Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные понятия теории условно - корректных задач 12
1.1 Постановка задачи 12
1.2. Основные понятия 13
1.3. Строение классов корректности для линейных операторных уравнений 14
1.4. Понятие оптимальности и оптимальности по порядку для
методов решения условно -корректных задач 22
1.5. Класс корректности для линейных операторных уравнений 25
Глава 2. Исследование методов регуляризации Тихонова при различных подходах к выбору параметра регуляризации. Метод невязки 27
2.1 Метод регуляризации Тихонова нулевого порядка 27
2.2 Исследование точности метода регуляризации Тихонова нулевого порядка на различных классах корректности 32
2.3 Общий метод регуляризации Тихонова 41
2.4 Построение модифицированного метода невязки 48
2.6 Оценка погрешности модифицированного метода невязки 50
Глава 3. Метод проекционной регуляризации с выбором пара метра по принципу невязки 61
3.1 Построение и свойства регуляризующего семейства операторов 61
3.2 Оценка погрешности метода проекционной регуляризации 70
Глава 4. Обратная задача восстановления энергетического спек тра бозе-системы по ее теплоемкости 77
4.1 Постановка задачи о восстановлении фононных спектров 80
4.2 Исследование асимптотического поведения функции ядра 83
4.3 Строение класса корректности для задачи восстановления фононных спектров 88
4.4 Оценка погрешности приближенного решения 89
4.5 Применение принципа невязки при восстановлении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости 91
4.6 Конечномерная аппроксимация для задачи восстановления фононного спектра 95
4.7 Численная реализация задачи восстановления фононного спектра 99
Глава 5. Численное моделирование обратных граничных задач тепломассообмена 108
5.1 Обратная задача тепловой диагностики ракетных двигателей 108
5.2 Обратная задача непрерывной разливки стали 111
5.3 Численное решение обобщенной обратной задачи методом проекционной регуляризации 115
Список литературы
- Строение классов корректности для линейных операторных уравнений
- Исследование точности метода регуляризации Тихонова нулевого порядка на различных классах корректности
- Оценка погрешности метода проекционной регуляризации
- Строение класса корректности для задачи восстановления фононных спектров
Введение к работе
Многие задачи математической физики, возникающие в практических приложениях, не являются корректно поставленными по Адамару [ИЗ], [114], то есть не удовлетворяют условиям корректности: существования, единственности решения и непрерывной зависимости полученных решений от исходных данных. Следствием этого является то, что традиционные численные методы оказываются неприемлимыми для решения подобного класса задач. Такие задачи получили название некорректно поставленных.
Впервые практическая ценность таких задач была замечена А.Н. Тихоновым в работе [98]. Кроме того, в данной работе была отмечена важность правильной постановки некорректных задач как для их дальнейшего исследования, так и для их решения, требующего создания новых методов.
Основы теории некорректных задач были заложены в трудах А.Н. Тихонова [99]-[102], М.М. Лаврентьева [55]-[58] , В.К. Иванова [37]-[44]. Дальнейшее развитие теории некорректно поставленных задач связано с работами этих выдающихся математиков , а также с работами их учеников и последователей: В.Я. Арсенина, А.Л. Агеева, А.Б. Бакушинского, А.Л. Бухгейма, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, Ю.Л. Гапоненко, А.В. Гончарского, В.Б. Гласко, A.M. Денисова, В.И. Дмитриева, А.С. Ильинского, А.С. Леонова, О.А. Лис-ковца, И.В. Мельниковой, Л.Д. Менихеса, В.А. Морозова, А.И. При-
лепко, В.Г. Романова, В.Н. Страхова, СБ. Стечкина, В.П. Тананы, A.M. Федотова, Г.В. Хромовой, А.В. Чечкина, А.Г. Яголы и многих других математиков [1]-[33], [36]-[49], [51j-[59j, [61]-[63], [65j-[71j, [73], [78]-[104], [Ю6]-[112], [115]-[119].
К настоящему времени теория некорректно поставленных задач выделилась в отдельную область математики. Результаты исследований в данной области имеют широкий круг приложений в современных естественных науках и технике.
