Содержание к диссертации
Введение
1 Решение задач на собственные значения методом нормальных форм для одномерных и двумерных операто ров Шредингера 18
Введение 18
1.1 Классическая нормальная форма Биркгофа-Густавсона 21
1.2 Квантовая нормальная форма 22
1.3 Решение одномерного у ра я пеним Шредингера с нелинейностью четвертой степени 23
1.4 Решение одномерного уравнения Шредингера с нелиней ностью шестой степени 26
1.5 Решение одномерного уравнения Шредингера с нелинейностью восьмой степени 29
1.6 Решение задачи па собственные значения для G%v симметричного гамильтониана на основе метода нормальных форм 37
2 Решение задач на собственные значения для С%„ и C2v симметричных гамильтонианов методом самосогласо ванного базиса 45
Введение 45
2.1 Описание метода 47
2.2 Вычисление энергетического спектра и волновых функций обобщенного гамильтониана Хепона-Хейлеса методом самосогласованного базиса 52
2.3 Спектр и волновые функции C'iv симметричного двумер ного уравнения Шредингера 59
2.3.1 Классический предел 59
2.3.2 Основные уравнения 61
2.3.3 Описание алгоритма 68
2.3.4 Результаты численных расчетов 70
3 Аналитически-численный метод решения одномерного уравнения Шредингера 76
Введение 76
3.1 Общая схема метода 78
3.2 Описание алгоритма 81
3.3 Тестирование программы 83
3.4 Ангармонический осциллятор с нелинейностью четвертой, шестой и восьмой степенью 90
3.5 Ангармонический осциллятор с двумя минимумами . 95
Заключение 99
Список литературы
- Решение одномерного у ра я пеним Шредингера с нелинейностью четвертой степени
- Решение задачи па собственные значения для G%v симметричного гамильтониана на основе метода нормальных форм
- Вычисление энергетического спектра и волновых функций обобщенного гамильтониана Хепона-Хейлеса методом самосогласованного базиса
- Ангармонический осциллятор с нелинейностью четвертой, шестой и восьмой степенью
Введение к работе
Введение
Многие уравнении математической физики, в частности уравнение Шредингера - основное уравнение нерелятивистской квантовой механики [1[, приводят к решению задачи на собственные значения и собственные функции. Однако аналитические выражения для энергетического спектра и волновых функций стационарного уравнения Шредингера даже в одномерном случае удается получить крайне редко (см., например |2-5]) и поэтому для его решения используются различные приближенные методы. К таким наиболее часто используемым приближениям относятся метод диагонализации [6-8|. квазиклассический метод [9-17], различные варианты теории возмущений [2.18-24], метод конечных элементов [25], обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона [26], метод нормальных форм [27-35], так называемое 1/N разложение [36-38], метод осцилляторного представления [39|. вариационные и операционные методы [40-44], симплектический метод [45], разностные схемы [46,47], метод теории суперсимметрии [48,49], метод детерминантов Хилла [50].
В последнее время бурный рост интереса связан с возникновением таких направлений как управление хаосом и управление квантовыми системами [51], стимулируемое приложениями к разработке квантовых компьютеров [52,53] и к управлению химическими реакциями с выходом определенного реагента, что требует знание энергетического спектра и волновых функций исследуемых квантовых систем.
Как известно, динамический хаос в классической механике впервые открыт А. Пуанкаре еще в конце XIX века [54], хотя его исследование возобновилось лишь в начале шестидесятых годов XX века в результате численных расчетов М. Хенона и К. Хейлеса [55] и Э. Лореп-
Введение
ца |5б|. Существование классического хаоса связано с нелинейностью и неинтегрируемостыо уравнений движении [57-64] -л этому явлению посвящено много монографий и большое количество оригинальных работ [65-70 ].
Существование детерминированной случайности в нелинейных динамических системах привело к постановке проблемы квантового хаоса, что, в частности, инициировало поиск квантовых проявлений классического хаоса [71-74]. В первую очередь квантовые проявления классического хаоса следует искать із особенностях энергетического спектра и волновых функций оператора Гамильтона, для чего надо реї пить соответствующее уравнение Шредингера. А так как точные решения могут быть найдены в немногих частных случаях, то прибегают к численным расчетам с использованием компьютерных систем.
Среди существующих различных методов и подходов для численного решении уравнения Шредингера наиболее часто используемым и разработанньш является метод диагонализации, однако треіЗутоший большого объема компьютерных ресурсов, который возрастает с увеличением размерности задачи и усложнением вида потенциальной функции.
Кроме того, точность вычислений сильно ухудшается |75]. если квантовая система допускает существование динамического хаоса в классическом пределе. Более того, если вычислять сиектры двумерных гамильтонианов, поверхность потенциальной энергии (ППЭ) которых имеет несколько локальных минимумов, то точность их численных расчетов сильно ухудшается. Например, при вычислении спектра обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса. ППЭ которого имеет единственный минимум, диагонали задней соответствующей гамильтоно-вой матрицы размерностью приблизительно 1/3-1/4 нижних уровней имеет точность достаточную для изучения статистических свойств, то
Введение
(J
есть составляет несколько процентов от среднего значення расстояний
между соседними уровнями [75], При диагонализации таких же размеров матрицы указанного гамилвтопиага, по при наличии четырех локальных минимумов, приблизительно такую точность имеют только несколько десятков первых уровней.
Однако численные расчеты всегда ограничены возможностями даже современных быстродействующих вычислительных машин, а уни-вереалы-юго метода не существует, то приходится искать наиболее оптимальные вычислительные методы для проведения конкретных исследований,
Современным перспективным подходом являются комбинированные или аналитически-численные методы, которые сочетает is себе аналитические преобразования исходной задачи с последующим численным решением уже преобразованной задачи. Настоянная работа посещена разработке новых аналитически-численных методов и составлению программ, с помощью которых исследованы некоторые задачи на собственные значения.
Общая характеристика работы
Актуальность проблемы. В математических моделях различных разделов физики, в частости, в классической и квантовой механике, в прикладной математике, й технике задачи на собственные значения играют важную роль. Эти задачи возникают при исследовании устойчивости, критических и бифуркационных режимов сложных физических систем.
В диссертационной работе предложены новые методы решения задач па собственные значения одномерных и двумерных дифферег-щи-
Введение _ _____ П{
альных операторов Шредингера второго порядка, описываемых гамильтонианами полиномиального типа, разработаны алгоритмы, реализованные гс виде комплексов программ в среде REDUCE и MAPLE, и проведены численные исследования дли уравнении Шредингера с конкретными потенциалами.
Найти решение в явном аналитическом виде в подавляющем большинстве случаев невозможно. Даже те уравнения, которые допускают аналитические решения, например, в специальных функциях, при практическом использовании оказываются неконструктивными мри конкретных численных расчетах. Поэтому применяются различные, как аналитические, так численные методы для нахождения приближенных решений подобных задач. Как правило- решение таких задач сопряжено с: большим объемом вычислений, для ныполнения которых необходимо использование современных компьютерных систем, имеющих в своем программном обеспечении инструментарии для работы с аналитическими выражениями.
Существуют различные методы и подходы для численного решения задач па собственные значения, аппроксимирующих исходные уравнения, из которых наиболее часто используемым и разработанным является метод диагопализациш Однако численные вычисления спектров и волновых функций методом диагонализации требуют большого объема компьютерных ресурсов - времени и памяти. Причем, тюбы полунить достаточную точность, требуется диагопализовать матрицы очень большой размерности.
Как отмечалось выше, точность сильно ухудшается, если вычислять спектры гамильтоновых операторов, которые допускают существование хаоса в классическом пределе. Точность также сильно надает при расчетах собственных значений и функций для двумерных гамильтоноиых систем, поверхность потенциальной знеріии которых
Введение
имеет несколько локатьиых минимумов.
Следовательно, разработка новых эффективных методов, как аналитических, так и численных, и особенно аналитически-численных, реализация этих методов в виде программных средств <; использованием современных эффективных сисі'єм компьютерной алгебры REDUCE и MAPLE и использование втих программ для численного исследования ряда важных математических моделей классической и квантовой механики является актуальной проблемой математического моделиро палия сложных систем.
Цель диссертационной работы —разработка методов, алгоритмов и программ с использованием современных средств компьютерной алгебры для решения задан на собственные значения для одномерных и двумерных дифференциальных операторов Шрсдиттгсра, а также проведение с их помощью численных исследований рада математических моделей классической и квантовой механики.
Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:
Разработка алгоритмом и программ дли решения задач на. собственные значения для операторов а) одномерных ангармонических осцилляторов и б) двумерного C$v симметричного (т.о. инвариантного относительно шести преобразований: ф > inp + 2irq/3. q — 0,1, 2) оператора Шредипгера на основе классических и квантовых нормальных форм.
Развитие метода самосогласованного базиса для вычисления энергетического спектра и волновых функций для двумерного С^
симметричного (т.е. инвариантного относительно четырех преобразований: ip -Л ±9? + тгд, q — 0,1) уравнения Шродингера.
3. Разработка алгоритма и аналитически-численной программы для
Введение 9
решении задачи на собственные значения для С%, симметричного оператора Шредингера методом самосогласованного базиса,
Разработка алгоритма и аналитически-числешюй программы для нахождения линейно независимых реінений задачи Ковіи в виде обобщенных степенных радов и на их основе решение краевой задачи для одномерного уравнения Шредингера^
Вычисление энергетических спектров и волновых функций для
ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенью нелинейности по методу 4), включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.
Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, метод классической и квантовой нормальной формы, методы компьютерной алгебры, методы вычислительной математики, прикладные программы.
Научная новизна. На основе метода классических и квантовых нормальных форм предложен новый способ вычисления собственных значений и функций одномерных и двумерных дифференциальных операторов Шредингера, разработан алгоритм и составлена соответствующая программа, С помощью этой программы получены собственные значении и функции дли одномерных ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности и для двумерного обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса,
Развит метод самосогласованного базиса для решения падачн па собственные значения для С&, nCW. симметричных двумерных гамильтонианов. Разработан алгоритм и составлены аналитически-численные программы и проведены вычисления нижней части энергетического спектра и соответствующих волноньтх функций указанных выше гамильтонианов.
Введение
Предложен аналитически-численны и метод, основанный на нахождении линейно независимых решений задачи Кош и в виде обобщенных стеленных рядов, с помощью которых решается задача на еоб ствегшые значения одномерного дифференциального уравнения Шрс-дингера. Разработан алгоритм и составлена аналитически-численная программа, с помощью которой получено решение одномерного уравнения Шредипгсра для ангармонических осцилляторов с различной четной (4, б, 8) степенью нелинейности, включая ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.
Практическая значимость и полезность полученных результатов- Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты этого исследования могут быть использованы для исследования динамики нелинейных гамильтоновых систем и для решении задач на собственные значения их квантовых аналогов. Полученные программные средства в среде REDUCE могуч1 быть применены для построения классических и квантовых нормальных форм нелинейных гамильтоновых систем полиномиального типа. Разработанные аналитически-численные алгоритмы и созданные па их основе комбинированные программы, реализованные па языке MAPLE, могут быть использованы для нахождения линейно независимых решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка и для решения задач на собственные значения для одномерных и двумерных ураш-іепий Шредингера с полиномиальными потенциалами- Разработанные пакеты программ апробированы и учебном процессе при выполнении курсовых, и дипломных работ студентами физико-математического факультета ВелГУ
Положения выносимые на защиту»
1. Способ приближенного решения задачи па собственные значения одномерных и двумерных дифференциальных операторов второ-
Введение
го порядка, на основе метода нормальных форм и результаты расчетов спектров гамильтонианов одномерных ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенью нелинейности, а также двумерного С$и инвариантного полиномиального гамильтониана.
Аналитически-численный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного C-2V инвариантного полиномиального гамильтониана, алгоритм и реали зующуго его программу и результаты конкретных численных расчетов нижайших собственных значений и собственных функций,
Аналитически-численный метод решения задачи на собственные значения одномерных дифференциальных операторов второго порядка фуксовского типа, алгоритм и реализующую его программу. А также результаты численных расчетов нижней части энергетического спектра и соответствующих волновых функций ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой с гененм-ми нелинейности, включая ангармонический осциллятор с двумя минимумами.
Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений, исследованием па устойчивость полученных результатов в зависимости от параметров реплаемтлх задач при аналитически - численных вычислениях и воспроизведением результатов. полученных другими методами и другими авторами.
Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: Международная молодежная научная конференция "XXIX Гагаринские чтения" (Москва. 8-11
Введение
апрели, 2003); Международный семинар "Физиїт-математическос моделирование систем"(Воронеж. 5-6 октября, 2004): V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 1-3 ноября, 2004); VI Международная научно-техническая конференция (Санкт-Петербург, 28 шоеія - 2 июля. 2005): VII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, G-10 сентября. 2005); Tlie 8th International Workshop in Computer Algebra in Scientific Computing (Kalamata, September 12-16, 2005, Greece); Семинар no вычислительной физике в Лаборатории информационных технологий (г. Дубна. ОИЯИ, 12 апреля, 2006): Семинар но вычислительной и прикладном математике ЛИТ и Семинар по компьютерной алгебре ВМК и НИИ-ЯФ МГУ, (Дубна, 23-24 мая, 2006).
Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления "Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения", утвержденного Ученым советом Бел ГУ от 3.11 2000 г,, с планами НИ? кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 03-02-16263).
Личный вклад автора. Автор диссертации, работам в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников ЛИТ и ЛТФ ОИЯИ (г, Дубна). БелГУ [v. Белгород), кафедры прикладной математики и физики Ки-отского университета (г. Киото, Япония), самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и тесты, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим. Все результаты, представленные в диссертации, получены самим автором. При выполнении работы по теме дисеертн-
Введение
дми автор принимал активное участив и постановке задач и непосредственно осуществлял их решение.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14
публикациях в виде статей в журналах, в трудах всероссийских и международных конференций. Программа "Построение общего решения дифференциальных уравнений фуксовского тина в виде степенных рядов1' по теме диссертационного исследования зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из вве депия, трёх глав, заключения и трех приложений. Объем диссертации 1-35 страниц, 25 рисунков, 13 таблиц. Список литературы включает 127 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, научная новизна и практическая значимость работы, дается краткое описание результатов диссертационной работы.
В главе 1 представлено решение задач па собственные значения методом нормальных форм для одномерных и двумерных операторов Шредипгера.
В разлелс 1.1 изложена процедура приведения нелинейной гам иль топовой системы к классической нормальной форме Бмркгофя - Гу-ставсона, квантовый аналог которой используется дли решения задачи на собственные значения.
В разделе 1.2 с помощью правила соответствия Вейля строится квантовая нормальная форма БиркгофаТуставсона в виде дифференциальных выражений, которая даст приближенное выражение для операторов Гамильтона в первоначальном уравнении Шредингера. Задача
Введении 14
иа собственное значение для полученной квантовой нормальной формы Биркгофа-І'уставсона легко решается и ее решение в виде аналитической формулы дает нам приближенный знеріеіичеекий спектр исходного гамильтониана.
В разделах 1,3 - 1.5 описанным в разделах 1.1-1.2 способом найдены решения одномерного уравнения Шоедипгера с нелинейностью четвертой, шестой и восьмой степени (до — 4,6,8),
При помощи символьной REDUCE программы получены до порядка Smax = 12 классические нормальные формы Биркгофа-Густавсоиа и их кваптоврле аналоги для одномерных ангармонических осцилляторов при до = 4, г%ах = 18 при до — б и smax = 14 при до = 8, Для найденных квантовых аналогов были решены задачи на собственные значения, которые дают приближенные аналитические формулы дли уровней энергии.
Показано, что значения уровней энергии, полученных предложенным методом, находятся в хорошем согласил с результатами, полученными прямым численным решением методом дяагонализации исход-ноги уравнения Шредингера.
Решение одномерного у ра я пеним Шредингера с нелинейностью четвертой степени
Со кремени пионерских исследований Свимма и Делоса [30 имеется много работ, которые посвящены проблеме квантования 131,32,76--79] классических гамильтонопых систем па основе метода нормальных форм Виркгофа-Густавсоиа [27,29],
Однако метод нормальных форм может быть применен для реиго ния задачи на собственные значения для дифференциального оператора, такого как в уравнении Шредиигсра. Основная идея состоит в том, чтобы преобразовать заданный дифференциальный оператор Гамильтона в ряд, в общем бесконечный, в котором каждый его член предепапляет простое дифференциальное иыражение. Для иллюстрации такого приближения выбран частный вид одномерного уравнения Шредиигсра с нелинейностью четвертой, шестой и восьмой степени, п. также для полиномиального Q\v инвариантного двумерного гамильтониана.
Для того, чтобы найти энергетический спектр и собственные функ ции такого уравнения Шредингера поступаем следующим образом. Сперва вводим вспомогательную скалярную функцию, которая играеч роль классической гамильтоновой функции.
Выполняя затем каноническое преобразование к новым канонически сопряженным переменным, приводим вспомогательную функцию к классической нормальной форме Биркгофа-Густавеона [27,29]. Затем с помощью правила соответствия Вейля [80] строится квантовая нормальная форма Биркгофа-Густавсона в виде дифференциального оператора, который дает приближенное выражение для оператора Гамильтона в первоначальном уравнении Шредингера. Задача па собственное значение так полученной квантовой нормальной формы Биркгофа-Густавсона легко решается и ее решение в виде аналитической формулы дает нам приближенный энергетический спектр исходного уравнения Шредингера.
Для частных видов оператора Гамильтона выполнены численные вычисления в разделах 1.3 - 1.5 и проведено сравнение с известными результатами других авторов [81]. Однако, несмотря на частный выбор оператора Гамильтона., этот подход применим для широкого класса операторов Гамильтона и в разделе. 1.6 применен к системе более высокой размерности [75],
Но надо отметить, что предложенный подход ограничен достаточно малой нелинейной частью [31] оператора Гамильтона в уравнении Шредингера
Рассмотрим уравнение Шредингера m(q) = E4 {q)., (1.1.1) где гамильтониан выбран н следующей форме fl = -\ + J + a (М- 16,8), (1.1.2) а 0 параметр нелинейности Для решения дифференциального уракнетшя {1.1.1),(1.1.2} вводим вспомогательную функцию, которая рассматривается как классическая гамиліїТОі-юва функция 2) = 1( + ), H[»]--aqi\ (1.1.3) где р и q канонически сопряженные импульс и координата. Выполняя канонические преобразовании (g,p) -Л (,7/) с производящей функцией FM W + Wfar)), 0.1.4) приводим классическую гамильтоновую функцию (1.1.3) к нормальной форме Биркгофа-Гуетавсона И [q, р) Г(: )
Верхний знак (.^''означает однородный полином степени я, а, нижний знак (.).5 обозначает сумму однородных полиномов до степени & включительно. Величины Ь ІГЇІ известны, но ^'/^) и vjfm являются неизвестными коэффициентами, которые должны быть вычислены. В соответствии со статьей Гуетавеона [291, для нахождения s-ro порядка нормальной формiii Г^' и соответствующего производящего полинома W^\ т. с. коэффициентов 7/ш к Щт нужно решить основное дифференциальное уравнение DW<%tV) = -&%,,,)+1*'\м), .-2,3.... (1.1.10)
Прк помаши символьной REDUCE программы |85| получаем производящий полином W(q,r)) и нормальную форму Г(,//), которые представляются в виде суммы однородных полиномов разных степеней по переменным и 7} (см. Приложение А).
Решение задачи па собственные значения для G%v симметричного гамильтониана на основе метода нормальных форм
Рассмотрим двумерное уравнение Шредингера где для иллюстрации гамильтониан И выбран в следующей частной форме д д aqi dqi где Ь и с- положительные параметры.
Для решения дифференциального уравнения (1.6.1) - (1.6.2) вводим вспомогательную функцию, которая рассматривается как классическая тамилътонова функция Р = -ІРІ + Л) + \{$ + ) + Ь(д?«з - \4) + Ф? + 22)2, (1-6-3) гдери g канонически сопряженные импульс и координата: q = [quqj) Р= (ръРг) Вначале сделаем вспомогательные канонические преобразования {д..р) {С),Р)\Щ: її = \{-Q\ + Яг + Pi - h), Яг = \{Qi + О2 И Pi + P2I pi = \{Qi - Q-i + Pi - P2), vi - \{Qi + Q2-P1- A) (1.6.4) Глава L Л8 и перепишем гамильтониан (1.0.3) следующим образом K(Q,P) = KW + Y,Kls)(Q,P), (1.6.5) где K -iiQ +QM, (1.6.6) у\ Q = [Qi Q2)i Р = CJPI, /) новые канонически сопряженные координаты и импульсы.
Выполняя канонические преобразовании (Q7P) —ї ( ) при помощи символьной программы [85 с производящей функцией F(Q,7i) = Qrt + W{Q,V), (1.G.7) приводим классическую гамильтонову функцию (1.6.5) к нормальной форме Биркгофа-Густавсона Как известно [27,30], гамилыонова функция Г(, ;) имеет нормаль ную форму, если выполняется условие ПЩ,-п)=0, (1.6.8) где дифференциальное выражение оператор нормальной формы. Производящая функции (1.6.7] удовлетворяет уравнениям f = Q + «M Р = Ч+?Ш, (1.6.10} которые связывают старые переменные [Q.,P) и новые (,т?).
Глава 1. В соответствии со статьей Густавсона [29] для нахождения s-ю порядка нормальной формы Г и соответствующего производящего полинома Ww нужно решить основное дифференциальное уравнение D(Q.,ri)W (Q,V) = -I&\Q,v) Fl XQ,V), 3 = 2,3,... (1.6.1.1) где D есть оператор нормальной формы (1.6.9), При помощи символьной REDUCE [90J программы [85J получаем модифицированную классическую нормальную форму до порядка s.1 mx б включительно: Гв = г№ = 1,...,3), и л. f(S)- (4 + + 2с2)(Ч?Й + ЙЙ+ о4 9 -( Ь4 - у +15с Шчі&-І-%6)+ +1 (76? - 26С)(ТЇЇЙ + ЧІЙ)- (1-6.12) При построении дифференциального аналога 1% классической нормальной формы Биркгофа-Густавсона используется правило сопоставления Вейля [8(189! Ы,У1 = (UT - 4 ТУ пї 11( - " + (L6-13) L,2 = у={ 4 ± ої")» r/U = - ( =F ai) со следующими правилами коммутации Глава 1. В результате получаем квантовую нормальную форму f6-f , =,1,...,3) к Ї4 = j (Ы? + (6)2 - ЬІм - 5 - 12іш6 -2) + +с (fern)2 + ()2 + з&т + 3 + ЧтЬт + 2), I ( 1 - --b2c 4- 15c2 j ётёг Йш + Ьщ)+ ( - + )(шм6 ) ) /311,, 469 , 61 Л + (7fc2-26,)(4?g + %3S)- (1.0.14) Решение задачи на собственные значения Г,Ф) = АФ), (1.6,15) где величины А и Ф} являются собственнымvi значениями и векторами, соотнес сі пенно, представляет собою приближенное решение уравнения Шредингера (1.6.1) с гамильтонианом (1.6.2}. Решение уравнения ищем в форме Ф) = 6 МЛ }. (1,6.16) Полный набор базисных функций \N, L) строится следующим образом ЛМ)= [( у. ! & Г І0,0), (1.6.17) Г,ітш 1. 41 где вакуумное состояние 0,0} определяется N =0.1,2,3 L = d=Ar, ±(ЛГ-2), ±{ЛГ-4),..., 1(0)- (1.618) Л работе [89] показано, что имеют место соотношения 6i- z.) = y ±A±IjV +1; ь +1), b L) yl j± \N + ltL-l), ГТТ 4 ) = -1 -1,1 -1) N-L %JV,L) = /- --\N-1,L 1-1). (1.6.19) Легко проверить, что базисные векторы ЛГ, L) являются собственными для всех членов нормальной формы (1.6.14), за исключением последнего члена в выражении (1.6.14). Поэтому для нахождения собственных значений собственных векторов требуется диагоналширо-нать следующую матрицу
Вычисление энергетического спектра и волновых функций обобщенного гамильтониана Хепона-Хейлеса методом самосогласованного базиса
Метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного стадної і ар його уравнения Шредипгера был применен к так называемой обобщенной систем Хенопа-Хейлеса [92]. Рассмотрим уравнение Шрсдингера, записанное в декартовых переменных Г.иява 2. __ __________ ____ 53_ Й{х,у)ф{х,у) = Е$(х,у), (2.2.1) і Де , = -2-( + )+ + ) + 6( - ) + 0( + , (2.2.2) 6, с - положительные параметры. В полярных координатах уравнение (2.2.1) (2.2.2) перепишется в виде 11{г, р)Ф(г, р) = Еф{г, р), (2.2.3)
Как было сказано в разделе 2.L решение ищем и виде (2.L4) и. проектируя выражение (H(r.ip) — Е)и(г, р) на базисные функции sin/V и cos Iі р ( " 1 -.дО и У аем однородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка.
Так как обобщенный гамильтонтан Хенона-Хейлеса имеет G%v симметрию, то его собственные значения и функции классифицируются по трем і-;оприрїодимьш предстаилепиям этой группы: _4i, Ayi4 В. Заметим, что состояния Е - типа двукратно вырождены, поэтому две из четырех систем ОДУ приводят к одному и тому же энергетическому спектру. Как результат этого, для функций AQ{T). Ai(r), Bi(r) получаем следующие бесконечные системы дифференциальных уравнений второго порядка
Эти системы эквивалентным образом можно записать в виде систем дифференциальных уравнений первого порядка. Например, систему (2.2 G) для состояний Ач - типа, сделав следующие замены:
Усекай полученную систему (2,2.9) до 2/V уравнений, получи.м конечную и однородную линейную систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций Z}-(r, Е). причем функции ai содержат еще не определенные собственные значения Е.
Далее, в заранее определен ном диапазоне дли конкретного значения Е численно решаем зада -гу Коши для системы (2.2,9) с 2N начальными условиями, заданными в виде столбцов диагональной матрицы (2.1.9). Находим общее решение системы дифференциальных уравнений черного порядка (2.2.9) в виде
Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты С в выражении (2.2.10), нужно учесть граничные условия на функции Аі и Д. которые соответствую1] решениям системы (2-2.9) с нечетным индексом, т.е. Z2j {r,E), {j = 1,2,...,Лг). Тогда уелоиия z2j-i{r{],E) -- 0 и щ- \[rmiu Е) = 0 приводят к однородной линейной системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов С?., нетривиальное решение которой определяются из равенства нулю соответствующего детерминант, которое выполняется для определенных значений Е-,, составляют,их спектр исходного уравнения III ро-дингера (2,2,1) -(2.2,2). Решения, соответствующие данному значению энергии Eji являются собственными функциями того же уравнения,
С помощью программы SELFA на MAPLE методом самосогласованного базиса [102] были получены значения энергетических уровней, которые приводятся в Табл. 2.1. Здесь же для сравнения приведены результаты расчетов спектра уравнения (2.2.1) - (2.2.2) методом диагонализации. Величины энергетических уровней Аа - тина были получены диагонализацией гамильтоновой матрицы размерностью 560 х 5G0 [103], а в пашем подходе примерно та же точность достигается при решении системы (2,2.6) из чолько восьми дифференциальных уравнений второго порядка.
Ангармонический осциллятор с нелинейностью четвертой, шестой и восьмой степенью
Как отмечалось выше, поведение определителя D(E) (3.1.13), сле-допателы-то, и нахождение корней уравнения D(E) — 0, сильно зависит от числа удерживаемых членов N рядов в линейно независимых решениях уравнения (3.1.1) с функциями (3.4.1) и от значения R - Щф = Rrirf?/ . При увеличении числа членов ряда численное значение корней уравнении D{E) - 0 приближается к истинному значению, если нужным образом увеличивать R. На рис, 3.4 изображены значения энергии при фиксированном N в зависимости от значения It
При помощи RWA программы для уравнения Шредишера (3.1.1) с функциями (34.1) найдены волновые функции в га и де степенных рядов и нижние уровни энергии, представленные в Табл.3.5.
В работе предложенным методом [126] вычислены также энергетический спектр и волновые функции для ангармонического осциллятора с двумя минимумами, потенциальная функция которого имеет 15 ИД У{х) = a{x2 - а2)2, (3.5.1) где а 0 - параметр нелинейности, а - параметр, определяющий положение днух минимумов функции (3.5.1).
В этом случае при помощи программы EWA i-ia Maple найдены волновые функции для уравнения Шрсдингера (3.1.1) в виде степенных рядов и энергетические спектры при различных параметрах а, а и различных N. Хотя расчеты были проведены при N — 180, но для иллюстрации в явном виде приведем два линейно независимых решения задачи (3.1.1) с функцией (3.5.1) в точке х — 0 при N — 7: у\ (х) = 1 + {ааА - Е)х2 + (Е2 - 2Еаа4 - aV - 2cm2) х4 + (-Д3 + 32tra4 - SEa2as + UEaa2 + a3 a12 - 14a2a6 + 6a) x\ y2{x) = x + \ (aa4 - E) x + Д (E2 - 2Eaa4 + aV - 6aa2) x\ о ou +— (-E3 + 3E2aa - 3aV + 26Eaa2 + aV2 - 26a2a6 + 20a) x\ 630 v y
Полученные значения для нижайших уровней ангармонического осциллятора с двумя минимумами (3.5.1) приведены в Табл.5.0.
Нарис. 3.9 приведены графики потенциальной функции (3.5.1) (жирной линией) и квадрат волновой функции для основного состояния п — 0 (слева) и для состояния п — 3 (справа).
Вычислен энергетический спектр для ангармонического осциллятора с двумя минимумами, потенциальная функция которого имеет вид [127] V\x) -x2 + h\ (3,5.2)
В Табл.3.7 приведена зависимость энергетического спектра уравнения Шредингера (3.L1) с потенциальной функцией (3.5.2) от параметра ії, а в Табл.5,8 приведены значения перзых уровней энергетического спектра данного уравнения, которые сравниваются с результатами, имеющимися в литературе [127].
Основные результаты, полученные в диссертационной работе:
1. Разработан способ вычисления собственных значений и функций эрмитовою дифференциального оператора второго порядка на основе метода нормальных форм с использованием системы REDUCE.
2. Получены предложенным выше способом:
а) формулы для энергетических спектров одномерных ангармониче ских осцилляторов с четвертой, шестой, восьмой степенями нелиней ности и выполнены численные расчеты нижней части энергетических спектров,
б) формулы для энергетических спектров двумерного обобщенного га мильтониана, Хенона-Хейлееа и проведены их численные расчеты.
В обоих случаях сделано сравнение полученных; результатов с имеющимися в литературе результатами других авторов, и для нижайших уровней найдено удовлетворительное согласие при умеренных значениях параметра нелинейности. (Конкретные цифры зависят от значений параметров /І И а гамильтонианов).
3. Развит метод самосогласован и о го базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного Сзг, симметричного полиномиального гамильтониана, разработан алгоритм и в среде MAPLE составлена аналитически-численная программа, с помощью которой проведены вычисления первых десяти уровней энергетического спектра и волновых функций А-2 - типа.
4. Разработан алгоритм и составлена программа в среде MAPLE, с помощью которой методом самосогласованного базиса вычислены нижайшие энергетические уровни и волновые функции для всех четырех Ai} М- В\. В% - типов двумерного C v симметричного оператора Шредингера.
5. Показано, что точность значений первых уровней энергии А2 - типа для гамильтониана (2.2.2), полученных диагопализацией гамильтоно-вой матрицы размерностью 560 х 560, достигается в методе самосогласованною базиса при решении соотіютстиующей системы всего из восьми дифференциальных уравнений второго порядка.
6. Предложен аналитически-численный метод, основанный ла нахождении линейно независимых решений задачи Коши в виде обобщенных степенных рядов, с помощью которых решается исходная задача на собственные значения одномерного оператора Шредингера.
7. Разработан алгоритм и составлена аналитически-численная про грамма в среде MAPLE, с помощью которой решены одномерные урав нения Шредингера для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.
Проведено сравнение полученных значений энергетических уронкей с имеющимися в литература результатами, которые вычислены другими методами, и пайдспо хорошее согласие. В частности, значения энергетических уровней с восьмью знаками, приведенных в работе [42], совпадают с полученными в пашей работе.
