Содержание к диссертации
Введение
1 Осесимметричная математическая модель анатомии левого желудочка сердца 13
1.1 Введение 13
1.2 Конструирование модели ЛЖ 14
1.2.1 Полукруг и хорды на нём 14
1.2.2 Сворачивание полукруга в конус 15
1.2.3 Построение спиральных поверхностей 17
1.2.4 Модель формы ЛЖ 20
1.3 Спиральные поверхности 23
1.4 Мышечные волокна как кривые на спиральной поверхности 23
1.5 Подстройка направлений волокон на эпи- и эндокарде 25
1.6 Волокна как геодезические линии 27
1.7 Сравнение модели с экспериментальными данными 28
1.7.1 Сравнение модели с экспериментальными данными о сердце человека . 28
1.7.2 Сравнение с более современными экспериментальными данными о сердце собаки 32
1.8 Обсуждение 36
1.8.1 Ограничения модели 37
1.8.2 Дальнейшее развитие и использование модели 37
2 Моделирование электрофизиологической активности левого желудочка 38
2.1 Введение 38
2.2 Мера анизотропности миокарда 39
2.3 Использованная электрофизиологическая модель 40
2.4 Лапласиан 40
2.5 Граничные условия 42
2.5.1 Изотропия. Цилиндрическая система координат 42
2.5.2 Изотропия. Специальная система координат 43
2.5.3 Анизотропия. Специальная система координат 44
2.6 Новая численная схема 45
2.7 Постановка задачи и значения параметров 47
2.8 Численные результаты 49
2.8.1 Время прихода волны в узлы 49
2.8.2 Средняя скорость возбуждения 57
2.9 Обсуждение 58
3 Неосесимметричная математическая модель анатомии левого желудочка сердца 61
3.1 Введение 61
3.2 Построение модели ЛЖ 61
3.2.1 Спиральные поверхности 63
3.2.2 Построение волокон на спиральных поверхностях 63
3.2.3 Приближение формы ЛЖ 64
3.3 Методика сравнения модели и данных эксперимента 67
3.4 Результаты сопоставления с данными о сердце собаки 69
3.5 Результаты сопоставления с данными о сердце человека 77
3.6 Обсуждение 82
3.6.1 Ограничения 82
3.6.2 Сравнение с другими моделями 82
3.6.3 Дальнейшее развитие и использование модели 84
Заключение 85
Список сокращенийиусловных обозначений 86
Словарь терминов 87
Литература
- Сворачивание полукруга в конус
- Сравнение модели с экспериментальными данными о сердце человека
- Использованная электрофизиологическая модель
- Методика сравнения модели и данных эксперимента
Сворачивание полукруга в конус
В модели (1.26), (1.38) угол а зависит от положения точки в толще стенки ЛЖ и меняется от 90 на эндокарде до примерно 0 в середине стенки, затем он возрастает до 90 на эпикарде. В реальном сердце, однако, вращение волокна меньше и значения этого угла на эндо- и эпикарде равны примерно 60 и 70 ([110], рис. 33). Чтобы учесть этот факт в модели, мы воспользовались идеей А.В. Панфилова об ограничении области изменения переменной 7 отрезком 0 7о 7 7і 1. Угол ір изменяется тогда от 7о(/?max до 7i(/?max- Например, если 7о = 0.1 7 0.75 = 7i, то на экваторе наибольшие значения угла а будут равны 55 на эндокарде и 75 на эпикарде (см. рис. 1.12 и раздел «Исследование модели», содержащий результаты расчётов углов наклона волокон).
Такая процедура удаляет наружный слой ЛЖ «толщиной» 7о и внутренний «толщиной» 1 — 7і, поэтому значения параметров г, /, d, hи рmax должны быть соответствующим образом увеличены. А именно, если мы хотим получить эффективные значения параметров гг, 1г, dl, hl и іргmax (i обозначает, что это входной параметр, input) после этой процедуры, в уравнении (1.38) надо использовать значения
Как было указано выше, в основе нашей морфологической модели лежит следующее предположение: трансформация плоского полукруга в спиральную поверхность переводит волокно-хорду полукруга в образ этой хорды. В то же время мы проверили гипотезу Стри-тера ([110]), что мышечные волокна лежат на геодезических линиях на поверхностях, образованных мышечными слоями стенки желудочка. В частности, мы выяснили, могло ли волокно-хорда полукруга сдвинуться в процессе трансформации полукруга в спиральную поверхность и в итоге занять место геодезической линии, соединяющей образы концов хорды на спиральной поверхности. Более того, такая геодезическая должна лежать довольно близко к образу исходной хорды. В отличие от абстрактных линий, мышечные волокна имеют ненулевую толщину и в совокупности заполняют стенку желудочков довольно плотно. Поэтому при сворачивании плоского мышечного листа в спиральную поверхность хорды-волокна физически не могут существенно сдвинуться относительно положения образов исходных хорд.
