интегрирования;
программные модели для анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ5 инвариантные относительно правых частей ОДУ, размерности системы, возмущений начальных данных, разностных схем и выбора численных параметров этих схем.
Практическая ценное і ь диссертационного исследования заключается в прикладном характере и компьютерной реализуемости предложенных условий
устойчивости- Исследование устойчивости по Ляпунову актуально для математической теории и практики в ряде важных научно-технических приложений. Предложенный способ позволяете помощью компьютера получить разностное решение, достоверную информацию о характере устойчивости решения ОДУ и одновременно моделировать накопление погрешности разностной схемы. Рассматриваемый в качестве основы компьютерной технолої и и анализа устойчивости, способ может служить эффективным инструментом проверки построения устойчивою управления для системы автоматическою регулирования.
Внедрение и использование результатов работы- Полученные в работе результаты использованы в НИИ механики и прикладной математики им. Воронина И.И. Ростовскою государственною университета; в госбюджетной НИР «Математические методы устойчивой параллельной обработки, поиска и распознавания», код ГРІГГИ 28.23.15, регистрационным номер 01.2.00106436; в учебном процессе кафедры информатики Таганрогского государственною педагогического института в курсах «Численные методы», «Компьютерное моделирование», курсах по выбору и практикуме решения задач на ЭВМ, что подтверждено соответствующими актами об использовании, приведенными в приложении 7 к диссертационной работе.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:
ІХ-ХІ Международных конференциях «Математические модели физических процессов и их свойства» (Таганрог, ТГПИ, 2003 -2005гг.);
1-ой Международной научно-практической конференции «Текст в системе высшего профессионального образования» (Таганрог, ТГПИ, 2003к);
Всероссийской научной конференции молодых ученых и аспирантов «Информационные технологии, системный анализ и управление» (Таганрог, ТРТУ, 2003і\);
V Научно-практической конференции преподавателей, студентов, аспирантов и молодых ученых ТИУиЭ (Таганрог, ТИУиЭ, 2004г.);
III Межрегиональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь XXI века - будущее российской нау-
32 ки» (Ростов, РГУ, 2005г.);
научно-технических конференциях профессорско-преподавательскою составам аспирантов ТПІИ (Таганрог, 2000-2005гг.);
семинарах «Теоретическая и прикладная информатика» кафедры информатики ТГПИ (Таганрог, 2000 - 2005гг.)-
Публикации. По материалам работы опубликовано 12 печатных рабо і с общим объемом примерно 12 печатных листов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав основного раздела, заюпочения, списка литературы и 7 приложений. Основное содержание работы - примерно 7 печатных листов, включая 3 таблицы и список литературы из 87 наименований.
Синтез и обоснование мультипликативных критериев устойчивое і и решений нелинейных ОДУ
Предлагаемые критерии устойчивости имеют вид бесконечных произведении, а точней излагаемая схема анализа устойчивости сводит вопрос об устойчивости к исследованию асимптотическою поведения бесконечных произведений, получаемых на основе соотношения
(1-19)- В частности, на основе разложения (1.18) устанавливается связь устойчивости в смысле Ляпунова с равномерной оіраниченностью бесконечные произведений. Для этого необходимо следующее вспомогательное утверждение.
Пусть выполнены все перечисленные выше условия, включая 1) - 3), а также условия (1.6) и (1.7). Тогда имеет место
Лемма ІЛ. Для всех решений y-y{t) и y = y(t) из области R значение Rt из (1.20) удовлетворяет соотношению limtf, =0 (1.21) при любом / из (1.6).