Накопленный значительный теоретический и практический материал частично отражен в известных монографиях М.М. Лаврентьева [55], А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [101], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [45], В.В. Васина и А.Л. Агеева [23], В.А. Морозова [70], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова и СП. Шишатского [57], В.К. Иванова, И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [48], О.А. Лисковца [63], В.П. Тананы, М.А. Реканта, СИ. Янченко [89], А.В. Бакушинского А.В. Гончарского [8], A.M. Федотова [106], А.Н. Тихонова, А.С Леонова, А.Г. Яголы [104], а также в работах многих других математиков [1]-[34], [36]-[49], [51]-[63], [65]-[71], [73], [78]-[104], [106]-[119].
современной теории некорректно поставленных задач можно выделить три основных направления:
I. Исследование регуляризуемости задачи. В этой области решается проблема существования хотя бы одного регуляризующего семейства операторов.
В работе Винокурова [26] было замечено, что не для всех некорректных задач можно построить регуляризующие алгоритмы.
Например, уравнение
Au = f, Ae{U->F)
для линейного, инъективного, непрерывного оператора А, действующего из несепарабельного банахова пространства U в сепарабелыюе банахово пространство F будет нерегуляризуемым.
Общая проблематика этого направления связана с исследованиями В.А. Винокурова [26], [27], Л.Д. Менихеса [28] и др. математиков.
Параллельно с решением вопроса о принципиальной возможности решения конкретной задачи, то есть её регуляризуемости, встает вопрос о выборе метода решения, наиболее подходящего для данной задачи. Круг этих вопросов относится ко второму направлению теории некорректных задач.
И. Построение специальных методов решения для класса регуляри-зуемых задач. В основу этого направления было положено решение конкретных задач математической физики.
Основополагающие работы в этом направлении принадлежат А.Н. Тихонову [99] - [104], В.К. Иванову [37] - [45], М.М. Лаврентьеву [55] - [57]. В этих работах были сформулированы основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы, исследование которых продолжается по настоящее время.
Одним из основных вопросов при построении метода регуляризации является вопрос о выборе параметра регуляризации. Решение этого вопроса В.К. Ивановым [40], В.А. Морозовым [68] и Philips D.L. [119] привело к созданию принципа невязки для метода регуляризации А.Н.
Тихонова. Применение этого принципа сыграло большую роль в развитии теории некорректных задач.
Бакушинский А.Б. в работе [4] предложил общий прием построения регуляризующих алгоритмов. Начиная с этой работы, в теории некорректных задач появилась некоторая неопределенность, заключающаяся в том, что для одной и той же задачи имелось несколько методов решения.
Это привело к тому, что дальнейшие исследования в теории некорректных задач были связаны с созданием количественных характеристик для оценки эффективности тех или иных методов. Подобные характеристики легли в основу сравнения методов решения.
В работе В.К. Иванова [41] появились исследования по равномерной регуляризации на некоторых классах решений, которые позволили получить оценки погрешности различных методов регуляризации. Это, дало возможность классифицировать имеющиеся методы и выделить среди них те, которые имеют наименьшую погрешность на некотором классе решений, то есть дать определение оптимальных, а также оптимальных по порядку методов.
Построению и исследованию оптимальных методов решения операторных уравнений первого рода в гильбертовых пространствах посвящены работы В.Н. Страхова [78], Melkman A., Micchelli С. [115], Г.М. Вайникко [9]- [И] , А.Л. Агеева [1] [2], В.П. Тананы [83] и других математиков.
Для операторов дифференцирования в банаховых пространствах построением и исследованием оптимальных методов решения занимались СБ. Стечкин [79], В.В. Васин [16], [22], и другие.
Полученные результаты позволили покончить с неопределенностью в теории некорректных задач и привели к исследованиям, связанным с построением оптимальных и оптимальных по порядку методов, в которых приняли участие многие математики.
Практическая реализация основных методов невозможна без использования компьютерных технологий. С численной реализацией методов решения некорректных задач связано третье направление в рамках которого исследуются вопросы замены исходной задачи некоторым конечномерным аналогом.
III. Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов.
При реализации основных методов решения некорректных задач таких, как метод регуляризации А.Н, Тихонова, метод М.М. Лаврентьева, метод квазирешений В.К. Иванова, метод невязки требуется замена исходной бесконечномерной задачи её конечномерным аналогом. При этом указанная замена не должна испортить сходимости регуляризоваппых решений к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ, среди которых отметим [19]-[22],[21]-[22], [31]-[32], [45], [85], [87]-[88], [99]-[100], [115]-[116].
Настоящая работа принадлежит ко второму направлению. В ней исследованы на точность методы регуляризации, использующие принцип невязки и построены оптимальные по порядку методы. Эти методы были
использованы при решении некоторых обратных задач математической физики [60].
Особое отличие построенных в работе методов от известных заключается в том, что они не используют явно априорную информацию о классе корректности задачи и в то же время оказываются оптимальными по порядку при достаточно общих предположениях об этом классе. Этот факт является важным ввиду того, что при решении задач с априорной информацией класс корректности может быть известен приближенно, что будет ухудшать точность полученных решений.
Впервые такие методы для классов корректности степенного типа были построены в работах И.В.Емелина и М.А.Красносельского [109] и Г.М.Вайникко [10]. Заметим, что все эти методы являются нелинейными.
В настоящей работе эти результаты распространены на произвольный класс корректности Мг, определяемый непрерывной и строго возрастающей функцией G(a), удовлетворяющие условию G(0) = 0. Это оказывается очень важным при использовании данного метода при решении широкого класса задач и, в частности, обратной задачи физики твердого тела.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и библиографии, насчитывающей 119 наименований.
В первой главе приводятся основные понятия и определения, связанные с решением условно-корректных задач. В этом разделе дано понятие метода решения условно-корректной задачи и определена количественная характеристика его точности на соответствующем классе. В этой же главе формулируются и доказываются необходимые и достаточные усло-
вия на множества банахова пространства, при выполнении которых они являются классами корректности. Эти условия распространяют теорию, разработанную В.К. Ивановым в [41] на класс некомпактных операторов.
При численном восстановлении энергетических спектров для большого числа модельных и реальных кристаллов [51]—[54] было установлено, что достаточно устойчивым методом решения этой задачи является метод регуляризации Тихонова нулевого порядкас выбором параметра регуляризации из принципа невязки . Этот факт не укладывался в рамки теории точности методов, что послужило поводом для исследования этого метода на точность. Эти исследования были проведены во второй главе.
Во этой же главе построен и исследован модифицированный метод невязки нулевого порядка. Для него была получена точная по порядку оценка погрешности и доказана оптимальность по порядку этого метода на логарифмических классах корректности.
В третьей главе настоящей диссертации построен и исследован метод проекционной регуляризации для несамосопряженных операторов с параметром регуляризации, выбранным из принципа невязки. В результате был получен нелинейный вариант метода проекционной регуляризации. Линеный вариант этого метода был предложен в работе В.К. Иванова [42]. А в работе В.П. Тананы и А.Р. Данилина [87] была доказана его оптимальность по порядку и получена точная оценка погрешности этого метода.
Нелинейный метод проекционной регуляризации основан на информации о приближенно заданной правой части и уровне её погрешности.
Для построенного метода проекционной регуляризации были получены точные по порядку оценки погрешности и доказана его оптимальность по порядку при достаточно общих предположениях о классе корректности. Это является важным для решения практических задач, в которых классы корректности известны, как правило, неточно.
В четвертой главе методы регуляризации Тихонова различных порядков с выбором параметра по принципу невязки были использованы для решения обратной задачи физики твердого тела [60] . Был поведен сравнительный анализ решений , полученных методом регуляризации нулевого и первого порядков. Для этой задачи методом проекционной регуляризации была получена точная по порядку оценка модуля непрерывности обратного оператора на соответствующем классе корректности.
Пятая глава посвящена применению метода проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по принципу невязки для решения обратной задачи тепломассообмена. Приведены численные примеры решения этой задачи.
