Содержание к диссертации
Введение
1. Метод галеркина с разрывными базисными функциями и особенности его реализации применительно к решению уравнений навье-стокса 25
1.1 Методы аппроксимации уравнений Навье-Стокса 25
1.2 Сравнение схем конечного объёма и конечного элемента на деформированных сетках 40
1.3 Особенности дискретизации уравнений Навье-Стокса методом Галеркина с разрывными базисными функциями 43
1.4 Методы приближённого решения задачи Римана вРМГ 46
1.5 Особенности применения модели турбулентности Спаларта-Алмараса .50
1.6 Квадратурный и аналитический способы интегрирования потоков 53
1.7 Базисные функции РМГ 59
1.8 Методы учёта кривизны обтекаемой границы 60
Заключение по главе 1 63
ГЛАВА 2. Методы устранения нефизичных осцилляции решения сеточных уравнений 65
2.1 Нефизичные осцилляции решения в численных схемах высокого порядка точности 65
2.2 Проблемы применения традиционных ограничителей решения в методе конечного элемента и альтернативные подходы 67
2.3 Принципы построения конечно элементной схемы с плавным изменением порядка точности — РМГ (К, X) схема )
2.4 Численная оценка порядка точности РМГ (К, X) схемы в задачах конвекции - диффузии 74
2.5 Сенсоры осцилляции решения и их использование в РМГ (К, X) схеме... 77
2.6 Пример использования РМГ (К, X) схемы для решения уравнения конвекции с разрывом 82
2.7 Пример использования РМГ (К, X) схемы для расчета обтекания изолированного профиля транс- и сверхзвуковым потоком невязкого сжимаемого газа 85
2.8 Пример использования РМГ (К, X) схемы для расчета профиля при обтекании трансзвуковым турбулентным потоком 87
2.8.А Трансзвуковое обтекание профиля RAE 2822 87
2.8.Б Трансзвуковое отрывное обтекание профиля NACA64A010 89
2.9 Пример использования РМГ (К, X) схемы для расчета крыла в
трансзвуковом турбулентном потоке 92
Заключение по главе 2 93
ГЛАВА 3. Методы решения сеточных уравнений конечно элементной аппроксимации течений 94
3.1 Явный алгоритм поиска решений 96
3.2 Неявный алгоритм поиска решений 102
3.3 Многосеточный метод
3.3.1 Полиномиальный многосеточный метод для РМГ 108
3.3.2 h - операторы интерполяции и сборки 112
3.3.3 р — операторы интерполяции и сборки 113
3.3.4 Стратегии полиномиального многосеточного подхода 114
3.3.5 Оценка эффективности полиномиального многосеточного ліетода в задаче об обтекании сферы 116
3.3.6 Оценка эффективности полиномиального многосеточного метода в задаче об обтекании крыла 119
Заключение по главе 3 122
ГЛАВА 4. Исследования порядка точности численной схемы и тестовые расчёты 123
4.1 Методика определения порядка точности численной схемы 123
4.2 Оценка порядка точности РМГ в задаче о ламинарном обтекании кругового цилиндра 126
4.3 Оценка порядка точности РМГ в задаче о турбулентном обтекании пластины 129
4.4 Сравнение расчётов ламинарного обтекания пластины методами РМГ и МКО в условиях эквивалентного количества степеней свободы 130
4.5 Оценка порядка точности РМГ в задаче о невязком обтекании сферы 134
4.6 Сравнение расчётов ламинарного течения в изогнутой трубке методами РМГ и МКО в условиях эквивалентного количества степеней свободы 135
4.7 РМГ в задаче о распространении сферической акустической волны 140
4.8 Сравнение схем МКО и РМГ в задаче об обтекании изолированного крыла 143
4.9 Сравнение схем МКО и РМГ в задаче об обтекании конфигурации «крыло + фюзеляж» 145
Заключение по главе 4 151
Заключение и основные результаты 152
Приложения 155
Литература 1
- Особенности дискретизации уравнений Навье-Стокса методом Галеркина с разрывными базисными функциями
- Принципы построения конечно элементной схемы с плавным изменением порядка точности — РМГ (К, X) схема )
- Многосеточный метод
- Сравнение расчётов ламинарного течения в изогнутой трубке методами РМГ и МКО в условиях эквивалентного количества степеней свободы
