Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 12
1. Глава 1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ И ПОДХОДЫ 22
2. Глава 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КОНФИ ГУРАЦИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 43
2.1. Моделирование движения тела качением кривых 43
2.1.1. Траектория и маршрут 43
2.1.2. Скорость и коэффициент скольжения 44
2.1.3. Уравнение связи 45
2.1.4. Угловая скорость и другие соотношения в плоской паре сопряженных кривых 49
2.2. Пример. Движение, моделируемое качением улитки Паскаля по циклоиде 52
2.2.1. Соизмеримость и связь параметров сопряженных кривых 53
2.2.1.1. Циклоида и улитка Паскаля 53
2.2.1.2. Соизмеримость эллипса и синусоиды 55
2.2.2. Углы поворота, траектории точек и другие характеристики движущейся фигуры 55
2.3. Моделирование движения тела упорядоченным семейством кривых 63
2.3.1. Семейство, порождаемое движущейся кривой 63
2.3.2. Огибающая параметрически заданного семейства. Рабочая зона контура 65
2.3.3. Пример. Нахождение огибающей семейства, порождаемого движущимся отрезком как особого решения дифференциального уравнения Клеро на основе принципа экстремальной удаленности 68
3. Глава 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕ СКОГО И ПРОИЗВОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 71
3.1. Уравнения и характеристики проекций кривой 71
3.2. Характеристики сечений и кривых на поверхности 73
3.2.1. Триэдр Дарбу ориентированной кривой на поверхности. Нормальная и геодезические кривизны. Геодезическое кручение. Вектор угловой скорости триэдра Дарбу 73
3.2.2. Некоторое обобщение теоремы Менье 75
3.3. Кривая на линейчатой развертывающейся поверхности. Выражение главной отличной от нуля кривизны поверхности через кривизну кривой на этой поверхности 77
3.4. Кривая на конической поверхности 78
3.4.1. Триэдр радиус-вектора кривой на конической поверхности 78
3.4.2. Угловая скорость триэдра радиус-вектора 79
3.4.3. Текущая ось вращения триэдра радиус-вектора 82
3.4.4. Соприкасающийся круговой конус 84
3.5. Моделирование сферического движения твердого тела путем представления его качением со скольжением конических поверхностей 85
3.5.1. Траектории и маршруты точек тела 86
3.5.2. Уравнение связи для параметров кривых, определяющих соприкасающиеся конические поверхности 88
3.5.3. Угловая скорость тела, связанного с конической поверхностью 89
3.6. Геометрическое моделирование произвольного движения
твердого тела 91
3.6.1. Основные характеристики линейчатых поверхностей 92
3.6.2. Геометрические и кинематические характеристики сопряженных аксоидов, обусловленные их качением 99
3.6.3. Кинематические характеристики тела 102
3.6.3.1. Общий случай сопряженных аксоидов и их сопряженных кривых 102
3.6.3.2. Косые и развертывающиеся аксоиды. Сопряженные кривые - стрикционные линии 104 4. Глава 4. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ 108
4.1. Последовательность сопровождающих базисов кривой 108
4.1.1. Построение последовательности базисов 108
4.1.2. Матричные соотношения между ортами базисов 109
4.2. Система дифференциальных уравнений типа формул Френе 111
4.2.1. Дифференцирование векторов с учетом поворота базисов 111
4.2.2. Формулы Френе для ортов n-го базиса последовательности 11
4 4.3. Основные рекуррентные соотношения 119
4.4. Классификация кривых по рангу сложности 120
4.5. Интегрирование последовательности систем уравнений Френе 1
4.5.1. Основной базис 125
4.5.2. Алгоритм интегрирования систем уравнений Френе 125
4.5.3. Блок-схема алгоритма интегрирования уравнений Френе 127
4.5.4. Кривые k-го ранга 128
5. Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ НА ОСНОВЕ КЛАССИФИКАЦИОННЫХ СВОЙСТВ КРИВЫХ - траекторий 133
5.1. Постановка задачи 133
5.2. Связь классификационных свойств кривых с эвольвентами и индикатрисами 134 Дифференциальные уравнения для ортов п-го базиса 137 Связь последовательных базисов с эвольвентами и индикатрисами 138