Огромную благодарность выражаю своему научному руководителю -профессору Виталию Павловичу Танане за постановку задачи и консультации, проведенные при работе над диссертацией.
Строение классов корректности для линейных операторных уравнений
Одним из важных вопросов, который возникает при решении условно-корректных задач является вопрос о связи классов корректности и классов равномерной регуляризации. Покажем, что в рефлексивных пространствах эти классы совпадают.
Найдем условия, при выполнении которых множество М будет классом корректности для исходной задачи.
Теорема 1.1. Пусть множество М абсолютно выпукло в пространстве U. Тогда для того, чтобы М было классом корректности для уравнения (1.1) необходимо и достаточно, чтобы сужение А оператора А 1 на N было непрерывно в нуле.
Доказательство. Необходимость очевидна. Достаточность. Так как А 1 непрерывно в нуле, то для любого є О найдется 5 0 такое, что для любого / 6 N и / 5 следует, что іи- /и Тогда для любых /і и /г Є iV таких, что /i — /г следует, что -/2iV, (Л -/2)/2 Є iV и откуда Л /1-/2 5 -і/ /і -/2 а IIA-Vi- II . Тем самым теорема доказана.
Найдем условия на множество М, при выполнении которых оно будет классом равномерной регуляризации для уравнения (1.1).
Определение 1.5. Пусть М - класс равномерной регуляризации, a {Tj: О 5 SQ} - произвольный метод приближенного решения уравнения (1.1) на этом классе. Тогда для любого 6 Є (0,] оценкой погрешности этого метода на множестве М назовем величину А(Щ = sup{« - ЗД : иЄМ, \\Аи - fs\\ б). (1.2) Для классов равномерной регуляризации в силу определения 1.5 будет иметь место следующее утверждение.
Замечание 1.2. Равномерная регуляризация уравнения (1.1) методом {Т$ \ 0 5 (} на множестве М равносильна тому, что ДрЙ-Ю при 5- 0. (1.3) Определение 1.6. Пусть N CY, тогда подмножество N, определяемое формулой {/: 7 Є Л, ll/o-7ll = inf/o-/}, /о Є У будем называть метрической проекцией элемента /о Є Y на множество iV и обозначать pr(/o, iV).
Пусть pr(/; N) оператор метрического проектирования пространства У на множество N. Тогда для любого 8 Є (0, SQ] семейство операторов {Р$} определяется формулой P5f = A-1pr(f;N), /Є Y, (1.4)
Покажем, что в рефлексивных банаховых пространствах семейство операторов {Р$} является методом решения исходной задачи, и, следовательно, множество М будет классом равномерной регуляризации.
Лемма 1.1. Пусть Y рефлексивное банахово пространство, тогда существует норма ЦІ ЦІ, топологически эквивалентная исходной, относительно которой Y превращается в Е-пространство. Доказательство. Приведено в теореме в [35] , с. 130. Используя результат леммы 1.1, построим следующую конструкцию. Пусть ЦІ ЦІ - новая норма в Y, относительно которой оно является -пространством, а N = AM. Пусть метрическая проекция pr(f, N) определяется относительно новой нормы ЦІ ЦІ. Тогда через Р обозначим оператор, отображающий У в N и определяемый формулой Pf = pr(f,N). (1.5) Лемма 1.2. Если пространства U uY рефлексивны, а М ограничено, выпукло и замкнуто в U, то оператор Р, заданный формулой (6) будет определен и непрерывен на всем пространстве Y .
Доказательство. В теореме, приведенной в работе [39] , доказано, что если Y является -пространством, а множество N выпукло и замкнуто в нем, то для любого элемента / Є Y существует метрическая проекция pr(f, N), которая состоит из одной точки и из того, что fn — /о следует, что pr(fn, N) - pr(fo, N) при п - оо. Тогда из леммы 1.1 будет следовать, что если пространства U и Y рефлексивны, а М ограничено выпукло и замкнуто в U, то оператор Р будет непрерывен на всем пространстве У. Тем самым лемма доказана.