Тем не менее, с моделью происходит следующее. На первом шаге преобразования (сворачивание полукруга в конус) образы хорд как таковые остаются геодезическими линиями; другими словами, сдвиг геодезических относительно образов хорд равен нулю. Однако, на втором шаге, то есть при переводе конуса в неразвёртывающуюся спиральную поверхность, картина резко меняется: многие геодезические линии, соединяющие точки на эндо- и эпикарде, идут почти вертикально в область верхушки, так что все петли образов хорд (вне зависимости от положения образа хорды на спиральной поверхности) вырождаются в относительно маленькие петли, находящиеся очень близко к верхушке (рис. 1.13). В результате, в средней (по высоте) части ЛЖ геодезических линий нет. Значит, такой набор геодезических не может представлять волокна. Другими словами, «геодезическая модель» расположения волокон является некорректной, как минимум, для выбранного нами типа спиральных поверхностей.
Заметим также, что в случае малых углов закрутки ЕСП ( 1.57г) геодезическая линия, соединяющая концы образов хорды, не имеет большого сдвига в направлении верхушки. Однако, этот случай не представляет большого интереса, так как в случае углов закрутки до 1.57Г нет ни образов хорд, ни геодезических с углом закрутки петли 360 и более. Рис. 1.13: Геодезическая линия (сплошная) и образ хорды (пунктирная линия), соединяющие 2 точки. Концы линий расположены на субэпи- и субэндокарде вблизи экватора на ЕСП с углом закрутки 3-л".
В этом разделе мы укажем числовые значения всех параметров, использованных нами в данной работе, и сравним теоретически полученные результаты с данными эксперимента из [110].
Сравнение модели с экспериментальными данными о сердце человека Значения параметров Мы используем параметры, указанные в [110, табл. 2]: радиус полости ЛЖ на экваторе гг = 23 мм, толщина стенки на экваторе 1г = 10 мм, глубина полости ЛЖ dl = 53 мм, толщина стенки на верхушке hl = 7 мм, параметр коничности-эллиптичности є = 0.9, угол закрутки спиральной поверхности (ргтах = 3-л" [110, рис. 3c]. Спиральные поверхности, построенные нами по этим значениям параметров, изображены на рис. 1.14. Больше никакие подгонки к форме какого-либо конкретного сердца мы не проводили, так что эта форма в определённом смысле “универсальная”.
Чтобы описать ориентацию волокон, Д. Стритер в [110] использовал следующие углы: истинный угол наклона волокна а, винтовой угол аі, продольный угол «2 (их определения на рис. 1.11).
Мы сравнили 3 указанные угловые характеристики нашего поля направлений с экспериментальными данными из [110]. Сравнение было проведено в двух областях ЛЖ: экваториальной (z = 45... 48 мм) и средней по высоте (z = 15... 20 мм). Методика сравнения углов была одной и той же в обеих областях ЛЖ. Она состояла в сравнении углов вдоль отрезка, ортогонального к эпикарду (эта методика является общепринятой в анатомических исследованиях).
Мы видим, что и в нашей модели, и в данных эксперимента из [110] истинный угол наклона волокна а на эндокарде был близок к 55, на эпикарде — к 75, он уменьшается до 5 приблизительно в середине стенки ЛЖ, между 0.35 и 0.4 толщины стенки (рис. 1.12, слева). Хотя имеется некоторое отличие крутизны кривых нашей модели и экспериментальной кривой, однако в среднем мы получили хорошее качественное и количественное согласие.
Сравнение модели с экспериментальными данными о сердце человека
В этом разделе мы опишем численную процедуру, которая позволит нам использовать аналитическое представление анатомии и анизотропии сердца, описанное в предыдущих разделах. Форма сердца и его анизотропия заданы в криволинейной СК (1.27)–(1.28), определённой в прямоугольной области 0 ір 2-л"; 0 ф тг/2; 7о 7 7ь В этой криволинейной СК записываются, во-первых, диффузионное слагаемое (Лапласиан) из уравнения (2.2), а во-вторых, граничные условия отсутствия потока потенциала через границу ЛЖ. В предыдущем коэффициенты, которые даются явными аналитическими выражениями (2.14) и (2.15), они зависят только от геометрии ЛЖ и матрицы диффузии.
Для численного интегрирования модели (1.43)–(1.45), (2.2), (2.3) мы используем явный метод Эйлера на дискретной сетке в пространстве (7, ф, р). Как отмечает Клейтон в обзоре [28], явные методы, как самые лёгкие в программной реализации, широко используются для решения задачи распространения потенциала действия в сердце [17, 46, 88, 93, 104, 128]. Тем не менее, тот факт, что они требуют довольно мелкого шага по времени и поэтому относительно большого числа относительно малозатратных шагов интегрирования, иногда заставляет отказаться от них в пользу других методов. Ряд исследователей отдают предпочтение неявным методам [22, 48, 70, 71] за их большую устойчивость при большем шаге по времени, хотя на каждом отдельном шаге требуется решить систему нелинейных уравнений, что отнимает и время разработчика, и машинное время. Также разработаны и применяются полунеявные методы [34, 59], находящиеся по устойчивости и вычислительной трудоёмкости между явными и неявными методами.
Мы отталкиваемся от равномерной по специальным координатам сетки, имеющей индексы по 7, пронумерованные как г = 0,1,... п7, по ф — как j = 0,1,... п , и по р — как к = 0,1,... nv.
Хотя эта сетка равномерна в пространстве (7, ф, р), она существенно неравномерна в Декартовых координатах, так как расстояния между узлами уменьшаются до нуля с ростом ф до 7г/2, что созвучно случаю полюса в полярной СК. Для улучшения свойств сетки мы исключаем из неё некоторые узлы следующим образом. Вначале задаётся минимальное пороговое значение расстояния между узлами dm-m. Затем при 7 = 7i (т.е. на эпикардиаль-ном слое) для каждого значения ф = ф вычисляются расстояния между узлом с р = 0 (7 = 71 Ф = Фз) Р = 0) и узлом (7 = 7і) Ф = Фзі Р = -Рк). Мы находим наименьшее к, удовлетворяющее двум условиям: (1) расстояние от fc-узла до узла с р = 0 больше порога dm-m; и (2) к является делителем nv. Мы обозначаем найденные числа Kj (так как они зависят от Фз). Если ф далеко от 7г/2 и 2ттг/nv imin, то Kj = 1 и мы используем все узлы (7», Фз, Рк) равномерной сетки. Когда же ф растёт и приближается к 7г/2, тогда Kj 1 и мы пропускаем все узлы между ( у = yi, ф = фу, ip = 0) и ( у = yi,ф = фу, ip = Kj). Тогда следующим узлом будет (7 = 7ъ "0 = ФзіР = %Kj) и так далее, то есть только узлы с (/ -индексами 0, Kj, 2Kj,... , примут участие в вычислении Лапласиана. На каждом шаге по времени после вычисления значений фазовых переменных в оставленных узлах мы вычисляем значения фазовых переменных в пропущенных узлах с помощью линейной интерполяции по ip отдельно на каждом ф-слое. Таким образом мы уменьшаем число узлов по р преимущественно в области верхушки; если этого не сделать, нам пришлось бы резко уменьшить шаг по времени в используемой явной схеме.
Условие отсутствия потока через границу в рассматриваемой задаче записывается как nDgradw = 0, (2.32) где n — нормаль к поверхности. Мы переписали это уравнение в предлагаемой специальной СК (см. (1.27), (1.28)), получив следующее выражение: ди ди ди с7—Ь cw,777 + с„— = 0, (2.33) «7 дф др где с7, Сф, Сер — коэффициенты, вычисляемые по формулам (2.28) и (2.30). Чтобы выполнить граничное условие, мы используем метод фиктивных узлов и добавляем узлы за границами ЛЖ. Так как в специальной СК область интегрирования — прямоугольная (с периодической координатой р, по которой границы нет) и при ф = 7г/2 мы имеем полюс (т.е. там тоже нет границы), в итоге получается 3 граничные поверхности, а именно: при 7 = 7о (т.е. і = 0), 7 = 7і (і = пі) и Ф = 0 (j = 0). Поэтому мы добавляем дополнительные слои с индексами (—1, j, к), (гг7 + 1, j, к) и (г, —1, к). Затем мы решаем уравнение (2.33) на трёх этих граничных поверхностях, чтобы вычислить значения потенциала в добавленных (фиктивных) узлах. После этого мы можем найти Лапласиан во всех остальных узлах тела с использованием, где необходимо, значений в добавленных узлах. Данная процедура гарантирует выполнение граничных условий.
Мы разработали программный комплекс на языке Си с использованием среды CodeBlocks, компилятора Mingw cc и Windows 7. Для распараллеливания были использованы технологии OpenMP и MPI, а для визуализации — программы Paraview, SharpEye и Irfan. Значения параметров численной схемы приведены ниже. Данный подход позволил нам численно смоделировать различные режимы распространения волн в модели ЛЖ с учётом краевых условий, а также изучить влияние анизотропии на прохождение волн.
Постановка задачи и значения параметров
Мы воспользовались параметрами из [110, табл. 2]: экваториальный радиус ЛЖ гг = 23 мм, экваториальная толщина стенки ЛЖ 1г = 10 мм, глубина полости ЛЖ dl = 53 мм, апикальная толщина стенки hl = 7 мм, параметр коничности-эллиптичности є = 0.9, угол закрутки спиральных поверхностей ргтах = 37Г [110, рис. 3c]. Пороговое значение расстояния между соседними узлами 6?т;п=0.3 мм.
Расстояния между узлами сетки составляли 0.2-0.3 мм, и до вышеописанного удаления узлов мы установили: щ = 40, Пф = 300, Пф = 800. Решение вопроса о численном методе и шагах по времени и по пространству всегда является компромиссом между требованиями достаточной точности решения, затрат на разработку программы и ограничений по времени и памяти вычислителя. Мы выбрали указанный шаг по пространству как типичный шаг при использовании модели TNNP в трёхмерных задачах [130]. Коэффициент диффузии вдоль волокон был равен D\ = 0.3 мм2/мс. Коэффициент диффузии поперёк волокон D2 в разных расчётах был разным в зависимости от того, моделировали мы изотропию или анизотропию.
Для точечной стимуляции мы увеличивали значение потенциала и от уровня потенциала покоя -86.2 мВ до и = 0 мВ на первом шаге по времени в одной из трёх небольших областей. В серии A это была область на эпикарде в районе верхушки; в серии B — в середине (по высоте) эпикарда; в серии C — в середине эндокарда (см. табл. 2.1).
Мы изучали влияние вращения волокон на распространение возбуждения. Для этого мы построили несколько моделей ЛЖ, отличающихся друг от друга углом вращения волокна в толще стенки. Параметры модели указаны в табл. 2.2. Заметим, что хотя значения 7о и 7i и разные для разных моделей, они влияют только на вращение волокон, а геометрия — форма и размеры — ЛЖ во всех случаях одинаковые благодаря процедуре пересчёта габаритов модели, описанной в разделе «Подстройка направлений волокон на эпи- и эндокарде». Отметим также, что это изменение вращения волокон приводит к изменению угла наклона волокон на эпикарде (см. столбец «а» табл. 2.2).
Использованная электрофизиологическая модель
Строго говоря, точно в полуплоскости П может вообще не оказаться точек из томограммы, поэтому мы отбирали точки, расположенные не далее А = 1 мм от прямой АВ и внутри двугранного угла \ip — ip \ А , = 0.1 рад= 5.7.
В работе [110] Стритер предложил использовать для описания направления волокна локальную систему координат (u,v,w) и углы а, а\ (этих углов достаточно для задания направления волокна в точке). Ось и — это нормаль к эпикарду, направленная от ЛЖ; w — меридиан, то есть касательная к эпикарду, лежащая в меридиональной полуплоскости и направленная вверх; v — параллель, то есть вектор w х и. Угол а Є [0,7г/2] — это угол между волокном и параллелью, а угол а.\ Є [—7г/2,7г/2] — между проекцией волокна на плоскость uv и параллелью (см. рис. 1.11).
Мы сравнили эти две угловые характеристики нашего поля направлений с данными эксперимента. Сравнение проводили вдоль нормалей к эпикарду в двух меридианах (один меридиан соответствует свободной стенке ЛЖ, другой — МЖП) в верхней, средней и нижней частях стенки желудочка. 3.4 Результаты сопоставления с данными о сердце собаки
Мы использовали следующие значения параметров: высота ЛЖ Z% = 90 мм, толщина стенки ЛЖ на верхушке hl = 12 мм, эффективный угол закрутки СП іргтах = 3-л", параметр субэпикардиального отслаивания 7о = 0.05, параметр субэндокардиального отслаивания 7і = 0.98.
На рис. 3.7-3.12 изображены области сердца, в которых мы сравнивали углы наклона волокон, и графики этих углов по данным эксперимента (точки) и модели (сплошные линии). Проанализируем каждый из этих шести рисунков подробнее.
В верхней части свободной стенки ЛЖ (см. рис. 3.7) мы наблюдаем качественное и хорошее количественное согласие данных: угол а максимален на эндокарде, убывает приблизительно до 10 в середине толщины стенки и затем возрастает, достигая локального максимума на эпикарде. На графике Г винтовой угол а і, если двигаться от эндокарда к эпикарду, почти линейно убывает от больших положительных значений до больших по модулю отрицательных и равен нулю в середине стенки.
Близкое поведение изучаемых углов мы видим и в средней по высоте части свободной стенки ЛЖ (см. рис. 3.8). По сравнению с предыдущим рисунком, и в эксперименте, и в модели мы можем отметить следующее: графики угла а в области основания имели форму ближе к латинской букве V, а в средней области их форма стала ближе к латинской букве U; график угла а\ на рис. 3.7 был схож с прямой, а на рис. 3.8 стал чуть ближе к перевёр нутой кубической параболе (то есть в середине стенки убывание этого угла замедляется, а в наружной и внутренней трети стенки ускоряется).
В зоне верхушки (см. рис. 3.9) количественное согласие данных становится хуже, но качественное воспроизведение сохраняется. Отметим, что график угла а.\ как в модели, так и в эксперименте стал ещё ближе к перевёрнутой кубической параболе.
Рассмотрим теперь межжелудочковую перегородку и вновь сравним углы наклона волокон вдоль трёх нормалей к эпикарду.
В зонах основания (см. рис. 3.10), средней (см. рис. 3.11) и нижней (см. рис. 3.12) наблюдается теперь лишь качественное согласие данных. Как и в свободной стенке, угол а истинного наклона волокон максимален на эндокарде, затем убывает, достигая минимума в середине толщи стенки, и возрастает, достигая максимума на эпикарде. Нужно отметить, что в эксперименте и в модели в средней и — особенно чётко — в нижней части МЖП эндокардиальное значение этого угла больше эпикардиального.
Винтовой угол а.\ в МЖП монотонно убывает, как и в свободной стенке, от приблизительно 80 на эндокарде до примерно —60 на эпикарде. А
Углы наклона волокон в модели и по даннвім эксперимента. Свободная стенка ЛЖ, областв основания (ф = 5), собака. А, горизонталвное сечение ЛЖ, точки — точки миокарда из томограммы, прямая — нормалв к эпикарду, сплошная (пунктирная) кривая — эпикард (эндокард) в модели. Б, меридионалвное сечение ЛЖ, сплошная линия — эпикард, пунктирная линия — эндокард, точки — точки миокарда из томограммы. В, Г, углві а, а\. Осв абсцисс — положение точки в толще стенки желудочка, 0 соотв. эндокарду, 1 — эпикарду. А
Углы наклона волокон в модели и по данным эксперимента. Межжелудочковая перегородка, область верхушки ( = 65), собака. Обозначения см. подпись к рис. 3.7. 3.5 Результаты сопоставления с данными о сердце человека
Методика сравнения углов наклона волокон была той же, что и для случая сердца собаки. Не зависящие от меридиана параметры модели сердца человека: высота ЛЖ Z% = 84 мм, толщина стенки ЛЖ на верхушке hl = 11 мм, эффективный угол закрутки СП ргтах = 2-л", параметр субэпикардиального отслаивания 7о = 0.05, параметр субэндокардиального отслаивания 7i = 0.98.
Графики зависимости углов а, а\ от положения точки на нормали к эпикарду в стенке ЛЖ приведены на рис. 3.13—3.18. Проанализируем полученные результаты.
В верхней и средней части ЛЖ (см., например, рис. 3.13 и 3.14, А) мы видим, что вертикальная ось проходит явно не через центр горизонтальных сечений ЛЖ, а находится ближе к МЖП. Этот выбор положения оси ЛЖ связан с тем, что данная ось должна проходить и через область верхушки ЛЖ, а проекция верхушки ЛЖ на плоскость его базы расположена не в центре базы. Если сместить ось в центр базы, то верхушка сердца будет расположена далеко от оси в одном из меридиональных сечений и мы не сможем приблизить форму стенок ЛЖ с помощью данной модели.
Проследим теперь за углами наклона волокон в одном из меридианов свободной стенки ЛЖ.
В верхней части желудочка (см. рис. 3.13) угол истинного наклона волокон а (график В) в модели довольно точно повторяет данные томографии. Он убывает от 90 на эндокарде до примерно 25 в середине толщи стенки, а затем возрастает, достигая 70 на эпикарде. Винтовой угол (график Г) в модели тоже довольно близок к данным эксперимента.
Средняя по высоте часть свободной стенки желудочка (см. рис. 3.14) демонстрирует нам существенно больший разброс значений обоих углов, но при этом их поведение в целом то же, что и в зоне основания и оно вновь хорошо качественно и количественно воспроизводится моделью.
Об углах в нижней части свободной стенки ЛЖ (см. рис. 3.15) можно сказать практически то же самое. Заметим только, что в субэпикардиальной части стенки угол а возрастает значительно резче обычного, а угол а і не убывает, а возрастает, причём мы видим очень большой разброс значений этого угла.
Методика сравнения модели и данных эксперимента
Наша модель адекватно воспроизводит углы наклона волокон в верхней и средней зонах свободной стенки ЛЖ, в средней и нижней области МЖП сердца человека (в этих областях углы воспроизведены немного хуже в случае сердца собаки). Тем не менее, согласие данных в области верхушки свободной стенки лишь качественное, а в верхней части МЖП сердца человека модель даёт результаты, которые полностью расходятся с данными эксперимента.
Неточное воспроизведение направлений волокон в зоне верхушки ЛЖ может быть объяснено с позиций ленточной концепции Торрента-Гуаспа. Согласно его теории (см., например, [117, 62]), миокард левого и правого желудочков образован из одной длинной целостной свёрнутой мышечной ленты, причём на ЛЖ и МЖП в сумме приходится примерно три четверти длины ленты, а на ПЖ - около одной четверти (так наз. «правый сегмент», right segment). Особенно важно то, что верхняя часть (около двух третей) свободной стенки ЛЖ образована из одной области ленты («левого сегмента», left segment), а нижняя (приблизительно одна треть) - из другой области («нисходящего сегмента», descendent segment), не смежной с первой. Наша модель лучше повторяет свёртку левого сегмента (наружная верхняя часть свободной стенки ЛЖ) и хуже - нисходящего и восходящего сегментов. А именно, в нисходящем сегменте хорошо воспроизведён ход волокон его области, близкой к левому сегменту (внутренняя верхняя часть свободной стенки ЛЖ), его нижней средней области (внутренняя нижняя часть свободной стенки ЛЖ и перегородки) и верхней области, близкой к восходящему сегменту (средняя между субэпи- и субэндокардом часть свободной стенки ЛЖ). В восходящем сегменте не воспроизводят данные томографии человека две небольшие области: одна примыкает к аорте, другая - к верхушке сердца. Остальные области восходящего сегмента соответствуют наружной части свободной стенки ЛЖ и перегородки, в них ход волокон воспроизведён хорошо.
Сравнение с другими моделями Наша модель не единственная модель миокарда, основанная на идее заворачивания поверхностей. Синха с соавт. в [109] предложили модель одного слоя миокарда, имеющего фор му прямоугольника и обвёрнутого вокруг (усечённого) конуса. Они использовали эту очень простую модель для изучения исчезновения самоподдерживающихся волн, вращающихся вокруг препятствий в случаях изотропии и анизотропии, но без связи с реальной картиной расположения волокон в желудочках сердца.
Для верификации нашей модели мы используем экспериментальные данные из вышеуказанных работ Стритера [110] и Хантера [75]. В частности, модель адекватно воспроизводит как петлеобразную форму волокон, так и особенное трёхмерное взаиморасположение волокон в стенке ЛЖ, которое Стритер сравнивал с японским веером.
Это достаточно точное воспроизведение моделью экспериментальных фактов позволяет нам рассмотреть модель как важный аргумент в пользу ленточной концепции архитектоники желудочков сердца, восходящей к Торренту-Гуаспу, так как модель, созданная на базе этой теории, выдаёт адекватное поле направлений волокон как следствие теоретических постулатов.
Сравним также нашу модель с другой моделью, основанной на правилах, в которой ориентация волокон устанавливается локально, а именно с моделью Баера с соавт., уже упомянутой выше в этом разделе [18]. Для сравнения можно использовать ориентацию волокон в различных частях ЛЖ. Модель Баера строится по данным ДТ-МРТ об анизотропии двух желудочков сердца собаки. Средняя невязка направлений волокон по данным модели и эксперимента составила 23, то есть мы не наблюдаем полного количественного воспроизведения моделью реальных экспериментальных данных, хотя имеется приемлемое соответствие. В частности, модель Баера качественно повторяет анизотропию волокон в базальной зоне МЖП лучше, нежели наша модель (см. [18, рис. 3]). В разделе, посвящённом ограничениям нашей модели, мы указываем на эту количественную неточность нашей модели и предлагаем некоторые пути её устранения. В то же время, наша модель лучше воспроизводит экспериментальные данные в средней по высоте зоне ЛЖ: мы получили характерный s-образный график угла 1 в трансмуральном направлении (см. рис. 3.8, Г). В модели Баера эта зависимость линейна по определению. Более того, если мы построим модель по формулам (1), (2) из обсуждемой статьи [18], то все графики угла 1, представленные на рис. 3.7–3.12, Г, обнаружат независимость этого угла от широты и долготы нормали к эпикарду, вдоль которой вычисляется угол. Баер с соавт. считают, что их модель легко может быть доработана с тем, чтобы учесть нелинейность угла 1. Но кроме этого, необходимо ещё и сделать анизотропию широтно и долготно зависимой, что является непростой задачей. Наша же модель демонстрирует такую зависимость (см. рис. 3.7–3.12), что соответствует состоянию вещей в реальных сердцах, особенно в средней зоне ЛЖ. Ещё одно упрощающее предположение модели Баера касается трансмурального вращения направлений волокон, которое Стритер назвал «японский веер» ([110, рис. 42С]). В этой модели вращение волокон определено лишь в одной плоскости, то есть вокруг только одной оси, установленной трасмурально. Эта плоскость касается поверхности d = const, где d — это переменная, определённая в цитируемой работе Баера [18] и описывающая положение точки в толще стенки; например, d = 0 на эндокарде и d = 1 на эпикарде. Более того, если оценить результаты, полученные в модели Баера, по углу аз, определённому Стритером [110], и найти трансмуральное поведение ориентации волокон, оно будет постоянно и равно нулю, что является существенным упрощением. Эта особенность не позволяет отобразить положение волокон в трансмуральном направлении в толще стенки желудочка.
В нашей же модели, напротив, эта трёхмерная структура принята во внимание и волокна на СП идут от субэпикарда до субэндокарда.
Итак, мы приходим к выводу, что обе эти модели имеют свои сильные и слабые стороны, а для преодоления указанных недостатков было бы полезно дальнейшее совершенствование Дальнейшее развитие и использование модели
Представленное здесь аналитическое описание геометрии сердца может быть использовано при построении новых численных методов для изучения электрофизиологической и механической активности ЛЖ. Так как наша модель представляет собой аналитически заданное отображение прямоугольного параллелепипеда в пространстве (7, ф, р) в криволинейный ЛЖ, можно построить прямоугольную численную схему в координатах (7, ф, р) (где граничные условия записываются наиболее просто) и учесть анизотропию явными аналитическими формулами. Данная модель также может быть использована для генерации различных анизотропных свойств сердца и изменения формы ЛЖ (путём изменения параметров модели) и изучения их влияния на электрическую и механическую функцию сердца.