5.3. Индикатрисы касательных с целыми номерами
5.4. Геометрическая трактовка конической кривизны Соприкасающийся круговой конус Углы смежности 142
5.5. Теорема Гаусса-Бонне для незамкнутой кривой-контура. Условие замкнутости 144
5.6. Параллельное перенесение в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой 147
5.6.1. Идентификация базисов 147
5.6.2. Параллельно переносимый вектор в случае движения твердого тела с неподвижной точкой 152
5.6.3. Вычисление угла поворота тела с помощью теоремы Гаусса Бонне. Доказательство теоремы о телесном угле на основе понятия геодезического параллельного перенесения 154
6. Глава 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ 156
6.1. Некоторые новые разновидности интегралов дифференциальных уравнений движения точки и общие теоремы 156
6.1.1. Геометрические, кинематические и динамические соотношения 157
6.1.1.1. Уравнения движения точки в числовом параметре. Работа нормальной составляющей силы 157
6.1.1.2. Понятие угловой скорости вектора. Парциальные кривые и кривизны 158
6.1.1.3. Принцип детерминированности и избыток кривизны и кручения 161
6.1.2. Дифференциальные уравнения движения точки в проекции на координатные плоскости - парциальные уравнения 163
6.1.2.1. Первые интегралы 164
6.2. Геометрические аспекты в задачах небесной механики 166
6.2.1. Геометрические аспекты в задачае о движении в поле ньютоновых сил тяготения 166
6.2.1.1. Движение по эллипсу 167
6.2.1.1.1. Геометрическая интерпретация уравнения Кеплера 167
6.2.1.1.2. Аналоги третьего закона Кеплера 170
6.2.1.1.3. Геометрический смысл эксцентрической аномалии 172
6.2.1.1.4. Геометрическая форма интеграла. Сопутствующая циклоида 174
6.2.1.2. Движение по гиперболе 181
6.2.1.2.1. Аналог третьего закона Кеплера 181
6.2.1.2.2. Геометрическая интерпретация уравнения Кеплера 183
6.2.1.2.3. Закономерности при движении по гиперболе 184
6.2.1.2.4. Гиперболическая аномалия 185
6.2.1.3. Движение по параболе 188
6.2.1.3.1. Аналог и геометрическая интерпретация уравнения Кеплера 188
6.2.1.3.2. Параболические функции и некоторые их свойства 191
6.2.1.3.3. Аналог третьего закона Кеплера и другие закономерности при движении по параболе 192
6.2.1.3.4. Параболическая аномалия 194
6.2.2. Геометрическая сущность подстановки и уравнения Бине 196
7. Глава 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ В ЗАДАЧАХ ОБРА БОТКИ МЕТАЛЛА ПЛАСТИЧЕСКИМ ДЕФОРМИРОВАНИЕМ 199
7.1. Поверхности откоса и линии раздела кривых в связи с аналогией с песчаной насыпью при пластической деформации обрабатываемой заготовки заданной формы 199
7. 1. 1. Поверхности постоянного ската 199
7.1.2. Пример 1 202
7.1.3. Пример 2 205
7.1.4. Круговые конусы как поверхности постоянного ската и их линии пересечения 207
7.2. Линии раздела кривых как геометрическое место "неподвижных" точек в условиях пластического течения металла 210
7.2.1. Общие соотношения 212
7.2.1.1. Два аналитических способа 212
7.2.1.2. Третий способ 2 7.2.2. Алгоритмы численного решения 215
7.2.3. Некоторые примеры аналитического решения. Принцип парности 2
7.2.3.1. Случай двух окружностей, радиуса Rj, R2, центры которых расположены на расстоянии OIR1-R2I 216
7.2.3.2. Случай двух окружностей радиуса Rj, R2, центры которых расположены на расстоянии C=Ri—R2J 221
7.2.3.3. Случай двух окружностей радиуса Rj, R2, центры которых расположены на расстоянии C R]-R2 221
7.2.3.4. Линия раздела окружности и прямой 223
7.2.3.5. Случай двух окружностей радиуса Rj, R2, центры которых расположены на расстоянии Ri R2 C Ri+R2 231
7.2.3.6. Случай двух окружностей радиуса Rj, R2, центры которых расположены на расстоянии t=Ri+R2 232
7.2.3.7. Линия раздела окружности и эллипса. Принцип равноудаленное™. Геометрические модели некоторых биологических объектов 234