Установим связь между классами корректности и классами равномерной регуляризации. Для этого нам потребуется понятие модуля непрерывности ш\ (г, М) обратного оператора [37]
Исследование точности метода регуляризации Тихонова нулевого порядка на различных классах корректности
Пусть Н- гильбертово пространство, U = Y = V = Н, спектр Sp{A\) = [0, Л2], и В : V - [/-линейный, ограниченный оператор такой, что В\12 = G{A\/2), где G{cr) непрерывна, строго возрастает при т Є [О, ЦАЦ] и G(0) = 0. Общий метод регуляризации заключается в сведении задачи приближенного решения уравнения (1.1), при условии, что его точное решение щ принадлежит множеству Mr = BSr, к вариационной задаче inf{Ct; - f5f + a\\v\\2 : v Є Я}, а 0, (2.52) V где С = АВ. Из работы [24] следует, что для любого fs Є Н существует единственное решение Щ задачи (2.52). Тогда приближенное решение Щ уравнения (1.1) определим формулой Щ = вщ, которое может быть представлено формулой = B\l2(d + aES)-lCrf6l где С - оператор, сопряженный С, а С\ = С С. Пусть семейство регуляризующих операторов {Ra : а 0}, определяется формулой Ra = B(Ci + aE)-lC , а 0. (2.53)
Оценим величину погрешности для введенного семейства операторов. Для этого введем величину Ді(а) = sup{w - RaAu\\ : и Є Mr}. (2.54) и Предположим, что эта величина удолвлетворяет уравнению Ai{a) = \\Ra\6, (2.55) при некотором значении а Лемма 2.7. Функция Ді(а) определенная формулой (2.54), является строго возрастающей и непрерывной на полупрямой [0, со).
Доказательство. Так как множества значений R(B) и R(B ) операторов В и В всюду плотны в Н, то из леммы, сформулированной в [75], следует существование полярного разложения оператора В B = Q В\/2, (2.56) где Q - унитарный оператор.
Подставляя в Ді(а) представление (2.56), получаем, что из формулы (2.54) следует, что для величины Аі(а) будет справедливо равенство Ді(а) = г max ar ffi ш. (2.57) Пусть А = G(a) а. Тогда существует обратная функция а = т{\), которая непрерывна и строго возрастает на отрезке [0,(3(А) Л(]. Пусть функция G(X) определена формулой G(A) = G[a(X)]. (2.58) Тогда из (2.58) следует, что эта функция будет непрерывной, строго возрастающей и для неё будет выполнено условие G(0) = 0. 9080 Из формул (2.57) и (2.58) следует, что при А Є [0, ЛС(Л)] будет выполнено Ді(а) = гтахі 1. (2.59) а а + Xі I Из (2.9) и (2.59), на основании леммы 2.3, получим непрерывность и строгое возрастание функции Ai(a), а также выполнение следующих условий К\{а) - 0 при а -ь 0 и Ai(a) - rG(m) при a - со. Теперь перейдем к исследованию поведения -Ra- Из (2.53) следует, что G(A) Л LRJ = тах (2.60) Х2 + а : A[0,WG(W)] , где G(A) = (?[(7(А)]. Лемма 2.8. Функция \\Ra\\, определяемая формулой (2.60), является непрерывной, невозрастающей при а 0, и \\Ra\\ - 0 при а — со, all - со при a - 0. Доказательство. Пусть ао 0 и ап —) ао при п - со. Тогда без ограничения общности можем считать, что для любого п ап ао/2. Покажем, что -RQJ - i2Qo при п — со.
Кроме того, из леммы 2.3 имеем, что Ai(a) — 0 при а —) 0, а, следо-вателыю, семейство операторов {RaA} равномерно сходится к единичному оператору Е на множестве Мг. Таким образом, семейство линейных ограниченных операторов {Ra(5) 0 S SQ; Мг} будет являться методом приближенного решения уравнения (1.1) на множестве Мг в смысле определения 1.3.