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Решение проблем повышения качества и сокращения сроков проектирования новых ЛА всё в большей мере связывается с совершенствованием численных методов расчёта их аэродинамических характеристик. Модель течения, основанная на полных уравнениях Навье-Стокса или Рейнольдса, позволяет обеспечить новый уровень проектирования. В последние полтора десятилетия было разработано большое количество подходов к решению этих уравнений. Наиболее удачные численные схемы, реализованные в известных коммерческих вычислительных программах (FLUENT, CFX, STAR-CD, NUMECA), получили широкое распространение и относительно успешно используются при решении многих прикладных задач. В подавляющем большинстве современные программы базируются на методах конечных разностей (МКР) или конечного объёма (МКО). Для решения задач аэродинамического проектирования пространственных конфигураций ЛА современные расчётные схемы, базирующиеся на МКР или МКО, требуют использования значительных компьютерных и человеческих ресурсов, что приводит к заметному удорожанию результатов вычислений или, в некоторых случаях, к невозможности проведения численного эксперимента. Точность повсеместно используемых численных схем, как правило, не превышает второй порядок. Известно, что использование численных схем высокого порядка точности (выше второго) заметно снижает потребные вычислительные ресурсы и значительно расширяет круг решаемых задач. Однако, практическая реализация таких высокоточных схем встречает ряд принципиальных трудностей, решению которых посвящена данная диссертация.
Другая проблема современных методов численного решения уравнений Навье-Стокса связана с необходимостью минимизации влияния человеческого фактора, возникающего в процессе «ручного» построения расчётных сеток. Решение этой проблемы сопряжено с задачей нахождения оптимального положения сеточных узлов или, другими словами, с необходимостью использования алгоритмов адаптации сеток и численных схем к особенностям течения. Идеи адаптации известны давно, однако, в реальных расчётах они используются редко по двум основным причинам. Во-первых, технология адаптации предполагает использование неструктурированных сеток, а, как известно, точность расчётов на таких сетках заметно хуже. Во-вторых, реальная анизотропная адаптация приводит к необходимости
4 расчётов на неравномерных сетках с сильно деформированными ячейками. Современные же схемы, базирующиеся на МКР или МКО, ориентированы исключительно на использование почти равномерных сеток с ячейками правильных форм.
Таким образом, актуальность работы определяется развитием авиационной техники и необходимостью разработки методов, направленных на повышение качества и сокращения сроков проектирования ЛА. Этой цели служит развитие численных схем высокого порядка точности, которые позволяют, с одной стороны, существенно уменьшить необходимые вычислительные ресурсы (память, время) по сравнению с существующими подходами и, с другой стороны, создают возможность построения алгоритмов, основанных на оптимальном автоматическом построении расчётных сеток с анизотропной адаптацией к особенностям течения.
Практическая значимость работы заключается в разработке эффективного сеточного метода решения уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса и в наборе практических рекомендаций по его применению. Созданные в процессе работы вычислительные программы используются при проведении расчётных исследований, как отдельных элементов ЛА, так и пространственной конфигурации в целом.
Цель диссертационной работы состоит в развитии нового метода численного решения уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса на основе схемы высокого порядка точности с использованием неструктурированных анизотропных адаптивных сеток. Особое внимание уделяется практической реализации метода и его сравнению с уже используемыми подходами МКР и МКО.
Научная новизна работы заключается в адаптации метода конечного элемента (МКЭ) к решению уравнений движения вязкого газа. Схемы, построенные на базе этого метода, позволяют обеспечить высокий порядок точности на компактном шаблоне с использованием неструктурированных сеток. В сравнении с МКО такие схемы более надёжны при работе с анизотропными адаптивными сетками.
На базе метода Галёркина с разрывными базисными функциями (РМГ) предложена новая гибридная схема, позволяющая плавно варьировать порядок точности численной аппроксимации, что совместно с предложенным новым сенсором разрывов даёт возможность устранять нефизичные осцилляции решений.