8. Глава 8. ВЗАИМОСВЯЗЬ И АНАЛОГИИ ЗАДАЧ ГЕОМЕТ РИИ, ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ. ГЕО МЕТРИКО-КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА МЕТОДА ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ 238
8.1. Некоторые соотношения фи параметризации 239
8.2. Опорные функции и уравнения кривой 242
8.2.1. Опорные функции 242
8.2.2. Уравнения плоской кривой 2 8.3. Эволюты 246
8.4. Вычисление площади. Один способ приближенного вычисления интеграла 250
8.5. Уравнения кривой в полярно-декартовых координатах 252
8.6. Аналогия вынужденных колебаний (ЛВК) 254
8.7. Метод вариации постоянных в задаче о нахождении уравнений аналоговой кривой 256
8.8. Начальные условия и уравнения кривой 258
8.9. Эвольвентно-центроидное представление кривой 2
8.10. Геометрико-кинематическая сущность метода вариации постоянных 264
8.11. Свойства решений уравнения вынужденных колебаний 267
8.12. Примеры 271 Пример 1. Циклоида как аналоговая кривая для вынужденных колебаний с гармонической вынуждающей силой и как геометрическая модель резонанса 271 Пример 2. Геометрическая модель затухающих колебаний 274 9.
Глава 9. ГЕОМЕТРИКО-КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 281
9.1. Представление модифицированной векторной формулы интегрирования по частям в виде уравнения эвольвенты пространственной кривой. 281
9.2. Свойства эвольвент 284
9.2.1. Теорема об эвольвенте пространственной кривой и ее проекции 284
9.2.2. Ректификация кривых 288
9.2.3. Формулы площади фигуры, заданного контура 289
9.3. Уравнение обобщенной эвольвенты , 292
9.4. Модифицированная векторная формула интегрирования по частям как следствие уравнения обобщенной эвольвенты 294
9.5. Применение обобщенных эвольвент-эволют к интегрированию дифференциальных уравнений 296 9.6. Геометрическое представление интегралов 298
9.7. Кинематическая трактовка интегрирования. Обобщенная циклоида 300
9.8. Эвольвентно-циклоидная трактовка интегрирования. Интегрирующая обобщенная эвольвента обобщенной циклоиды и свойства этих кривых 302
ЗАКЛЮЧЕНИЕ (ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ) 306
ЛИТЕРАТУРА 310
ПРИЛОЖЕНИЯ 334
10. 2. Приложение 1. (Дополнение к главе 2). ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ ВИДОВ КРИВЫХ В КОНСТРУКЦИЯХ 334
11.3. Приложение 2. (Дополнение к главе 3). МОДЕЛИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПУТЕМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЕГО ВРАЩЕНИЕМ С ПРЯМОЙ И ОКОЛО ПРЯМОЙ 337
11.3.6.1. Общие кинематико-геометрические соотношения 337
11.3.6.2. Угловая скорость тела в параметре кривой-траектории его точки 340
11.3.6.3. Кинематические уравнения движения тела с неподвижной точкой 341
12. 4. Приложение 3. (Дополнение к главе 4). ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ КРИВЫХ И КИНЕМАТИКИ 343 12.4.1. Общие соотношения 3 12.4.1.1. Кривая-носитель, траектория, маршрут, уравнения движения точки 343
12.4.1.2. Параметрические скорость и ускорение в числовом параметре 344
12.4.1.3. Вектор угловой скорости и ускорения, скорости точек твердого тела. 345
12.4.1.3.1. Вектор угловой скорости 345
12.4.1.3.2. Производная вектора, неизменно ориентированного в подвижной системе отсчета 348
12.4.1.3.3. Скорости точек твердого тела 349 12.4.2. Формулы Френе и их применение с учетом кинематических представлений 349
12.4.2.1. Кинематическая трактовка формул Френе. Вектор Дарбу 349
12.4.2.2. Натуральные движения тела твердого тела, моделируемые движением натурального триэдра кривой 351
12.4.2.3. Локальное представление кривой винтовой линией 352
12.4.2.4. Оси винта. Взаимосвязь с осями Френе 354
12.4.2.5. Формулы типа Френе для осей винта. Еще один вид естественных уравнений кривой 3 12.4.3. Кинематические модели основных понятий теории кривых. Применение понятия угловой скорости вектора к вычислению угловой скорости подвижного базиса и тела 357
12.4.4. Кинематический смысл основных характеристик кривой и их иллюстрация 361