Теперь введем число А0{5) = MAs[Ra; Мг], где As[Ra;Mr] определена формулой (2.18). Из [83], с. 44-46 следует, что для любого 6 Є (0,50] к50 rG(\\A\\)\\A\\ Ді(a{S)\ До№ 2(а(5)). (2.65) Теорема 2.2. Метод {Ra(s) 0 о}, определяемый формулами (2.53) и (2.55), оптимален по порядку на классе Мг. Доказательство. Пусть а(8) = 52. Тогда из работы [82] следует оп 4. тимальность по порядку на классе МТ метода {Ra(5)} Таким образом, найдется число к такое, что для любого S Є (О, (] А5[Іїа(5у,Мг} ки(6,г), (2.66) но тогда из (2.65), (2.66) следует, что для любого 5 Є (0,] As[Ra{6)]Mr} 2kuj{6,r), что и доказывает оптимальность по порядку на классе Мг метода {Rs(S) 0 5 5Q}. Тем самым теорема доказана.
Оценка погрешности метода проекционной регуляризации
Найдем оценку для метода, определяемого формулой (3.11) и докажем, что этот метод будет оптимальным по порядку на соответствующем классе равномерной регуляризации. Пусть Я -гильбертово пространство, спектр Sp(A{) — [О, \\А\\2] , а Sr = {v: veH, \\v\\ г} . Пусть і?/ = G(Ai ), где G{a) - непрерывная, строго возрастающая на [О, Л] функция такая, что G(0) = 0. В качестве класса равномерной регуляризаци рассмотрим множество Мг такое, что Мт = BSr.
Пусть оператор Ра, заданный формулой (3.1), удовлетворяет соотношению (3.11). Из (3.1) следует, что а Є [0, \\А\\] , то есть параметр регуляризации является точкой спектра, тогда значение параметра а(5) удовлетворяет уравнению, аналогичному уравнению (1.31). В предыдущем разделе было показано, что оператор Ts является методом решения исходной задачи.
Перейдем к оценке погрешности для метода Ts. Для этого сравним его с другим методом Р ,заданным формулой (3.1), где значение параметра а (5) удовлетворяет уравненю r . G{a) = Ш (3.44) а Без ограничения общности можем предположить, что Л 1. Тогда из [83] будет следовать, что при условии 5 rG(\\A\\) уравнения (3.43) и (3.44) имеют единственное решение, а для метода Р (5) выполняется оценка А(Рад) \\A\\G(a(5)), (3.45) где A(Pa(s)) определено формулой (1.2). Из результатов, сформулированных в [85] имеем w{r,8) = rG{a(5)), (3.46) то из (3.43), (3.44) и (1.2) следует оптимальность по порядку метода Р , на классе Мг.
В дальнейшем, используя формулу (3.7), вместо регуляризующего семейства операторов [Ра] будем рассматривать {Та}, определяемое формулой (3.8). Предположим,что а - максимальное из решений (3.3), а а(5) и 5( 5), соответстющие решения уравнений (3.43) и (3.44). Опишем некоторые свойства регуляризующего семейства операторов. Лемма 3.4. Если параметр а принадлежит интервалу (0, 4), то Pill = а Доказательство. Из теоремы 3.1 следует, что оператор Та непрерывен. Тогда из вида (3.8) и свойств норм слабого предела следует, что то га \ а Но так как — является точкой спектра, то будет выполнено а га = - а Тем самым лемма доказана. Лемма 3.5. Пусть gs = Q fs- Если \\gs\\ ЩА\\6, то для любого а О из того, что \\А\/2Та95 - д5\\ 3\\А\\6 (3.47) следует, что га га. Доказательство. Так как функция и(а) возрастает на [О, \\А\\], то отсюда и из условий (3.3) и (3.47) следует, что а а. Таким образом, из леммы 3.4 следует Ш\ \\Tal
Лемма З.б. Пусть \\gs\\ 3\\А\\6, тогда для а, а(5), а(5) выполняются следующие соотношения. \\A\/2uf5)g5 - g5\\ ЦА\\5 , а a(S) и \\Tag5ag0\\ r\\A\\G(a(S)Y Доказательство. Так как и$ = T gs , то из результатов, сформулированных в [85] следует, что \\ufS) - Т а{6) g,\\ rG(a(S)) . (3.48) Обозначим через Я2 подпространство Я, определяемое формулой Я2 = (Е- Ещ))Н. Тогда из (3.8) будет следовать, что Та(5) 9 = Аї1/2д, дЄН2 (3.49) Учитывая инвариантность подпространства Я2 относительно оператора А/ , доказанную в [73] получаем, что пА 1/2 5(,5) и і, .1/2 5(5) Л/2 5(,5),, и ,1/2 5(8) и 11л1 Щ - 9о\\ \\Лг и5 - Аг и0 + Иі и0 - до\\. Из этого соотношения вытекает следующая оценка
Строение класса корректности для задачи восстановления фононных спектров
Оценим погрешность метода решения уравнения (4.3) на построенном классе равномерной регуляризации. Перейдем к решению уравнения (4.3) методом проекционной регуляризации. Для этого предположим, что при /(г) = /о(т) существует точное решение о() Є Мг, но /о нам не известно, а вместо него даны fs и 8 0 такие, что /0 - /JI2 8.
