Введение к работе
Актуальность проблемы. Важнейшей задачей вычислительной математики было и остается создание экономичных алгоритмов решения прикладных задач. Существуют различные подходы к решению Одних и тех же задач, и для уверенной ориентации в них необходим определенный навык, опыт практической работы в области вычислительной математики и программирования. Этот опыт всегда субъективен, и поэтому рекомендации по применению тех или иных алгоритмов должны восприниматься, как некоторые альтернативные подходы к существующим методам. Универсальных подходов не существует.
Как и в любом разделе науки, в вычислительной математике основной способ проверки работоспособности алгоритма - теоретический, т.е. формулировка и доказательство соответствующих теорем сходимости и оценка скорости сходимости. Однако, наряду с этим, начиная с самого момента возникновения этой облаоти математики, появился и получил широкое распространение другой способ обоснования работоспособности алгоритма -теоретико-экспериментальный. Формулируются алгоритм и теоремы, обосновывающие устойчивость и сходимость алгоритма, но в связи с тем, что объект исследования обладает сложной структурой, теоремы эти, по крайней мере,, в полном объеме, теоретически доказать не удается. В'то 'же время экспериментальная проверка их работоспособности дает положительные результаты, показывает высокое быстродействие алгоритмов для широкого круга задач, позволяет получить оценки скорости 'сходимости, пределы применимости алгоритма и дать надежные рекомендации по его использованию. Для практики такое теоретико-экспериментальное обоснование работоспособности алгоритма является актуальным.
Реальные задачи, как правило, являются нестационарными, нелинейными и несамосопряженными. В этих трех «не» заключена вся трудность решения пространственно-временных з
преодоления этих трудностей заключается в сведении исходной задачи к сериям или последовательностям более простых задач, являющихся стационарными, линейными и самосопряженными. Эти задачи могут быть решены известными методами теории аппроксимации и линейной алгебры. Таким образом, выделяется подзадача, от успешного и эффективного решения которой зависит в большой степени точность и быстрота решения исходной задачи. Этой подзадачей является плохо обусловленная алгебраическая система линейных уравнений большого порядка с разреженной матрицей коэффициентов. Поэтому важно и актуально продолжать развивать методы решения плохо обусловленных систем линейных уравнений с разреженными матрицами.
Методы решения нейтронно-физических задач хорошо известны. Однако практика ставит новые и все более сложные задачи. Пока эти задачи не решены, они являются актуальными. Так обстоит дело с трехмерным комплексом программ расчета кампаний реакторов типа ВВЭР. Он создавался для решения конкретной задачи, связанной с проблемой деформаций ТВС в активной зоне реактора В процессе его эксплуатации под воздействием неоднородных тепловых и нейтронных полей. Эта проблема стояла очень остро, так как большие деформации ТВС в активной зоне реактора могут приводить к заклиниванию органов регулирования в каналах. Она решалась ' объединенными усилиями физиков, математиков, материаловедов, и важнейшую роль в решении данной проблемы играл расчет нейтронно-физических характеристик реактора в течение кампании по комплексу программ W1MS-BOJIHA.
Для решения нестационарного уравнения реактора одним из наиболее эффективных методов является квазистатический метод. Он позволяет выделить два временных масштаба - мелкий для расчета быстроменяющегося амплитудного фактора (мощности реактора), и крупный для расчета форм-функций (пространственных распределений групповых потоков нейтронов), и ол#*е*иен5оГГсбТ^ратить~ время расчета без потери точности. Этот подход
і- *** ** ** І
позволяет реально рассчитать быстрые переходные процессы в реакторе в трехмерной постановке, и особенно актуален для анализа начальных стадий развития аварий.
Актуальность развития методов решения задач гидродинамики связана с сильной нелинейностью таких задач и необходимостью применять сетки очень большой размерности (более миллиона узлов) для хорошего разрешения функций в областях их резкого изменения. При этом высокая эффективность применяемых методов линеаризации и методов решения линеаризованных систем приобретает первостепенное значение, так как определяет эффективность алгоритма решения всей задачи в целом.
Развитие моделей и методов решения задач тепломассопереноса при выращивании кристаллов, особенно в условиях пониженной гравитации, является одной из наиболее актуальных проблем современного материаловедения и вычислительной математики в связи с крайней сложностью и многопараметричностью моделируемых явлений. Особенно перспективным и актуальным, по мнению автора, является кластерный подход к описанию структурных изменений расплава вблизи фронта кристаллизации. Он позволяет связать макроявления на уровне описания тепломассопереноса в расплаве с микроявлениями, сопровождающими процесс образования И роста кластеров в процессе кристаллизации.
Личный вклад автора. Все алгоритмы, методы и программы, представленные в диссертации, варианты схем метода неполной факторизации, их анализ и оценки скорости сходимости, развитая теория блочных итерационных методов, комбинированные схемы неполной факторизации разработаны диссертантом лично или под его непосредственным руководством.
Научная новизна результатов диссертации.
1. Разработаны новые варианты метода неполной факторизации для
решения систем конечно-разностных уравнений: метод параболических
прогонок, явные и неявные схемы с периферийной компенсацией итерируемых
членов, метод сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме
неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов, комбинированные схемы неполной факторизации. Дано доказательство явной схемы Булеева с диагональной компенсацией итерируемых членов, получены оценки оптимального значения итерационного параметра и скорости сходимости. Построена теория блочных итерационных методов, сделан анализ сходимости схемы Л-факторизации, схемы параболических прогонок и комбинированных схем неполной факторизации.
-
Написаны специализированные комплексы программ: WIMS-ВОЛГА для стационарного расчета реакторов на тепловых нейтронах и W1MS-BOJ1HA для расчета кампаний реакторов типа ВВЭР, в которых впервые организован прямой расчет констант и выгорания по прецизионной программе WIMSD4 в каждом пространственном узле расчетной сетки в каждый момент времени. В рамках комплекса программ WIMS-ВОЛНА разработан алгоритм учета влияния формоизменения ТВС на нейтронно-физические характеристики реактора.
-
Разработан комплекс программ VOLNA для расчета быстрых переходных процессов в реакторе в квазистатическом приближении в (hex, z) геометрии. На основе этого комплекса, а также комплексов программ теплогидравлического расчета GR1P-SM и расчета констант АРАМАКО, создан комплекс программ GVA для совместного трехмерного нейтронно-физического, теплогидравлического и термомеханического расчета аварий реакторов на быстрых нейтронах. С помощью этого комплекса программ выполнены трехмерные нестационарные расчеты аварий реактора типа БН-800, вызванных остановкой главных циркуляционных насосов (ГЦН) и несанкционированным движением группы компенсирующих стержней органов регулирования. Разработаны метод и программа расчета деформаций ТВС и алгоритм учета теплового расширения активной зоны реактора на его нейтронно-физические характеристики.
-
Разработан новый метод решения уравнений магнитной гидродинамики в естественных переменных. На основе этого метода разработаны алгоритм и
программа GIGAN для трехмерного нестационарного расчета тепловой конвекции и выполнены расчеты бенчмарков по конвекции воздуха в кубической полости, подогреваемой с одной из боковых сторон, на сетках большой размерности (до миллиона узлов). Показано, что для чисел Релея 106 и выше необходимо использовать еще большее количество узлов или применять специальное сгущение сеток для обеспечения приемлемой точности расчетных значений чисел Нуссельта.
5. Разработан метод расчета тештамассопереноса при выращивании кристаллов с учетом кондуктивного, конвективного и радиационного переноса тепла. Разработан метод решения задачи Стефана для кондуктивно-конвективного теплообмена в энтальпийных переменных. Построена новая математическая модель выращивания кристаллов методом бестигельной зонной плавки, с помощью которой дано объяснение механизма тепломассопереноса при выращивании кристаллов Ge, легированного Ga, в космосе и получен '' эффект аномального распределения примеси в расплаве, наблюдаемый в космических экспериментах. Впервые разработана кластерная гидродинамическая модель кристаллизации расплавов для Описания тепломассопереноса в процессе кристаллизации с учетом структурных изменений расплава вблизи границы фазового перехода.
Достоверность полученных результатов. Высокая эффективность разработанных автором вариантов метода неполной факторизации, особенно комбинированных схем, подтверждается численными исследованиями и большим числом приложений.
Достоверность результатов нейтронно-физических и
гидродинамических расчетов подтверждается расчетами численных бенчмарков и решениями тестовых задач.
Достоверность результатов расчетов тепломассопереноса по
разработанным автором моделям роста кристаллов подтверждается физической
корректностью и совпадением с данными экспериментов по выращиванию
кристаллов в космосе. <
Практическая ценность разработанных эффективных методов решения плохо обусловленных алгебраических систем линейных уравнений большой размерности с разреженными матрицами коэффициентов состоит в их применимости для решения широкого круга практических задач математической физики.
Практическая ценность разработанных комплексов программ нейтронно-физического расчета заключается в большом количестве конкретных рекомендаций и выводов, сделанных по результатам расчетов по этим программам.
Практическая ценность разработанных методов расчета конвективного тепломассопереноса и решения задачи Стефана заключается в рекомендациях по совершенствованию ростовых установок и режимов технологического процесса выращивания кристаллов из расплава.
Практическая ценность предложенной кластерной модели кристаллизации заключается в возможности корректного описания результатов экспериментов по выращиванию полупроводниковых кристаллов из расплава в условиях микрогравитации.
Автор выносит на защиту:
Варианты метода неполной факторизации: метод Л-факторизации, метод параболических прогонок, вариант метода сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов CGPIF, комбинированные схемы неполной факторизации HFPP, HFB3, HFB4, CIF. Анализ сходимости блочных итерационных методов неполной факторизации, доказательство сходимости метода //-факторизации, метода параболических прогонок, явной схемы Булеева с диагональной компенсацией итерируемых членов.
Алгоритмы и программы стационарного и квазистационарного трехмерного расчета реакторов ВОЛГА и ВОЛНА. Комплекс программ W^MS.BOЛГA для расчета реакторов в (х, у, z) и (г, в, z) геометриях. Комплекс программ WIMS-ВОЛНА для расчета кампаний реакторов типа ВВЭР в
(hex, Ч) геометрии с учетом влияния формоизменения ТВС на нейтронно-физические характеристики реактора вследствие термомеханических деформаций.
Алгоритм и комплекс программ VOLNA для расчета быстрых переходных процессов в реакторе в квазистатическом приближении в (hex, z) геометрии. Алгоритм и комплекс программ GVA для совместного нейтронно-физического, теплогидравлического и термомеханического расчета аварий реакторов на быстрых нейтронах типа БН-800 с учетом формоизменения ТВС вследствие термомеханических деформаций. Результаты расчетов аварий реакторов типа БН-800, вызванных остановкой главных циркуляционных насосов и несанкционированным движением группы компенсирующих стержней органов регулирования.
Метод решения уравнений магнитной гидродинамики в естественных переменных. Алгоритм и комплекс программ G1GAN для трехмерного нестационарного расчета тепловой конвекции на сетках большой размерности.
Метод расчета тепломассопереноса при выращивании кристаллов из расплава с учетом кондуктивного, конвективного и радиационного теплообмена. Метод решения задачи Стефана в энтальпийных переменных. Объяснение механизма тепломассопереноса и аномального распределения примеси при выращивании кристаллов Ge, легированного Ga, методом бестигельной зонной плавки в космосе. Кластерную гидродинамическую модель кристаллизации расплавов с учетом условия Стефана, сегрегации примеси и силы сопротивления течению расплава вблизи фронта кристаллизации, обусловленной кластерами.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на ведущих тематических отечественных и международных конференциях: на IV Всесоюзном совещании по вычислительным методам линейной алгебры (Новосибирск, 1977), на VII, ГХ, X, XI школах по моделям механики сплошной среды (Батуми, 1983; Якутск, 1987; Казань, 1989; Владивосток, 1991), на 13
Международном конгрессе по вычислительной и прикладной математике (IMACS'91, Дублин, 1991), на 7 международной конференции по численному анализу полупроводниковых приборов и интегральных схем (NASE CODE VII, Колорадо, США, 1991), наЗ, 4,5 международных семинарах по моделированию устройств и технологий (Обнинск, 1994; Южная Африка, 1996,1998), на 1, 2, 3, Российских национальных конференциях по теплообмену (РНКТ, Москва, 1994, 1998, 2002), на 9 международном совещании по безопасности ядерных реакторов (Москва, 1995), на III Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 1996), на 1, 2 3 международных симпозиумах по достижениям в вычислительном тепломассопереносе (Турция, 1997; Австралия, 2001, Норвегия, 2004), на международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фадеева (С.-Петербург, 1997), на семинарах «Нейтроника-98», «Нейтроника-99» (Обнинск, 1998, 1999), на 3, 4, 5 международных конференциях «Рост монокристаллов и тепломассоперенос» (Обнинск, 1999, 2001, 2003), на международной конференции по вычислительному тепломассопереносу (Кипр, 1999), на IX и X Национальных конференциях по росту кристаллов (НКРК, Москва, 2000, 2002), на 4 Международной конференции по супервычислениям в ядерных приложениях (SNA 2000, Япония, 2000), на 4 Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000, Новосибирск, 2000), на международной конференции по твердым кристаллам (Польша, 2000), на 13 международной конференции по росту кристаллов (ICCG-13, Япония, 2001), на IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002, С.-Петербург, 2002), на 1 международной конференции по приложениям пористых сред (Тунис, 2002), на международной конференции по проблемам в тепловой конвекции (Пермь, 2003) и др. (всего на 67 международных и национальных совещаниях и конференциях).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения (общие выводы по работе). Общий объем диссертации - 258