Доказательство, Пусть первоначально оценивается Z)F, = 0,1,,..,/, из (1.16), С применением условия Липшица (1.5) получается неравенство D. L + L У 2 f-I ) 2 г 1 y(-yf Отсюда, учитывая (1.10) и вновь применяя условие Липшица, следует опенка , L + L+L2h = 2L + L2h (1.22) для любою/ HJ (1,6) с учетом (1.7), при этом L -константа из(1.5). Таким образом, с учетом ограниченности величин D,, из (1.20) полу чится неравенство /М І + (2 + гй)} І0...-І в котором величины 0Ml_ft определяются равенством (1,17), В этом равенстве, как ранее было показано, остаточные члены 0ltM и 01+]_, могут быть оценены посредством неравенства (1.13). Исходя из этою, і , cbLh з \ і / + /;/,4 VV или, просуммировав геометрическую прогрессию в право» част», L h і l?hl R , c,Lh 2c0h + і \ / ]+hL + hL + 4cJi + cJ.h: 2L + L4i f/ \ + hL Lh \ - J С другой стороны, на основании (1.6), П. Ac0h + c0Lh2 21-vL-h \ + hL + L2h2 \ i-i, -1 но, как известно [71], ( \ + hL + \ L2h 2 / hi І ІГ : C, следовательно, при любом f из (L6) с учетом (1,7) имеет место оценка R. 4cJi + cGLh2 IL + L h Ф r ,1,-,, -1 (1.23) в которой сс, Л константы, соответственно, из (1.4), (1.5). Отсюда предельный переход її последнем неравенстве при /- оо, что равносильно /;- 0, влечет утверждение леммы. MJлеммы 1.1 вытекает
Следствие Ы, В условиях леммы \Л точное значение разности между возмущенным и невозмущенным решениями задачи Коши (1.1), (1.2) определяется равенством y{t)-y{t) = \\mP,(уа -j 0)V/e[/0, ). (1.24) Уїверждение следствия 1.1, очевидным образом, следует iij предельною перехода в равенстве (1.18), с учетом условия (1.21), при этом t/t и h связаны, как и раньше, через соотношение (1.6). Кроме тою, из равенства (1.24) следует факт существования конечною значения бесконечного произведения WmPt для любого /є[г0,а ), причем от І- X личного от нуля. Последнее обстоятельство достигается соображениями, описанными в замечании 1Л, Вследствие чсю, бесконечные произведения вида \\ml\ будут сходиться в рассматриваемых условиях. Следствие ІЛ позволяет установить непосредственная связь устойчивости по Ляпунову с равномерной ограниченностью бесконечных произведений lim/3,, а именно, на основании следствия 1.1 имеет меего Теорема 1Л. В условиях леммы 1.І для устойчивости решения залами Коти (1Л), (1.2) необходимо и достаточно, чтобы существовало 5 0, Ь Ь, такое что для всех решений y-y(t) при ограничении 0 )\-Уо 5 вы полняется неравенство ІітЯ с с- const У/є[/и,сс). (1.25) Для асимптотической устойчивости рассматриваемого решения необходимо и достаточно, чтобы существовало 8а 05 б0 8, такое что для всех решений y-y(t) при ограничении 0 у0-уА Ь0 выполняется (1.25) и соотноше ние \im\imP. =0. /- i- s (1.26) Условие (1.25) означает равномерную ограниченноеіь бесконечных произведений YimP 9 в которых /,/ и h связаны соотношением (Кб), но при JTOM критерий (левая часть неравенства (1.25)) не является независимым от начальных возмущений и соответственных возмущенных решений. Последнее обстоятельство обусловлено тем, что конструкция Pi включает в себя величины D,, =0Л,...,/, введенные посредством равенства (1Л6), которые по построению содержат возмущенные решения.
Разностные оценки асимптотического поведения подущенного решения задачи Коши
Одновременно с этим в данном параграфе выводятся разностные оценки асимптотическою поведения возмущенного решения задачи Копій на основе схемы, отличной от способа вывода аналогичных оценок в [2, 23].
Исследование проводится в дополнительном предположении. В частности, всюду ниже, будет предполагаться, что для любого решения v-y(t) из {1.3) существует т 0, такое что \y{t)-y(t)\bx, т - const У/є[/0,ш), t = T(/0,yDJJ, (1.39) при этом у0 3v
Другими словами, условие (1.39) означает, что разность между возмущенным и невозмушенным решениями задачи (Ы), (1.2) равномерно no t отделена от нуля на всей полупрямой справа от /0 или, что тоже самое, эта разность достигает минимума на этой полупрямой.