В качестве эффективного решателя системы сеточных уравнений, полученных при аппроксимации РМГ, впервые предложено использовать полиномиальный многосеточный подход с локально-неявным сглаживате лем.
Метод РМГ высокого порядка точности для решения пространственных задач аэродинамики впервые практически реализован на гексаэдральных неструктурированных сетках.
Выполнено непосредственное сравнение требуемых
компьютерных ресурсов при выполнении одних и тех же расчётов методами МКО и РМГ.
Автор защищает следующие результаты:
-
Метод численного решения пространственных уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса при до и околозвуковых скоростях течения. Предложенный метод основан на конечно-элементном подходе и может быть использован для геометрически сложных областей течения с использованием концепции неструктурированных адаптивных сеток. Метод использует меньшие компьютерные ресурсы по сравнению с традиционным подходом, основанным на методе конечного объёма второго порядка точности.
-
Универсальный способ устранения нефизичных осцилляции численного решения в областях течений с большими локальными неоднородностями. Способ основан на гибридном подходе, объединяющем немонотонную схему высокого порядка в основной области течения с монотонной схемой первого порядка точности в области локальной неоднородности.
-
Новый сенсор локальных неоднородностей течения, не зависящий от анизотропных свойств ячеек сетки и указывающий на области, где необходимо использование монотонной схемы.
-
Метод численного решения систем сеточных уравнений конечно-элементной аппроксимации течений, основанный на многоуровневом подходе с использованием различного набора полиномиальных базисных функций в реконструкции решения.
5. Результаты численных исследований течений вязкой жидкости и
газа в модельных задачах аэродинамики и акустики, а также результаты
расчётов обтекания компоновок ЛА.
Апробация работы. Разработанный метод прошёл тщательное тестирование путём сравнения результатов расчёта с имеющимися экспериментальными данными и/или аналитическими решениями.
Основные результаты диссертации содержатся в 12 статьях, опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах, представленных в перечне ВАК. Результаты докладывались на многочисленных международных и всероссийских научно-технических конференциях, в том числе: на Международном конгрессе по авиационным наукам ICAS (1996), 3-ей Европейской конференции по механике жидкости EUROMECH (1997), 6-ой международной конференции по генерации сеток для вычислительной аэродинамики
(1998), 16-м Конгрессе Международной ассоциации математического и компьютерного моделирования IMACS (2000), конференциях Американского Института Авиации и Аэронавтики AIAA (2007, 2009), международной конференции по высокоскоростным течениям WEHSFF (2007), 5-ом Европейском конгрессе по численным методам в прикладной науке ECCOMAS (2008), франко-российском семинаре ONERA-ЦАГИ (2009), международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (2004, 2006) и на 12-ти школах-семинарах ЦАГИ «Аэродинамика летательных аппаратов» (1998 - 2009).
В данную диссертацию включены результаты исследований, поддержанные РФФИ (Проекты №96-01-00209-л, № 96-01-00210-л, № 00-01-00070-а, № 03-01-00236-а, №06-01-00283-а, №09-01-00243-а).
Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 156 наименований, и приложений. Общий объем - 189 страниц.
Особенности дискретизации уравнений Навье-Стокса методом Галеркина с разрывными базисными функциями
Таким образом, одно из решений проблемы эффективности численных схем связано с использованием схем высокого порядка точности, позволяющих выполнять расчёты на анизотропных адаптивных сетках. Разработка высокоточных схем ускорит решение не только задач внешней и внутренней аэродинамики, но также позволит решать многие другие актуальные задачи. Среди них задачи акустики, моделирование турбулентности (LES/DES) и другие.
Схемы с высоким порядком дискретизации исследовались на компактном шаблоне в работах Толстых (1990), Lele (1992), Tarn & Webb (1993), Tolstykh & Lipavskii (1998), а на расширенном шаблоне со стандартным методом конечных разностей в работе Visbal & Gaitonde (2002). Для получения монотонного решения с высоким порядком аппроксимации были разработаны также методы ENO (Harten et al. 1987), WENO (Liu et al. 1994, Jiang & Shu 1996). Все эти методы имеют солидный теоретический фундамент, но, к сожалению, применяются в основном на структурированных и неструктурированных сетках с почти равномерным распределением размеров и форм соседних ячеек. Возможность применения таких методов на анизотропных неструктурированных сетках не столь очевидна. Кроме того, в случае расширения шаблона аппроксимации открытыми остаются вопросы распараллеливания алгоритма расчёта и его точности в случае использования многоблочных сеток.