12.4.5. Оценка степени близости кривых смежных рангов в целях плавного перехода от сложной пространственной кривой к более простой 364
13. 5. Приложение 4. (Добавление к главе 5). О ПОНЯТИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНЕСЕНИЯ 366
14. 6. ПРИЛОЖЕНИЕ 5. ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 6 370 14.6.2. Еще одно представление дифференциальных уравнений движения точки и их первые интегралы 3 14.6.2.1. Аналоги интеграла Жуковского 372
14.6.2.2. Применение аналогов интеграла Жуковского к задаче о движении точки под действием центральной силы 375
15. 8. Приложение 6. (Дополнение 1 к главе 8). ГЕОМЕТРИЧЕ СКИЕ АСПЕКТЫ В ЗАДАЧАХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ И НА ГРУЖЕННЫХ НИТЕЙ 382
15.8.1. Общие кинематико-геометрические соотношения теории тонких упругих стержней 382
15.8.2. Дифференциальные уравнения равновесия упругой линии 386
15.8.3. Некоторые приближения кривых, связанные с упругой линией балки и с нагруженной нитью 391
15.8.3.1. Приближение кривой нагруженной нитью 392
15.8.3.1.1. Уравнения равновесия гибкой нерастяжимой нагруженной нити 392
15.8.3.1.2. Приближение, связанное с цепной линией равного сопротивления 394
15.8.3.1.3. Некоторые дифференциальные соотношения. Дробная производная вещественного порядка 394
15.8.3.1.4. Связь с семейством аппроксимирующих парабол, огибающей которого является данная кривая 398
15.8.3.1.5. Связь с упругой линией балки 3
15.8.4. Приближение кривой кратными эволютами окружности 401
15.8.5. Производная целого порядка и ее геометрико-механический смысл 403
15.8.6. Геометрические аспекты уравнений динамики тонкого упругого кольцевого резонатора как источника стоячих волн, обладающих инерционными гироскопическими свойствами 408
16. 8. Приложение 7. (Дополнение 2 к главе 8). РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ НА ОСНОВЕ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ПОД ХОДА 412
16.8.1. Построение нормали и касательной к некоторым кривым 412
16.8.1.1. Построение нормали к улитке Паскаля 412
16.8.1.2. Построение нормали к синусоиде 415
16.8.1.3. Соотношение между угловыми и линейными величинами 418
16.8.1.4. Построение нормали к тангенсоиде 4 16.8.2. Квадратура кругового сектора и круга с помощью тангенсоиды 420
16.8.3. Энсекция угла и деление окружности на нравных частей. Применение в машиностроении 421
17. 9. ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ 9 425
17.9.6. Некоторые конкретные пары обобщенных эвольвент эволют и интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений 425
17.9.6.1. Обобщенная эвольвента круга - прямая. Общее решение одного уравнения Рикатти 425
17.9.6.2. Обобщенная эвольвента круга - окружность 432 18. 9. Приложение 9. (Дополнение 2 к главе 9). ПРИЛОЖЕНИЯ ЭВОЛЬВЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 434
18.9.9. Приложения эвольвентных преобразований 434
18.9.9.1. Некоторые тригонометрические соотношения 434
18.9.9.2. Обращение параметра в уравнениях спирали Корню 434
18.9.9.3. Взаимосвязь динамики движений материальной точки по эволюте и эвольвенте 436
18.9.9.4. Операция скалярно-векторного умножения векторов и ее свойства 440
18.9.9.5. Использование угловых координат для описания кривых и движения 442
19. Приложение 10. ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИ ЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 446
Введение к работе
Диссертация посвящена математическому-моделированию на основе кинематико-геометрического подхода в широком круга теоретических и практических задач механики и прикладной математики, в частности геометрическому моделированию движения тел, в теории упругих нитей и стержней, в механике твердого и деформируемого тела, а также кинематико-геометрическому подходу в теории кривых и поверхностей, в теории аппроксимации, в интегрировании.
Темпы научно-технического прогресса в значительной степени определяются развитием приоритетных направлений, способствующих развитию новой техники и технологий, созданию, производству и обработке принципиально новых материалов и оборудования. Особая роль в решении этих вопросов принадлежит механике, непосредственно обеспечивающей ускорение научно-технического прогресса на основе методов физического и математического моделирования и вычислительной техники. При этом внимание акцентируется на одном из основных моментов - создании эффективных математических, в т.ч. геометрических моделей изучаемых объектов, математическом обеспечении создания новой техники и технологий.
Вопросы механизации и автоматизации конструирования поверхностей сложной формы является одним из актуальных, от его решения зависят темпы внедрения техники с программным управлением [238], и в конечном счете - темпы развития промышленного производства.
В связи с интенсивным процессом компьютеризации всех сторон жизни возрастает интерес к графическому представлению информации как естественному средству общения человека с компьютером. При этом возрастают требования к математическому описанию положения и форм геометрических образов и соответственно материальных объектов, моделируемых ими. Чтобы построенные модели были максимально адекватны моделируемым объектам, желательно, чтобы в способах описания геометрических образов были отражены свойства материальных объектов. Это позволит наиболее плодотворно использовать геометрические модели как предметно ориентированные, с учетом функциональных особенностей моделируемых изделий. Кроме того, в материальных объектах, хотя зачастую и в скрытой форме, заложены природные закономерности, раскрытие которых весьма полезно для создания и развития понятийной структуры самой геометрии.
Можно считать аксиомой то, что выявление новых закономерностей в многих областях следует ожидать при совместном рассмотрении неевклидовости, неголономности, неньютрновости [77] с учетом взаимосвязей между ними.
При этом желательна ориентация исследований на общесистемный подход с учетом аспектов нелинейной динамики (И.Пригожин, А.А. Самарский, СП. Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, С.А. Редкозубов)? механических представлений (В.В. Козлов, Н.Н. Колесников, В.Ф. Журавлев, Ю.Г. Мартыненко, М.П. Юшков, С.А. Зегжда), положений теории информации, распознавания образов, графоаналитических методов с использованием компютерно-графического визуального анализа.
Объектом настоящего исследования является совокупность разделов и задач механики и прикладной математики, объединенных тем, что все они находятся в тесной взаимосвязи с кинематико-геометрическими представлениями. Основные среди них - это кинематика и дифференциальная геометрия.
Кинематика, как совокупность способов описания многообразия положений материальных объектов, включает в себя в данном рассмотрении математическое описание геометрической конфигурации элементов робототехнических систем, теорию тонких стержней и гибких нитей, изучающую многообразие форм и др.
Дифференциальная геометрия, изучающая геометрические образы, является средством исследования геометрических свойств материальных, в т.ч. движущихся и деформирующихся объектов. Во многих случаях понятия дифференциальной геометрии опираются в свою очередь на кинематические представления. Убедительным примером служит метод подвижного репера Дарбу, Картана. Благодаря этому она сама является объектом исследования на основе кинематических подходов.
Предметом исследования является с одной стороны геометрические свойства движения или равновесия (в случае нитей и стержней), с другой - закономерности геометрических образов, суть которых проявляется через посредство кинематических представлений; предметом исследования является также взаимосвязь указанных геометрических и механических свойств.
