Введение к работе
Актуальность. В последнее время интенсивно развивается новое направление в науке — вычислительная гидродинамика. Многие современные проблемы, стоящие перед наукой и техникой в той или иной мере связаны с решением уравнений газовой динамики. Полное решение большинство актуальных задач аэродинамики и, прежде всего, получение количественных характеристик предполагает использование новейших численных методов и их реализацию на быстродействующих вычислительных машинах.
Одним из численных алгоритмов, используемых для моделирования течений вязкого теплопроводного газа, являются кинетически-согласованные разностные схемы (КСРС). В отличии от традиционных подходов, в которых вычислительные алгоритмы для расчета газодинамических течений строятся на основе полной или определенным образом упрощенной системы уравнений Эйлера и Навье-Стокса, кинетически-согласованные разностные схемы учитывают тот факт, что сами уравнения гидродинамики могут быть получены как следствие более сложного уравнения переноса для одночастичной функции распределения.
В последнее время на основе КСРС были получены результаты моделирования различных течений вязкого сжимаемого газа, течений умеренно разреженного газа, задач аэроупругости и аэроакустики. Кинетически-согласованные разностные схемы показали свою эффективность при решении задач газовой динамики. Однако, эти схемы ранее использовались для расчетов на прямоугольных декартовых сетках. Это исключало возможность исследования с помощью КСРС ряда гидродинамических задач в областях, форма границы которых отличалась от прямолинейной. В связи с этим возникает необходимость обобщения процедуры построения КСРС на случай криволинейных сеток и сеток нерегулярной структуры.
При построении КСРС на прямоугольных сетках свободно-молекулярный перенос осуществляется не по направлению вектора скорости молекул, а по х- и у-составляющим данного вектора. Такое рассмотрение не вполне корректно, так как сужает область влияния функции распределения, заданной в конкретной точке. При обобщении кинетической модели для функции рас-
пределения, кусочно-постоянной по пространству в двумерном случае, более правильно было бы проводить разбиение области не на прямоугольные ячейки, а на ячейки, грани которых ортогональны локальному вектору скорости. Но из этого следует, что сетка должна быть адаптивной к решению, то есть перестраиваться в зависимости от направления вектора скорости. Очевидно, что такого типа адаптация разностной сетки к решению осложняет расчет. Альтернативным подходом является применение сеток нерегулярной структуры, позволяющих более точно учесть направление скорости и более полно описать влияние функции распределения в конкретной ячейке на соседние области.
В тоже время, неструктурированные сетки позволяют при той же ошибке аппроксимации решения дифференциальной задачи использовать меньше узлов по сравнению со структурированными сетками и точнее рассчитывать реальные газодинамические течения.
Целью диссертации является обобщение кинетического подхода построения разностных схем для расчетов газодинамических течений на криволинейных сетках и сетках нерегулярной структуры. Моделирование течений вязкого теплопроводного газа около тел с криволинейной границей.
Научная новизна
рассматривается один из возможных подходов к построению КСРС в обобщенной системе координат, а именно запись квазигазодинамической системы уравнений в строго консервативной форме и дальнейшая центрально-разностная аппроксимация обобщенных потоков;
проведено построение КСРС в обобщенной криволинейной системе координат, основанное на методе расщепления вектора потока для уравнения Больцмана, записанного в строго консервативной форме. Такой подход к построению КСРС в обобщенной системе координат позволяет обойти сложности, которые возникают при осреднении схемы с направленными разностями для уравнения Больцмана, записанного в произвольной системе коор-
динат и позволяет получать КСРС непосредственно из разностной аппроксимации уравнения Больцмана;
на основе аппроксимации уравнения переноса для функции распределения на нерегулярной сетке получена система разностных уравнений для определения макроскопических газодинамических величин, которую можно рассматривать как обобщение уравнений Эйлера для численных расчетов на нерегулярной треугольной сетке. Нерегулярность сетки позволяет учитывать большее число направлений молекулярных скоростей при моделировании газодинамических течений;
получена система разностных макроскопических газодинамических уравнений для описания течений вязкого теплопроводного газа на нерегулярной расчетной сетке. В отличии от КСРС для невязких течений в данной системе присутствует разностная аппроксимация диссипативных потоков. Для аппроксимации производных, стоящих в выражениях вязких потоков, рассматривается дополнительная расчетная ячейка, являющаяся четырехугольником, состоящим из двух треугольников с общей стороной;
построены КСРС с коррекцией для расчетов на нерегулярной сетке, где потоки вычисляются по формулам, не вносящим дополнительной искусственной сдвиговой вязкости в численное решение, что позволяет более точно моделировать течения вязкого теплопроводного газа;
рассмотрены задачи стационарного вязкого сверхзвукового обтекания двумерных тел, в том числе и в областях со сложной геометрией, для которых, собственно, и разрабатываются схемы на неструктурированных сетках.
Практическая ценность
— построены монотонные консервативные однородные разност
ные схемы для расчетов на криволинейных сетках и сетках нере
гулярной структуры, которые могут быть использованы при чис
ленном решении широкого класса газодинамических задач;
— приведен полный вид разностной системы уравнений для
определения макроскопических газодинамических параметров,
записанной в потоковом виде. Такой вид записи разностной схемы упрощает ее программную реализацию на вычислительной технике, в том числе и на параллельных вычислительных комплексах. Тем самым, появляется реальная возможность моделирования течений вязкого теплопроводного газа на неструктурированных сетках с использованием высокопроизводительных параллельных вычислительных систем;
— на примере расчета сверхзвукового вязкого обтекания много
компонентного крылового профиля показана возможность ис
пользования полученных в диссертации разностных схем для мо
делирования течений около тел сложной формы.
Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:
на международной конференции "Parallel CFD-96", (Италия, Капри, май 1996 г.);
на конференции "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике ММТ'96", (г. Ижевск, февраль 1996 г.);
на VII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования", (пос. Абрау-Дюрсо, сентябрь 1997 г.).
Публикации. Список публикаций по теме диссертации включает 7 печатных работ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Текст изложен на 125 страницах, диссертация содержит 40 рисунков. Список литературы включает 88 наименований.
