Введение к работе
Актзгалъность. Работа посвящена разработке методов построения двумерных неструктурированных динамически адаптирующихся расчетных сеток и применения их для численного решения задач газовой динамики.
Проблема правильного выбора расчетной сетки играет важную роль при численном моделировании задач из самых различных областей знания, ввиду того, что расчетная сетка является одним из ключевых элементов алгоритма, а количество ее узлов, достаточное для получения решения с заданными характеристиками, определяет вычислительную сложность алгоритма. Особенно важна эта проблема при решении задач, решения которых отличаются особенностями, такими, как контактные и свободные поверхности, ударные волны и т.д.
В настоящее время развитием методов конструирования и адаптации расчетных сеток для решения задач математической физики занимается большое количество исследоватей как у нас в стране, так и за рубежом. Область вычислительной математики, связапная с генерацией сеток, развивается высокими темпами и происходит ее выделение в самостоятельный раздел науки со своими определениями, понятиями, методологией и классификацией.
Принцип оптимального по отношению к особенностям решения распределения узлов положен в основу методов построения так называемых адаптивных сеток.
Адаптивность к решению является важным свойством сетки. Основным п наиболее требуемым в приложениях к задачам с особенностями и к нестационарным задачам является следующее свойство адаптивной сетки: автоматическое сгущение ее узлов в переходных зонах с большими производными.
Концентрирование узлов адаптирующейся сетки в окрестности особенностей позволяет использовать однородные вычислительные алгоритмы, когда расчет в каждом узле проводится по единой схеме.
Большое распространение при решении нестационарных задач получили методы, связанные с построением различных подвижных адаптивных сеток. Отличительной чертой подобных сеток является движение узлов сетки с учетом движения среды и/или ее границы — динамическая адаптивность (см. работу Дарьин Н.Н., Мажукин В.И., Самарский А.А. Конечно-разностный метод решения одномерных уравнений газовой динамики на адаптивных сетках // ДАН СССР, 1988, т. 32, N 5, с. 1078-1081). Таким образом, распределение точек в расчетной области динамически переустанавливается с тем, чтобы точки концентрировались в регионах большой вариации решения в процессе его развития, с учетом (или без учета) предыдущих знаний о расположении подобных регионов.
Такие сетки позволяют при фиксированном общем числе узлов расчетной сетки за счет более рационального их расположения получать более точные численные решения.
При этом на каждом этапе видоизменения адаптивная сетка должна сохранять такие важные качественные характеристики, которыми являются гладкость сетки (плавная зависимость формы и размеров ячеек от расстояния между ними) и ее равномерность (выравнивание формы и размеров ячеек при неограниченном увеличении их общего числа).
Использование адаптивных сеток для решения задач математической физики позволяет добиться существенного повышения точности в тех случаях, когда решение сильно зависит от формы области и имеет нерегулярный характер. Например, при решении следующих (по имеющимся особенностям решения) классов задач:
задач с наличием больших градиентов внутри области решения;
задач с наличием больших градиентов вблизи границы области: задач типа пограничного слоя, горения;
задач с наличием подвижных границ. К ним относятся задачи со свободной поверхностью, плавления, испарения и т.п.;
задач с наличием линии и поверхностей разрывов, контактных границ внутри области: задач газовой динамики с наличием ударных волн, сдвиговых течений, движением областей вещества с сильно различающимися свойствами; :
задач с наличием зон фазовых превращений и химических реакций, переходных слоев в полупроводниках и т.п.
В таких задачах размер зон высоких градиентов решения существенно меньше размера области и поэтому адаптивная сетка с узлами, сгущающимися в окрестности этих зон, позволяет отслеживать расположение и движение разрывов и эффективно локализовывать область расчетов, что может значительно сэкономить ресурсы-ЭВМ при проведении вычислительного эксперимента.
На процесс расчета и адаптации многомерных сеток, предназначенных для решения практически важных стационарных и, особенно, нестационарных задач математической физики в областях произвольной формы с фиксированными или движущимися границами, большое влияние оказывает структура сетки.
Следует отметить, что для описания сложных и многосвязных областей, а также при высокой степени сгущения узлов использование принятой первоначально в большинстве методов построения адаптивных разностных сеток регулярной топологии связано с несколькими трудностями: сетки регулярной структуры зачастую недостаточно точно передают геометрию реальных задач, а их адапта-
ция нередко приводит к сильной деформации ячеек, что сказывается на точности расчета.
В связи с этим в последниюю декаду лет возрос интерес к развитию методик, базирующихся на нерегулярных (неструктурированных) расчетных сетках, в которых порядок расположения ячеек не устанавливается заранее. В этом случае ячейки могут свободно перемещаться в процессе адаптации (в отличие от регулярных сеток, где заданный порядок ограничивает их движение). Отметим, что на данный момент в мировой литературе наиболее широко представлены результаты исследований по построешпо треугольных нерегулярных адаптивных сеток.
Удобными для решения вычислительных задач метрическими свойствами обладают нерегулярные сетки, состоящие из ячеек Дирихле. Ячейки Дирихле имеют важное свойство — при смене соседства форма ячеек меняется непрерывным образом, что позволяет эффективно использовать их при аппроксимации уравнений математической физики методом контрольных объемов. Кроме того, при выборе прямоугольной системы узлов ячейки Дирихле приобретают прямоугольную форму, и вводимые на них операторы приобретают хорошо изученный вид, удовлетворяющий таким свойствам, как, например, принцип максимума и т.д.
Исходя из вышесказанного, можно утверждать, что тема диссертации, связанная с построением подвижных адаптивных сеток Дирихле, является актуальной и представляет в настоящее время научный интерес.
Целью диссертации является: разработка методов построения неструктурированных эйлеровых динамически адаптирующихся расчетных сеток из ячеек Дирихле, построение класса однородных квазимонотонных разностных схем для решения двумерных задач ди-
намикп сжимаемого невязкого нетеплопроводного газа на нерегулярных сетках Дирихле с повышенным порядком точности и применение их для численного моделирования течений, обладающих особенностями.
Научная новизна.
разработана и апробирована новая оригинальная методика динамической адаптации неструктурированной расчетной сетки из ячеек Дирихле;
предложен класс однородных квазимонотонных разностных схем для решения задач двумерной газовой динамики на нерегулярных адаптивных расчетных сетках Дирихле с повышенным порядком точности;
— проведено математическое моделирование развития неустойчи
вости Рихтмайера-Меншова с использованием разработанной мето
дики. Получено совпадение с экспериментальными результатами.
Практическая ценность.
Разработанная методика может быть применена для решения с повышенным порядком точности широкого класса практически важных задач газовой динамики, в том числе, нестационарных задач, решения которых включают особенности: распространяющиеся ударные волны, контактные границы сложной конфигурации, зоны перемешивания и т.д.
Аппробация работы. Основные результаты работы, проделанной в ходе подготовки диссертации, докладывались на
семинаре 4, 5, 10 отделов ИММ, кафедры математического моделирования МФТИ, под руководством Е.И. Леванова;
заседании кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова;
III международном форуме "Тепломассообмен-ММФ-96", 20-24
мая 1996 г., г.Минск;
VI Всероссийском совещании "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики", 9-15 сентября 1996 г., пос.Дюрсо;
XXXIX юбилейной научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики", 29-30 ноября 1996 г., г.Долгопрудный.
Публикации. Приводимые в представленной диссертации результаты отражены в 5 печатных работах.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст изложен на 142 страницах, диссертация содержит 37 рисунков, 2 таблицы. Список литературы включает 276 наименований.