В данном предположении имеет место
Лемма 1.5. Пусть выполнены условия леммы 1.1 и соотношения (139). Тогда для любого решения y = y(t) из (1.3) при любом выборе Г = const, іде Тє [t0,со), в промежутке [t09T] можно указать 5, 0, такое что найдется номер /, = /0,7\ya,jv0,5,), начиная с которого будет иметь место равномерная отделенность по / произведений Pt от нуля, при этом 5, =8 , 0, ), т.е. зависит от у 0, но не зависит от 7\ Доісазаіельспю. Из (1.24) и (1.39) следует, что (1.40) или limP Уо-У для всякого решения y = y(t) из (КЗ), где у0 Jv
С другой стороны, согласно утверждению следствия 1.4, для любою 0 существует номер /j =1х(1е9Т,у0Чуачг), такой что выполнено (1.37). Поэтому Р. \\rnP. P. -limP. С У/ лУ/Є Г]. Отсюда Km/ -с Л . Следовательно, ; о-Уо -с я V/ /,AVre[/0,7 ]. Если обозначить 5, = и априори выбрать є = 8,, то 2 У0-Уо Приэгом 5, = 6, ( , ,3 ), но не зависит от Г. Лемма доказана.
Утверждение этой леммы следующим образом распространяется на произведения Pi при всех значениях индекса к І. Если для Рк фиксируется h НІ (1.6), определяемое данным значением /, /..,-Л. h /ltI =/,+ , Л=ПM+r , =0,1 /-1, (1.4І) то утверждение предыдущей леммы усиливает Лоша 1,6 Пусть выполнены условия леммы 1.5. Тогда для каждою решения y = y(t) из (1.3) в любом промежутке [/0,7 ] из условий леммы 1.3 можно укадатЕ» 6„ 0, такое что найдется номер /,, -iu(t0,T,y0,yGt,bn), начиная с которого произведения Pt равномерно по / будут отделены от нуля наряду с произведениями Рк при все?; значениях индекса к i, Рм\ Ьил\Рк\ 8п У/ /плУ/є[/п,г]лУ7 є(/0 ), =0,1,...,/-1,(1-42) где /,, /р /j из леммы 1.5, При этом Ьи = bu(tG,y0,y(l),
Доказательство. По предыдущей лемме, для каждою решения у = у{?) из (1.3) в любом промежутке [1 ,Т] существуют 5, 0 и номер i = 1( 0 0 0 1), такие что будет выполнено (1.40).
С другой стороны, при том же выборе Т для всех к /, / /,, имеют место соотношения (1-41), При любом к и соответешейном ему h из (L41) согласно (1-18) получится где величина Rk для данного значения h взята из (1.20) при замене / на к. Отсюда У -Уо или, с учетом условия (1-39), У к rl ) кг] R, л і т R, \Р, Уо-Уо
Величина Rk получена из величины Я, заменой / на к, при этом последняя оценивается посредством неравенства (1.23). Аналої нчно (1.34), (1.35) зга оценка в любом промежутке [t0,T\ может быть преде ганлена в виде T Л/А Д/_— Vre[/0,r], R. / + 1 где Л/= const из (1.35) и М = M(t0,T). Данное неравенство лишь усилится для части суммы, составляющей R: при к і, каково бы ни было априори выбранное И, включая 7 + 1 где /,, произвольно при условии /м /к, Так что для такого h при к і RA Mh M ?+1 Vk і AV/ /„ /,. Rk —. Последнее не Если h гак мало, что Mh -,T.Q. h , то 2 ЇМ равенство всегда оудет выполнено, если произвольно выоираемое число /„ будет взято при условии ш и = -(г-0-i Отсюда Л ? или V /дУ/ /п /г J o-J o Поскольку при любом / /, равномерная отдаленность от нуля для произведений Р} заведомо будет иметь место, то остается лишь взять 5П =min я т JWo и выорать ii= ii( o ;,oJ0!8lI) = max /р чтобы доказа гь (1.42). Лемма доказана. 2М (т-и)-і
Замечание 1,5. Лемма верна лишь при достаточной малости шага /г, который на основании (Кб)- h = h(t T,y0,y0,6u)t Аналогично лемме 1.6 в рассматриваемых условиях переформулируется утверждение леммы 1 А Точнее, имеет место Лемма 1 7. Если решение задачи Копій (1-І), (1.2) устойчиво, го необходимо существует Д 0, Д /?, где b из (1.3), такое что для каждого решения y-y(t) при ограничении 0 у0-у0 ЙД в любом промежутке [г0,7 ], гня- іом из условий леммы 1.3, найдется номер /со 100Ой,Т,у0,Уй ) начиная с которого для всех произведений Pt и 1\ нз (1-41) при всех к і выполнено Р С А Р, си У/ /солУ [го17-]дУГе(/05а))д = 0,1,.,.?/-и(1.43) где сп = const, которая не зависит от Г, но зависит от начальных данных /0? У и yQ-
Достоверность мультипликативных критериев устойчивости на основе метода Эйлера-Коши в случае конечного числа сомножителей
Достоверность мулыииликативных критериев усюйчтшетн ни основе метода Эйлера-Каши и случае конечного числа сомпожигелси. На практике бесконечные произведения из (2.6), (2.7) не могут быть вычислены точно. Моделирующая их поведение программа ограничится конечным числом сомножителей, причем эти сомножители построены на основе разностных приближений. Характер этих приближений в сочетании с конечностью числа сомножителей повлечет погрешность вычисления левых частей предложенных критериев. Требуется оценить влияние этой погрешности на достоверность критериев.
Критерии (1-32), (1.38) из лемм 1.2, 1.4 ранее обосновывали корректность использования конечного числа сомножителей при моделировании устойчивости. Однако при этом частичные произведения Р( содержали аналитические значения возмущенных и невозмущенных решений.
По существу требуется исследовать достоверность критериев при замене этих значений на их приближения по разностной схеме.
Иными словами, требуется выполнить корректный перенос критериев (1.32), (L38) на случай частичных произведений вида P{_Ll Первоначально формулируется аналог леммы 1.3, который является базовым при доказательстве опирающихся на него утверждений. Затем ставится цель показать аналогичность поведения произведений Pt и Рг_кГ
В условиях леммы 2.1 имеет место Лемма 2.2. Для всех решений y = y(t) из (1-3) при любом выборе e{r0,a)], где Г = const, в промежутке [tQ$T\ необходимо выполнена равномерная сходимость Рг.ЛУо-У0)-\тР,_.кІ(ув-ув) е\іОУт] (2.8) при f- co. При эгом сходимость является равномерной как по /, так и по всем y(t) из (1.3).
Доказательспш. Для любого і из (1.6) разность между приближениями по методу Эйлера-Коши к возмущенному и невозмущенному решениям определяется равенством (2.3) С другой стороны, при том же / имеет место соотношение (1.18), которое в силу леммы 2Л может быть записано в виде
Отсюда, в свою очередь, следует Р1-У.ХУ -УО)-1}Р1-ЛУ У ) — /Е-кмІ " У Ml + У\ -K/ti У -\ сугь погрешность ме при / из (1.6). Величины З г-КмІ Уі \ \У\ ki + l Уi \ тода Эйлера-Коши соответственно для невозмущенного и возмущенного решений, которая может быть оценена посредством неравенства [81] І (іДш е) МЪ + hL У\ -кмі У i±\ L\2 + hL. которое, очевидно, может быть представлено в виде А, (2.9) У F ki.l MJtV(e[t0,rl (2.10) где cn(2 + hL L\2 + hL J . ill.- )0-1(,) MV yV/ const, /, = Л/,(/0,Г), если Л достаточно мало.
В (2.9) константы съ, L взяты соответственно из (1.4) и (1.5). Схема получения оценки (2.9) в целом аналогична доказательству леммы 1.1.
Отсюда При этом учтено, что погрешность метола Эйлера-Коши для воліущешюк) решения также оценивается (2.10). Таким образом, для любою е 0 выполнено неравенство T, 2М,- - є 1 /-hi при С что и влечет равномерную сходимость (2.8). Лемма доказана.
Аналогично, утверждения лемм 1.2, 1.4 и следствия 1.4 дословно переносятся на случай частичных произведений I\_Kl, с точностью до ограничивающих их констанг и значений номеров /, начиная с которых выполнякнея соответственные неравенства. Последний факт обусловливается эквивалентностью утверждений, на основе которых базируются исследования поведений произведений Рі и Яг_кг В частности, теорема 2J - аналог теоремы 1J; для леммы 2.2 аішлоюм служит лемма 1.3, - при условиях либо общих, либо аналогичных друг к другу (условия (1.15), (2.2)) для произведений обоих видов.