Развитие робототехники, управляемой от ЭВМ, открывает новые возможности для реализации движений сложной геометрической конфигурации в различных технологических процессах, таких, например, как сборка, обработка и др. При этом существенным фактором является точность воспроизведения движения в режиме реального времени. Решение имеющихся здесь проблем во многом зависит от технологичности и простоты способов математического описания движения. В связи с этим вопросам геометрии и кинематики в настоящее время уделяется значительное внимание. В частности, роботизация предъявляет новые требования к математическим средствам описания движения, в связи с чем разработка и совершенствование которых является одной из актуальных задач.
Многие задачи теоретического и прикладного характера, связанные с реализацией технологических процессов, и в особенности задачи механики управляемого движения, .состоят в построении математических моделей в виде дифференциальных уравнений и их систем. При этом одна из сложностей заключается в интегрировании этих уравнений, результатом которого являются интегральные кривые или поверхности, включая л-мерные. Поэтому ясно, что проблема интегрирования тесно связана со сложностью формы и уравнений кривых. От успешного решения задачи классификации кривых по сложности и от алгоритма получения их уравнений напрямую зависит решение значительного ряда проблем, в т. ч. в самой теории кривых и поверхностей. Трудности интегрирования породили такие косвенные методы исследования, как качественная теория дифференциальных уравнений, их групповые, топологические свойства. Данный подход показывает эффективность использования и прямых кинематико-геометрических средств для решения этой и других задач математического моделирования. Залог эффективности кинематико-геометрического подхода в том, что кинематика и геометрия, будучи создаваемыми в процессе длительной эволюции для математического адекватного описания реальных природных объектов, не могли не вобрать в себя определенную долю мудрости природы. Благодаря этому можно считать, что в геометрии и кинематике самой природой заложена определенная эвристичность. Конечно, все это с успехом можно отнести и к любой другой области естествознания. Однако именно механика и, в частности, кинематика вместе с геометрией благодаря наглядности и предметности представляют собой наиболее доступную для понимания, саморазвивающуюся, синергетическую систему, эффективную для анализа и использования в теории и прикладных задачах.
Диссертационная работа выполнена в Воронежском Государственном университете по госбюджетной теме: «Разработка фундаментальных математических моделей и эффективных численных методов решения статических и динамических задач механики течения и деформирования сред сложной структуры» ВКГ ОКП № госрегистрации 01.9.70006096. Код темы по ГРНТИ 30.19.23, 30.19.29. Эта тема соответствует Постановлению правительства Российской Федерации от 9.09.1996 № 1062 и решению Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации от 31.01.97 № 164/2 «О федеральной целевой программе «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 годы»».
Целью работы является:
Разработка методологических принципов, научных основ и математических моделей описания движения, их.исследование и применение на основе кинематико-геометрического подхода для широкого круга задач прикладной математики и механики с учетом реализации в виде систем дифференциальных уравнений, алгоритмического, программного и информационного обеспечения.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
- получение новых и модификация известных соотношений дифференциальной геометрии применительно к описанию движения в числовом параметре;
- математическое описание и моделирование геометрической конфигурации движения твердого тела в определяющем параметре как упорядоченной совокупности его положений в пространстве с учетом последующей оптимизации путем изменения этого параметра во времени, а также с учетом преодоления трудностей математического характера, в виде особых точек при нулевых якобианах вырожденных матриц преобразований координат;
- применение полученных кинематико-геометрических закономерностей для изучения свойств кривых и поверхностей: а) разработка способа классификации кривых на основе кинематических методов;
- моделирование и решение прикладных задач на основе кинема-тико-геометрического подхода: а) кинематико-геометрический способ интегрирования; б) кинематический способ построения уравнений и свойства кривых; в) кинематико-геометрическая трактовка метода вариации постоянных; г) выявление и анализ возможностей использования аналогии характеристических уравнений кривых и уравнений вынужденных колебаний;
- анализ геометрических аспектов задач механики: а) выявление новых случаев интегрируемости, получение общих теорем и первых интегралов уравнений динамики точки; б) геометрическая трактовка законов и уравнения Кеплера, получение их аналогов для всех конических сечений; в) исследование характеристик движения твердого тела с неподвижной точкой на основе классификационных свойств кривых - траекторий и понятия геодезического параллельного перенесения; траєкторная модель; г) исследование свойств альтернативно-сборочных вариантов центроидно-траекторных движений; обращение движения в связи с циклоидальной теорией аппроксимационного синтеза механизмов; получение новых типов кривых и анализ возможности их применения в конструкциях; д) исследование геометрических аспектов задач пластического деформирования, в частности, определение линий раздела течения металла в соответствии с принципом наименьшего сопротивления и кратчайших нормалей, а также исследование свойств поверхностей в связи с песчаной аналогией в теории пластичности;
- решение задач на построение на основе кинематического подхода: энсекция угла и деление окружности на п равных частей и др., анализ возможностей применения в машиностроении; - разработка конструкций технических устройств для воспроизведения движений и выполнения математических операций.