Требуется по МГ) fs и 8 найти приближенное решение ipg, наиболее близкое к (fo на классе Мг, и оценить /?о — Рб\\ Будем решать уравнение (4.1) в Фурье-образах, т.е. предположим известной функцию Fs такую, что \\Fs — Fo\\ 8, a FQ соответствует точное решение Фо уравнения (4.4), которое принадлежит классу Мг = В Sr.
Применяя к уравнению (4.4) метод проекционной регуляризации, сначала регуляризуем исходные данные задачи (Fs(p),8), т.е. определим функцию Fs\p, a(8)] следующим образом. При условии \\Fs\\ 3\\А\\8 { Fs{v) при \р\ а(8), о при и ад, где а(8) определена из условия -3((5) оо / \Fs(p)\2dp+ J\Fs(p)\2dp = 9\\A\\2S2. -оо a(S) При условии \\F5\\ 3\\Л\\8 Fs\p, ЭД] = 0.
Далее приближенное решение Ф$(р) уравнения (4.4) определим формулой Тогда существует число I такое, что
Так как для точного решение о уравнения (4.3) имеет место соотношение (4.22), то выполняя обратное преобразование Фурье, получим, что из формулы (4.27), леммы 3.6 и теоремы 3.2 следует, что существует число I такое, что b-poHJln- iV (4.29)
Из теорем 3.2 и 3.3 будет следовать оптимальность по порядку, использованного метода проекционной регуляризации на классе Мг и точность по порядку оценки (4.28).
Все сказанное остается в силе и для приближенного решения ip$ = С2 Фй уравнения (4.3).
Применение принципа невязки при восстановлении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости
Основной характеристикой, связанной с фононными спектрами в кристалле, служит фононная плотность состояний x(s), от вида которой зависят многие физические свойства твердых тел.
Задача определения энергетическокого спектра x(s) по термодинамической функции f(t) сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода ь Ах = J K{s,t)x(s)ds = f(t), t Є [c;d\, (4.30) а где f(t) - теплоемкость кристаллической решетки в гармоническом приближении, x(s) - фононная плотность состояний. Функция ядра задается формулой где j3 = l,q = 4,79927. Оператор А будет линейным, инъективным ограниченным оператором, действующим из Ьг([а, 6]) в I Qc, d\), а следовательно, ядро K(s, t), будет замкнутым.
Предполагается, известным, что существует точное решение x(s) Є L2{[a,b}) и правая часть f(t) принадлежит пространству L2([c,d\). При этих условиях задача (4.30)-(4.31)
Вместо точного значения правой части известны некоторые приближения fs(t) и уровень погрешности 5 такие, что fs(t) Є L/2([c, d\) и выполнено \\f(t) — fs{t)\\ S.
Требуется по исходным данным задачи f$ и 5 построить приближенное решение уравнения (4.30) и оценить его уклонение от точного решения.
При решении этой задачи важную роль играет выявление тонкой структуры решения, то есть количество и местоположение пиков
Для выявления тонкой структуры оказалось необходимым учитывать априорную информацию о решении: неотрицательность фононного спектра и, кроме того, на решение накладывается дополнительное условие нормировки, то есть для любого значения s выполнено:
