Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы теория сингулярно возмущенных задач получает все большее развитие как в теоретическом плане, так и через решение конкретных задач математики, механики, физики, химии, биологии, различных отраслей человеческих знаний. В зависимости от исследуемой задачи весьма эффективными методами получения решений сингулярно возмущенных уравнений являются метод усреднения, метод пограничных функций А.Б. Васильевой, метод регуляризации С.А. Ломова, метод сращиваемых асимптотических разложений. Не менее активно развивается теория экстремальных задач. Типичной становится ситуация, когда дифференциальное уравнение, из которого определяется решение экстремальной задачи, имеет по крайней мере одну особую точку. В связи с этим проблема построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений с особыми точками является весьма актуальной задачей. В настоящее время нет общей теории нахождения решений таких уравнений. Поэтому анализ проводится для отдельных классов уравнений. Линейные скалярные обыкновенные дифференциальные уравнения с особенностями первоначально рассматривались в пространстве аналитических функций ( Эйлер, Фукс и др.), и только во второй половине нашего века были получены результаты, относящиеся к сингулярным уравнениям в пространствах дифференцируемых функций, а также в различных весовых пространствах (И.Т.Кигурадзе, Л.Д.Кудрявцев, В.П.Глушко, J.Elschner). Задачи с сингулярными точками внутри отрезка, на котором изучается обыкновенное дифференциальное уравнение, рассматривались в работах W.N.Everitt, A.Zettl, В.П.Глушко, J.Elschner и др. Спектральные многоточечные задачи для сингулярного обыкновенного дифференциального уравнения рассмотрены Ю.В.Покорным и его учениками.
Актуальным является получение решений предельных сингулярно возмущенных задач со следующим свойством: при малом параметре равном нулю порядок уравнения не понижается, но само уравнение становится с особой точкой. Линейные уравнения с этим свойством исследованы в работах Лайгхилла, С.А.Ломова, Ю.А.Коняева, В.И.Фомина и др. В настоящей диссертационной работе уравнение Эйлера - Лагранжа имеет вид нелинейного сингулярно возмущенного уравнения с указанным свойством. Как показано Е.В.Воскресенским, решения задачи Коши для этого
уравнения с нулевыми начальными условиями будут находиться среди ТО-кривых.
Целью работы является разработка метода получения решений предельных задач сингулярно возмущенных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в виде обобщенного степенного ряда и на основе этого метода моделирование задач механики.
Методика исследования. Основными методами исследования в диссертации являются методы качественной теории дифференциальных уравнений, асимптотические методы, методы представления решений дифференциальных уравнений в виде рядов.
Научная новизна. Работа содержит следующие новые результаты:
1) сформулирована задача определения экстремалей из
уравнения Эйлера — Лагранжа с особой точкой; предложен метод
приведения уравнения Эйлера - Лагранжа с особой точкой к
сингулярно возмущенному уравнению;
-
получены условия существования решения задачи Коши для уравнения Эйлера — Лагранжа с особой точкой в виде обобщенного степенного ряда; доказана теорема о структуре решений предельной сингулярно возмущенной задачи;
-
в качестве приложения предложенным методом получено решение одной известной задачи определения оптимальной формы тела, имеющего минимальное волновое сопротивление в гиперзвуковом невязком потоке при заданных радиусе донного сечения и объеме тела;
4) сформулированы условия совпадения исследуемого
уравнения с уравнением тела переменной массы; решена новая
задача о точке переменной массы с нулевыми начальными
условиями.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты
диссертационной работы представляют интерес для дальнейшего
развития общей теории сингулярно возмущенных
дифференциальных уравнений. Элементы работы использовались в учебном процессе: при чтении курса численных методов студентам физико-математического факультета Чувашского государственного педагогического университета, а также в курсовых и дипломных работах студентов. Результаты работы использовались автором при написании учебно-методического пособия «Практикум по численным методам» и учебного пособия «Лекции по численным методам».
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на международной научной конференции «Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах» (г.Тверь, 1996 г.), на IV международной научной конференции «Математика. Компьютер. Образование.» (гЛущино,
1997 г.), Всероссийской научно-практической конференции «Новые
информационные технологии» (г.Воронеж, 1997 г.), международной
научной конференции «Дифференциальные уравнения.
Интегральные уравнения. Специальные функции.» (г.Самара, 1997
г.), V и VI международных научных конференциях «Математика.
Образование. Экономика.» (г.Ростов-на-Дону, 1997 г., г.Чебоксары,
1998 г.), международной научной конференции «Современные
проблемы математики» (г.Черновцы, 1998 г.), III и IV
международных научных конференциях "Дифференциальные
уравнения и их приложения" (г.Саранск, 1998, 2000 гг.); на
городском научном семинаре по дифференциальным уравнениям
(г.Чебоксары, 1996-1998' гг.), научном семинаре кафедры
математического моделирования математического факультета
Чувашского государственного университета (г.Чебоксары, 1998 г.),
научном семинаре кафедры информатики и вычислительной
техники Чувашского государственного педагогического
университета (г.Чебоксары, 1996-2000 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 — 14].
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, приложения. Объем основного текста диссертации составляет 140 страниц машинописного текста, объем приложения - 70 страниц машинописного текста. Библиография содержит 140 названий.