При выполнении работы использовались методы математического моделирования, метод компьютерно-графического визуального анализа, а также методы математического анализа, векторной алгебры, дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений.
В диссертационной работе в систематизированном виде развит и использован кинематико-геометрический подход при математическом моделировании в широком круге теоретических и прикладных задач, в т.ч. получены следующие новые результаты:
- соотношения дифференциальной геометрии, теории кривых и поверхностей с учетом адекватного описания движения;
- новые разновидности естественных уравнений кривой, дифференциальные уравнения типа формул Френе, позволяющие на основе естественных уравнений получать уравнения кривых в координатной форме;
- выделение множества точек тела, движущихся с ускорением того же знака, что и угловое ускорение тела, способ графического определения скорости центра ускорений, модификация формулы Эйлера-Савари;
- модельное представление движения упорядоченным семейством кривых-контуров, неизменно связанных с телом, позволяющее определить рабочую зону достижимости движущихся объектов как огибающую этого семейства, кинематический способ определения точек огибающей на основе их экстремальной удаленности от мгновенных центров вращения, позволяющий обходить математические трудности, связанные с наличием особых точек;
- классификация кривых на основе кинематического подхода; введение последовательности сопровождающих базисов кривой, определение матричных соотношений между ортами базисов; построение системы дифференциальных уравнений типа формул Френе для ортов каждого базиса; разработка алгоритма получения координатно-параметрических уравнений кривых различной категории сложности и алгоритма процесса их интегрирования; - получение модифицированной векторной формулы интегрирования по частям, которая представлена в виде уравнения эвольвенты пространственной кривой;
- кинематическая эвольвентно-циклоидная трактовка интегрирования на основе обобщенной циклоиды и.ее обобщенной эвольвенты; кинематико-геометрическая трактовка метода вариации постоянных; выявление свойств решений уравнения вынужденных колебаний; геометрический аналог динамических процессов, в т.ч. резонанса и затухающих колебаний;
- альтернатива фазовой плоскости и траектории изображающей точки; выявление и разрешение парадоксального противоречия принципа детерминированности Ньютона и естественного способа определения кривой, избыточность кривизны и кручения; новые характеристики кривой, разрешающие данное противоречие; новые разновидности представлений дифференциальных уравнений движения и новые их первые интегралы;
- систематическое рассмотрение геометрических аспектов задач небесной механики: построение геометрических моделей задач небесной механики и космического полета, на основе которых предложены аналоги законов Кеплера при движении по коническим сечениям, включая наряду с эллипсом гиперболу и параболу; геометрическая интерпретация этих движений; введение понятий параболической аномалии; введение параболических функций, которые позволяют унифицировать запись уравнений Кеплера для всех конических сечений и указывают на связь с комплексными числами трех известных типов;
- применение понятия геодезического параллельного перенесения (ГПП) для геометрического моделирования в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой;
- установление с помощью геометрического моделирования сущности альтернативно-сборочных вариантов движений и исследование их свойств;
- установление и использование нового определения конических сечений как множества точек, равноудаленных от окружностей, при этом каждой парой окружностей определяется пара конических со фокусных сечений (принцип равноудаленности и принцип парности конических сечений); обобщение принципа равноудаленности на объекты различной природы, как частного случая общего принципа целесообразности, проявляющегося в данном случае в максимальной мобильности, маневренности движения;
- решение задач на построение на основе кинематического моделирования, в т.ч. алгоритмы квадратуры круга, энсекции угла и окружности с помощью трансцендентной тангенсоиды, а также построение касательной и нормали к тангенсоиде и синусоиде в произвольной их точке. Научная новизна проведенных исследований подтверждается патентами на изобретения, некоторые из которых не имеют мировых аналогов (патент №2182081 RU).
