Введение к работе
Актуальность работы.
В настоящее время идеи и методы вычислительного эксперимента являются общепризнанными. С точки зрения теории численных методов ключевым элементом этого подхода к организации научных исследований является звено "математическая модель" - "вычислительный алгоритм". Проблема состоит в том, как сопоставить выбранной ( на данном этапе исследований ) математической модели явления или процесса эффективный и гибкий вычислительный алгоритм. Под этим имеется в виду следующее. Современные вычислительные мощности не позволяют, как правило, проводить расчеты на подробных разностных сетках в случаях, когда эти расчеты носят многовариантный характер. Если, кроме того, проводимые расчеты генерируют изменения и уточнения самой математической модели, то отдельные блоки вычислительного алгоритма должны быть легко заменяемы и стыкуемы друг с другом.
При этом, с одной стороны, создание эффективных
вычислительных алгоритмов возможно лишь на основе достаточно
глубоко проработанной теории, а с другой стороны, отсутствие
таковой привело к формулировке полуэмпирических принципов и
подходов, позволяющих получить качественное решение на достаточно
грубых реальных сетках. Утрируя, .можно сказать, что произошло
расщепление теории численных методов для уравнений математической
физики на два направления. Одно из направлений делает упор на
обоснование вычислительных алгоритмов ( аппроксимация,
устойчивость, сходимость ) не интересуясь происхождением исходных дифференциальных уравнений и рассматривая проблему абстрактно-математически. Другое направление основное внимание уделяет физическому смыслу аппроксимируемых уравнений и на этой основе формулирует принципы построения разностных схем, выходящие за рамки собственно теории численных методов, такие, как консервативность и полная консервативность.
Дальнейшая эволюция физического направления к построению разностиых схем привела к идее замены сплошной среды, обладающей континуальным числом степеней свободы, ее дискретной моделью, обладающей конечным или счетным числом степеней свободы, и применению к последней тех или иных общефизических принципов. В
рамках такого подхода указанные выше принципы консервативности и полной консервативности получили естественное развитие и привели к формулировке вариационного метода, метода опорных операторов. Сами по себе эти методы не решают проблему построения разностных схем для уравнений математической физики, так как содержат феноменологические коэффициенты, не определяемые свойствами исходной дифференциальной модели.
Указанные направления исследований, взаимно дополняя и
обогащая друг друга, позволили разработать высокоэффективные
численные методы для широкого круга естественнонаучных и
технологических задач. Одной из областей наиболее широкого
применения методов вычислительного эксперимента является механика
и электродинамика сплошных сред, в частности, газовая динамика и
теория потенциала. Для задач такого рода развиты многочисленные
методы, позволяющие провести высокоточное члсленное
интегрирование соответствующих уравнений, если сама модель не содержит каких-либо специфических особенностей. Одной из таких особенностей может быть геометрический фактор, связанный с необходимостью проведения расчетов в областях, форма которых заранее не известна, а определяется в результате расчетов. Следствием этого обстоятельства является использование разностных схем на нерегулярных разностных сетках, топологическая и геометрическая структуры которых, вообще говоря, не фиксированы.
Уточним смысл, который вкладывается в понятие "нерегулярная
сетка" в настоящей работе применительно к двумерной геометрии.
Под регулярной будет пониматься разностная сетка, образованная
двумя семействами параллельных прямых или, другими словами,
полученная из прямоугольной линейным преобразованием координат.
Ячейками ( многоугольниками, образованными узлами такой сетки )
являются, очевидно, параллелограммы. Под квазирегулярной будет
пониматься сетка, ячейки которой "почти" параллелограммы. Такая
сетка получается из прямоугольной достаточно гладким
преобразованием координат. Сетки, не удовлетворяющие этим
признакам, назовем нерегулярными. Отметим, что ни
вариационно-разностный метод, ни метод опорных операторов никоим образом не апеллируют к предположениям о структуре разностной сетки и поэтому представляются адекватными подходами к построению разностных схем для указанного класса задач.
Исторически, использование нерегулярных сеток связано с разработкой вычислительных алгоритмов, содержащих блок интегрирования двумерных уравнений лагранжевой газовой динамики. Узлы расчетной сетки при этом могут образовывать достаточно произвольные и непредсказуемые заранее конфигурации. Если при этом на фоне рассматриваемого газодинамического течения протекают дополнительные физические процессы ( например, диффузия ), то возникает необходимость интегрирования на нерегулярной сетке соответствующих уравнений. Возможны и другие ситуации, в которых возникает необходимость использования нерегулярных сеток, например в областях сложной формы.
В связи с этим актуальной является проблема обоснования разностных схем для уравнений математической физики на нерегулярных сетках. В настоящей работе рассматривается более узкая проблема обоснования вариационно-разностных схем и разностных схем метода опорных операторов для уравнеий лагранжевой газовой динамики и эллиптических уравнений. Вопрос, подлежащий исследованию, состоит в следующем: возможно ли построение содержательной теории разностных схем, в которой не делается каких-либо предположений относительно структуры разностной сетки. Существует естественный класс задач, для которых такая теория, по-видимому, может быть развита. Это задачи, которые формулируются в терминах инвариантных операторов векторного анализа div , grad , rot и их комбинаций.
Цель работы.
Целью настоящей работы является разработка математического аппарата для исследования разностных схем на произвольных нерегулярных сетках, обоснование и модификация уже используемых в вычислительной практике разностных схем метода опорных операторов и вариационно-разностных схем лагранжевой газовой динамики. Целью является также численное моделирование в ряде задач механики и электродинамики сплошной среды: взаимодействия сильноточного релятивистского пучка с плазмой, термоядерного взрыва сверхновой, подземного тепло-массспреноса.
Научная новизна и практическая ценность.
Научнуя новизна и практическая ценность предлагаемой диссерации состоят в следующем:
разработан новый математический аппарат для построения и исследования разностных схем метода опорных операторов на произвольных нерегулярных (неструктурированных) сетках;
с помощью указанного аппарата дано теоретическое обоснование уже используемых вычислителями разностных схем метода опорных операторов, а также указано расширение этого семейства;
предложена методика исследования сходимости разностных схем метода опорных операторов в плоской и цилиндрической геометриях на обобщенных решениях из Соболевского класса Я (О).
построены и обоснованы разностные схемы метода опорных операторов для стационарных уравнений линейной теории упругости на нерегулярных сетках;
дано обоснование полностью консервативных разностных схем газовой динамики на лагранжевых и свободно-лагранжевых сетках в двумерной геометрии (в акустическом приближении);
построены и исследованы полностью консервативные разностные схемы с тензорными массами узлов;
разработанные вычислительные алгоритмы реализованы в виде комплексов программ;
проведено математическое моделирование в актуальных задачах физики плазмы, астрофизики, подземного тепло- массопереноса.
Апробация работы.
Материал диссертации докладывался на следующих семинарах, совещаниях, конференциях:
Школе-семинире по применению численных методов в технике (Красный Лиман, 1985);
Международном совещании по численным методам (Карл-Маркс-Штадт, 1987);
Международной конференции по численным методам (София, 1982);
Всесоюзной научной конференции "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики" (Москва, 1989);
Объединенном семипире по вычислительной физике (Сухуми, 1986);
Объединенном семинире по численным методам (Минск, 1989);
Международном симпозиуме по тепло- массообмену (Минск, 1990);
семинарах ИПМ им.М.В.Келдыша РАН н ИММ РАН.
Публикации по теме диссертации.
Диссертация подготовлена на основе 25 печатных работ автора, приведенных в списке литературы. Из них: монографий - 1, журнальных статей - 7, статей в сборниках или трудах конференций
- 1, препринтов - 16.
Структура и объем работы.