Доказательства аналогов лемм 1.2, 1.4 и следствия 1.4 с точностью до обозначений повторяют доказательства исходных утверждений этих лемм и следствия.
Дополнительно может быть сформулировано утверждение, более полно характеризующее аналогичность поведении произведений Pt и Р _кГ близкое к очевидному, оно служит обоснованию корректности моделирования критериев (1.32), (1.38) при помощи частичных произведений PY_yi.
Инвариантность программной модели анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ относительно размерности системы
Непосредственно ниже строится основная программная модель для анализа устойчивости решения задачи Коши для системы нелинейных ОДУ в нормальной форме. Проводятся программные и численные эксперименты по исследованию качества модели в условиях меняющихся систем ОДУ (программная реализация всех конструируемых моделей приводится на языке программиро вания Object Pascal системы Delphi 7.0), Посредством численного эксперимента исследуется влияние различных схем приближённого решения сисіем нелинейных ОДУ на качество программной модели и на достоверность предложенных критериев устойчивости. В качестве разностных схем исполыуются методы Эйлера, Эйлера-Конш, Рунгс-Кутта и Адамса, Кроме того, для оценки достоверности используются точные аналитические решения.
Модель совмещает компьютерный анализ устойчивости с программированием приближённого решения системы и с программным определением характера асимптотического накопления погрешности разностного приближения решения.
Модель конструируется как программа, которая непосредственно выполняет циклические операции критериев устойчивости (1.75), (1-76), (2.24) и (2.26). При этом бесконечное произведение Pt из левых частей данных соотношений будет приближённо реализовываться в форме частичного произведения, Возможность замены бесконечного произведения из левых частей предложенных критериев устойчивости на конечное число сомножителей, соответствующее реальным шагам моделирующей программы, исследована и обоснована в главах 1, 2.
При циклическом накоплении частичного произведения на каждом шаге цикла вычисляется и через некоторое количество шагов к выводится на монитор норма текущего значения произведения.
При этом значение к определяется пользователем по характеру поведения нормы частичного произведения и требуемому количеству промежуточной информации. При необходимости можно положить к = \ и выводить все текущие значения нормы частичных произведений. Как и при разностном приближении решения, значение к совпадает с числом пропускаемых промежуточных шагов.
Существенной особенностью конструируемой программной модели является её инвариантность относительно вида правых частей систем нелинейных ОДУ.
Кроме тою, должна достигаться инвариантность относительно выбора разностных схем приближённого решения и относительно выбора численных параметров этих схем. Искомое программное построение достигается следующим образом.
В разделе описания констант задаются: - шаг численного интегрирования h=0.00001; - возмущения начальных данных deltal=0.0001, delta2-0. 0001; - верхняя граница промежутка численного интегрирования, на котором моделируются мультипликативные критерии устойчивости, ь-юоо; - количество шагов, через которое выводится на печать норма текущего значения произведения из предложенных критериев, к0=10000000;
Раздел описания констант: п-0.00001; aeltal-0,0001; delta2-0- 0001 ; о-ЮОО; kO-10000000;
В разделе описания переменных задаются: - переменная с - текущая точка полуоси; - переменные yl, у2, ylv и y2v - значения компонент соответственно невозмущенною и возмущенного разностных приближений; - переменные ylE, у2Е, ylvE и y2vE - значения компонент соответственно невозмущенного и возмущенного разностных приближений по методу Эйлера; - переменные dl, 62 для расчета величин, определяемых равенством (1.68); - переменные pi, р2, р - для накопления значений частичных произведений и нормы вектора Pt из критериев (1-75), (1.76), (2.24) и (2,25); - переменные el, с2, civ и c2v - для хранения значений произвольных постоянных соответственных комнонеигам невозмущенною и возмущенною решений; - переменная к - в качестве счётчика количества шагов, через которое выводится текущее значение нормы частичного произведения Pt;