Полученные в диссертации результаты могут быть применены для построения алгоритмов управления движениями роботов и манипуляторов, осуществляющих перемещение объектов в различных технологических процессах, например таких, как обработка, сборка, разметка и пр.; в задачах распознавания трансформируемых образов; использованы как теоретическая предпосылка для разработки более точной аппроксимации кривых и поверхностей с учетом воспроизведения перемещения по ним; в решении широкого круга задач прикладной математики таких, например, как дифференцирование и интегрирование и др.
По результатам теоретических исследований получены авторские свидетельства и патенты на изобретения серии устройств различного назначения, связанного с выполнением математических операций, воспроизведением движений, определением характеристик движения; значительная часть разработок используется на предприятиях в производстве и в учебном процессе в вузах, что подтверждает достоверность полученных результатов наряду с совпадением следующих из них частных случаев с известными, классическими результатами, с функционированием натурных моделей устройств, разработанных на основе данных теоретических исследований.
Диссертационная работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики Воронежского госуниверситета.
Диссертация состоит из данного введения, девяти глав, заключе 20
ния и приложений. Основной текст изложен на 333 страницах, включающих также оглавление, рисунки, схемы, таблицы и список литературы из 333 наименований.
В главе 1 приведен анализ исследуемых в работе проблем геометрического моделирования движения и их взаимосвязи с кинематическими представлениями .геометрических объектов и задач прикладной математики.
В главе 2 моделируется и исследуется кинематика плоского движения. Используется геометрическая модель движения тела, представленного качением со скольжением кривой, неизменно связанной с телом, по другой, принимаемой за неподвижную.
В главе 3 рассматривается геометрическое моделирование сферического и произвольного движения, кинематика движения твердого тела с одной неподвижной точкой, моделируемого качением с угловым скольжением конических поверхностей.
В главе 4 рассматривается кинематическое моделирование объектов дифференциальной геометрии, разработана на основе кинематического подхода классификация кривых.
В главе 5 осуществлено исследование характеристик движения твердого тела с неподвижной точкой на основе полученных классификационных свойств кривых-траекторий.
В главе 6 рассматриваются геометрические аспекты задач динамики точки, получены новые первые интегралы дифференциальных уравнений динами точки и соответствующие общие теоремы.
В главе 7 рассматриваются геометрические аспекты в задачах пластичности. Построены уравнения поверхностей откоса и линии раздела течения металла в связи с аналогией с песчаной насыпью при деформировании обрабатываемой заготовки заданной формы в условиях полной пластичности. Рассмотрены примеры, допускающие аналитическое решение. Разработаны алгоритмы численного решения. Доказан ряд теорем.
В главе 8 исследуется взаимосвязь и аналогии задач геометрии, прикладной математики и механики, в частности, аналогия уравнений кривых с уравнениями вынужденных колебаний, кинематико геометрическая трактовка метода вариации постоянных. Предложены аналоги фазовой траектории изображающей точки в фазовой плоскости.
Глава 9 посвящена кинематико геометрическому подходу в задачах прикладной математики. В частности, в ней рассмотрен кинематико геометрический способ интегрирования. Получена модифицированная векторная формула интегрирования по частям.
В приложениях приводятся дополнения к главам и программы для численной реализации решений задач.
Большая часть статей, опубликованных по теме диссертации, включая монографию, написана без совавторста. В статьях, написанных в соваторствс, автору диссертационной работы принадлежит основной вклад.
Смысл обозначений приводится в соответствующих местах в тексте. Векторные величины выделены полужирным шрифтом.
В работе применен общий список литературы для основного текста и для приложений.