В работе Ladeinde et al. (2006) впервые расчетная схема высокого порядка точности использована при решении задач внешней аэродинамики для тел сложных геометрических форм. Здесь рассматривалась возможность создания надежного, высокоточного алгоритма решения уравнений Рейнольдса на базе ENO/WENO схем с использованием блочно-структурированных сеток. В качестве примера рассмотрен расчет компоновки современного самолета.
В настоящее время имеется широкий выбор методов, альтернативных МКР или МКО. В работах Ekaterinaris (2000) и Wang (2007) дан обзор различных способов аппроксимации высокого порядка точности на неструктурированных сетках.
Одним из наиболее перспективных подходов к высокоточной аппроксимации как на структурированных, так и неструктурированных сетках является метод Галеркина с разрывными базисными функциями (РМГ). В англоязычной литературе метод имеет название Discontinuous Galerkin Method (DGM). В последние годы этот метод вызывает повышенный интерес многих исследователей вследствие его общности, гибкости и надежной теоретической обоснованности. Впервые метод был предложен Reed & Hill (1973) для решения уравнения описывающего перенос нейтронов, а первый анализ был дан в работе Saint & Raviart (1974). Численное решение 2-D уравнений Эйлера и Навье-Стокса на треугольных неструктурированных сетках этим методом впервые представлено в работах Bassi & Rebay (1997). Наиболее полное теоретическое описание метода с решением 1-D и 2—D модельных задач приведено в работах Cockburn & Shu (1998, 2001). Подробное исследование РМГ можно также найти в работах Lyapunov & Wolkov (2000), Волкова и Ляпунова (2006, 2007, 2009) и в диссертации Ляпунова (2008).
Первые 3-D реализации метода относятся к решению задач аэроакустики, где решались линеаризованные уравнения Эйлера (Atkins & Lockard 1999, Remaki et al. 2002, Reymen et al. 2005, Peyret 2007). Практическая реализация РМГ для решения нелинейных уравнений Эйлера и Навье-Стокса встречается с принципиальными трудностями, по причине которых этот метод ещё не получил широкого распространения. В настоящее время можно выделить несколько основных проблем, которые необходимо решить для успешного применения РМГ.
1) Большое количество арифметических операций на одну степень свободы. В отличие от МКО в РМГ необходимо точное интегрирование не только потоков через грани контрольного объёма, но и вычисление объёмных интегралов внутри ячеек. Традиционный подход к интегрированию базируется на использовании квадратурных точек Гаусса. Суммирование значений подынтегральных функций в этих точках с определёнными весами обеспечивает получение точного значения в случае полиномиального представления подынтегральной функции. Чем выше порядок полинома, тем большее число гауссовых точек необходимо использовать. Присутствие объёмных и поверхностных интегралов в рассматриваемом методе приводит к необходимости использования чрезмерно большого количества этих точек и на гранях контрольного объёма и внутри него.
2) Немонотонность схемы высокого порядка в областях разрывов решений. Решение задач обтекания может характеризоваться наличием в поле течения областей с большими локальными возмущениями, в частности, скачков уплотнения. Численное решение таких задач с использованием схем повышенного порядка точности приводит к нефизичным осцилляциям решения. В МКО для устранения нефизичных осцилляции используют ограничители градиентов решения, определяемые по значениям в ячейке и её соседях. Такой способ неприменим в РМГ для решения стационарных задач неявным методом.
3) Постановка граничных условий высокого порядка точности. Решение дифференциальных уравнений с высоким порядком точности требует адекватного представления обтекаемой границы. Порядок полинома реконструирующего решение в ячейке должен согласовываться с порядком кривой её ограничивающей.
В традиционном МКО для получения второго порядка точности используют кусочно-линейное описание границы. Для решения уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса требуется использование сеток с ячейками, вытянутыми вдоль обтекаемого контура. При этом реальная граница может пересекать ряд приграничных ячеек. Как следствие, более точное описание границы течения входит в противоречие с прижатыми сеточными ячейками. Таким образом, для повышения порядка точности численной схемы необходимо решение этой проблемы.
4) Проблема решения больших нелинейных систем сеточных уравнений. Достижение приемлемой точности расчёта осуществляется за счёт использования большого числа искомых неизвестных, которое достигается либо измельчением сеток, как это принято в МКО второго порядка точности, либо расчётом на более редких сетках, но с использованием большого числа неизвестных в каждой ячейке, как это делается в РМГ. Оба подхода сталкиваются с проблемой поиска решения уравнений дискретизации. Общепринято, что наиболее эффективным подходом к решению пространственных задач является многосеточный метод, в основе которого лежат расчёты на редких сетках. В случае РМГ, где решение ищется на редких сетках, такой подход оказывается неэффективным.
Принципы построения конечно элементной схемы с плавным изменением порядка точности — РМГ (К, X) схема )
В настоящее время при решении задач вычислительной аэродинамики широкое распространение, получил метод конечного объёма второго порядка точности. Кусочно-линейное представление обтекаемой границы не нарушает эту точность. Достижение порядка точности выше второго при решении уравнений Эйлера и Навье-Стокса требует более детального описания границ обтекаемых тел. Порядок полинома базисной функции должен согласовываться с порядком кривой описывающей обтекаемую границу. В работе Ляпунова (2008) описан пример расчёта обтекания цилиндра методом РМГ К=2 (кусочно-квадратичная реконструкция решения). В случае полигонального представления границы в решении об обтекании невязкой жидкостью наблюдается пилообразное распределение давления с частотой, соответствующей расположению точек перелома полигональной границы. Таким образом, полученное решение описывает обтекание именно полигонального «угловатого» тела с характерными ускорениями решения в местах перелома. При квадратичном представлении границы цилиндра пики давления исчезают, и полученное численное решение становится гладким и стремится к аналитическому решению.
Традиционный метод учёта кривизны обтекаемой поверхности базируется на изопараметрической трансформации граничных элементов в элементы простых форм (треугольник, квадрат, куб). Количество дополнительных узлов, лежащих на поверхности, определяет порядок изопараметрического преобразования.
В случае «плоской» реализации РМГ, преобразования второго или третьего порядков строились на базе одной или, соответственно, двух дополнительных точек (см. приложение 4). При «пространственной» реализации метода четырёхугольная сторона гексаэдрального граничного элемента дополнялась центральным узлом, что позволило построить трикубичное преобразование гексаэдра в куб (см. приложения 5, 6). Термин «трикубичное» означает, что вдоль основных координатных осей преобразование описывается полиномом третьей степени. Отметим, что учёт кривизны границы обтекаемого тела потребовал от сеточного генератора представления дополнительной информации о поверхности тела в виде возможности вычисления проекции центральной точки четырёхугольного граничного элемента на реальную обтекаемую поверхность.
Хорошо известно, что численное решение уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса требует использования сеток с очень мелкими элементами в области пограничного слоя. С целью сокращения числа элементов сетки ячейки в пограничном слое вытягивают вдоль обтекаемой границы. При этом реальная граница тела может пересекать ряд приграничных ячеек (см. рис. 1.6).
В настоящей работе эта проблема пересечения решалась за счёт трансформации всех приграничных ячеек. С этой целью приграничные ячейки объединялись в так называемую макроячейку, одна из границ которой составляет границу обтекаемого тела, в то время как противоположная граница гарантированно не пересекает реальную границу тела. Трансформации, описанные в приложениях 4-6, применялись ко всей макроячейке, а форма приграничных ячеек рассчитывалась в соответствии с общей трансформацией.
Подход, основанный на реальной трансформации приграничных ячеек, относится к традиционным методам учёта кривизны обтекаемой границы. Другой, более экономичный метод учёта кривизны тела, предложен в работе Krivodonova & Berger (2006). Метод требует лишь некоторого изменения граничных условий в квадратурных точках поверхностных элементов. Как известно, при решении уравнений Эйлера граничное условие формулируется в виде равенства нулю нормальной компоненты скорости к поверхности. При этом для достижения второго порядка точности достаточно использовать направления нормалей к кусочно-линейному описанию поверхности. В методе Krivodonova & Berger (2006) для достижения более высокого порядка точности (при условии высокого порядка самой схемы аппроксимации) используются нормали, скорректированные в заданных точках на направление нормалей к реальной границе. Этот оригинальный подход был также реализован в разработанном пространственном методе РМГ, а его эффективность апробирована при решении ряда задач. Решения, полученные в рамках этого подхода, полностью совпадают с решениями, получаемыми на основе использования трансформации приграничных ячеек.
Учёт кривизны только на основе нормалей к реальной обтекаемой границе практически не требует дополнительных вычислительных ресурсов, однако данный метод применим только для решения уравнений Эйлера.
Дан анализ современных методов решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса и сделан вывод о том, что метод конечного элемента обеспечивает наиболее удобный и надёжный механизм повышения порядка точности схемы при использовании ограниченного шаблона аппроксимации. Важная особенность состоит в преимуществе МКЭ по сравнению с МКО при работе с сильно анизотропными адаптивными сетками.
В рамках МКЭ рассмотрены стабилизированный метод Галёркина и разрывный метод Галёркина. В отличие от СМГ в РМГ отсутствуют искусственные слагаемые, а возможности реализации метода на ячейках произвольных форм и возможность применения разных базисных функций в различных контрольных объёмах (адаптация базисных функций к решению) обусловили выбор РМГ в качестве основного метода аппроксимации.
Приведено подробное описание разрывного метода Галёркина. Проанализированы особенности использования в РМГ различных методов приближенного решения задачи Римана. Отмечено, что в задачах дозвуковой и трансзвуковой аэродинамики оптимально использовать схему Роу с предложенными модификациями для устранения сингулярности в звуковых точках течения.
Многосеточный метод
В работе Cockbum & Shu (1998), лимитирование решения осуществлялось при использовании явной схемы интегрирования по времени Рунге - Кутта. Алгоритм выбора лимитеров, как и в методе конечного объема, основан на сравнении решения в рассматриваемой ячейке и в соседних с ней. Применение лимитеров приводит к ослаблению вклада высоких гармоник в решение вплоть до их обнуления в ячейках с локальными экстремумами решения. Однако такой алгоритм приводит к нежелательному снижению порядка точности схемы в некоторых областях с гладким решением. В связи с этим в настоящей работе были рассмотрены сенсоры сингулярностей, указывающие на зоны возможных немонотонностей решения, где и необходимо осуществлять лимитирование.
Ниже рассмотрены некоторые алгоритмы сенсора сингулярностей решения. Первый подход базируется на оценке величины разрыва решения на границах между элементами Krivodonova et al. (2004). Здесь демонстрируется, что в случае гладкого решения величина разрыва решения между элементами в РМГ пропорциональна О\h J, где К - максимальная степень базисного полинома. В случае же реального скачка в решении разрыв не уменьшается, как при измельчении сетки, так и при повышении порядка точности схемы. Таким образом, сенсор S] опирается на вычисление безразмерной величины разрыва решения на границах элемента: ((P-Unhr\)d о _дО. 1 \\dQ\\hK+l Здесь U— решение в элементе, U„br - решение в соседнем элементе. В работе Persson & Peraire (2006) был предложен сенсор, базирующийся на свойствах коэффициентов разложения решения в ряд по системе ортогональных функций. Известно, что в случае гладкого решения величины коэффициентов такого разложения уменьшаются быстрее, чем I///2, где п -номер коэффициента. Если решение содержит скачок, коэффициенты разложения по ортогональным функциям уменьшаются как 1/и. Таким образом, сенсор базируется на двух разложениях некоторой величины (например, энтальпии течения): Kf{K) л К,(КА) HH=YJ а.Ф/ Hh = X а«Ф/ i=i i =i Лв_ - . а1 Здесь скобки ( , ) означают скалярное произведение. Принимая во внимание ортогональность функций, используемых при разложении, этот сенсор сводится к выражению: Kf(K) Staf= а:. i=Kf(K-\) Практическое использование такого подхода оказалось затруднительным из-за численных «шумов» решения в итерационном процессе, что приводило к слабой разрешимости зон с резкими перепадами контролируемой величины.
Другой альтернативный сенсор областей сингулярности решения S2, предлагаемый в диссертационной работе, основывается на разложении некой нелинейной комбинации примитивных переменных в ячейке по базисным функциям. Коэффициенты разложения одного и того же решения получаются двумя разными способами, и оценивается норма их разности. В случае разрыва решения коэффициенты разложений двух подходов заметно отличаются. При реализации данного алгоритма в качестве нелинейной комбинации примитивных переменных использовалась величина полной энтальпии течения: Н = yE-(j-\) . Коэффициенты а, первого разложения //(х) = агфг-(х) находятся в соответствии со стандартной процедурой МКЭ: а,- = Мг 7- \Н (p;dQ.
Используя значения энтальпии HJ в К/ фиксированных точках элемента (его вершины, середины рёбер, центральная точка) можно получить другое разложение Н(х) = Ьгфг(х) путём решения следующей системы линейных уравнений: bjc j=BJ, j—\,...,Kf. Разница между этими коэффициентами разложения и составляет основу предложенного сенсора: К; , . N2 =Е1 2 В зонах, где величина сенсора сингулярностей превышает некоторое пороговое значение, применяется процедура лимитирования решения. В итоге величина X определяется из следующего выражения:
Здесь s2 =gi0S2, So и к - некоторые настраиваемые параметры, которые, как показала практика, достаточно консервативны по отношению к выбору решаемой задачи и типу расчетной сетки.
Анализ поведения вышеописанных сенсоров был выполнен применительно к решению модельных задач конвекции с гладким и разрывным решениями. Задача с гладким решением была сформулирована выше (2.4.1 -2.4.2). Задача с разрывом решения также описывалась уравнением (2.4.1), в котором граничные условия на границе втекания накладывались в соответствии со следующим точным решением: Ґ-1, при -0.6-0.125 sin(jt + 0.l) 0 WTO4H [+1, npHj-0.6-0.125sin(x + 0.l) 0 Решения были получены на последовательности равномерных сеток и некоторой последовательности сеток с неравномерным распределением размеров и форм ячеек. Набор таких сеток был получен в результате адаптации сеток к решению с разрывом. Пример одной из таких сеток с представлением поля решения приведен на рис. 2.6.
После решения вышеописанных задач конвекции в каждой ячейке расчетной сетки выполнялся расчет величины сенсора. Отметим, что для расчета сенсора S2 вычислялись полная энтальпия в уравнениях Эйлера или Навье - Стокса. В численных экспериментах с уравнением конвекции энтальпия была заменена на некоторую сохраняемую в данном решении искусственную величину, а именно, в задаче с гладким решением Н = и + (1 - мточн ), а в задаче с разрывом решения Н = uJ Результаты расчетов представлены на рис. 2.7 (для сенсора Si) и рис. 2.8 (для сенсора 5г), где изображены зависимости максимальной величины сенсора сингулярности решения в зависимости от количества элементов в сетке или, другими словами, учитывая единичные размеры квадрата, в зависимости от усредненного размера ячейки. Максимальное значение сенсора 10е Si; гладкое решение; равноменрная сетка К=1 S-]; гладкое решение; равноменрная сетка К=2 Si; гладкое решение; адаптивная сетка К=1 S-; гладкое решение; адаптивная сетка К=2 Si; решение со скачком; равноменрная сетка К=1 Si; решение со скачком; равноменрная сетка К=2
Сравнение расчётов ламинарного течения в изогнутой трубке методами РМГ и МКО в условиях эквивалентного количества степеней свободы
Изложенный выше алгоритм многосеточного метода использует множество параметров, настраиваемых при решении конкретных задач. В первую очередь необходимо определить оптимальное количество уровней многосеточного метода. Количество уровней р-измельчения равно К -максимальной степени полиномов базисных функций. Количество уровней вложенных сеток h-измельчения зависит от геометрической сложности и общего количества ячеек самой мелкой сетки. Предполагается, что расчёт начинается на самом мелком (верхнем) сеточном уровне, затем решение переводится на уровень ниже, и после нескольких итераций сглаживания (путем итерационного решения уравнения (3.3.3)) решение опять переводится на уровень ниже, такая процедура выполняется вплоть до достижения самого грубого уровня. На следующем этапе осуществляется коррекция на верхних многосеточных уровнях с использованием формулы (3.3.7). Весь этот полный цикл является одной многосеточной итерацией (V—цикл). Данный алгоритм допускает варьирование как типа сглаживателя (явный или неявный метод), так и количества итераций применения сглаживателя и коэффициента демпфирования в выражении (3.3.8). В проведенных численных экспериментах на верхнем уровне использовалась одна итерация сглаживания, и по мере спуска к нижнему уровню число итераций увеличивалось на единицу.
В случае расчёта некоторых сложных течений полный V-цикл многосеточного метода начинается после получения хорошего начального приближения. Процесс нахождения решения стартует на самой грубой сетке. Интерполяция решения с грубого на мелкий уровень является начальным приближением на следующей сетке более высокого уровня. Таким образом, задеиствуется алгоритм многосеточного метода, содержащий на первом этапе только два уровня. Далее процедура повторяется с привлечением следующего, третьего уровня. Постепенно в расчет вовлекаются всё более высокие уровни.
Сглаживатель на основе явного метода является наиболее экономичным алгоритмом. Скорость сходимости итерационного процесса при неизменной памяти может быть увеличена за счёт применения неявного метода на грубых многосеточных уровнях. Использование неявного сглаживателя на самом мелком уровне даёт весьма заметное ускорение сходимости, однако приводит к значительному перерасходу оперативной памяти. С целью экономии памяти в настоящей работе было предложено на верхнем многосеточном уровне использовать упрощенный неявный метод. Его суть состоит в том, что в процессе поиска решения уравнения 3.2.2 в матрице Якоби А учитываются только диагональные блоки, отражающие взаимное влияние переменных внутри только одного элемента. При этом не учитывается влияние соседних элементов. Для конечно-элементного метода высокого порядка точности такой подход наиболее эффективен, так как решение формируется во многом за счет большого количества переменных внутри ячеек. Поэтому в настоящей работе этому подходу было дано название «локально-неявный» метод, которое, по всей видимости, точнее передает суть этого численного алгоритма.
Примеры расчётов, приведенные в последующих разделах, выполнены РМГ с использованием локально-неявного сглаживателя в полиномиальном многосеточном подходе. Решение этих задач без многосеточного метода было бы невозможно из-за требования чрезмерно больших компьютерных ресурсов. В случае использования явных схем требуется большое количество итераций, что приводит к нереально большим временам расчёта, а в случае неявных методов требуется привлечение огромных объёмов оперативной памяти. Показано, что решения, полученные на грубых сетках, совпадают с решениями по МКО полученными на традиционно мелких сетках.
Оценка эффективности разработанного полиномиального многосеточного метода была выполнена в процессе расчета обтекания сферы дозвуковым потоком газа при числе М=0.15. Фрагмент сетки, сгенерированной около четверти сферы, представлен нарис. 3.4.
Фрагмент гексаэдральной сетки около сферы Алгоритм агломерации позволил построить систему из трёх вложенных сеток, решения на которых получалось с использованием наименьшего, кусочно-постоянного базиса. Далее уровни многосеточного алгоритма измельчались путём обогащения базиса, как это было описано ранее. Таким образом, расчёты РМГ с Л=3 (кусочно-кубический базис) выполнялись с использованием шестиуровневого алгоритма.
Типичная история сходимости (зависимость L2 нормы невязки решения от времени CPU) представлена на рис. 3.5 для случая кусочно-квадратичной аппроксимации решения. Рисунок демонстрирует эффект ускорения решения при использовании многосеточного алгоритма. Здесь пунктирная линия является результатом использования сглаживателя на основе метода Рунге— Кутта, а сплошная линия с маркерами - результат использования более эффективного локально- неявного сглаживателя. Отметим, что без применения многосеточного алгоритма при кусочно-кубичном базисе получение решения в разумное время становится невозможным.
